2024年湖北中考最后一卷
数学参考答案
一、单选题
1．B
【分析】本题考查了相反数，“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据相反数的定义即可求解．
【详解】解：2024的相反数是,
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了科学记数法的运用，根据科学记数法的形式，确定的方法是看小数点移动的位数，把原式变为时，小数向右移动几位，的值为移动位数的相反数；小数点向左移动几位，的值为几，由此即可求解，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
【详解】解：十亿四千万，
故选：D ．
3．A
【分析】本题考查几何体的三视图，从不同的方向抽象出几何体的形状是解决问题的关键．俯视图是指从上往下看得到的图形．注意：看的见的线画实线，看不见的线画虚线．
【详解】解：从俯视角度观察该空心圆柱体，内圈和外圈都可以看见，所以画两个实线的同心圆，故俯视图是：
故选：A．
4．C
【分析】此题考查了求不等式组的解集，求出每个不等式的解集，取公共部分即可．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式组的解集是
故选：C
5．B
【分析】本题考查众数，中位数的计算．众数指出现次数最多的数，中位数指有顺序的一组数中处于中间位置的数，根据题意，将原数据从小到大排列即可求出众数和中位数．
【详解】解：将数据从小到大排列如下：
，，，，，，
故众数是，中位数是．
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键．
当时，反比例函数图像经过第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；
当时，反比例函数图像经过第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
本题中，图象分布在第二、四象限，可知，解不等式即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积和扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．根据图形得出、、都是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，再分别求出扇形，扇形，扇形和的面积即可．
【详解】解：，，
，
同理，，
由勾股定理得：，
阴影部分的面积
，
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，互余两角三角函数的关系等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键；根据锐角三角函数的定义得出，设，，根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．
【详解】解：，
设，，
由勾股定理得：，
．
故选：B．
9．D
【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数图象的性质，根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，得到，再由对称轴计算公式得到，据此可判断①②；根据函数图象可得抛物线与直线有两个不相同的交点，据此可判断③；点关于抛物线对称轴对称，据此可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，即，
∴，故①②正确；
∵抛物线的顶点的纵坐标大于3，
∴抛物线与直线有两个不相同的交点，
∴方程有两个不相等的实数根，故③正确；
∵点在抛物线上，对称轴是直线
∴关于抛物线对称轴对称，
∴，故④正确；
故选：D．
10．A
【分析】此题考查了用图象描述实际问题中变化情况的能力， 根据三个阶段甲容器的水面高度随时间的增长速度确定出此题正确的结果．
【详解】解：∵刚开始时注水都在甲容器，水面高度h增长速度不变；
当甲容器中水位到达连通部分后注水开始流向乙容器，此时甲容器的水面高度不变；
当乙容器水位也到达连通部分后，甲、乙两容器中水位同时上升，此时水面高度上升但速度比开始时慢，
∴选项A中图象符合该变化过程，
故选：A．
二、填空题
11．
【分析】本题主要考查了提公因法分解因式，提公因式法分解因式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，即可得到结果．
【详解】解：如图，连接，
轴，
轴，
．
故答案为：．
13．/110度
【分析】连接，根据圆周角定理，直角三角形的特征量，圆的内接四边形性质计算即可．
本题考查了圆周角定理，直角三角形的特征量，圆的内接四边形性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键．
【详解】连接，
∵是的直径，
∴；
∵，
∴；
∵四边形是的内接四边形，
∴；
∴．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
龙 行 龘 龘
龙 （龙，行） （龙，龘） （龙，龘）
行 （行，龙） （行，龘） （行，龘）
龘 （龘，龙） （龘，行） （龘，龘）
龘 （龘，龙） （龘，行） （龘，龘）
共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的结果有2种，
抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的概率为．
故答案为：．
15．①②③⑤
【分析】①根据等边三角形的性质得CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，则∠ACE＝60°，利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE，则AD＝BE；
②过E作,根据等边三角形求出ED、CN的长，即可求出BE的长；
③由等边三角形的判定得出△CMN是等边三角形；
④证明△DMC∽△DBA，求出CM长；
⑤证明M、F、C、G四点共圆，由圆周角定理得出∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°，得出∠BMC＝∠DMC，所以CM平分∠BMD.
【详解】解：连接MC，FG，过点E作EN⊥BD，垂足为N，
①∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，
∴∠ACE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE＝120°，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；①正确；
②∵△CDE都是等边三角形，且边长为3cm.
∴CN=cm，EN=cm.
∵BC=5cm.
∴，②正确；
③∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
在△ACG和△BCF中，
∴△ACG≌△BCF（ASA），
∴CG＝CF
而∠GCF＝60°，
∴△CFG是等边三角形，③正确；
⑤∵∠EMD＝∠MBD＋∠MDB＝∠MAC＋∠MDB＝60°＝∠FCG，
∴M、F、C、G四点共圆，
∴∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°，
∴∠BMC＝∠DMC，
∴CM平分∠BMD，⑤正确；
④∵∠DMC=∠ABD，∠MDC=∠BDA
∴△DMC∽△DBA
∴
∴
∴CM=.④错误.
故答案为：①②③⑤.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
三、解答题
16．（1）；（2）
【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算；
（1）根据有理数的乘方，三角函数，化简绝对值，二次根式的性质，负整数指数幂进行计算即可求解；
（2）根据分式的混合运算进行计算即可求解．
【详解】（1）
；
（2）
17．(1)，
(2)七年级的学生党史知识掌握得较好，理由见详解
(3)人
【分析】本题主要考查调查与统计的相关知识，掌握众数，中位数的计算方法，根据数据作决策，运用样本百分比估算总体数量的方法是解题的关键．
（1）根据众数，中位数的计算方法即可求解；
（2）根据统计数据作决策即可；
（3）根据样本百分比估算总体数据即可求解．
【详解】（1）解：根据七年级的成绩，出现的次数最多，
∴众数是，
∴；
八年级的中位数是第名同学的成绩，即，
∴；
故答案为：，；
（2）解：七年级的众数是，八年级的众数是，
∴七年级的学生党史知识掌握得较好；
七年级的优秀率为，八年级的优秀率为，
∴七年级的学生党史知识掌握得较好；
（3）解：七年级学生对党史知识的掌握能够达到优秀的人数是（人），
八年级学生对党史知识的掌握能够达到优秀的人数是（人），
∴（人）
∴七、八年级学生对党史知识的掌握能够达到优秀的总人数为人．
18．
米
【分析】在中，根据，求得，进而根据，即可求解．
【详解】解：∵在中，，，
∴（米），
∴（米），
答：斜坡改进后的起点与原起点距离约为米．
【点睛】本题考查了直角三角形的应用，掌握三角函数的定义是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求；
（2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求．
【详解】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求；
（2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求．
【点睛】本题考查了无刻度直尺作图的问题，掌握正六边形的性质、中线的性质、菱形的性质是解题的关键．
20．(1)证明方法见详解
(2)或
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，韦达定理，因式分解解一元二次方程，掌握一元二次方程中根的判别方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）根据多项式乘以多项式展开，再根据一元二次方程的根的判别式“，方程有实数根；，方程无实数根”即可求解；
（2）根据韦达定理分别表示出，，再根据，代入计算，几何因式分解法求一元二次方程的方法即可求解．
【详解】（1）证明：已知，
展开得，，
∴，
∵，
∴，
∴方程总有实数根；
（2）解：已知有两个根，
∴，，
∵，
∴，
整理得，，
∴，
∴或，
∴或．
21．(1)
(2)菱形，理由见解析
【分析】（1）由矩形，折叠的性质可知，，则，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可；
（2）如图，连接交于，连接并延长，交于，点即为所作；证明，则，由，，可得四边形是菱形．
【详解】（1）解：∵矩形，
∴，，，
∴，
由折叠的性质可知，，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴的长为；
（2）解：四边形是菱形，理由如下；
如图，连接交于，
∴为的中点，
连接并延长，交于，
∵，，
∴，即点即为所作；
∵，，，
∴，
∴，
又∵，，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，菱形的判定等知识．熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，菱形的判定是解题的关键．
22．(1)
(2)单价为18元时，每天获取的利润最大，最大利润是1200元
【分析】本题考查的是一次函数与二次函数的实际应用，确定正确的函数关系式是解本题的关键；
（1）设y与x之间的函数关系式，再利用待定系数法求解函数解析式，并确定自变量的取值范围即可；
（2）由总利润等于每千克的利润乘以销售数量建立二次函数关系式，再进一步解答即可。
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式，把，代入，
得
解得
∴y与x之间的函数关系式为：，
由，可得，
解得：，
∴．
（2）由题意，得
，解得，
∴，
设利润为，
，
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
∴时，
答：当销售单价为18元时，每天获取的利润最大，最大利润是1 200元．
23．(1)证明见解析
(2)的长为
【分析】本题考查了切线的判定，垂径定理，解直角三角形，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）根据已知条件得到，推出，根据平行线的性质得到，于是得到是⊙O的切线；
（2）连接交于E，根据圆周角定理得到，推出四边形是矩形，得到，，解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
∵P是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为圆O的半径，
∴是⊙O的切线；
（2）如图，连接交于E，
∵为⊙O的直径，
∴，
∵P是的中点，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴的长为．
24．(1)
(2)
(3)点Q的横坐标为定值，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数综合问题，全等三角形性质，待定系数法求解析式，一次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）通过等腰三角形先求得T点坐标，然后解出直线的解析式，联立二次函数，求出P点坐标即可；
（3）设点的坐标为，点的坐标为．由点，点，可得到直线的解析式．得出点的坐标可以表示为．由点，点，得直线的解析式为：．同理可得可得到直线的解析式为：．联立可得，则点的横坐标为定值．
【详解】（1）解：将和代入解析式
∴解析式为
（2）解：
∴点B坐标为．
如图，作，过点B作交与T，作，
则三角形为等腰直角三角形，
∴，，
∴①，
又∵②，
③，
由①②③得，
∴，，
∴
∴
设解析式，C，T坐标分别代入得
，
∴此函数解析式为，
联立和得
解得（舍去）
将代入得
∴
（3）解：点Q的横坐标为定值，理由如下：
由，得，
∴直线AC的解析式为：，又
∴可设直线MN的解析式为：
设，
联立和，
∴
设直线的解析式为：
将M点坐标代入得，
得，
解得
设直线NC的解析式为：，
同理可得
∴解析式为，解析式为
联立和的解析式：得Q的横坐标
得
∵
∴
将代入，得
∴点Q的横坐标为定值．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页2024年湖北中考最后一卷
数学
注意事项：
1．本试卷共有三个大题，分为单项选择题、填空题、解答题，满分120分，考试时间100分钟。
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效。
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分在下列每个小题给出的四个答案中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分）
1．2024的相反数是（ ）
A．2024 B． C． D．
2．党的二十大报告指出：十年来，我国建成了世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现了历史性跨越，基本养老保险覆盖了十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五．数据“十亿四千万”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图是生活中常用的“空心卷纸”，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．冠豸中学在预防“新冠肺炎”期间，要求学生每日测量体温，八（10）班一名同学连续一周体温情况如下表所示：
，，，，，，
则该名同学这一周体温数据的众数和中位数分别是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
6．若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④若点在抛物线上，则，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图是两圆柱形连通容器，向甲容器匀速注水，则下面可以近似的刻画甲容器的水面高度随时间t（分）的变化情况的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分．请将答案直接填写在答题卡对应的横线上）
11．分解因式： ．
12．如图，点A在反比例函数的图像上，过点A作轴于点B，C为x轴上的一点，连接，，则的面积为 ．
13．如图，是的一条弦，是的直径，D是上一点，连接，．已知，则 ．
14．2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从盒中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的概率为 ．
15．如图所示，均为等边三角形，边长分别为，B、C、D三点在同一条直线上，则下列结论正确的 ．（填序号）
① ② ③为等边三角形 ④ ⑤CM平分
三、解答题（本大题共9个题，满分75分）
16．（本题10分）（1）计算：；
（2）化简：．
17．（本题6分）某校七、八年级各有名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取人进行党史知识测试．统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分分，分及以上为优秀），相关数据统计、整理如下：
七年级抽取学生的成绩：；
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数
众数
中位数
优秀率
八年级抽取学生的测试成绩条形统计图
(1)填空： ________， ________；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）；
(3)请估计七、八年级学生对党史知识的掌握能够达到优秀的总人数．
18．（本题6分）金水区开展了“安全行车，方便大家”的活动，某大型连锁超市为了购物者行车安全，对地下车库进行改造．如图，，测得米，米，现将斜坡的坡角改为，即（此时点B、C、D在同一直线上）．（参考数据：，，，结果精确到），求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到米）．
19．（本题6分）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图：
(1)在图1中，画出CD的中点G；
(2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形．
20．（本题7分）已知关于的方程．
(1)求证：方程总有实数根；
(2)若方程的两根为，且满足，求的值．
21．（本题9分）如图，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，使点落在点处，交于点，连接．
(1)求出的长；
(2)在上找一点，连接使，连接，试判定四边形的形状，并说明理由．
22．（本题9分）某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户销售某种农产品，成本为8元/千克，每天销售y（千克）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)如果规定每天农产品的销售量不低于120千克，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
23．（本题9分）如图，在⊙O中，为⊙O的直径，P是弧的中点，过点P作的垂线
(1)求证：是⊙O的切线；
(2)若，，求的长．
24．（本题13分）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴的负半轴交于点．
(1)求这个函数的解析式；
(2)点P是抛物线上的一点，当时，求点P的坐标；
(3)如图2，将直线向下平移与抛物线交于M、N两点，直线交于Q点，请问点Q的横坐标是否为定值，并说明理由．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
