2023-2024学年北师大版八年级数学下学期期末模拟试卷
满分：120分
测试范围：三角形的证明 一元一次不等式和一元一次不等式组 图形的平移与旋转 因式分解 分式与分式方程 平行四边形
选择题。（共10小题，每小题3分，共30分）
1．甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用平移来分析其形成过程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列不等式是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
3．函数中自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．如果不等式的解集为，则a必须满足（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在，上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）
A．边的高上 B．的平分线上 C．的平分线上 D．边的中线上
6．如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，若，则的长是（ ）
A．2 B．4 C． D．8
8．如图，在中，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
填空题。（共8小题，每小题3分，共24分）
11．某日我县最高气温是，最低气温是，则当天气温t的变化范围是 ．
12．平面直角坐标系中，一点关于原点的对称点的坐标是 ．
13．如图，边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为 ．
14．关于x的不等式的解集如图所示，则m的值是 ．
15．如果，那么分式的值是 ．
16．若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为 ．
17．如图，等边三角形的边长为7，是边上的中线，是边上的动点，是边的中点．当的周长取得最小值时，的度数为 ．
18．如图，在中，，，边上的高，是上的一个动点，是边的中点，则的最小值是 ．
解答题（共8小题，8+8+8+8+8+8+8+10，共66分）
19．将下列各式分解因式：
(1)； (2)
20．计算：
(1) (2)
21．解不等式组：，
22．（1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）求不等式的最小整数解
23．如图，在中，分别为的中点，且，，，求的长．
24．为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后每天比更新前多生产25件产品，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题：
(1)更新设备后每天生产______件产品（用含x的式子表示）；
(2)更新设备前生产6000件产品的天数和更新设备后生产7000件产品的天数相同，求更新设备后每天生产多少件产品．
25．如图所示，已知点在的对角线上，且．
(1)试说明线段和的关系．
(2)若，点A到线段的距离为3，求．
26．如图，在等腰中，，，分别为边，上的点，且．连接，，点为的中点，连接．
(1)当时，求证：；
(2)若点为中点，，求线段的长（用含的代数式表示）；
(3)若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明．
2023-2024学年北师大版八年级数学下学期期末模拟试卷
满分：120分
测试范围：三角形的证明 一元一次不等式和一元一次不等式组 图形的平移与旋转 因式分解 分式与分式方程 平行四边形
选择题。（共10小题，每小题3分，共30分）
1．甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用平移来分析其形成过程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平移，根据平移前后的图形大小、形状、方向相同即可判断求解，掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：、是轴对称图形，不能用其中一部分平移得到，不符合题意；
、是轴对称图形，不能用其中一部分平移得到，不符合题意；
、是轴对称图形，不能用其中一部分平移得到，不符合题意；
、能用其中一部分平移得到，符合题意；
故选：．
2．下列不等式是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是掌握含有一个未知数，且未知数次数为1的不等式是一元一次不等式，据此逐个判断即可．
【详解】解：A、是一元一次不等式，符合题意；
B、是一元一次方程，不符合题意；
C、没有未知数，不是一元一次不等式，不符合题意；
D、含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意；
故选：A．
3．函数中自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，根据分式分母不为0，即可解答．
【详解】解：由题意得：，
故选：C．
4．如果不等式的解集为，则a必须满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边同时除以一个负数时，不等式的不等号需要变号，据此作答即可．
【详解】解：∵不等式的解为，
∴，
解得：．
故选：D．
5．如图，已知，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在，上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）
A．边的高上 B．的平分线上 C．的平分线上 D．边的中线上
【答案】B
【分析】根据角平分线的判定推出M在的角平分线上，即可得到答案．
【详解】解：如图：
，，，
在的角平分线上，
故选B．
【点睛】本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键．
6．如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】关键平行四边形的性质解答即可．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】∵平行四边形中，，
∴，
∴，
∴，
故选D．
7．如图，在中，，，若，则的长是（ ）
A．2 B．4 C． D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，根据性质直接能得到点D是线段的中点,即可求解.
【详解】解：∵，，
∴为等腰三角形，为底边上的高，
∴平分，为边上的中线.
∵，
∴，
故选：B.
8．如图，在中，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等边对等角的性质是解答的关键．设，根据等腰三角形的等边对等角的性质得到，再根据三角形的内角和为求得x值即可．
【详解】解：设，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
解得，即，
故选：C
9．如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理等知识，根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定可得，进而可得，再根据三角形的中位线解答即可.
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是中点，
∴
故选：A.
10．如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理．
【详解】、由可得，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意；
、由，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意；
、∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，符合题意；
、由，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意；
故选：
填空题。（共8小题，每小题3分，共24分）
11．某日我县最高气温是，最低气温是，则当天气温t的变化范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了不等式的定义，能理解最高气温和最低气温的意义是解此题的关键．根据最高气温和最低气温得出的范围即可．
【详解】解：某日我县最高气温是，最低气温是，
当天气温的变化范围是，
故答案为：
12．平面直角坐标系中，一点关于原点的对称点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查关于原点对称的点坐标的特征，解题的关键是掌握：平面直角坐标系中任意一点，其关于原点对称的点的坐标是．据此解答即可．
【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是．
故答案为：．
13．如图，边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得到，进而求出，则．
【详解】解：由平移的性质可得，，
∴，
∴，
故答案为：
14．关于x的不等式的解集如图所示，则m的值是 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式得解集，先解不等式得到，再由数轴可知，不等式得解集为，则，解方程即可得到答案．
【详解】解：解不等式得，
由数轴可知，不等式得解集为，
∴，
∴，
故答案为：1．
15．如果，那么分式的值是 ．
【答案】/
【分析】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的约分法则是解题的关键．设，则，把原式根据分式的乘除法法则化简，代入计算即可．
【详解】解：设，则，
∴．
故答案为：．
16．若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了因式分解的意义，可根据已知条件设出这两个一次因式分别是与，相乘后根据多形式相等可求出、的值，从而得到答案．
【详解】解：设，
，
，
解得，或
或．
故答案为：或．
17．如图，等边三角形的边长为7，是边上的中线，是边上的动点，是边的中点．当的周长取得最小值时，的度数为 ．
【答案】/60度
【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题．熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的性质，是解本题的关键．
根据等边三角形的对称性，作点E关于中线的对称点，连接交于点F，连接，结合是边的中点，得到，，得到，最小， 的周长取得最小值，结合，得到，即得．
【详解】∵为等边三角形，
∴，，
∵是边上的中线，
∴，
∴，
∵是边的中点，
∴，
在上取点E关于的对称点，连接交于点F，连接（如图），
则，
由对称性知，，
∴，
∴，最小，此时， 的周长取得最小值，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
18．如图，在中，，，边上的高，是上的一个动点，是边的中点，则的最小值是 ．
【答案】8
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键．连接，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，从而可得当点共线时，取最小值，最小值为，再根据等边三角形的性质可得，由此即可得．
【详解】解：如图，连接，
∵在中，，，
是等边三角形，
是边上的高，
垂直平分，
，
，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，取最小值，最小值为，
又∵在等边中，是边的中点，
是边上的高，
，
即的最小值为8，
故答案为：8．
解答题（共8小题，8+8+8+8+8+8+8+10，共66分）
19．将下列各式分解因式：
(1)； (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）先提取公因式，再用平方差公式进行分解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：.
20．计算：
(1) (2)
【答案】(1)(2)4
【分析】本题考查了实数的混合与运算，分式的混合运算；
（1）按照负整数指数幂的运算法则、绝对值以及二次根式、零次幂逐步求解即可．
（2）本题依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，最后验证根是否符合题意以解此题．
【详解】（1）解：（1）原式
；
（2）解：
21．解不等式组：，
【答案】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为．
22．（1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）求不等式的最小整数解
【答案】（1），数轴见解析；（2）
【分析】本题主要考查解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，掌握其解方程的方法是解题的关键．
（1）根据不等式的性质，解不等式的方法“去分母，移项，合并同类项，系数化为1”，再把解集表示在数轴上即可求解；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，由此即可求解．
【详解】解：（1）
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
将不等式的解集表示在数轴为：
（2）
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得，
故最小整数解是．
23．如图，在中，分别为的中点，且，，，求的长．
【答案】
【分析】本题考查三角形中位线定理，勾股定理．根据题意，由分别为的中点，得是的中位线，由得，再求出即可．
【详解】解：分别为的中点
是的中位线
，，
．
24．为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后每天比更新前多生产25件产品，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题：
(1)更新设备后每天生产______件产品（用含x的式子表示）；
(2)更新设备前生产6000件产品的天数和更新设备后生产7000件产品的天数相同，求更新设备后每天生产多少件产品．
【答案】(1)
(2)更新设备后每天生产175件产品．
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，列代数式：
（1）根据更新设备后每天比更新前多生产25件产品列式求解即可；
（2）根据更新设备前生产6000件产品的天数和更新设备后生产7000件产品的天数相同列出方程求解即可．
【详解】（1）解；由题意得，更新设备后每天生产件产品，
故答案为：；
（2）解：由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：更新设备后每天生产175件产品．
25．如图所示，已知点在的对角线上，且．
(1)试说明线段和的关系．
(2)若，点A到线段的距离为3，求．
【答案】(1)，，证明见解析
(2)
【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定定理并灵活运用是解题的关键．
（1）连接交于点O，连接，，证明四边形是平行四边形，即可得到结论；
（2）求解，再利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：，，理由如下：
连接交于点O，连接，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
又，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，．
（2）∵，，
∴，
∵点A到线段的距离为3，
∴．
26．如图，在等腰中，，，分别为边，上的点，且．连接，，点为的中点，连接．
(1)当时，求证：；
(2)若点为中点，，求线段的长（用含的代数式表示）；
(3)若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明．
【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，证明见解析
【分析】（1）利用三角形的外角的性质，结合角的和差关系可得结论；
（2）过点D作交于点M，连接，证明，，可得，从而可得答案；
（3）过点D作交于点F，连接，证明是等边三角形，，可得，是等边三角形，可得，证明，可得，再证明，从而可得结论．
【详解】（1）证明：∵，，
即，
又∵，
∴；
（2）过点D作交于点M，连接，
∵D为中点，且，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，．
∴，
∴
∴；
（3）．证明如下：
过点D作交于点F，连接，
∴，，
∵是等腰三角形，且，
∴是等边三角形，，，
∴是等边三角形，，
又∵，
∴，
又∵点P是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A，P，F共线，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
