2024年高新区学考模拟测试数学试题2024.05
第I卷（选择题 共40分）
注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
一.选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.6的算术平方根是（ ）
A.6 B. 6 C. D.±6
2.已知水星的半径约为24400000米，用科学记数法表示为( )米．
A.0.244×108 B.2.44×106 C.2.44×107 D.24.4×106
3.如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中∠α和∠β不一定相等的是（ ）
A. B. C. D.
4.将正方形纸片按如图所示方式连续对折两次，并在中心点处打孔，则展开后的图形是( )
A. B. C. D.
5.手机锁屏密码是6位数，若密码前5位数字已经知道，则一次解锁该手机密码的概率是( )
A. B. C. D.
6.若关于x的分式方程－=有增根，则m的值为（ ）
A.1 B.﹣4 C.﹣5 D.﹣3
7.如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ）
A.3cm2 B.4cm2 C.4.5cm2 D.5cm2
（第7题图） (第8题图) (第9题图)
8.如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y=(x≠0)的图象上，点A，B在x轴上，且PA⊥PB，PA交y轴于点C，AO=BO=BP．若△ABP的面积是4，则k的值是（ ）
A.1 B.2 C. D.
9.如图，菱形ABCD的周长为20，对角线BD长为8，则AD边上的高CF为（ ）
A.4 B.5 C. D.
10.对于二次函数y=ax2+bx+c，定义函数y=是它的相关函数．若y=x+1与二次函数y=x2－4x+c的相关函数的图象恰好有两个公共点，则c可能是（ ）
A.﹣1 B.0 C. D.2
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
注意事项：
1.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
2.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
二.填空题:（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11.一元二次方程x2－2x=0的根是 ．
12.“学史明智”，历史是最好的教科书，也是最好的清醒剂和营养剂．在如图所示的四张无差别卡片上分别写有不同的历史事件，将卡片置于暗箱摇匀后随机抽取两张，则所抽取事件都发生于新中国成立以后的概率为 ．
13.已知一个正多边形的每个外角为45°，则这个多边形的边数是 ．
14.如果不等式组无解，那么m的取值范围是 ．
15.如图1，在长方形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，三角形MNR的面积为y，如果y随x变化的图象如图2所示，则三角形MNR的最大的面积是 ．
（第15题图） （第16题图）
16．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，
连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③PD=DH；④DP2=PH·PB；其中正确的是 ．
三、解答题:（本大题共 10 个小题，共 86 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（本小题6分）计算：（）﹣1+2cos30°－+（2024－π）0.
18.（本小题6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
19.（本小题6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，F是AD中点，延长BF交CD延长线于点E．证明：AB=DE．
20.（本小题8分）小伟站在一个深为3米的泳池边，他看到泳池内有一块鹅卵石，据此他提出问题：鹅卵石的像到水面的距离是多少米？小伟利用光学知识和仪器测量数据解决问题，具体研究方案如下：
问题：鹅卵石的像到水面的距离
工具：纸、笔、计算器、测角仪等
图形：
请你根据上述信息解决以下问题：
（1）求∠CBN的大小；
（2）求鹅卵石的像G到水面的距离GH．（结果精确到0.1m)
（参考数据：sin41.7°≈0.665，cos41.7°≈0.747，tan41.7°≈0.891，≈1.73）
21．（本小题8分）青少年体重指数(BMI)是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式．其中体重指数BMI计算公式：BMI=，其中G表示体重(kg)，h表示身高(m)．《国家学生体质健康标准》将学生体重指数(BMI)分成四个等级（如表），为了解学校学生体重指数分布情况，八年级某数学综合实践小组开展了一次调查．
等级 偏瘦（A） 标准（B） 超重（C） 肥胖（D）
男 BMI≤15.7 15.7＜BMI≤22.5 22.5＜BMI≤25.4 BMI＞25.4
女 BMI≤15.4 15.4＜BMI≤22.2 22.2＜BMI≤24.8 BMI＞24.8
【数据收集】小组成员从本校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并收集数据：
【数据整理】调查小组根据收集的数据，绘制了两组不完整的统计图．
【问题解决】根据以上信息，解决下列问题：
（1）若一位男生的身高为1.6m，体重为51.2kg，则他的体重指数(BMI)属于 等级；（填“A”，“B”，“C”，“D”）
（2）则本次调查的总人数是 人，并补全条形统计图；
（3）则扇形统计图中表示体重指数(BMI)“A”等级的扇形的圆心角是 度；
（4）若该校共有2000名学生，估计全校体重指数为“肥胖”的学生约为多少人？
22.（本小题8分）如图，AB是O的直径，C是O外的一点，且AB=BC，AC与O相交于点D，过点D作O的切线交BC于点E．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）当BE=1，DE=2时，求O的半径．
23.（本小题10分）某物流公司有360箱货物需要运送，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
运载量（箱/辆） 20 30 40
运费（元/辆） 300 400 450
（1）全部货物一次性运送可用甲型车6辆，乙型车4辆，丙型车 辆；
（2）若全部货物仅用甲、乙两种车型一次性运完，需运费5100元，求甲、乙两种车型各需多少辆？
（3）若该公司打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知车辆总数为11辆，恰好装满且一次性运完所有货物，请设计出所有的运送方案，并写出最少运费．
24.（本小题 10分）综合与探究
如图，一次函数y=﹣x+1与反比例函数y=(x＜0)的图象交于点A(1，m)，与y轴交于点B．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）点P是x轴上的一个动点，连接AP，BP，当线段AP与BP之和最小时，求点P的坐标；
（3）过点B作直线l∥x轴，交反比例函数y=(x＜0)的图象于点C，若点M是直线AB上的
一个动点，点N是平面直角系内的一个动点，试判断是否存在这样的点N，使得以点B，C，M，N为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
25.（本小题12分）如图1，△ABC是等腰直角三角形，AB=BC，∠ABC=90°，线段BD可绕
点B在平面内旋转，BD=4．
若AB=8，在线段BD旋转过程中，当点B，C，D三点在同一直线上时，直接写出CD的长．
如图2，若将线段BD绕点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BE，连接AE，CE．
①当点D的位置由△ABC外的点D转到其内的E处，且∠AEB=135°，AE=2时，求CE的长；
②如图3，若AB=8，连接DE，将△BDE绕点B在平面内旋转，分别取DE，AE，AC的中点M、P、N，连接MP、PN、NM，请直接写出△MPN面积S的取值范围．
26.（本小题12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+(a≠0)与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PM∥x轴交BC于点M，过点P作PN∥AC交BC于点N，求PM+PN的最大值及此时点P的坐标；
（3）把原抛物线y=ax2+bx+(a≠0)沿射线AC方向平移8个单位，点E为平移后新抛物线
对称轴上的一点，连接BE、CE，将△BCE沿直线BC翻折，使得点E的对应点点Q落在坐标
轴上，写出所有符合条件的点E的坐标。
答案
一.选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.6的算术平方根是（ C ）
A.6 B. 6 C. D.±6
2.已知水星的半径约为24400000米，用科学记数法表示为( C )米．
A.0.244×108 B.2.44×106 C.2.44×107 D.24.4×106
3.如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中∠α和∠β不一定相等的是（ A ）
A. B. C. D.
4.将正方形纸片按如图所示方式连续对折两次，并在中心点处打孔，则展开后的图形是( D )
A. B. C. D.
5.手机锁屏密码是6位数，若密码前5位数字已经知道，则一次解锁该手机密码的概率是( B )
A. B. C. D.
6.若关于x的分式方程－=有增根，则m的值为（ C ）
A.1 B.﹣4 C.﹣5 D.﹣3
7.如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ C ）
A.3cm2 B.4cm2 C.4.5cm2 D.5cm2
（第7题图） (第8题图) (第9题图)
8.如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y=(x≠0)的图象上，点A，B在x轴上，且PA⊥PB，PA交y轴于点C，AO=BO=BP．若△ABP的面积是4，则k的值是（ B ）
A.1 B.2 C. D.
9.如图，菱形ABCD的周长为20，对角线BD长为8，则AD边上的高CF为（ C ）
A.4 B.5 C. D.
10.对于二次函数y=ax2+bx+c，定义函数y=是它的相关函数．若y=x+1与二次函数y=x2－4x+c的相关函数的图象恰好有两个公共点，则c可能是（ D ）
A.﹣1 B.0 C. D.2
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
注意事项：
1.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
2.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
二.填空题:（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11.一元二次方程x2－2x=0的根是 x1=2,x2=0 ．
12.“学史明智”，历史是最好的教科书，也是最好的清醒剂和营养剂．在如图所示的四张无差别卡片上分别写有不同的历史事件，将卡片置于暗箱摇匀后随机抽取两张，则所抽取事件都发生于新中国成立以后的概率为 ．
13.已知一个正多边形的每个外角为45°，则这个多边形的边数是 8 ．
14.如果不等式组无解，那么m的取值范围是 m≥7 ．
15.如图1，在长方形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，三角形MNR的面积为y，如果y随x变化的图象如图2所示，则三角形MNR的最大的面积是 12 ．
（第15题图） （第16题图）
16．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，
连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③PD=DH；④DP2=PH·PB；其中正确的是 ①②③④ ．
三、解答题:（本大题共 10 个小题，共 86 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（本小题6分）计算：（）﹣1+2cos30°－+（2024－π）0.
=2+－2+1
=3－
18.（本小题6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
解：解不等式①得：x＜2
解不等式②得：x≥-1
原不等式组的解集为：-1≤x＜2
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
19.（本小题6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，F是AD中点，延长BF交CD延长线于点E．证明：AB=DE．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∴∠A=∠EDF，∠ABF=∠DEF
∵F是AD中点，
∴AF=DF
∴△ABF≌△DEF(AAS)
∴AB=DE
20.（本小题8分）小伟站在一个深为3米的泳池边，他看到泳池内有一块鹅卵石，据此他提出问题：鹅卵石的像到水面的距离是多少米？小伟利用光学知识和仪器测量数据解决问题，具体研究方案如下：
问题：鹅卵石的像到水面的距离
工具：纸、笔、计算器、测角仪等
图形：
请你根据上述信息解决以下问题：
（1）求∠CBN的大小；
（2）求鹅卵石的像G到水面的距离GH．（结果精确到0.1m)
（参考数据：sin41.7°≈0.665，cos41.7°≈0.747，tan41.7°≈0.891，≈1.73）
解：（1） ∵=1.33，sin∠ABM=sin41.7°≈ 0.665
∴sin∠CBN==
（2）∵∠ABM=∠NBG=41.7°，BN=CH=3m
∵BN∥HC
∴∠CBN=∠BCH=30 °，∠BGH=∠NBG=41.7°
在Rt△BCH中，
BH=CH·tan∠BCH=3×=(m)
在Rt△BHG中
HG===1.9(m)
鹅卵石的像G到水面的距离GH为1.9m
21.（本小题8分）青少年体重指数(BMI)是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式．其中体重指数BMI计算公式：BMI=，其中G表示体重(kg)，h表示身高(m)．《国家学生体质健康标准》将学生体重指数(BMI)分成四个等级（如表），为了解学校学生体重指数分布情况，八年级某数学综合实践小组开展了一次调查．
等级 偏瘦（A） 标准（B） 超重（C） 肥胖（D）
男 BMI≤15.7 15.7＜BMI≤22.5 22.5＜BMI≤25.4 BMI＞25.4
女 BMI≤15.4 15.4＜BMI≤22.2 22.2＜BMI≤24.8 BMI＞24.8
【数据收集】小组成员从本校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并收集数据：
【数据整理】调查小组根据收集的数据，绘制了两组不完整的统计图．
【问题解决】根据以上信息，解决下列问题：
（1）若一位男生的身高为1.6m，体重为51.2kg，则他的体重指数(BMI)属于 等级；（填“A”，“B”，“C”，“D”）
（2）则本次调查的总人数是 人，并补全条形统计图；
（3）则扇形统计图中表示体重指数(BMI)“A”等级的扇形的圆心角是 度；
（4）若该校共有2000名学生，估计全校体重指数为“肥胖”的学生约为多少人？
解：（1）B
（2）100
（3）36
（4）2000×=120（人）
答：估计全校体重指数为“肥胖”的学生约为120人．
22.（本小题8分）如图，AB是O的直径，C是O外的一点，且AB=BC，AC与O相交于点D，过点D作O的切线交BC于点E．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）当BE=1，DE=2时，求O的半径．
（1）证明：如图，连接OD．
∵DE是O的切线，
∴OD⊥DE
∵AB=BC
∴∠A=∠C
∵OA=OD
∴∠A=∠ODA
∴∠ODA=∠C
∴OD∥BC
∴DE⊥BC
（2）解：如图，连接BD
∵DE⊥BC
∴∠DEB=90°
∴BD=
∵AB是O的直径，
∴∠ADB=90°
∵AB=BC
∴∠ABD=∠DBE
∴△ABD∽△DBE
∴=
即AB=5
∴O的半径为
23.（本小题10分）某物流公司有360箱货物需要运送，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
运载量（箱/辆） 20 30 40
运费（元/辆） 300 400 450
（1）全部货物一次性运送可用甲型车6辆，乙型车4辆，丙型车 辆；
（2）若全部货物仅用甲、乙两种车型一次性运完，需运费5100元，求甲、乙两种车型各需多少辆？
（3）若该公司打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知车辆总数为11辆，恰好装满且一次性运完所有货物，请设计出所有的运送方案，并写出最少运费．
解：（1）3
（2）设甲型车需x辆，乙型车需y辆
根据题意得：
解得：
答：甲型车需9辆，乙型车需6辆；
（3）设使用a辆甲型车，b辆乙型车，则使用(11﹣a﹣b)辆丙型车，
根据题意得：20a+30b+40(11﹣a﹣b)=360
∴b=8﹣2a
又∵a，b，(11﹣a﹣b)均为正整数，
∴，或
共有3种运输方案，
方案1：使用1辆甲型车，6辆乙型车，4辆丙型车；
方案2：使用2辆甲型车，4辆乙型车，5辆丙型车；
方案3：使用3辆甲型车，2辆乙型车，6辆丙型车
方案1所需运费为300×1+400×6+450×4=4500（元)；
方案2所需运费为300×2+400×4+450×5=4450（元)；
方案3所需运费为300×3+400×2+450×6=4400（元)，
4500＞4450＞4400
最少运费是4400元
24.（本小题 10分）综合与探究
如图，一次函数y=﹣x+1与反比例函数y=(x＜0)的图象交于点A(1，m)，与y轴交于点B．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）点P是x轴上的一个动点，连接AP，BP，当线段AP与BP之和最小时，求点P的坐标；
（3）过点B作直线l∥x轴，交反比例函数y=(x＜0)的图象于点C，若点M是直线AB上的
一个动点，点N是平面直角系内的一个动点，试判断是否存在这样的点N，使得以点B，C，M，N为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将点A(﹣1，m)代入一次函数y=﹣x+1得m=2，所以，A(﹣1，2)
将A(﹣1，2)代入y=得：k=﹣2
即反比例函数的表达式为：y=﹣
（2）作点B关于x轴的对称点B(0，1)
连接AB 交x轴于点P，此时线段AP与BP之和最小，如图1
∵一次函数y=﹣x+1与y轴交于点B
∴B(0，1)，
∴B’(0，1)
直线AB’的解析式为y=ax+b
∴，解得
直线AB的解析式为y=﹣3x+1
令y=0，则0=﹣3x+1，解得x=
∴点P的坐标为(，0)
（3）（﹣1，0）或（－2，1－）或（﹣﹣2，1+）或（0，3）
25.（本小题12分）如图1，△ABC是等腰直角三角形，AB=BC，∠ABC=90°，线段BD可绕
点B在平面内旋转，BD=4．
若AB=8，在线段BD旋转过程中，当点B，C，D三点在同一直线上时，直接写出CD的长．
如图2，若将线段BD绕点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BE，连接AE，CE．
①当点D的位置由△ABC外的点D转到其内的E处，且∠AEB=135°，AE=2时，求CE的长；
②如图3，若AB=8，连接DE，将△BDE绕点B在平面内旋转，分别取DE，AE，AC的中点M、P、N，连接MP、PN、NM，请直接写出△MPN面积S的取值范围．
解：（1）4或12
（2）①如图2中，连接AD，DE
∵BD=BE=4，∠DBE=90°
∴DE=BD=4，∠DEB=45°
∵∠AEB=135°
∴∠AED=90°
∵AE=2
∴AD=2
∵∠DBE=∠ABC=90°
∴∠DBA=∠EBC
∵BD=BE，BA=BC ，
∴△DBA≌△EBC(SAS)
∴EC=AD=2
②2≤△PMN的面积≤18
26.（本小题12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+(a≠0)与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PM∥x轴交BC于点M，过点P作PN∥AC交BC于点N，求PM+PN的最大值及此时点P的坐标；
（3）把原抛物线y=ax2+bx+(a≠0)沿射线AC方向平移8个单位，点E为平移后新抛物线
对称轴上的一点，连接BE、CE，将△BCE沿直线BC翻折，使得点E的对应点点Q落在坐标
轴上，写出所有符合条件的点E的坐标。
（1）y=﹣x2++
（2）最大值是；P（，）
（3）（5，）或（5，﹣2）
