第九章 一元一次不等式（组）的应用章末总复习八大题型（原卷+解析版）

第九章 一元一次不等式（组）的应用章末总复习八大题型
【人教版】
【题型一 列一元一次不等式组】 2
【题型二 一元一次不等式应用之分配问题】 5
【题型三 一元一次不等式应用之得分问题】 10
【题型四 一元一次不等式应用之行程问题】 13
【题型五 一元一次不等式应用之工程问题】 16
【题型六 一元一次不等式组应用之方案问题】 19
【题型七 一元一次不等式组应用之最大利润问题】 27
【题型八 一元一次不等式组应用之电费水费等问题】 36
题型一：列一元一次不等式组
【例题1】将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由“每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果，且小朋友的人数为”，可得出这箱苹果共个，结合“若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个”，即可列出关于的一元一次不等式组，此题得解．
【详解】解：每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果，且小朋友的人数为，
这箱苹果共个，
每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，
，
故选：C．
【变式训练1-1】一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由“张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完”可建立不等式组．
【详解】解：设张力平均每天读x页，则李永平均每天读页
由“张力读了一周（7天）还没读完”可得：
由“李永不到一周就已读完” 可得：
故：
故选：A．
【变式训练1-2】“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题目中的不等关系，列出不等式组．
设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组．
【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个，
由题意得．
故选：C．
【变式训练1-3】若一艘轮船沿江水顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时，设这艘轮船在静水中的航速为，江水的流速为，则根据题意可列不等式组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】船只顺流速度船静水中的速度水流流速，
船只逆流速度船静水中的速度水流流速，
根据“顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时”建立方程，即可得出答案．
【详解】根据题意，得，
故选：．
【变式训练1-4】一艘船从A地顺流而下到B地需要3小时，逆流而上返回A是需要不到5小时，已知水流速度是每小时2千米，船在静水中的速度是每小时x千米，则满足的不等关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意知顺水速度为每小时千米，逆水速度为每小时千米，间的距离为千米，根据“逆流而上返回A是需要不到5小时”，即可列出一元一次不等式．
【详解】水流速度是每小时千米，船在静水中的速度是每小时千米，
顺水速度为每小时千米，逆水速度为每小时千米，间的距离为千米，
，
即，
故选C．
【变式训练1-5】八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】若设同学人数为x人，则植树的棵数为棵，根据“每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵”列一元一次不等式组即可．
【详解】解：若每人平均植树 9 棵，则位同学植树棵数为，
∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为棵，
∴可列不等式组为：．
故选：C．
题型二：一元一次不等式应用之分配问题
【例题2】光明中学组织师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租一辆，且余30个空座位．
(1)求该校参加春游的人数；
(2)已知45座客车的租金是每辆250元，60座客车的租金是每辆300元，这次春游同时租用这两种客车，其中60座客车比45座客车多租1辆，所用的租金比单独租用一种客车要节省，按这种方案需要租金多少元？
【答案】(1)270人
(2)1400元
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设该校参加春游的有x人，根据题意列方程求解即可；
（2）设租用45座客车y辆，租用60座客车辆，根据题意列不等式求解即可．
【详解】（1）解∶设该校参加春游的有x人，
根据题意，得，
解得，
答：该校参加春游的有270人；
（2）解：独租用45座客车所用的租金为（元）．
单独租用60座客车所用的租金为（元）．
设租用45座客车y辆，租用60座客车辆，
则，
解得，
因为y取正整数，所以y可取1或2．
当时，，不合题意，舍去；
当时，．
这种方案的租金为（元）．
答：这种方案需要租金1 400元．
【变式训练2-1】南宁香蕉是全国农产品地理标志保护产品，2019年入选“中国农产品百强标志性品牌”，某香蕉基地计划将40吨香蕉运往东北销售，物流公司有大货车和小货车若干辆，如果用3辆大货车与4辆小货车，每辆车都满载时，一次正好运完．1辆大货车满载时比1辆小货车满载时多运送4吨香蕉．
(1)请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运送多少吨香蕉？
(2)另一香蕉基地计划将60吨香蕉运往西北销售，该公司拟安排大小货车共计9辆，将全部货物一次运完，请问货运公司至少要安排几辆大货车？
【答案】(1)1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运送吨和吨香蕉
(2)货运公司至少要安排6辆大货车．
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用．
（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运送吨，吨香蕉，根据题意，列出二元一次方程组进行求解即可；
（2）设安排辆大货车，根据题意，列出不等式进行求解即可．
读懂题意，找准等量关系，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键．
【详解】（1）解：设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运送吨，吨香蕉，由题意，得：
，解得：，
答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运送吨和吨香蕉；
（2）设安排辆大货车，则安排辆小货车，由题意，得：，
解得：；
答：货运公司至少要安排6辆大货车．
【变式训练2-2】为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，现有甲、乙两种客车，原计划租用甲种45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的乙种60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．
(1)求参加此次研学活动的师生共有多少人？
(2)若同时租用两种客车，要使每位师生都有座位，甲种客车数量比乙种客车的5倍多1辆，则至少租用多少台乙种客车？
【答案】(1)参加此次研学活动的师生共有600人
(2)至少租用2台乙种客车
【详解】（1）解：设参加此次研学活动的师生共有x人，
则：，
解得：，
答：加此次研学活动的师生共有600人．
（2）设租用m台乙种客车，
由题意得：，
解得：，∵m为整数，
∴m最小为2，∴至少租用2台乙种客车．
答：至少租用2台乙种客车．
【变式训练2-3】某中学组织学生前往瓷都景德镇研学．若只租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若只租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．
(1)这次研学一共有多少人？
(2)若该校计划租用A，B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
【答案】(1)这次研学一共有1200人
(2)方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车；方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车；方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车
【分析】本题考查了一元一次方程的应用及一元一次不等式的应用：
（1）设租用A种客车x辆，则这次研学一共有人，根据等量关系列出方程即可求解；
（2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车辆，根据不等关系列出不等式，进而可求解；
理清题意，根据等量关系列出方程及根据不等关系列出不等式是解题的关键．
【详解】（1）解：设租用A种客车x辆，则这次研学一共有人，
根据题意得，
解得：，
，
答：这次研学一共有1200人．
（2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车辆，
根据题意得，
解得：，
∵B种客车不超过7辆，∴，
又∵y为正整数，y可以为5，6，7，
∴该校共有 3 种租车方案：
方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车；
方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车；
方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车．
【变式训练2-4】为拓展学生视野，某校组织师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15 人没有座位； 若租用同样数量的60 座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满． 现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 45 60
租金（元/辆） 250 300
(1)参加此次研学活动的师生人数是多少？ 原计划租用多少辆45座客车？
(2)若该校计划租用甲、乙两种客车，共12辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？ 请你帮助计算本次研学应该怎样租车才最合算，最少租金是多少？
【答案】(1)参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆
(2)9种，方案见解析，租10辆60座客车较合算，最少租金是3000元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及有理数乘法的应用，理解题意是解题关键．
（1）设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设租用45座客车a辆，租用60座客车辆，先根据题意列不等式组求出a的取值范围，即可求出具体的方案，再分别求出每种方案的费用，然后比较大小即可．
【详解】（1）解：设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆，
依题意得
解得：，
答：参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆；
（2）解：设租用45座客车a辆，租用60座客车辆，
∵要使每位师生都有座位，
∴，
解得，
又a是整数，
∴a的值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，
∴一共有9种租车方案，分别为
①租45座客车0辆，租60座客车辆；
②租45座客车1辆，租60座客车，即租10辆；
③租45座客车2辆，租60座客车，即租9辆；
④租45座客车3辆，租60座客车，即租8辆；
⑤租45座客车4辆，租60座客车，即租7辆；
⑥租45座客车5辆，租60座客车，即租7辆；
⑦租45座客车6辆，租60座客车，即租6辆；
⑧租45座客车7辆，租60座客车，即租5辆；
⑨租45座客车8辆，租60座客车，即租8辆；
各方案的费用为：
①（元）；
②（元）；
③（元）；
④（元）；
⑤（元）；
⑥（元）；
⑦（元）；
⑧（元）；
⑨（元）；
∵，
∴租10辆60座客车较合算．
题型三：一元一次不等式应用之得分问题
【例题3】当地时间年月日，第届联合国大会协商一致通过决议，将春节（农历新年）确定为联合国假日．某校为庆祝举行了“春节习俗”知识竞赛，本次知识竞赛共题，答对一题得分，答错一题或不答题扣分，设小凌同学在这次竞赛中答对了道题．
(1)请根据上述条件，填写下表：
答题情况 题数 得分（分）
答对 __________
答错或不答 __________ __________
(2)若小凌同学的竞赛成绩不低于分，则小凌至少要答对几道题？
【答案】(1)填写表格见解析
(2)小凌至少要答对道题
【分析】
本题考查了一元一次不等式的应用以及列代数式，
（1）根据“答对题目数答错或不答题目数、答对题数答对题得分、答错或不答题数答错或不答题得分”及本次知识竞赛的题目总数及小凌同学答对题目数，即可得解；
（2）根据“小凌同学的竞赛成绩不低于分”可得出关于的一元一次不等式，解之即可求出的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论；
解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出各数量；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【详解】（1）
解：∵本次知识竞赛共题，且小凌同学在这次竞赛中答对了道题，
∴答错或不答道题，
又∵答对一题得分，答错一题或不答题扣分，
∴答对题目的得分为分，答错或不答题目的得分为分，
填写表格如下：
答题情况 题数 得分（分）
答对
答错或不答
（2）
根据题意得：，
解得：，
又∵为整数，
∴的最小值为，
答：小凌至少要答对道题．
【变式训练3-1】某中学举行知识竞赛，一共25道题，满分100分，答对一道得4分，答错一道扣1分，不答得0分．
(1)若某参赛同学有2道题没有作答，最后他的总得分为82分，则该同学一共答对了几道题？
(2)若规定参赛者每道题必须作答且总得分不低于92分才可被评为“知识小达人”，则该参赛者至少需答对几道题才能被评为“知识小达人”？
【答案】(1)该参赛同学一共答对了21道题；
(2)参赛者至少需答对24道题才能被评为“知识小达人”．
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键．
（1）设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了道题，根据题意可列出关于x的一元一次方程，解出x即可；
（2）设参赛者需答对y道题才能被评为“知识小达人”，则答错了道题，根据题意可列出关于y的一元一次不等式，解出y，再根据y的实际意义取值即可．
【详解】（1）解：设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了道题，
依题意得：，
解得：，
答：该参赛同学一共答对了21道题；
（2）解：设参赛者需答对y道题才能被评为“知识小达人”，则答错了道题，
依题意得：，
解得：．
∵y为正整数，
∴y最小取24．
答：参赛者至少需答对24道题才能被评为“知识小达人”．
【变式训练3-2】某次国学知识竞赛初赛共20道题（满分100分），评分办法是：答对1道题得5分，答错或不答倒扣2分，选手至少答对多少题才能得到70分以上（含70分）？
【答案】至少要答对16道题才能得到70分以上（含70分）
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出不等式即可求解．
设答对道，得到不等式，求解即可．
【详解】解：设答对道，
依题意有，
解得：．
故至少要答对16道题才能得到70分以上（含70分）．
【变式训练3-3】为庆祝毛泽东等老一辈革命家为雷锋同志题词周年，某中学举行了以“学习雷锋精神”为主题的知识竞赛，一共有道题，答对一题得分，不答得分，答错一题扣分，大赛组委会规定总得分不低于分获奖，小华有题没答，小华要想获奖，最多只能错多少道题？
【答案】道
【分析】设小华答错了道题，则答对了道题，利用总得分答对题目数答错题目数，结合总得分不低于分，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
【详解】解：设小华答错了道题，则答对了道题，
根据题意得：，
解得：，
又为非负整数，
的最大值为
答：小华要想获奖，最多只能错道题．
【变式训练3-4】为增强市民垃圾分类意识，某社区举行了垃圾分类知识竞赛，一共有道题，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
(1)若某参赛市民只有1道题没有作答，最后他的总得分为分，则该参赛市民一共答对了多少道题？
(2)若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于分才可以被评为“垃圾分类小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“垃圾分类小达人”？
【答案】(1)该参赛市民一共答对了道题；
(2)参赛者至少需答对道题才能被评为“垃圾分类小达人”；
【分析】（1）设答对x题根据题意中的分数列方程求解即可得到答案；
（2）设答对m题，根据分数要求列不等式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：设答对x题，则答错题，由题意可得，
，
解得：，
答：该参赛市民一共答对了道题；
（2）解：设答对m题，由题意可得，
，
解得：，
∴参赛者至少需答对道题才能被评为“垃圾分类小达人”；
【变式训练3-5】某次数学测验共16道选择题，评分办法是答对一题得6分，答错一题扣两分，不答则不扣分．某同学有一道题未答，如果他要想得到60分以上的成绩，则他至少需答对多少道题目？
【答案】12道
【分析】找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系，得到不等式，求解即可．
【详解】设这位同学需要答对道题，则答错道题，
根据题意得，，
解得
∴的最小整数解为12．
答：这位同学至少要答对12道题
题型四：一元一次不等式应用之行程问题
【例题4】甲、乙两车分别从相距210千米的A、B两地相向而行，甲、乙两车均保持匀速行驶．若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇；若乙车比甲车提前1小时出发，则乙车出发后3小时两车相遇．
(1)求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？
(2)若甲、乙两车同时出发，甲车行驶了1小时后发生故障，甲车原地检修用了30分钟后继续原速度行驶，此时，乙车提高速度，为了保证乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，那么乙车要比原来的行驶速度至少提高多少千米/小时？
【答案】(1)甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时
(2)乙车要比原来的行驶速度至少增加15千米/小时
【分析】（1）设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时，然后根据甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇；若乙车比甲车提前1小时出发，则乙车出发后3小时两车相遇列出方程组求解即可；
（2）设乙车要比原来的行驶速度增加千米/小时，然后根据乙车再经过不超过1小时与甲车相遇即乙车再经过1小时两车所走的所有路程之和要大于等于210千米列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时，
根据题意，得
解得．
答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时．
（2）解：设乙车要比原来的行驶速度增加千米/小时，
根据题意，得．
解得．
答：乙车要比原来的行驶速度至少增加15千米/小时．
【变式训练4-1】小明舅舅是某工地爆破员，他想考一下小明，他说：工地爆破时导火线的燃烧速度是，点燃导火线的人要在爆破时跑到200米以外的安全区域．如果引爆人跑的速度是5米/秒，那么导火线长度应大于多少cm？
【答案】32cm
【分析】首先设导火线的长度应为，由题意得不等关系：导火线的燃烧时间大于人跑到安全区的时间，根据不等关系，列出不等式，再解即可．
【详解】解：设导火线长度应为，
依题意，得：，
解得：，
答：导火线长度应大于32cm．
【变式训练4-2】甲、乙两地相距45，小李要从甲地到乙地办事，若他以7 的速度可按时到达，现在小李走了4h后因有事停留了0.5h，为了不迟到，小李后来的速度至少是多少？
【答案】km/h
【分析】设小李后来的速度为，根据规定时间内行驶路程不小于45 ，列出不等式即可求解．
【详解】解：设小李后来的速度为，
由题意得：，
解得：，
答：为了不迟到，小李后来的速度至少是．
【变式训练4-3】星期天，小明骑自行车去姥姥家，速度为每小时，出发1小时后，小明的爸爸发现小明忘记带家里的钥匙，立即骑摩托车去送，小明的爸爸至少以怎样的速度，才能在20分钟内追上小明？
【答案】小明的爸爸至少以的速度，才能在20分钟内追上小明．
【分析】先设小明爸爸的速度为，由题意知小明爸爸走的路程大于等于小明走的路程，由此不等关系列出不等式求解．
【详解】解：设小明爸爸的速度为，依题意有：
，
解得．
故小明的爸爸至少以的速度，才能在20分钟内追上小明．
【变式训练4-4】在爆破时，如果导火索燃烧的速度是，人跑开的速度是，那么要使点导火索的施工人员在点火后能够跑到以外（包括）的安全地区，这根导火索的长度至少应取多少米
【答案】
【分析】设导火索至少要长，为了安全，则人跑开的时间应该小于或等于导火索燃烧的时间，列不等式即可．
【详解】设导火索的长为，
由题意得：，
答：这根导火索的长度至少应取．
故答案为：．
题型五：一元一次不等式应用之工程问题
【例题5】“厦一高速”项目工程建设已近尾声，其中某施工路段总长公里，若由甲、乙两工程队合做6个月可以完成，若甲工程做4个月，乙工程队做9个月也可以完成．
(1)甲、乙两队每月的施工路段各是多少公里？
(2)已知甲队每月施工费用为万元，乙队每月施工费用为9万元，按要求该工程总费用不超过万元，现由甲队做个月，乙队做个月（、均为正整数）恰好完成施工，请你设计施工费用最低的施工方案．
【答案】(1)甲队每月施工9公里，设乙队每月施工6公里；
(2)甲队4个月，乙队9个月；
【分析】（1）设甲队每月施工x公里，设乙队每月施工y公里，根据题意列式求解即可得到答案；
（2）根据总费用不超过万元列式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：设甲队每月施工x公里，设乙队每月施工y公里，由题意可得，
，
解得：，
答：甲队每月施工9公里，设乙队每月施工6公里；
（2）解：由题意可得，
且、均为正整数，
解得，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴最低的施工方案是：甲队4个月，乙队9个月；
【变式训练5-1】武汉地铁四号线工程已正式启动，其中某施工路段总长 120 公里，由甲、乙两工程队合做6个月完成，已知甲做 2 个月的工作量等于乙做 3 个月的工作量．
（1）甲、乙两队每月的施工路段各是多少公里？
（2）已知甲队每月施工费用为 15 万元，比乙队多 6 万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括 12 个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做a个月，乙队做 b 个月（a、b 均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？
【答案】（1）甲队每月的施工路段是 18 公里，乙队每月的施工路段是 12 公里；（2）方案一：甲队作 4 个月，乙队作 9 个月；方案二：甲队作 2 个月，乙队作 12 个月．
【分析】（1）设甲队每月的施工路段是x公里，乙队每月的施工路段是x公里，依据“某施工路段总长120公里，由甲、乙两工程队合做6个月完成，已知甲做2个月的工作量等于乙做3个月的工作量”列出方程组并解答；
（2）根据费用不超过141万元列出一元一次不等式求解即可．
【详解】（1）设甲队每月的施工路段是 x 公里，乙队每月的施工路段是 y 公里，
依题意得，
解得 ．
答：甲队每月的施工路段是 18 公里，乙队每月的施工路段是 12 公里．
（2）根据题意得： ， 解得：a≤4 b≥9．
∵a≤12，b≤12 且 a，b 都为正整数，
∴9≤b≤12 又 a=10﹣b，
∴b 为 3 的倍数，
∴b=9 或 b=12． 当 b=9 时，a=4； 当 b=12 时，a=2
∴a=4，b=9 或 a=2，b=12．
方案一：甲队作 4 个月，乙队作 9 个月；
方案二：甲队作 2 个月，乙队作 12 个月．
【变式训练5-2】为顺利通过“文明城市”验收，盐城市政府拟对部分地区进行改造，根据市政建设需要，须在16天之内完成工程．现有甲、乙两个工程队，经调查知道：乙队单独完成此工程的时间是甲队单独完成此工程时间的2倍，若甲、乙两队合作只需12天完成．
（1）求甲、乙工程队单独完成这项工程各需要多少天
（2）两队合作完成此项工程，若甲队参与施工a天，乙队参与施工b天，试用含a的代数式表示b；
（3）若甲队每天的工程费用是0.6万元， 乙队每天的工程费用是0.25万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费最少
【答案】（1）甲单独完成需18天，则乙单独完成需36天；（2）；（3）甲队施工10天，乙队施工16天，能按时完工，同时工程费用最少.
【详解】（1）设甲单独完成这项工程需要x天，则乙单独完成需要2x天，根据两队合作12天完成，可得出方程，解出即可．
（2）列出关于a、b的方程即可解决问题．
（3）根据题中的不等关系建立不等式组，解之即可解决问题．
解：（1）设甲单独完成需x天，则乙单独完成需2x天，由题意得：
解之得：
经检验：是原方程的解
∴甲单独完成需18天，则乙单独完成需36天
（2）由题意知：
（3）∵需要在16天内完成
∴ 解之得：
设施工所需的总费用为w万元，则
∴
∵，∴w随着a的增大而增大
∴当时，施工总费用最低
即甲队施工10天，乙队施工16天，能按时完工，同时工程费用最少
【变式训练5-3】为全力助推句容建设，大力发展句容旅游，某公司拟派A、B两个工程队共同建设某区域的绿化带．已知A工程队2人与B工程队3人每天共完成310米绿化带，A工程队的5人与B工程队的6人每天共完成700米绿化带．
(1)求A队每人每天和B队每人每天各完成多少米绿化带；
(2)该公司决定派A、B工程队共20人参与建设绿化带，若每天完成绿化带总量不少于1480米，且B工程至少派出2人，则有哪几种人事安排方案？
【答案】(1)A队每人每天完成80米，B队每人每天各完成50米绿化带．
(2)方案如下： ①A：16，B：4；②A：17，B：3；③ A：18，B：2．
【分析】（1）设A队每人每天完成x米，和B队每人每天各完成y米绿化带，根据题意列方程组，解方程组即可．
（2）设A工程队安排a人，则B工程队安排人，根据题意可列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】（1）解：设A队每人每天完成x米，和B队每人每天各完成y米绿化带，根据题意可得：
，解得，
∴A队每人每天完成80米，B队每人每天各完成50米绿化带．
（2）设A工程队安排a人，则B工程队安排人，根据题意可得：
，
解得不等式组的解集是，
∴方案如下：
①A：16，B：4；②A：17，B：3；③ A：18，B：2．
题型六：一元一次不等式组应用之方案问题
【例题6】为响应习456 “扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，攀枝花市教体局向木里县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套
(1)求书籍和实验器材各有多少套？
(2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县，已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套，运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来
【答案】(1)书籍和实验器材各有240套，120套；
(2)有5种方案：①运输部门安排甲种型号的货车0辆，乙种型号的货车8辆；②运输部门安排甲种型号的货车1辆，乙种型号的货车7辆；③运输部门安排甲种型号的货车2辆，乙种型号的货车6辆；③运输部门安排甲种型号的货车3辆，乙种型号的货车5辆；③运输部门安排甲种型号的货车4辆，乙种型号的货车4辆．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和不等式组是解题关键．
（1）设书籍有x套，实验器材有y套，根据书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套建立方程组，解方程组即可得；
（2）设运输部门安排甲种型号的货车m辆，乙种型号的货车辆，根据两种型号的货车运输量建立不等式组，解不等式组即可得．
【详解】（1）解：设书籍和实验器材各有x套，y套，
由题意得，，
解得，
答：书籍和实验器材各有240套，120套；
（2）解：设运输部门安排甲种型号货车m辆，则运输部门安排乙种型号货车辆，
由题意得，，
解得，
∴有5种方案：①运输部门安排甲种型号的货车0辆，乙种型号的货车8辆；②运输部门安排甲种型号的货车1辆，乙种型号的货车7辆；③运输部门安排甲种型号的货车2辆，乙种型号的货车6辆；③运输部门安排甲种型号的货车3辆，乙种型号的货车5辆；③运输部门安排甲种型号的货车4辆，乙种型号的货车4辆．
【变式训练6-1】汝阳县某单位在创建“百里画廊”项目过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造．已知购买A种树苗70棵，B种树苗30棵，需要8500元；购买A种树苗50棵，B种树苗60棵，则需要8000元．
(1)求购买A，B两种树苗每棵各需要多少元？
(2)考虑到绿化效果和资金周转，购买A种树苗不能少于500棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过76000元．若购进这两种树苗共1000棵（每种树苗数量均为10的整数后八位为单位），则有哪几种购买方案，请分别写出来．
【答案】(1)A种树苗每棵100元，B种树苗每棵50元
(2)有三种方案：方案1：购买A种树苗500棵，B种树苗500棵；方案2：购买A种树苗510棵，B种树苗490棵；方案3：购买A种树苗520棵，B种树苗480棵
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程组或不等式组．
（1）设A种树苗每棵为x元，B种树苗每棵为y元，根据购买A种树苗70棵，B种树苗30棵，需要8500元；购买A种树苗50棵，B种树苗60棵，则需要8000元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买A种树苗a棵，则购买B种树苗棵，根据购买A种树苗不能少于500棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过76000元，列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】（1）解：设A种树苗每棵为x元，B种树苗每棵为y元，
由题意，得，
解得，
答：A种树苗每棵100元，B种树苗每棵50元．
（2）解：设购买A种树苗a棵，则购买B种树苗棵，由题意得：
，
解得，
∵a以“十”为单位，
∴a可取500，510，520，
∴共有三种方案
方案1：购买A种树苗500棵，B种树苗500棵；
方案2：购买A种树苗510棵，B种树苗490棵；
方案3：购买A种树苗520棵，B种树苗480棵．
【变式训练6-2】【综合与实践】根据以下信息，探索完成设计购买方案的任务．
信息1：某校初一举办了科技比赛，学校为获奖的40名同学每人购买一份奖品，奖品分为，，三类．
信息2：若购买2份A奖品和3份B奖品共需220元；购买3份A奖品和2份B奖品共需230元．单独购买一份C奖品需要15元．
信息3：计划获A奖品的人数要少于获B奖品的人数．购买时有优惠活动：每购买1份A奖品就赠送一份C奖品．
任务1：求A奖品和B奖品的单价；
任务2：若获A奖品的人数等于获C奖品的人数，且获得A奖品的人数超过10人，求此次购买A奖品有几种方案；
任务3：若购买奖品的总预算不超过1150元，要让获A奖品的人数尽量多，请你直接写出符合条件的购买方案．
【答案】任务1：A奖品单价50元，B奖品单价为40元；
任务2：此次购买A奖品共有3种购买方案；
任务3：购买11份A奖品，12份B奖品，6份C奖品．
【分析】本题考查了二元一次方程组和不等式的实际应用，解答本题的关键是读懂题意，列出方程组或不等式．
任务1：设A奖品单价x元，B奖品单价y元．根据题意列方程组解答即可；
任务2：设获A奖品的人数为a人，则获B奖品的人数为人，根据题意列不等式组解答即可；
任务2：设购买A奖品m份，C奖品n份，则B奖品份，根据题意列出不等式组，解得关于m、n的不等式，由m、n都是正整数，即可得到答案．
【详解】任务1：设A奖品单价为x元，B奖品单价为y元，得：
解得：
答：A奖品单价为50元，B奖品单价为40元．
任务2：设购买A奖品a份，则购买B奖品份，得
解得：，
a为正整数，
a可取的值有11，12，13．
答：此次购买A奖品共有3种购买方案．
任务3： 设购买A奖品m份，C奖品n份，
则B奖品份数为：，依题意得：
，
解得：，即，
m、n均为正整数，
可以取的值有：，，，，，，，，，，，
当时，，即，无解
当时，，即，所以
，，此时奖品人数最多
方案为：购买A奖品11份，C奖品6份，B奖品12份，此时预算为（元），符合题意．
故答案为：购买11份A奖品，12份B奖品，6份C奖品．
【变式训练6-3】近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元．
(1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？
(2)若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？并列出所有方案；
(3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有两种方案可供选择，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要0.2万元和0.3万元；
(2)有4种方案，分别为：方案①新建个地上充电桩，43个地下充电桩；方案②新建个地上充电桩，42个地下充电桩；方案③新建个地上充电桩，41个地下充电桩；方案④新建个地上充电桩，40个地下充电桩；
(3)．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需要y万元，根据“1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元”列方程组求解即可；
（2）设新建m个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个，根据“不超过16.3万元的资金，地下充电桩的数量不少于40个”列不等式组求解即可；
（3）由总占地面积不得超过，得，解得，结合知，再依据“仅有两种方案可供选择”，得，解之即可．
【详解】（1）解：设新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需要y万元，
依题意得，，
解得，
答：该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要0.2万元和0.3万元．
（2）解：设新建个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个，
由题意得，
解得，
∴整数m的值为17，18，19，20．
一共有4种方案，分别为：
方案①新建个地上充电桩，43个地下充电桩；
方案②新建个地上充电桩，42个地下充电桩；
方案③新建个地上充电桩，41个地下充电桩；
方案④新建个地上充电桩，40个地下充电桩.
（3）解：由题意可得，解得，
∵仅有两种方案可供选择，
∴ ，
解得：
因此，a 的取值范围为：．
【变式训练6-4】某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜个，乙种书柜个，共需资金元；若购买甲种书柜个，乙种书柜个，共需资金元．
(1)求甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元；
(2)若该校计划购进这两种规格的书柜共个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金元，请问有几种购买方案供这个学校选择，哪种方案花费最少
【答案】(1)甲种书柜单价为元，乙种书柜的单价为元
(2)学校的购买方案有三种；甲种书柜个，乙种书柜个花费最少，理由见解析
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用；
（1）设甲种书柜单价为元，乙种书柜的单价为元，根据“购买甲种书柜个、乙种书柜个，共需资金元；若购买甲种书柜个，乙种书柜个，其需资金元”列出方程组，即可求解；
（2）设甲种书柜购买个，则乙种书柜购买个，根据“乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金元”列出不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：设甲种书柜单价为元，乙种书柜的单价为元，
由题意得：，解得：，
答：甲种书柜单价为元，乙种书柜的单价为元．
（2）解：设甲种书柜购买个，则乙种书柜购买个，
由题意得：，
解得：，
因为取整数，所以可以取的值为：，，，
即：学校的购买方案有以下三种：
方案一：甲种书柜个，乙种书柜个，花费元．
方案二：甲种书柜个，乙种书柜个，花费元．
方案三：甲种书柜个，乙种书柜个，花费元．．
∴方案三花费最少．
【变式训练6-5】学校为开展课外活动，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元．
(1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价；
(2)学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且乒乓球拍的数量不少于羽毛球数量的，购买费用不超过2535，有几种购买方案？
【答案】(1)乒乓球拍的单价是60元，羽毛球拍的单价是45元
(2)3种
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设乒乓球拍的单价是元，羽毛球拍的单价是元，根据“购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买副乒乓球拍，则购买副羽毛球拍，根据“购买乒乓球拍的数量不少于羽毛球数量的，且购买费用不超过2535”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出学校共有3种购买方案．
【详解】（1）解：设乒乓球拍的单价是元，羽毛球拍的单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：乒乓球拍的单价是60元，羽毛球拍的单价是45元；
（2）解：设购买副乒乓球拍，则购买副羽毛球拍，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为17，18，19，
学校共有3种购买方案．
题型七：一元一次不等式应用之最大利润问题
【例题7】为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售成人、儿童两种头盔，该商店第一季度的销售记录(有部分缺损)如表所示．
请解答下列问题：
日期 产品类别 销售量（单位：个） 销售额（单位：元）
1月 成人头盔 60 7400
儿童头盔 55
2月 成人头盔 48 7520
儿童头盔 64
3月 成人头盔 7200
儿童头盔
(1)该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为多少元？
(2)已知成人头盔的利润是10元/个，儿童头盔的利润是20元/个；并且该商店3月份儿童头盔的销售量不高于60个，第一季度所获利润不低于5000元，则该商店3月份有多少种销售方案？
(3)在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种销售方案会使商店3月份利润最大，并求出最大利润．
【答案】(1)该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为50元，80元，
(2)8种
(3)该商店3月份销售儿童头盔60个，成人头盔48个时，利润最大，最大利润为元．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用：
（1）设该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为x元，y元，根据前两个月的销售数据列出方程组求解即可；
（2）设该商店3月份销售儿童头盔m个，则销售成人头盔个，根据该商店3月份儿童头盔的销售量不高于60个，第一季度所获利润不低于5000元，列出不等式组求解即可；
（3）由（2）可知，8种方案中，儿童头盔每增加5个，成人头盔就减小8个，则利润增加元，儿童头盔最多时，利润最多，据此列式计算即可．
【详解】（1）解：设该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为x元，y元，
由题意得，，
解得，
答：该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为50元，80元；
（2）解；设该商店3月份销售儿童头盔m个，则销售成人头盔个，
∵该商店3月份儿童头盔的销售量不高于60个，第一季度所获利润不低于5000元，
∴
解得，
∵是非负整数，
∴m必须是5的倍数，
∴当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
答：该商店3月份有8种销售方案；
（3）解：由（2）可知，8种方案中，儿童头盔每增加5个，成人头盔就减小8个，则利润增加元，
∴儿童头盔最多时，利润最多，
∴该商店3月份销售儿童头盔60个，成人头盔48个时，利润最大，最大利润为元．
【变式训练7-1】某社区超市销售每套进价分别为200元和170元的，两种型号的餐具．近两周的销售情况如下表：
销售时段 销售数量（套） 销售收入（元）
型 型
第一周 3 5 1800
第二周 4 10 3100
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本）
(1)求，两种型号餐具的销售单价；
(2)若超市准备用不多于5400元，不少于5340元的资金再次采购这两种型号的餐具共30套，求共有几种采购方案；
(3)在（2）的条件下，求超市全部售出这30套餐具后所获得的最大利润．
【答案】(1)型餐具的销售单价为250元，型餐具的销售单价为210元
(2)该超市共有3种采购方案，详见解析
(3)超市全部售出这30套餐具后所获得的最大利润为1300元
【分析】（1）设型餐具的销售单价为元，型餐具的销售单价为元，根据3台型号5台型号的电扇收入1800元，4台型号10台型号的电扇收入3100元，列方程组求解；
（2）设购进型餐具台，则采购种型餐具台，根据超市准备用不多于5400元，不少于5340元的资金，列不等式求解；
（3）根据型餐具与型餐具的价格,即可得到答案．
【详解】（1）解：设型餐具的销售单价为元，型餐具的销售单价为元.
根据题意，得解得
答：型餐具的销售单价为250元，型餐具的销售单价为210元.
（2）解：设采购型餐具套，则采购型餐具套.
根据题意，得解得.
因为是正整数，所以或9或10，
所以该超市共有3种采购方案，
方案1：采购型餐具8套，B型餐具22套；
方案2：采购型餐具9套，B型餐具21套；
方案3：采购型餐具10套，B型餐具20套.
（3）解：由题意，得每套型餐具的销售利润为（元），
每套型餐具的销售利润为（元）.
因为，所以型餐具销售越多，所获得的利润越大，
所以超市应选用采购型餐具10套，型餐具20套的采购方案，则全部售出后获得的利润最大，最大利润为（元）.
答：超市全部售出这30套餐具后所获得的最大利润为1300元.
【变式训练7-2】某运输公司有10名驾驶员和18名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和6辆载重量为6吨的乙型卡车．某天，该公司需运往A地至少80吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．
(1)若该公司派用10辆卡车，共有几种运输方案？
(2)哪种方案获得的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)4种
(2)派用甲型卡车8辆，乙型卡车2辆，利润最大，最大利润为4300元
【分析】（1）设派用甲型卡车辆，根据题意列出不等式组，解不等式组即可得到答案；
（2）根据（1）中求出的x的范围，确定方案，即可得到答案；
此题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题意，正确列出不等式组是解题的关键．
【详解】（1）解：设派用甲型卡车辆，
则
解得，
所以共有4种运输方案．
（2），
当，即派用甲型卡车8辆时，利润最大，
最大利润为（元）．
答：派用甲型卡车8辆，乙型卡车2辆，利润最大，最大利润为元．
【变式训练7-3】某体育用品店准备购进甲、乙两种品牌跳绳，若购买甲种跳绳根，乙种跳绳5根，需要元，若购买甲种跳绳5根，乙种跳绳3根，需要元．
(1)求购进甲，乙两种跳绳每根各需多少元？
(2)若该体育用品店刚好用了元购进这两种跳绳，考虑顾客需求，要求购进甲种跳绳的数量不少于乙种跳绳数量的3倍，且乙种跳绳数量不少于根，那么该文具店共有哪几种购买方案？
(3)若该体育用品店销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)购进甲种跳绳每根需要元，购进乙种跳绳每根需要元
(2)有3种进货方案：方案①购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案②购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案③购进甲种跳绳根，乙种跳绳根
(3)购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，获利最大，最大利润是元
【分析】（1）设购进甲种跳绳每根需要a元，购进乙种跳绳每根需要b元，然后根据题意建立二元一次方程组求出其解即可；
（2）设购进甲种跳绳x个，则购进乙种跳绳个，然后根据题意建立不等式组求出其解即可；
（3）根据（2）的结论，结合题意，分别求得利润，比较即可求解．
【详解】（1）解：设购进甲种跳绳每根需要a元，购进乙种跳绳每根需要b元，由题意得：
，解得：，
答：购进甲种跳绳每根需要元，购进乙种跳绳每根需要元．
（2）解：设购进甲种跳绳x个，则购进乙种跳绳个，根据题意得，
解得：，
∵为正整数，
∴，
当时，，
当时，，不是整数，不符合题意，舍去，
当时，，
当时，，不是整数，不符合题意，舍去，
当时，，
答：该商店有3种进货方案：方案①购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案②购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案③购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；
（3）解：∵销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，
由（2）可知，方案①：购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，则利润为；
方案②：购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，则利润为；
方案③：购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，则利润为；
∵，
∴方案③：购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，获利最大，最大利润是元．
【变式训练7-4】随着直播营销在八闽大地的兴起，乡村直播带货已经在推动福建农村产业发展释放消费潜力等方面发挥着重要作用，近年来福建实施了“数商兴农”和“互联网+”农产品出村进城工程．某农民准备生产枇杷膏和枇杷蜜两种产品共500瓶，且每瓶枇杷膏成本比枇杷蜜高5元．
(1)求生产每瓶枇杷膏、枇杷蜜的成本分别是多少元；
(2)根据直播销售情况，计划生产枇杷膏至少150瓶，枇杷蜜至少200瓶．已知枇杷膏、枇杷蜜每瓶售价分别为60元和40元，该农民将每瓶枇杷膏降价8元进行促销，则该农民应如何安排生产才能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)生产每瓶枇杷膏、枇杷蜜的成本分别是40元和35元
(2)生产枇杷膏300瓶，生产枇杷蜜200瓶，4600（元）
【分析】（1）设生产每瓶枇杷膏、枇杷蜜的成本分别是x、y元，列出关于x、y的方程组并求解即可；
（2）设计划生产枇杷膏t瓶，则生产枇杷蜜瓶，则可以用t表示出所得利润，再由题意可得关于t的不等式组，解不等式组即可得到问题解答．
【详解】（1）设生产每瓶枇杷膏、枇杷蜜的成本分别是x，由题意可得：
，
解之可得：，
∴生产每瓶枇杷膏、枇杷蜜的成本分别是40元和35元；
（2）设计划生产枇杷膏t瓶，则生产枇杷蜜瓶
，
由题意可得：
，
解之可得：，
∴当时，该农民获得最大利润：（元），
即若该农民生产枇杷膏300瓶，生产枇杷蜜200瓶可以获得最大利润．
【变式训练7-5】某厨具店购入10台A型电饭煲和20台B型电饭煲进行销售，共花费5600元．已知每台B型电饭煲的进价比A型电饭煲少20元．
(1)A，B两种型号的电饭煲每台进价分别为多少元？
(2)为了满足市场需求，厨具店决定用不超过9560元的资金再次购入这两种型号的电饭锅共50台，且A型电饭煲的数量不少于B型电饭煲的数量，问厨具店有哪几种进货方案？
(3)在（2）的条件下，若50台电饭煲全部售完，已知A型电饭煲售价为每台300元，B型电饭煲售价为每台260元．则用哪种进货方案厨具店获利最大？并请求出最大利润．
【答案】(1)每台A型电饭煲进价为200元，每台B型电饭煲进价为180元．
(2)见解析
(3)购入A型号28台，B型号22台时获利最大，利润为4560元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，
（1）设每台A型电饭煲进价为x元，则求得每台B型电饭煲进价，根据题意列等式求解即可；
（2）设购买A型电饭煲a台，则购买B型电饭煲台，根据列出出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，由a为整数即可得出各进货方案；
（3）根据总利润等于单个利润乘以购进数量分别求出各进货方案的利润，比较后即可得出结论．或比较两者之间的利润大小，竟可能选择利润大的型号即可获取更多的利润．
【详解】（1）解：（1）设每台A型电饭煲进价为x元，则每台B型电饭煲进价为元，
根据题意，得，
解得，
∴，
答：每台A型电饭煲进价为200元，每台B型电饭煲进价为180元．
（2）设再次购入A型电饭煲a台，B型电饭煲台，
，
解得，
∵a为整数，
∴a＝25、26、27、28，共4种方案，
方案1：A型号25台，B型号25台，
方案2：A型号26台，B型号24台，
方案3：A型号27台，B型号23台，
方案4：A型号28台，B型号22台；
（3）方法一：每台A型电饭煲利润：（元），
每台B型电饭煲利润：（元），
方案1利润：（元），
方案2利润：（元），
方案3利润：（元），
方案4利润：（元），
∴方案4：购入A型号28台，B型号22台时获利最大，利润为4560元，
方法二：每台A型电饭煲利润：（元），
每台B型电饭煲利润：（元），
∵每台A型电饭煲利润大于每台B型电饭煲利润，
∴A型电饭煲的数量越多，获利越多，
则方案4：购入A型号28台，B型号22台时获利最大，利润为4560元．
【变式训练7-6】为迎接暑假旅游高峰的到来，某旅游纪念品商店决定购进A、B两种纪念品，若购进A种纪念品7件，B种纪念品4件，需要760元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品8件，需要800元．
(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，这100件纪念品的资金不少于7100元，但不超过7200元，那么该商店共有几种进货方案？
(3)若销售A种纪念品每件可获利润30元，B种纪念品每件可获利润20元，用（2）中的进货方案，哪一种方案可获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)购进A、B两种纪念品每件各需80元、50元
(2)故该商店共有四种进货方案：方案一：购进A种纪念品70件， B种纪念品30件；方案二：购进A种纪念品71件， B种纪念品29件；方案三：购进A种纪念品72件， B种纪念品28件；方案四：购进A种纪念品73件， B种纪念品27件；
(3)方案四可获利最大，最大利润是2730元
【分析】（1）设购进A种纪念品每件x元，B种纪念品每件y元，根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品件，根据题意列一元一次不等式组求解即可；
（3）分别求出每个方案的利润，然后比较即可得出结论．
【详解】（1）解：设购进A种纪念品每件x元，B种纪念品每件y元，
根据题意，得，
解得：，
答：购进A、B两种纪念品每件各需80元、50元；
（2）解：设购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品件，
根据题意，得，
解得，
∵a为正整数，
∴a的值为70或71或72或73，
故该商店共有四种进货方案：
方案一：购进A种纪念品70件， B种纪念品30件；
方案二：购进A种纪念品71件， B种纪念品29件；
方案三：购进A种纪念品72件， B种纪念品28件；
方案四：购进A种纪念品73件， B种纪念品27件；
（3）解：方案一的利润为（元），
方案二的利润为（元），
方案三的利润为（元），
方案四的利润为（元），
故方案四可获利最大，最大利润是2730元．
题型八：一元一次不等式应用之电费水费问题
【例题8】为实现自然资源的可持续利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计费方案，具体实施方案如下：
档次 月用电量x（度） 电价（元/度）
1档
2档
… … …
(1)小李家2024年3月份共缴电费元，求该月小李家的用电量；
(2)小李家计划6月份用电量不超过度，且使平均费用不超过元/度．设小李家月份的用电量为度，求的最大值．
【答案】(1)
(2)a的最大值为300．
【分析】本题考查了一元一次方程，一元一次不等式的应用；
（1）先得出，进而根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解；
（2）当时，，符合题意．当时，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：当时，（元），
∵，
∴．
∵，
∴．
答：该月小李家的用电量为120度．
（2）当时，，符合题意．
当时，
∴，
∴
∴，
∴a的最大值为300．
【变式训练8-1】某市居民用电电费目前实行梯度价格表：
用电量（单位：千瓦·时，统计为整数） 单价（单位：元）
180及以内
181~400（含181、400）
401及以上
(1)张大爷10月份用电150千瓦·时，需交电费________元，张大爷11月份交了162元电费，那么他用了________千瓦·时的电．
(2)若张大爷家10月，11月共用电480千瓦·时，设10月份用电量为x千瓦时，10月份用电量少于11月，张大爷两个月共需交电费y元，求出y与x的函数关系式．
(3)张大爷家10月，11月共用电480千瓦·时，两个月共交电费元，10月份用电量少于11月，求10月份用电量．
【答案】(1)，
(2)
(3)10月份用电量为千瓦·时．
【分析】此题主要考查一元一次方程的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列函数关系式求解．
（1）根据表格中电费收取方法计算即可得到结果；
（2）根据题意确定，再分情况列函数关系式即可；
（3）结合（2）中的函数关系式，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：张大爷10月份用电150千瓦·时，需交电费元；
∵，
设张大爷11月份用了千瓦·时，则，
∴，
解得：，
∴他用了千瓦·时的电；
（2）∵张大爷家10月，11月共用电480千瓦·时，设10月份用电量为x千瓦时，10月份用电量少于11月，
∴11月用电千瓦·时，
∴，
解得：，
当时，则，
∴；
当时，则，
∴，
当时，则，
∴；
∴；
（3）结合（2）当时，
∴，
解得：；
∴，
当时，
∴，
解得：（不符合题意舍去）；
当时，不符合题意；
∴10月份用电量为千瓦·时．
【变式训练8-2】为了鼓励市民节约用水，盐城市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是盐城市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：
用户每月用水量 自来水单价（元/吨） 污水处理费用（元/吨）
17吨及以下 a
超过17吨不超过30吨的部分 b
超过30吨的部分
（说明：①每户产生的污水量等于该户的用水量，②水费自来水费污水处理费）
已知小明家2015年2月份用水20吨，交水费66元；3月份用水35吨，交水费150元．
(1)求a、b的值．
(2)实行“阶梯水价”收费之后，该市一户居民用水多少吨时，其当月的平均水费为每吨元？
【答案】(1)
(2)该市一户居民用水20吨时，其当月的平均水费为每吨元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用：
（1）根据所给的收费标准结合用水20吨，交水费66元；用水35吨，交水费150元，列出方程组求解即可；
（2）设居民用水位x吨，根据（1）所求，分三种情况列出对应的方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得；
（2）解：设居民用水位x吨，
当时，由题意得，，解得，不符合题意；
当时，由题意得， ，解得；
当时，由题意得，，解得，不符合题意；
综上所述，该市一户居民用水20吨时，其当月的平均水费为每吨元．
【变式训练8-3】为实现可持续发展，资源循环利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计算方案，具体如下表所示：
档次 月用电量（千瓦时） 电价（元/千瓦时）
1档 0.49
2档 0.54
3档 0.79
例：若某住户8月的用电量为300千瓦时，则需缴电费（元）．
(1)若圆圆家某月用电量为千瓦时，请用含的代数式表示，当时，应缴电费为__________元，当时，应缴电费为__________元；
(2)若圆圆家9月共缴电费元，求该月圆圆家的用电量．
(3)圆圆家10月用电的平均费用最高为0.50元/千瓦时，请根据题意列方程并求10月最大用电量．
【答案】(1)，
(2)该月圆圆家的用电量为千瓦时
(3)10月最大用电量为250千瓦
【分析】（1）本题考查了代数式的列法，解题的关键是当时，应缴电费的计算；
（2）本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确列出方程式；
（3）本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是正确列出不等式并求解．
【详解】（1）根据题意，当时，应缴电费（元）；
当时，应缴电费（元），
故答案为：，；
（2）根据（1）的结论，当时，应缴电费（元），
当时，应缴电费（元），
∵，
∴圆圆家9月用电量的范围为，
∴，
∴，
∴该月圆圆家的用电量为千瓦时；
（3）根据（2）的结论，当时，平均电价（元/千瓦时），
∵，
∴圆圆家10月用电量的范围为，
∴，即，
∴，
∴10月最大用电量为250千瓦．
【变式训练8-4】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源某市采用阶梯价格调控手段达到节水目的，价目表如图．
价目表
每月用水量 价格
不超出6的部分 2元/
超过6，不超过10的部分 4元/
超出10的部分 8元/
(1)某户居民1月份用水，试求1月份的水费为多少元？
(2)若某户居民某月用水，则用含x的代数式表示该月所用的水费；
(3)若某户居民5月份共交水费22元，则该户居民5月份实际用水多少立方米？
【答案】(1)1月份的水费为11元
(2)当时，该月所用的水费为元；当时，该月所用的水费为元；当时，该月所用的水费为元；
(3)该户居民5月份实际用水立方米
【分析】本题考查了有理数的乘法，列代数式，一元一次方程的实际应用．
（1）根据题目所给收费标准进行计算即可；
（2）根据题目所给收费标准，进行分类讨论：当时，当时，当时；
（3）根据（2）中得出的结论，分别进行计算即可．
【详解】（1）解：（元），
答：1月份的水费为11元．
（2）解：当时，该月所用的水费为元；
当时，该月所用的水费为元；
当时，该月所用的水费为元；
（3）解：当时，，
解得：，不符合题意，舍去；
当时， ，
解得：；
当时，该月所用的水费为
解得：，不符合题意，舍去；
答：该户居民5月份实际用水立方米．
【变式训练8-5】目前，某市市区居民用管道天然气继续执行阶梯价格制度．各阶梯价格水平如下：
一户居民一年用气量（单位：立方米） 电价（单位：元/立方米）
第档 不超过立方米的部分
第档 立方米以上至立方米（含）部分
第档 立方米以上的部分
(1)小明家年用气立方米，小明家年应缴费___________元．
(2)若某户年用气量为立方米，当时，则应缴费___________元（用含的代数式表示）．
(3)按照此方案结算，某户年实际缴纳燃气费元，求该户年实际用气量为多少立方米？
【答案】(1)
(2)
(3)立方米
【分析】本题考查一元一次方程的应用，列代数式，有理数乘法的应用，
（1）根据第档的价格列式计算即可；
（2）根据，结合各阶梯价格列式计算即可；
（3）设该户年用气量为立方米，根据“实际缴纳天然气费元”确定的范围，然后列方程求解即可；
正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．
【详解】（1）解：∵小明家年用气立方米，且，
∴小明家年应缴费：（元），
故答案为：；
（2）∵某户年用气量为立方米，且，
∴应缴费：（元），
故答案为：；
（3）解：当用天然气立方米时，费用为：（元），
当用天然气立方米时，费用为：（元），
∵，
∴缴纳天然气费元，使用量大于且小于立方米，
设该户年用气量为立方米，
依题意，得：，
解得：，
∴该户年实际用气量为立方米．
【变式训练8-6】一家电信公司推出手机话费套餐活动，具体资费标准见下表：
套餐月租费（元/月） 套餐内容 套餐外资费
主叫限定时间（分钟） 被叫 主叫超时费（元/分钟）
免费
说明：①主叫：主动打电话给别人；被叫：接听别人打进来的电话．②若办理的是月租费为元的套餐，主叫时间不超过分钟时，当月话费即为58元；若主叫时间为分钟，则当月话费为元．③其它套餐计费方法类似．
(1)已知圆圆办理的是月租费为58元的套餐．
①若圆圆某月的主叫时间是分钟，则该月圆圆应缴纳话费为______元．
②若圆圆某月缴纳话费为元，则该月圆圆的主叫时间是______分钟．
(2)已知方方办理的是月租费为元的套餐，设一个月的主叫时间为x分钟（），求方方应缴纳的话费．（用含x的代数式表示）
(3)已知圆圆的母亲、父亲分别办理了元、元套餐．若该月圆圆母亲和父亲的主叫时间共为分钟，总话费为元，求圆圆母亲和父亲的主叫时间分别是多少分钟．
【答案】(1)①；②
(2)元
(3)圆圆母亲和父亲的主叫时间分别是分钟和分钟或分钟和分钟
【分析】本题考查了列代数式和一元一次方程，理解题意找出正确的等量关系是解题的关键.
（1）①根据时间计算话费；
②根据话费列方程求解；
（2）根据 ，结合（1）列式求解.
（3）可设办理了套餐的主叫时间为y分钟，分类进行讨论求解即可.
【详解】（1）解：①根据题意得，圆圆该月应缴纳的话费为元，
故答案为: ；
②，
∴圆圆主叫时间大于分钟，
设圆圆主叫时间为x分钟，
则 ，
解得，
故答案为: ；
（2）解：∵，
∴前分钟的话费为元，超过分钟的部分的话费为，
∴方方该缴纳的总话费为(元），
答：方方应缴纳的话费为元；
（3）解：设圆圆的母亲的主叫时间为分钟，则圆圆的父亲的主叫时间为分钟，
若, 则，
总话费为:，
解得，；
若时，，则
总话费为: ，解得(舍去)；
当，， 则，
总话费为:，
解得: ，，
答：圆圆母亲和父亲的主叫时间分别是分钟和分钟或分钟和分钟．
题型梳理
典例分析
列一元一次不等式解应用题的一般步骤。这些步骤包括：
1.审题：认真阅读题目，理解题意，找出题目中的关键词和条件。
2.找不等关系：根据题目中的关键词和条件，找出变量之间的不等关系。
3.设未知数：根据题意设出未知数。
4.列不等式：根据找好的不等关系，列出一元一次不等式。
5.解不等式：按照—元一次不等式的解法，解出不等式的解集。
6.结合实际确定答案：根据题目的具体情境，结合不等式的解集，确定符合题意的答案。
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第九章 一元一次不等式（组）的应用章末总复习八大题型
【人教版】
【题型一 列一元一次不等式组】 2
【题型二 一元一次不等式应用之分配问题】 3
【题型三 一元一次不等式应用之得分问题】 4
【题型四 一元一次不等式应用之行程问题】 6
【题型五 一元一次不等式应用之工程问题】 7
【题型六 一元一次不等式组应用之方案问题】 8
【题型七 一元一次不等式组应用之最大利润问题】 10
【题型八 一元一次不等式组应用之电费水费等问题】 13
题型一：列一元一次不等式组
【例题1】将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（　　）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-3】若一艘轮船沿江水顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时，设这艘轮船在静水中的航速为，江水的流速为，则根据题意可列不等式组为（　　）
A． B．
C． D．
【变式训练1-4】一艘船从A地顺流而下到B地需要3小时，逆流而上返回A是需要不到5小时，已知水流速度是每小时2千米，船在静水中的速度是每小时x千米，则满足的不等关系为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-5】八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是( )
A． B．
C． D．
题型二：一元一次不等式应用之分配问题
【例题2】光明中学组织师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租一辆，且余30个空座位．
(1)求该校参加春游的人数；
(2)已知45座客车的租金是每辆250元，60座客车的租金是每辆300元，这次春游同时租用这两种客车，其中60座客车比45座客车多租1辆，所用的租金比单独租用一种客车要节省，按这种方案需要租金多少元？
【变式训练2-1】南宁香蕉是全国农产品地理标志保护产品，2019年入选“中国农产品百强标志性品牌”，某香蕉基地计划将40吨香蕉运往东北销售，物流公司有大货车和小货车若干辆，如果用3辆大货车与4辆小货车，每辆车都满载时，一次正好运完．1辆大货车满载时比1辆小货车满载时多运送4吨香蕉．
(1)请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运送多少吨香蕉？
(2)另一香蕉基地计划将60吨香蕉运往西北销售，该公司拟安排大小货车共计9辆，将全部货物一次运完，请问货运公司至少要安排几辆大货车？
【变式训练2-2】为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，现有甲、乙两种客车，原计划租用甲种45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的乙种60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．
(1)求参加此次研学活动的师生共有多少人？
(2)若同时租用两种客车，要使每位师生都有座位，甲种客车数量比乙种客车的5倍多1辆，则至少租用多少台乙种客车？
【变式训练2-3】某中学组织学生前往瓷都景德镇研学．若只租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若只租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．
(1)这次研学一共有多少人？
(2)若该校计划租用A，B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
【变式训练2-4】为拓展学生视野，某校组织师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15 人没有座位； 若租用同样数量的60 座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满． 现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 45 60
租金（元/辆） 250 300
(1)参加此次研学活动的师生人数是多少？ 原计划租用多少辆45座客车？
(2)若该校计划租用甲、乙两种客车，共12辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？ 请你帮助计算本次研学应该怎样租车才最合算，最少租金是多少？
题型三：一元一次不等式应用之得分问题
【例题3】当地时间年月日，第届联合国大会协商一致通过决议，将春节（农历新年）确定为联合国假日．某校为庆祝举行了“春节习俗”知识竞赛，本次知识竞赛共题，答对一题得分，答错一题或不答题扣分，设小凌同学在这次竞赛中答对了道题．
(1)请根据上述条件，填写下表：
答题情况 题数 得分（分）
答对 __________
答错或不答 __________ __________
(2)若小凌同学的竞赛成绩不低于分，则小凌至少要答对几道题？
【变式训练3-1】某中学举行知识竞赛，一共25道题，满分100分，答对一道得4分，答错一道扣1分，不答得0分．
(1)若某参赛同学有2道题没有作答，最后他的总得分为82分，则该同学一共答对了几道题？
(2)若规定参赛者每道题必须作答且总得分不低于92分才可被评为“知识小达人”，则该参赛者至少需答对几道题才能被评为“知识小达人”？
【变式训练3-2】某次国学知识竞赛初赛共20道题（满分100分），评分办法是：答对1道题得5分，答错或不答倒扣2分，选手至少答对多少题才能得到70分以上（含70分）？
【变式训练3-3】为庆祝毛泽东等老一辈革命家为雷锋同志题词周年，某中学举行了以“学习雷锋精神”为主题的知识竞赛，一共有道题，答对一题得分，不答得分，答错一题扣分，大赛组委会规定总得分不低于分获奖，小华有题没答，小华要想获奖，最多只能错多少道题？
【变式训练3-4】为增强市民垃圾分类意识，某社区举行了垃圾分类知识竞赛，一共有道题，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
(1)若某参赛市民只有1道题没有作答，最后他的总得分为分，则该参赛市民一共答对了多少道题？
(2)若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于分才可以被评为“垃圾分类小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“垃圾分类小达人”？
【变式训练3-5】某次数学测验共16道选择题，评分办法是答对一题得6分，答错一题扣两分，不答则不扣分．某同学有一道题未答，如果他要想得到60分以上的成绩，则他至少需答对多少道题目？
题型四：一元一次不等式应用之行程问题
【例题4】甲、乙两车分别从相距210千米的A、B两地相向而行，甲、乙两车均保持匀速行驶．若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇；若乙车比甲车提前1小时出发，则乙车出发后3小时两车相遇．
(1)求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？
(2)若甲、乙两车同时出发，甲车行驶了1小时后发生故障，甲车原地检修用了30分钟后继续原速度行驶，此时，乙车提高速度，为了保证乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，那么乙车要比原来的行驶速度至少提高多少千米/小时？
【变式训练4-1】小明舅舅是某工地爆破员，他想考一下小明，他说：工地爆破时导火线的燃烧速度是，点燃导火线的人要在爆破时跑到200米以外的安全区域．如果引爆人跑的速度是5米/秒，那么导火线长度应大于多少cm？
【变式训练4-2】甲、乙两地相距45，小李要从甲地到乙地办事，若他以7 的速度可按时到达，现在小李走了4h后因有事停留了0.5h，为了不迟到，小李后来的速度至少是多少？
【变式训练4-3】星期天，小明骑自行车去姥姥家，速度为每小时，出发1小时后，小明的爸爸发现小明忘记带家里的钥匙，立即骑摩托车去送，小明的爸爸至少以怎样的速度，才能在20分钟内追上小明？
【变式训练4-4】在爆破时，如果导火索燃烧的速度是，人跑开的速度是，那么要使点导火索的施工人员在点火后能够跑到以外（包括）的安全地区，这根导火索的长度至少应取多少米
题型五：一元一次不等式应用之工程问题
【例题5】“厦一高速”项目工程建设已近尾声，其中某施工路段总长公里，若由甲、乙两工程队合做6个月可以完成，若甲工程做4个月，乙工程队做9个月也可以完成．
(1)甲、乙两队每月的施工路段各是多少公里？
(2)已知甲队每月施工费用为万元，乙队每月施工费用为9万元，按要求该工程总费用不超过万元，现由甲队做个月，乙队做个月（、均为正整数）恰好完成施工，请你设计施工费用最低的施工方案．
【变式训练5-1】武汉地铁四号线工程已正式启动，其中某施工路段总长 120 公里，由甲、乙两工程队合做6个月完成，已知甲做 2 个月的工作量等于乙做 3 个月的工作量．
（1）甲、乙两队每月的施工路段各是多少公里？
（2）已知甲队每月施工费用为 15 万元，比乙队多 6 万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括 12 个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做a个月，乙队做 b 个月（a、b 均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？
【变式训练5-2】为顺利通过“文明城市”验收，盐城市政府拟对部分地区进行改造，根据市政建设需要，须在16天之内完成工程．现有甲、乙两个工程队，经调查知道：乙队单独完成此工程的时间是甲队单独完成此工程时间的2倍，若甲、乙两队合作只需12天完成．
（1）求甲、乙工程队单独完成这项工程各需要多少天
（2）两队合作完成此项工程，若甲队参与施工a天，乙队参与施工b天，试用含a的代数式表示b；
（3）若甲队每天的工程费用是0.6万元， 乙队每天的工程费用是0.25万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费最少
【变式训练5-3】为全力助推句容建设，大力发展句容旅游，某公司拟派A、B两个工程队共同建设某区域的绿化带．已知A工程队2人与B工程队3人每天共完成310米绿化带，A工程队的5人与B工程队的6人每天共完成700米绿化带．
(1)求A队每人每天和B队每人每天各完成多少米绿化带；
(2)该公司决定派A、B工程队共20人参与建设绿化带，若每天完成绿化带总量不少于1480米，且B工程至少派出2人，则有哪几种人事安排方案？
题型六：一元一次不等式组应用之方案问题
【例题6】为响应习456 “扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，攀枝花市教体局向木里县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套
(1)求书籍和实验器材各有多少套？
(2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县，已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套，运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来
【变式训练6-1】汝阳县某单位在创建“百里画廊”项目过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造．已知购买A种树苗70棵，B种树苗30棵，需要8500元；购买A种树苗50棵，B种树苗60棵，则需要8000元．
(1)求购买A，B两种树苗每棵各需要多少元？
(2)考虑到绿化效果和资金周转，购买A种树苗不能少于500棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过76000元．若购进这两种树苗共1000棵（每种树苗数量均为10的整数后八位为单位），则有哪几种购买方案，请分别写出来．
【变式训练6-2】【综合与实践】根据以下信息，探索完成设计购买方案的任务．
信息1：某校初一举办了科技比赛，学校为获奖的40名同学每人购买一份奖品，奖品分为，，三类．
信息2：若购买2份A奖品和3份B奖品共需220元；购买3份A奖品和2份B奖品共需230元．单独购买一份C奖品需要15元．
信息3：计划获A奖品的人数要少于获B奖品的人数．购买时有优惠活动：每购买1份A奖品就赠送一份C奖品．
任务1：求A奖品和B奖品的单价；
任务2：若获A奖品的人数等于获C奖品的人数，且获得A奖品的人数超过10人，求此次购买A奖品有几种方案；
任务3：若购买奖品的总预算不超过1150元，要让获A奖品的人数尽量多，请你直接写出符合条件的购买方案．
【变式训练6-3】近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元．
(1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？
(2)若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？并列出所有方案；
(3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有两种方案可供选择，直接写出a的取值范围．
【变式训练6-4】某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜个，乙种书柜个，共需资金元；若购买甲种书柜个，乙种书柜个，共需资金元．
(1)求甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元；
(2)若该校计划购进这两种规格的书柜共个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金元，请问有几种购买方案供这个学校选择，哪种方案花费最少
【变式训练6-5】学校为开展课外活动，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元．
(1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价；
(2)学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且乒乓球拍的数量不少于羽毛球数量的，购买费用不超过2535，有几种购买方案？
题型七：一元一次不等式应用之最大利润问题
【例题7】为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售成人、儿童两种头盔，该商店第一季度的销售记录(有部分缺损)如表所示．
请解答下列问题：
日期 产品类别 销售量（单位：个） 销售额（单位：元）
1月 成人头盔 60 7400
儿童头盔 55
2月 成人头盔 48 7520
儿童头盔 64
3月 成人头盔 7200
儿童头盔
(1)该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为多少元？
(2)已知成人头盔的利润是10元/个，儿童头盔的利润是20元/个；并且该商店3月份儿童头盔的销售量不高于60个，第一季度所获利润不低于5000元，则该商店3月份有多少种销售方案？
(3)在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种销售方案会使商店3月份利润最大，并求出最大利润．
【变式训练7-1】某社区超市销售每套进价分别为200元和170元的，两种型号的餐具．近两周的销售情况如下表：
销售时段 销售数量（套） 销售收入（元）
型 型
第一周 3 5 1800
第二周 4 10 3100
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本）
(1)求，两种型号餐具的销售单价；
(2)若超市准备用不多于5400元，不少于5340元的资金再次采购这两种型号的餐具共30套，求共有几种采购方案；
(3)在（2）的条件下，求超市全部售出这30套餐具后所获得的最大利润．
【变式训练7-2】某运输公司有10名驾驶员和18名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和6辆载重量为6吨的乙型卡车．某天，该公司需运往A地至少80吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．
(1)若该公司派用10辆卡车，共有几种运输方案？
(2)哪种方案获得的利润最大，最大利润是多少元？
【变式训练7-3】某体育用品店准备购进甲、乙两种品牌跳绳，若购买甲种跳绳根，乙种跳绳5根，需要元，若购买甲种跳绳5根，乙种跳绳3根，需要元．
(1)求购进甲，乙两种跳绳每根各需多少元？
(2)若该体育用品店刚好用了元购进这两种跳绳，考虑顾客需求，要求购进甲种跳绳的数量不少于乙种跳绳数量的3倍，且乙种跳绳数量不少于根，那么该文具店共有哪几种购买方案？
(3)若该体育用品店销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【变式训练7-4】随着直播营销在八闽大地的兴起，乡村直播带货已经在推动福建农村产业发展释放消费潜力等方面发挥着重要作用，近年来福建实施了“数商兴农”和“互联网+”农产品出村进城工程．某农民准备生产枇杷膏和枇杷蜜两种产品共500瓶，且每瓶枇杷膏成本比枇杷蜜高5元．
(1)求生产每瓶枇杷膏、枇杷蜜的成本分别是多少元；
(2)根据直播销售情况，计划生产枇杷膏至少150瓶，枇杷蜜至少200瓶．已知枇杷膏、枇杷蜜每瓶售价分别为60元和40元，该农民将每瓶枇杷膏降价8元进行促销，则该农民应如何安排生产才能获得最大利润？最大利润是多少？
【变式训练7-5】某厨具店购入10台A型电饭煲和20台B型电饭煲进行销售，共花费5600元．已知每台B型电饭煲的进价比A型电饭煲少20元．
(1)A，B两种型号的电饭煲每台进价分别为多少元？
(2)为了满足市场需求，厨具店决定用不超过9560元的资金再次购入这两种型号的电饭锅共50台，且A型电饭煲的数量不少于B型电饭煲的数量，问厨具店有哪几种进货方案？
(3)在（2）的条件下，若50台电饭煲全部售完，已知A型电饭煲售价为每台300元，B型电饭煲售价为每台260元．则用哪种进货方案厨具店获利最大？并请求出最大利润．
【变式训练7-6】为迎接暑假旅游高峰的到来，某旅游纪念品商店决定购进A、B两种纪念品，若购进A种纪念品7件，B种纪念品4件，需要760元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品8件，需要800元．
(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，这100件纪念品的资金不少于7100元，但不超过7200元，那么该商店共有几种进货方案？
(3)若销售A种纪念品每件可获利润30元，B种纪念品每件可获利润20元，用（2）中的进货方案，哪一种方案可获利最大？最大利润是多少元？
题型八：一元一次不等式应用之电费水费问题
【例题8】为实现自然资源的可持续利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计费方案，具体实施方案如下：
档次 月用电量x（度） 电价（元/度）
1档
2档
… … …
(1)小李家2024年3月份共缴电费元，求该月小李家的用电量；
(2)小李家计划6月份用电量不超过度，且使平均费用不超过元/度．设小李家月份的用电量为度，求的最大值．
【变式训练8-1】某市居民用电电费目前实行梯度价格表：
用电量（单位：千瓦·时，统计为整数） 单价（单位：元）
180及以内
181~400（含181、400）
401及以上
(1)张大爷10月份用电150千瓦·时，需交电费________元，张大爷11月份交了162元电费，那么他用了________千瓦·时的电．
(2)若张大爷家10月，11月共用电480千瓦·时，设10月份用电量为x千瓦时，10月份用电量少于11月，张大爷两个月共需交电费y元，求出y与x的函数关系式．
(3)张大爷家10月，11月共用电480千瓦·时，两个月共交电费元，10月份用电量少于11月，求10月份用电量．
【变式训练8-2】为了鼓励市民节约用水，盐城市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是盐城市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：
用户每月用水量 自来水单价（元/吨） 污水处理费用（元/吨）
17吨及以下 a
超过17吨不超过30吨的部分 b
超过30吨的部分
（说明：①每户产生的污水量等于该户的用水量，②水费自来水费污水处理费）
已知小明家2015年2月份用水20吨，交水费66元；3月份用水35吨，交水费150元．
(1)求a、b的值．
(2)实行“阶梯水价”收费之后，该市一户居民用水多少吨时，其当月的平均水费为每吨元？
【变式训练8-3】为实现可持续发展，资源循环利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计算方案，具体如下表所示：
档次 月用电量（千瓦时） 电价（元/千瓦时）
1档 0.49
2档 0.54
3档 0.79
例：若某住户8月的用电量为300千瓦时，则需缴电费（元）．
(1)若圆圆家某月用电量为千瓦时，请用含的代数式表示，当时，应缴电费为__________元，当时，应缴电费为__________元；
(2)若圆圆家9月共缴电费元，求该月圆圆家的用电量．
(3)圆圆家10月用电的平均费用最高为0.50元/千瓦时，请根据题意列方程并求10月最大用电量．
【变式训练8-4】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源某市采用阶梯价格调控手段达到节水目的，价目表如图．
价目表
每月用水量 价格
不超出6的部分 2元/
超过6，不超过10的部分 4元/
超出10的部分 8元/
(1)某户居民1月份用水，试求1月份的水费为多少元？
(2)若某户居民某月用水，则用含x的代数式表示该月所用的水费；
(3)若某户居民5月份共交水费22元，则该户居民5月份实际用水多少立方米？
【变式训练8-5】目前，某市市区居民用管道天然气继续执行阶梯价格制度．各阶梯价格水平如下：
一户居民一年用气量（单位：立方米） 电价（单位：元/立方米）
第档 不超过立方米的部分
第档 立方米以上至立方米（含）部分
第档 立方米以上的部分
(1)小明家年用气立方米，小明家年应缴费___________元．
(2)若某户年用气量为立方米，当时，则应缴费___________元（用含的代数式表示）．
(3)按照此方案结算，某户年实际缴纳燃气费元，求该户年实际用气量为多少立方米？
【变式训练8-6】一家电信公司推出手机话费套餐活动，具体资费标准见下表：
套餐月租费（元/月） 套餐内容 套餐外资费
主叫限定时间（分钟） 被叫 主叫超时费（元/分钟）
免费
说明：①主叫：主动打电话给别人；被叫：接听别人打进来的电话．②若办理的是月租费为元的套餐，主叫时间不超过分钟时，当月话费即为58元；若主叫时间为分钟，则当月话费为元．③其它套餐计费方法类似．
(1)已知圆圆办理的是月租费为58元的套餐．
①若圆圆某月的主叫时间是分钟，则该月圆圆应缴纳话费为______元．
②若圆圆某月缴纳话费为元，则该月圆圆的主叫时间是______分钟．
(2)已知方方办理的是月租费为元的套餐，设一个月的主叫时间为x分钟（），求方方应缴纳的话费．（用含x的代数式表示）
(3)已知圆圆的母亲、父亲分别办理了元、元套餐．若该月圆圆母亲和父亲的主叫时间共为分钟，总话费为元，求圆圆母亲和父亲的主叫时间分别是多少分钟．
题型梳理
典例分析
列一元一次不等式解应用题的一般步骤。这些步骤包括：
1.审题：认真阅读题目，理解题意，找出题目中的关键词和条件。
2.找不等关系：根据题目中的关键词和条件，找出变量之间的不等关系。
3.设未知数：根据题意设出未知数。
4.列不等式：根据找好的不等关系，列出一元一次不等式。
5.解不等式：按照—元一次不等式的解法，解出不等式的解集。
6.结合实际确定答案：根据题目的具体情境，结合不等式的解集，确定符合题意的答案。
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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