（备战2024年小升初）专题09：数与形-数学六年级下册人教版
一、选择题
1．观察下列算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561；那么32024的末位数字应该是（ ）。
A．3 B．9 C．7 D．1
2．古时候人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，古人在从右往左依次排列的绳子上打结，按“满五进一”来计数。如：图①中表示的数是：25×1＋5×1＋1×2＝32，则图如②中表示的数是（ ）。
图① 图②
A．45 B．89 C．113 D．324
3．正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形，……，以此类推，根据以上操作，若要得到53个正方形，需要操作的次数是（ ）。
A．12 B．13 C．14 D．15
4．盒子里装有分别写着1，2，3，…，100的黄色卡片各一张。我们称如下操作为一次操作：从盒子里取出m（7≤m≤11）张卡片，算出这m张卡片上各数之和减去27的差，将差写在一张红色卡片上（不放回）。若干次操作后，盒子里的卡片全部被取出，若所有红色卡片上的数字之和为n，那么n的最大可能值减去最小可能值等于（ ）。
A．108 B．96 C．88 D．81
5．给定一列按规律排列的数：、、、…则这列数的第8个数是（ ）。
A． B． C． D．
6．根据如图所示规律排列图形，第五个图形应该选（ ）。
___________
A． B． C． D．
7．一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（ ）。
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
8．按如图的规律摆图形，第n个图形的周长是（ ）cm。（每个小正方形的边长是1cm）
……
A．3n＋4 B．4n＋2 C．2n＋4 D．5n＋2
二、填空题
9．找规律，填一填：1，2，5，10，( )，( )，37。
10．有一串彩灯是按2红、3绿、5黄的顺序依次排列的。第27盏彩灯是( )色，前60盏中，有( )盏绿灯。
11．按规律填数。
，，1，，( )，( )。
12．小学生数学竞赛的考场按学生的准考证号码编排。每30人一个考场，即1—30号在第一考场，31—60在第二考场，东东的准考证号码是253，他应该在第( )考场。
13．如图，用“十字形”分割正方形，分割一次，分成了4个正方形，分割两次，分成了7个正方形（不计组合成的正方形），分割三次，分割成( )正方形。如果连续用“十字形”分割10次，分成了( )正方形。
14．按如图用小棒摆正六边形，摆第组正六边形需要( )根小棒。
15．看图找规律，并按照规律填空。
(1)我的发现：如果摆1个三角形，需要( )根小棒。
(2)摆200个三角形，需要( )根小棒。
16．观察下列等式
（1）
（2）
（3）
（4）
根据此规律，第10个等式的右边应该是a2，则a的值是( )。
三、判断题
17．、、、、…这列数越来越大，越来越接近1。( )
18．一组图形有规律地排列着：○△□☆○△□☆○△□☆……第78个是□。( )
19．已知2017年2月1日是星期三，那么2017年5月1日也是星期三。( )
20．第六幅图应该有42个点。( )
21．……第五个点阵中点的个数是：1＋4×4=17 ( )
四、解答题
22．黑洞数又称陷阱数，例如：297，把各数位上的数从小到大排列为279，从大到小排列为972；将972－279＝693；又把693重新排列，大数是963，小数是369，963－369＝594；再把594重新排列，大数是954，小数是459，954－459＝495，重复上述步骤都得到495，我们就把这个495称做“黑洞数”。
根据以上方法你能用1628这个数，推算出四位数的黑洞数吗？
1628重排，大数是8621，小数是1268，8621－1268＝7353；
7353重排，大数是7533，小数是3357，7533－3357＝4176；
请你接着推算，四位数的黑洞数应该是多少。
23．为方便销售，售货员把啤酒瓶捆成如图（从瓶底方向看）的形状，每个瓶底的直径是7厘米，计算出每组至少需要多长的绳子？（接头处不计）你发现了什么规律？
24．聪聪和明明在研究两个平方数的差时发现了规律：
（1）请你根据聪聪和明明发现的规律把下面的算式填写完整。
（______＋______）×（______－______）＝（______）
（2）求下图中阴影部分的面积。聪聪说可以用“”来计算，明明说也可以用“”来计算。你知道明明是怎么想的吗？
25．下面图形都是由边长0.5厘米的正方形拼成的。
（1）找规律画出图形⑤。
（2）根据前面的图形把表格补充完整。
图形 ① ② ③ ④ ⑤
面积/ 0.25 0.75 1.5 （ ） （ ）
周长/cm 2 4 6 （ ） （ ）
26．（1）这堆钢管一共有多少根？
（2）这根钢管在使用前，最上面一层只有1根，而且下一层总比上一层多1根，使用前这堆钢管一共有多少根？
（3）想一想，上面计算钢管根数的方法，对计算下面两题有什么帮助？试着算一算。
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9
15＋16＋17＋18＋19＋20＋21＋22＋23
参考答案：
1．D
【分析】根据题意可知，末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，用2024除以4，余数是1，末尾数字是3；余数是2，末尾数字是9；余数是3，末尾数字是7；没有余数，末尾数字是1；据此根据余数的情况确定末尾数字即可。
【详解】2024÷4＝506，没有余数，32024的末位数字应该是1。
观察下列算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561；那么32024的末位数字应该是1。
故答案为：D
2．B
【分析】根据题意可知，图①中表示的数是：25×1＋5×1＋1×2＝32，左边结绳表示25，有1个；中间结绳表示5，有1个，右边结绳表示1，有2个；由此可知，图②中，左边有结绳有3个，表示25×3，中间有2个结绳，表示5×2，右边有4个结绳，表示1×4，据此解答。
【详解】根据分析可知，图②表示的数是：
25×3＋5×2＋1×4
＝75＋10＋4
＝85＋4
＝89
则图②中表示的数是89。
故答案为：B
3．B
【分析】由题意可知，第1次：分别连接各边中点如图2，得到4＋1＝5个正方形；
第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到4×2＋1＝9个正方形……
以此类推，根据以上操作，则第n次得到4n＋1个正方形，由此规律代入求得答案即可。
【详解】第1次：得到4×1＋1＝5（个）正方形；
第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到4×2＋1＝9（个）正方形……
设第n次得到53个正方形。
4n＋1＝53，
解：4n＋1－1＝53－1
4n＝52
4n÷4＝52÷4
n＝13
故答案为：B
【点评】此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出正方形个数的变化规律是解题关键。
4．A
【分析】结果只跟操作的次数有关，每次最多取出11张，用100÷11求出100里面有几个11，除不尽，所以用商加上1即可求出操作最少的次数；每次最少取7张，用100÷7求出100里面有几个7，余2，最后一次可以取9张，所以100÷7的商是求出操作最多的次数；因为盒子里面的黄色卡片全部被取出，所以所有红色卡片上的数字之和＝所有黄色卡片的数字之和－27×操作的次数，所有黄色卡片的数字之和固定不变，所以n的最大可能值减去最小可能值＝27×操作最多的次数－27×操作最少的次数，据此解答。
【详解】100÷11＝9……1
操作最少：9＋1＝10（次）
100÷7＝14……2
操作最多14次；
27×14－27×10
＝27×（14－10）
＝27×4
＝108
n的最大可能值减去最小可能值等于108。
故答案为：A
【点睛】本题主要考查了带余除法的灵活应用，通过每次能取最多和最少的数量，得出操作的最多和最少的次数，还要注意黄色卡片上的数字总和不变。
5．B
【分析】由前4个是、、、，可知：分子是1，2，3，4，第几个数分子就是几，所以第8个数的分子是8；分母是2，5，10，17，相邻两个数之间的差分别是3，5，7…，由此求出第8个数的分母。
【详解】第8个数的分子是8，
分母是：17＋9＋11＋13＋15
＝26＋11＋13＋15
＝37＋13＋15
＝50＋15
＝65
则这列数的第8个数是。
故答案为：B
【点睛】观察各个分数的分子、分母，分析题意找出题中几个分数之间的规律。
6．A
【分析】根据前四个图形总结图形变化的规律，推测第五个图形，再观察第六个图形，验证推论是否正确，据此解答。
【详解】根据已知图形可知：
第一个图形是“＋”形，中间有1个点；
第二个图形是“×”形，中间有1个点，同第一个图形的点数；
第三个图形是“＋”形，中间有5个点；；
第四个图形是“×”形，中间有5个点，同第三个图形的点数；
总结规律可知，图形方向的变化为“＋”、“×”、“＋”、“×”、“＋”、“×”……，中间的点数为1、1、5、5、9、9…
由以上可以推测，第五个图形是“＋”形，中间有个点；
第六个图形是“×”形，中间有9个点，同第五个图形的点数，所以推论正确；
故答案为：A
7．D
【分析】一个纸环链按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，即每5个不同颜色的纸环为一组循环，且右边剩下的4个纸环以“黄绿蓝紫”的顺序排列，正好是一组的结束，所以这个纸环链用到纸环的总个数是5的倍数；
截去其中的一部分，左边剩8个纸环，右边剩4个纸环，一共还剩下12个纸环；分别用四个选项的个数加上12，看得数是否是5的倍数，如果是5的倍数，就是被截去部分纸环可能的个数。
5的倍数特征：个位上是0或5的数。
【详解】A．2010＋12＝2022，2022不是5的倍数，所以2010不是被截去部分纸环的个数；
B．2011＋12＝2023，2023不是5的倍数，所以2011不是被截去部分纸环的个数；
C．2012＋12＝2024，2024不是5的倍数，所以2012不是被截去部分纸环的个数；
D．2013＋12＝2025，2025是5的倍数，所以2013可能是被截去部分纸环的个数。
故答案为：D
【点睛】本题考查图形的变化规律，发现纸环的总个数是5的倍数是解题的关键。
8．C
【分析】根据每个图形的图，算出每个图形的周长，再判断规律即可。
【详解】第1个图形的周长是6cm，6＝2×1＋4；
第2个图形的周长是8cm，8＝2×2＋4；
第3个图形的周长是10cm，10＝2×3＋4；
……
第n个图形的周长是：2n＋4。
故答案为：C
【点睛】解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律。
9． 17 26
【分析】由题可知，2－1＝1，5－2＝3，10－5＝5，所以两数之间相差依次为：1、3、5、7、9、11……，据此解答。
【详解】10＋7＝17
17＋9＝26
即1，2，5，10，17，26，37。
10． 黄 18
【分析】这串彩灯按照颜色特点排列的规律是：10盏灯一个循环周期，分别按照：2红、3绿、5黄的顺序依次循环排列；用27除以10所得商为循环了几个周期，余数则为这几盏灯；用60除以10所得商为循环了几个周期，每一个循环周期中有3盏绿灯，用3乘循环的周期，所得结果即为绿灯的数量。
【详解】2＋3＋5＝10（盏）
27÷10＝2（个）……7（盏）
第7盏灯是黄色。
60÷10×3
＝6×3
＝18（盏）
因此第27盏彩灯是黄色，前60盏中，有18盏绿灯。
11．
【分析】观察可知，前一个数×＝后一个数，据此确定后面的数。
【详解】×＝、×＝
，，1，，，。
12．9
【分析】根据每30人一个考场，即准考证号码按30为一个周期，已知东东的准考证号码是253，用号码除以30，若没有余数，得到的商就是第几考场。若有余数，用商加上1，就是第几考场。
【详解】253÷30＝8（考场）……13（人）
8＋1＝9（考场）
东东的准考证号码是253，则：253÷30＝8 13，即在第9考场。
13． 10个 31个
【分析】观察图形可知：分割1次，得到4个正方形，分割2次得到7个正方形，分割3次将得到10个正方形，由此可知道每分割增加1次，就增加3个正方形。那么1次分割，分成了4个正方形，就可以表示成（3＋1）个；那么2次分割，分成了7个正方形，就可以表示成（2×3＋1）个；分割n次，得到（3n＋1）个正方形，根据此规律，即可计算出分割10次，分成了多少个正方形。
【详解】分割1次，分成了4个正方形，4＝1×3＋1；
分割2次，分成了7个正方形，7＝2×3＋1；
分割3次，分成了3×3＋1＝9＋1＝10（个）正方形；
……
分割n次，分成了（3n＋1）个正方形。
分割10次，分成了3×10＋1＝30＋1＝31（个）正方形；
分割三次，分割成10个正方形。如果连续用“十字形”分割10次，分成了31个正方形。
14．
【分析】摆1个六边形需要6根小棒，可以写作：；摆2个需要11根小棒，可以写作：；摆3个需要16根小棒，可以写成：；由此可以推理得出一般规律：正六边形的个数小棒的根数，然后解答即可。
【详解】当时，需要小棒（根）
当时，需要小棒（根）
当时，需要小棒（根）
摆第组正六边形需要根小棒。
15．(1)3
(2)401
【分析】
（1）观察图形：摆1个三角形，需要3根小棒；
（2）观察图形：摆1个三角形，需要3根小棒；摆2个三角形，需要5根小棒，5＝2×2＋1；摆3个三角形，需要7根小棒，7＝2×3＋1；发现规律：多一个三角形，则多用2根小棒，摆n个三角形，需要2n＋1根小棒根据（1）发现的规律，当n＝200时，通过计算即可解答。
【详解】（1）
观察图形发现：第一个图形需要3根火柴。
（2）观察图形发现：第一个图形需要3根火柴，多一个三角形，多用2根火柴，
得到规律第n个图形中，需要火柴
3＋2（n－1）
＝3＋2n－2
＝2n＋1
摆n个三角形，需要2n＋1根小棒。
当n＝200时
2n＋1
＝2×200＋1
＝400＋1
＝401
摆200个三角形，需要401根小棒。
16．3025
【分析】根据已知算式可知，每个式子的结果应该为左边所有底数的和的平方，由此可知，第10个等式左边就是13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103的和，就是求出1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10的和的平方，由此求出a的值。
【详解】根据分析可知，第10个等式是：
13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103＝（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）2
＝（3＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）2
＝（6＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）2
＝（10＋5＋6＋7＋8＋9＋10）2
＝（15＋6＋7＋8＋9＋10）2
＝（21＋7＋8＋9＋10）2
＝（28＋8＋9＋10）2
＝（36＋9＋10）2
＝（45＋10）2
＝552
＝3025
a的值是3025。
17．√
【分析】观察数列可知，由、、、、，这几个数从第二个数起，每个分数的分子是前一个数的分母，而分母都比分子多1，那么数列整体呈现出分数单位越来越小，分子越来越大的规律，因此越来越接近1；据此解答。
【详解】根据分析，、、、、…，这列数越来越大，越来越接近1，说法正确；
故答案为：√
【点睛】此题考查了分数的数与形的运用，关键能够根据分子分母的变化找出规律再判断。
18．×
【分析】观察图形可知，这组图形的排列规律是：4个图形一个循环周期，分别按照○△□☆的顺序依次循环排列，据此求出第78个图形是第几个循环周期的第几个图形即可解答。
【详解】78÷4＝19 2
则第78个图形是△。原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】根据题干得出这组图形的排列规律是解决此类问题的关键。
19．×
【分析】每周有7天，即每7天是一个周期。根据2017年2月有28天，3月有31天，4月有30天，得到相隔的总天数，除以7，根据所得的商、余数得出答案。
【详解】2017年2月有28天，3月有31天，4月有30天，总天数为：（天）。，即4月30日是星期三后的第五天，为星期一；故5月1日是星期二。
故答案为：×
【点睛】本题主要考查的是有余数的除法及规律应用，解题的关键是找出一周的规律，进而得出答案。
20．√
【详解】略
21．√
【详解】【思路分析】根据题干，第一个点阵有1个点，第二个点阵上下左右各增加了一个点即有：1＋1×4个点，第三个点阵上下左右各增加了2个点即有：1＋2×2个点由此可得：第n点阵的点数＝1＋（n－1）×4，由此规律即可解决判断。
【规范解答】解：根据题干分析可得：第n点阵的点数＝1＋（n－1）×4，
n＝5时，点数个数为：1＋（5－1）×4＝1＋4×4＝17。
所以原题说法正确。
故答案为：√。
【名师点评】抓住题干，从特殊的例子推理得出一般的结论，由此即可解决此类问题。
22．6174
【分析】观察例子可知：任意一个四位数，把各个数位上的数按从大到小排列，组成一个新数，再按从小到大排列组成另一个新数，这两个数相减，得到的差再按上面的步骤做，若干次后，得到的差始终是某个数，那么这个数就是四位数的黑洞数。
【详解】1628重排，大数是8621，小数是1268，8621－1268＝7353；
7353重排，大数是7533，小数是3357，7533－3357＝4176；
4176重排，大数是7641，小数是1467，7641－1467＝6174；
6174重排，大数是7641，小数是1467，7641－1467＝6174；
重复上述步骤都得到6174，所以6174是四位数的黑洞数。
答：四位数的黑洞数应该是6174。
【点睛】读懂题意，按照例子给出的方法操作是解题的关键。
23．35.98厘米；42.98厘米；49.98厘米；绳子长度＝圆的周长＋瓶子数量×直径
【分析】如图，捆两个瓶子需要的绳子长度＝一个圆的周长＋直径×2，捆三个瓶子需要的绳子长度＝一个圆的周长＋直径×3，捆四个瓶子需要的绳子长度＝一个圆的周长＋直径×4，即绳子长度＝圆的周长＋瓶子数量×直径，据此分析。
【详解】3.14×7＋7×2
＝21.98＋14
＝35.98（厘米）
3.14×7＋7×3
＝21.98＋21
＝42.98（厘米）
3.14×7＋7×4
＝21.98＋28
＝49.98（厘米）
答：每组至少需要35.98厘米、42.98厘米、49.98厘米长的绳子，发现绳子长度＝圆的周长＋瓶子数量×直径。
【点睛】关键是看懂图示，掌握圆的周长公式，圆的周长＝πd。
24．（1）
（2）见详解
【分析】（1）观察发现，等号左边是两个数的平方之差，右边是这两个数的和与这两个数的差的乘积，所以也可以写成15与5的和乘15与5的差。
（2）大正方形的面积是，小正方形的面积是，表示阴影部分的面积，如图，将阴影部分进行分割，拼接成长是，宽是的长方形，由于面积不变，所以。
【详解】（1）
（2）如图所示：
所以
【点睛】本题考查的是平方差公式，数形结合的方法是证明平方差公式最常用的方法。
25．（1）见详解
（2）面积：2.5、3.75。
周长：8、10。
【分析】（1）观察图形可知，第一个图形有1列有1个正方形，第二个图形有2列，第2列有2个正方形，第三个图形有3列，第3列有3个正方形 所以第五个图形有5列，第5列有5个正方形；
（2）一个正方形的边长是0.5厘米，一个正方形的面积是0.5×0.5＝0.25平方厘米，然后用一个正方形的面积乘正方形的个数即可；通过平移可知求图形4和图形5的周长即求边长是0.5×4＝2厘米和0.5×5＝2.5厘米正方形的周长。
【详解】（1）图形⑤如图所示：
（2）第④图形的面积为：0.5×0.5×10＝2.5（平方厘米）
周长是：0.5×4×4＝8（厘米）
第⑤图形的面积为：
0.5×0.5×15
＝0.25×15
＝3.75（平方厘米）
0.5×5×4
＝2.5×4
＝10（厘米）
【点睛】本题考查图形的周长和面积，明确面积和周长的定义是解题的关键。
26．（1）50根；
（2）78根；
（3）45；171
【分析】（1）这堆钢管最上面一层8根，最下面一层12根，一共有5层，钢管的总数量＝（上层根数＋下层根数）×层数÷2；
（2）由题意可知，最上面一层1根，最下面一层12根，一共有12层，钢管的总数量＝（上层根数＋下层根数）×层数÷2；
（3）题中相邻数字的和＝（第一个数字＋最后一个数字）×数字的个数÷2；据此解答。
【详解】（1）（8＋12）×5÷2
＝20×5÷2
＝100÷2
＝50（根）
答：这堆钢管一共有50根。
（2）（1＋12）×12÷2
＝13×12÷2
＝156÷2
＝78（根）
答：使用前这堆钢管一共有78根。
（3）1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9
＝（1＋9）×9÷2
＝10×9÷2
＝90÷2
＝45
15＋16＋17＋18＋19＋20＋21＋22＋23
＝（15＋23）×9÷2
＝38×9÷2
＝342÷2
＝171
【点睛】掌握梯形的面积计算公式是解答题目的关键。
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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