大题02 力与曲线运动
抛体运动与圆周运动是曲线运动两个基本运动，在历年高考中都有考察，近几年多以计算题的形式出现。其中抛体运动在全国卷与各地方卷都曾单独命制计算题，圆周运动借助水平面内圆周运动的临界问题以多次考察，直线圆周平抛组合模型更是经典多过程运动模型在每年高考中都会以大题的形式呈现。
抛体运动规律的综合应用
（2024·江西·校联考一模）如下图所示，将扁平的石子快速抛向水面，石子遇水后不断地在水面上连续向前多次跳跃，直至最后落入水中，俗称“打水漂”，假设小明在离水面高度处，将一质量的小石片以水平初速度抛出，玩“打水漂”，小石片在水面上滑行时受到的水平方向的阻力恒为，竖直方向分力未知．在水面上弹跳数次后沿水面滑行（水平方向）的速度减为零后沉入水底。假设小石片每次均接触水面后跳起，跳起时竖直方向的速度与此时沿水面滑行的速度之比为常数，取重力加速度，不计空气阻力，求小石片：
（1）第一次与水面接触前水平方向的位移x；
（2）第一次与水面接触过程中在竖直方向上的分加速度ay的大小；
（3）最后一次弹起在空中飞行的时间t。（该问结果保留2位有效数字）
【答案】（1）4.0m；（2）250m/s2；（3）0.13s
【详解】（1）设从抛出到第一次与水面接触前时间为，由
解得
第一次与水面接触前水平方向的位移
（2）第一次与水面接触前竖直方向的速度
小石片在水面上滑行时，设水平方向加速度大小为，有
第一次与水面接触后跳起时水平滑行速度
规定竖直方向下为正方向，第一次与水面接触后跳起时竖直方向分速度
竖直方向加速度为
即大小为。
（3）小石片在水面上滑行时，加速度
每次滑行速度的变化量
由
可知，小石片共在水平上滑行了10次，空中弹起后飞行了9次，第n次弹起后的速度
再由和可得第次弹起后在空中飞行的时间为
最后一次弹起在水面上飞行的时间为
1.处理平抛(类平抛)运动的四条注意点
(1)处理平抛运动(或类平抛运动)时，一般将运动沿初速度方向和垂直于初速度方向进行分解，先按分运动规律列式，再用运动的合成求合运动。
(2)如图甲所示，对于从斜面上水平抛出又落到斜面上的问题，其竖直位移与水平位移之比等于斜面倾角的正切值，即＝tan θ，速度方向与斜面平行时，物体离斜面最远。
(3)如图乙所示，对平抛运动的物体垂直打在斜面上，则物体打在斜面上瞬间，其水平速度与竖直速度之比等于斜面倾角的正切值，即＝tan θ。
(4)如图丙所示，做平抛运动的物体，其位移方向与速度方向一定不同，它们之间的关系tan φ＝2tan θ。
2.斜抛运动(类斜抛运动)的处理方法
(1)斜抛运动是匀变速曲线运动，以斜上抛运动为例(如图所示)
速度：vx＝v0cos θ，
vy＝v0sin θ－gt
位移：x＝v0cos θ·t，y＝v0sin θ·t－gt2
(2)当物体做斜上抛运动至最高点时，运用逆向思维，可转化为平抛运动。
（2024下·山东德州·高三统考开学考试）投石运动是中国最古老的投掷运动，是伴随着中国先民的狩猎活动一起产生的一项古老体育项目。某同学自制投石机模型，如图所示。在某次投石过程中，质量为的石块（可视为质点）装在长杆末端的篮子中，开始时篮子位于水平面并处于静止状态。现对长杆的另一侧施加外力，当杆转到与水平方向夹角为时立即停止转动，石块从A点沿垂直于杆方向以被抛出后，经过点时的速度大小为，与水平方向之间的夹角仍为。已知连线与水平面间的夹角也为，石块在运动过程中的空气阻力忽略不计，重力加速度，求：
（1）石块被抛出后，经多长时间离连线最远；
（2）两点之间的距离。
【答案】（1）1s；（2）20m
【详解】（1）石块在垂直于方向做匀变速直线运动，经时间该方向速度减为零，此时离连线最远，则有
解得
（2）取竖直向上为正方向，石块在竖直方向上做竖直上抛运动，石块由A点运动至点所用时间为，则
解得
在水平方向，石块做匀速直线运动
解得
水平面内圆周运动与生产生活
（2024·湖北·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习）生产流水线可以提高劳动效率，下图是某工厂生产流水线的水平传输装置的俯视图，它由同一水平面的传送带和转盘组成，每间隔0.2秒在A处无初速放一个物品到传送带上，物品（可视为质点）运动到B处后进入匀速转动的转盘表面，随其做半径R=2.0m的圆运动（与转盘无相对滑动），到C处被取走装箱，已知A、B的距离L=6.4m，物品与传送带间的动摩擦因数μ1=0.5，传送带的传输速度和转盘上与转轴O相距为R处的线速度均为v=2.0m/s，取g=10m/s2，问：
（1）物品从A处运动到B处的时间t多大？
（2）若物品在转盘上的最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，则物品与转盘间的动摩擦因数μ2至少为多大？
【答案】（1）3.4s；（2）0.2
【详解】（1）物品在传送带上运动时，根据牛顿第二定律可得
解得
物品与传送带共速的位移为
由此可知，物品在传送带上先做匀加速运动，后做匀速运动，所以
（2）当物品在转盘上受到的最大静摩擦力刚好提供物品做圆周运动的向心力时此时物品与转盘间的动摩擦因数为最小值，则有
解得
1.解答水平面内的圆周运动的基本思路
2.常见模型
水平面内 动力学方程 临界情况示例
水平转盘上的物体 Ff＝mω2r 恰好滑动
圆锥摆模型 mgtan θ＝mrω2 恰好离开接触面
（2024·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）在某次自动驾驶测试中，测试车辆在平直、双车道公路（如图）上右侧车道正中间以54km/h的速度匀速行驶，某时刻探测到前方有一大型动物从左向右横穿公路，然后停在右侧车道上，恰好占据整个车道，此时车辆离动物x=36m左侧车道无来车。车载电脑经过0.4s的分析和模拟计算，开始执行应对措施。设车身宽度d=2.5m，车道宽度D=3.5m，车身在地面投影为矩形，路面与车胎间动摩擦因数可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略车身各部分间运动情况的差异，求：
（1）若测试车辆采取减速措施，在离动物5m以外刹停，刹车加速度至少为多大；
（2）若测试车辆不减速而是通过圆弧、直线、圆弧的轨迹进入左侧车道来避让前方的动物，为防止侧滑，转向过程中车辆做圆周运动半径R的最小值；
（3）在情况（2）下，为防止车辆失控，每次转向角度要尽量小，而且经过动物时留有最大距离，求左转向过程中速度方向变化量θ（这一过程中动物没有移动，结果可用函数式表示）。
【答案】（1）；（2）30m；（3）
【详解】（1）车的运动速度为15m/s，根据
得
刹车加速度至少为。
（2）设有最大静摩擦力提供向心力，则
车辆做圆周运动半径R的最小值为
（3）经过左转向，匀速直线运动，右转向至进入左侧车道，以车身右前侧为对象，作出轨迹如图，设两次转向间匀速运动时间为，由几何关系有向前位移
侧向位移
联立解得
解得
直线+圆周+平抛组合模型中的多过程问题
（2024下·新疆·高三校联考阶段练习）如图所示，水平地面上固定有一个半径为的竖直圆弧轨道点为圆弧轨道的圆心，C点为轨道的最低点，O、D等高，连线与竖直方向的夹角为，圆弧的段光滑，其他部分粗糙。质量的物块b静止在C点，质量的物块a从圆弧轨道左边的平台右边缘A点以初速度水平抛出，物块a恰好可以无碰撞地从B点进入圆弧轨道，在C点物块a与物块b发生弹性正碰，碰撞时间极短，碰后立即撤去物块a，物块a、b均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g取，，，求：
（1）A点与B点的高度差h；
（2）物块a、b碰后瞬间物块b的速度大小；
（3）若物块a与b碰撞后物块b恰好不脱离轨道，求物块b第一次沿圆弧轨道上升过程中摩擦力所做的功。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）物块a恰好可以无碰撞地从B点进入圆弧轨道，说明物块a在B点速度沿圆弧切线方向，有
根据动能定理有
解得
（2）设物块a划到C点时速度为，根据动能定理，有
解得
由于物块a与物块b发生弹性正碰，根据动量守恒和能量守恒，有
解得，碰后瞬间物块b的速度大小为
（3）若物块a与b碰撞后物块b恰好不脱离轨道，则物块b到达D点时速度为0，根据动能定理，有
解得
解决竖直面内圆周运动的三点注意
1．竖直面内的圆周运动通常为变速圆周运动，合外力沿半径方向的分力提供向心力，在轨迹上某点对物体进行受力分析，根据牛顿第二定律列出向心力方程。
2．注意临界问题：物体与轨道脱离的临界条件是FN＝0或FT＝0。
3．求物体在某一位置的速度，可根据动能定理或机械能守恒定律，将初、末状态的速度联系起来。
（2024·广东·统考模拟预测）游客在动物园里常看到猴子在荡秋千和滑滑板，其运动可以简化为如图所示的模型，猴子需要借助悬挂在高处的秋千绳飞跃到对面的滑板上，质量为的猴子在竖直平面内绕圆心做圆周运动。若猴子某次运动到点的正下方时松手，猴子飞行水平距离后跃到对面的滑板上，点离平台高度也为，猴子与点之间的绳长，重力加速度大小，不考虑空气阻力，秋千绳视为轻绳，猴子可视为质点，求：
（1）猴子落到滑板时的速度大小；
（2）猴子运动到点的正下方时绳对猴子拉力的大小。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设猴子松手后飞行的时间为，由平抛运动规律在竖直方向上有
在水平方向上有
解得
在竖直方向上有
解得
得猴子落到平台时的速度大小
（2）设猴子运动到点的正下方时绳对选手拉力的大小为，猴子做圆周运动的半径为
猴子经过圆周运动轨迹最低点时，由牛顿第二定律得
解得绳对猴子拉力的大小
1．（2024·山西临汾·统考一模）如图所示，排球比赛中运动员将排球从M点以的速度水平击出，当球飞到P点时被对方运动员击出，球又斜向上飞出后经过M点正下方的N点，N、P两点等高且水平距离为10m。球斜向上飞出后轨迹最高点与M点等高。不计空气阻力，重力加速度取。求：
（1）M、N两点间的高度差h；
（2）在P点排球被击出时排球速度的大小。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）排球从M到P做平抛运动
解得
（2）被击回的排球在最高点Q起做平抛运动
得
从P到Q，根据机械能守恒
解得
2．（2024上·山东日照·高三日照一中校联考期末）几位同学在空旷的草地上进行投掷飞镖比赛，飞镖投出点的高度h均为。甲同学站在A点投掷飞镖，初速度的大小，与水平方向的夹角，最终在P点插入地面。乙同学站在B点投掷飞镖，初速度水平，最终也在P点插入地面，且插入地面的方向与甲同学的飞镖方向相同。飞镖的飞行轨迹如图所示，不计空气阻力，重力加速度，求：
（1）甲同学投掷的飞镖飞行过程中离地面的最大高度H；
（2）乙同学投掷飞镖的初速度v的大小：
（3）A、B两点间的距离。
【答案】（1）5m；（2）3.6m/s；（3）8.64m
【详解】（1）甲同学投掷的飞镖水平方向的速度大小为
竖直方向的初速度大小为
在竖直方向从离手到最高点的高度和时间分别为
，
甲同学投掷的飞镖飞行过程中离地面的最大高度
（2）假设甲从最高点做平抛运动，下落时间为
设下落在P点时与水平夹角为，满足
乙做平抛时间为
设下落在P点时与水平夹角为，满足
由题意有
得乙同学投掷飞镖的初速度v的大小
（3）甲从抛出到P点水平位移为
乙的水平位移为
A、B两点间的距离
3．（2024·云南曲靖·校联考一模）掷铅球是一个需要力量和灵活性的运动，今年的学校运动会，高三（5）班学生周红要参加掷铅球比赛，傍晚来到运动场训练，热身后（不计空气阻力，重力加速度取10m/s2，）
（1）她在第一次投掷中把铅球水平推出，高度为h=1.5m，速度为v0=8m/s，则铅球被推出的水平距离是多少米？
（2）第一次投掷后体育老师给了建议，让她投掷时出手点高一点，斜向上推出铅球。于是，第二次她从离地高为H=1.65m处推出铅球，出手点刚好在边界线上方，速度方向与水平方向成53°，如图所示，此次推出铅球时铅球的速度大小仍为8m/s，则这次投掷的成绩为多少米？
【答案】（1）；（2）7.2m
【详解】（1）由平抛运动知识
解得铅球被推出的水平距离为
（2）被推出的铅球在竖直方向做竖直上抛运动，则有
解得
，（舍去）
铅球在水平方向做匀速直线运动，则这次投掷的成绩为
4．（2024下·江苏无锡·高三校联考开学考试）如图所示的装置中，光滑水平杆固定在竖直转轴上，小圆环A和轻弹簧套在杆上，弹簧两端分别固定于竖直转轴和环A，细线穿过小孔O，两端分别与环A和小球B连接，线与水平杆平行，环A的质量为m=0.1kg，小球B的质量为2m。现使整个装置绕竖直轴以角速度ω=5rad/s匀速转动，细线与竖直方向的夹角为37°。缓慢加速后使整个装置以角速度2ω匀速转动，细线与竖直方向的夹角为53°，此时弹簧弹力与角速度为ω时大小相等，已知重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）装置转动的角速度为ω 时，细线OB的长度s；
（2）装置转动的角速度为2ω时，弹簧的弹力大小F；
（3）装置转动的角速度由ω增至2ω过程中，细线对小球B做的功W。
【答案】（1）0.25m；（2）2N；（3）
【详解】（1）当装置转动的角速度为ω时，对小球B分析，在竖直方向由平衡条件有
在水平方向由牛顿第二定律有
解得
（2）装置转动的角速度为2ω时，设OB的长度为，则对小球B在竖直方向由平衡条件由
在水平方向由牛顿第二定律有
解得
设细线长度为L，则装置转动的角速度为ω时对圆环A满足
装置转动的角速度为2ω时，对圆环A有
解得
（3）装置转动的角速度由ω增至2ω过程中，对小球B得重力势能变化量为
动能变化量为
解得细线对小球B做的功为
5．（2024·辽宁沈阳·统考一模）如图甲，水平面内有一条双线等宽光滑轨道，它由直轨道和两端半圆形轨道组成。在直轨道上放置一质量的小圆柱体，如图乙。小圆柱体两侧与轨道相切处和小圆柱体截面的圆心O连线的夹角，如图丙，初始时小圆柱体位于轨道上A点。现使之获得沿直轨道AB方向的初速度，小圆柱体运动过程中所受阻力忽略不计，小圆柱体尺寸和轨道间距相对轨道长度也忽略不计，两端半圆形轨道半径，g取。
（1）当时，小圆柱体可以安全通过半圆形轨道，求小圆柱体在直轨道和半圆形轨道上运动时，内侧轨道对小圆柱体的支持力、的大小；
（2）为确保小圆柱体沿半圆形轨道运动不脱轨，初速度不能超过多少 （结果可以保留根式）
【答案】（1），；（2）
【详解】（1）小圆柱体在直轨道上做匀速直线运动，所受合力为零，则根据平衡条件可得
解得
当小圆柱体在半圆形轨道上运动时，其受力分析如所示
竖直方向根据平衡条件有
水平方向由牛顿第二定律有
联立解得
（2）设小圆柱体沿半圆形轨道运动不脱轨的最大速度为，分析可知，小圆柱体恰好不脱轨时小圆柱体的重力与外侧导轨对小圆柱体的支持力恰好提供小圆柱体做圆周运动的向心力，对小圆柱体受力分析如图所示
则有
解得
即为确保小圆柱体沿半圆形轨道运动不脱轨，初速度不能超过。
6.（2024下·山东·高三山东省实验中学校联考开学考试）玩滑板是一项青少年酷爱的运动。一滑板训练场地如图所示，斜坡与光滑竖直圆轨道相切于点，圆轨道半径，圆心为，圆弧最低点与水平地面相切，斜坡倾角为37°，圆轨道左侧有一高出地面的平台，平台右端到光滑圆轨道最高点的水平距离为4m。一运动员连同滑板的总质量为80kg，从右侧斜坡上距点12.5m处的点无初速度滑下，其运动可简化为滑块在轨道上的匀加速直线运动，其通过光滑圆弧轨道的点后落在了左侧平台上，滑板和人可视为质点，不计空气阻力，滑板与倾斜轨道间的动摩擦因数，重力加速度取，。求：
（1）滑板和人通过圆弧轨道最低点时，对点的压力大小；
（2）平台上的落点到点的距离。
【答案】（1）；（2）2m
【详解】（1）设到达点的速度为，滑板从到过程由动能定理知
在最低点由向心力公式知
代入得
由牛顿第三定律知
（2）滑板到达的速度大小为，由机械能守恒知
代入得
斜抛落到平台上的过程，水平方向的位移为，竖直位移为
水平方向上有
竖直方向有
代入得
故落点距点为
7．（2023下·全国·高三校联考阶段练习）如图所示，质量为m的小球（视为质点），用长为5d的轻质细线悬挂在天花板的左边缘O点，现把小球拿到A点，细线伸直与水平方向的夹角为，让小球从A点由静止释放，当小球运动到C点时，细线再次伸直，然后沿圆弧CD运动到D点，当小球运动到D点时，细线突然断裂，小球接着做平抛运动落到地面，已知D点与地面之间的高度差为，重力加速度为g，、，求：
（1）小球到C点时，系统生成的热量；
（2）小球离开D点做平抛运动的水平位移。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）小球从A点到C点做自由落体运动，由对称性与几何关系，OC与水平方向的夹角为，A、C两点之间的高度差为
设小球刚到达C点时的速度为，则有
把小球在C点竖直向下的速度分别沿着OC分解
把小球在C点竖直向下的速度垂直OC分解，则有
小球在C点的速度由突变成，沿着OC方向的分速度消失，生成热量，则小球在C点生成的热量为
解得
，
（2）小球从A点到D点由能量守恒可得
由平抛运动的规律可得
，
解得
8．（2023上·河南·高三校联考阶段练习）如图所示，水平面上固定放置一四分之一圆弧轨道PA，轨道的内壁光滑，P点的切线竖直，A点在水平面的右边缘且切线水平。在水平面的右下方固定放置一半径为r的圆管轨道，D是轨道上圆心O的等高点，EC是竖直直径，B、E是管口，管的内壁光滑。现让质量为m的小球（视为质点）从P点由静止释放，圆管的内径略大于小球的直径，小球从A点离开后，正好从管口B（与管口无碰撞）进入圆管，然后沿着管壁运动到E点，离开E点后又刚好落到B点。已知，重力加速度为g，忽略空气阻力，求：
（1）小球在E点以及在B点的速度大小；
（2）小球在D点时的加速度大小以及四分之一圆弧轨道PA的半径；
（3）小球从E点到达B点时在B点重力的瞬时功率与小球从A点到达B点时在B点重力的瞬时功率之差。
【答案】（1），；（2），；（3）
【详解】（1）设小球在E点的速度为，由平抛运动的规律可得
设小球在B点的速度为，把分别沿着水平方向和竖直方向分解，则有
综合解得
（2）小球从D到E由机械能守恒定律可得
小球在D点的向心加速度为
水平向左
小球在D点的切向加速度竖直向下为g，则小球在D点的加速度大小为
综合解得
小球从A点到达B点，正好从管口B（与管口无碰撞）进入圆管，由机械能守恒可得小球在B点的速度大小仍为
方向沿着管壁的切线方向，由几何关系可得与水平方向的夹角为
设小球在A点的速度为，把
分别沿水平方向和竖直方向分解，则有
设四分之一圆弧轨道PA的半径为R，小球从P到A由机械能守恒定律可得
综合解得
（3）小球从E点到达B点在B点重力的瞬时功率为
小球从A点到达B点在B点重力的瞬时功率为
两功率之差为
综合计算可得
9．（2023上·全国·高三校联考阶段练习）如图所示，质量为m的小球（视为质点）从A点以初速开始做平抛运动，到达B点无碰撞进入内壁光滑的细管道BC（形状按抛物线AB制造而成，管口的直径略大于小球的直径），竖直固定放置的半圆弧轨道CD与BC在C点平滑对接，且C点的切线水平，D是圆弧的最高点且切线水平，已知小球从A到B沿水平方向的分位移为，重力加速度为g，忽略空气的阻力，求：
（1）小球在B点的速度与水平方向夹角的正切值以及小球从A到C合力的冲量；
（2）若小球能到达D点，求圆弧轨道半径的取值范围。
【答案】（1），；（2）
【详解】（1）由平抛运动的规律可得，小球从A到B的运动时间为
在B点小球沿竖直方向的分速度为
B点的速度与水平方向夹角的正切值为
由题意，B、C两点间的高度差等于A、B两点间的高度差，设为h，则有
小球从A到C由机械能守恒定律可得
由动量定理可得合力的冲量为
综合解得
，， ，
（2）设圆弧轨道的半径为R，小球从A到D，由机械能守恒定律可得
在D点由牛顿第二定律可得
综合解得
10．（2024上·四川成都·高三成都七中校考期末）如图所示，半径的四分之一圆弧形光滑轨道竖直放置，圆弧最低点B与长为的水平面BC相切于B点，BC离地面高，C点与一倾角为的光滑斜面连接，质量的小滑块从圆弧上某点由静止释放，到达圆弧B点时小滑块对圆弧的压力刚好等于其重力的2倍，当小滑块运动到C点时与一个质量的小球正碰，碰后返回恰好停在B点，已知滑块与水平面间的动摩擦因数。（，，g取）求：
（1）小滑块应从圆弧上离地面多高处释放；
（2）小球第一落点到C点的距离。
【答案】（1）0.95m；（2）0.75m
【详解】（1）由题图可知B点为圆周运动的最低点，在该点有
由牛顿第三定律有，在该点支持力大小等于压力大小，所以有
设滑块由距离地面H高处下滑，有
解得
（2）设滑块到达C点且碰撞前的速度为，由
在C点两滑块发生碰撞，设碰后滑块速度变为，小球速度为，由于碰后滑块速度方向反向，且滑块回到B点恰好速度为零，由动量守恒有
对滑块又有
解得
对于碰后小球做平抛运动，其水平方向做匀速直线运动，有
竖直方向有
设小球落在水平地面上，则有
解得
水平位移为
落点与C的距离
斜面的长为
所以小球恰好落在斜面与水平面的交点上。综上所述，落点与C的距离为0.75m。
11．（2024·河北邢台·高三河北巨鹿中学校考阶段练习）如图所示长方形光滑水平台面WXYZ，WX边长为1.0m，XY边长为1.5m，距离地面h=0.8m。一质量m=1kg的小球从W静止出发，在CD区域之间受到沿着WZ方向恒力F1的作用，F1=25N，CD区域沿WZ方向间距为d，d=0.5m。当小球到达D点时撤去F1，并立即对小球施加变力F2，使得小球开始做半径R=1m的匀速圆周运动，最终小球从Y点离开光滑水平台面开始做平抛运动。取g=10m/s2：
（1）求F2的大小；
（2）求小球在光滑水平台面运动的总时间；
（3）求小球平抛的水平位移。
【答案】（1）；（2）0.51s；（3）2m
【详解】（1）小球在CD之间，根据牛顿第二定律
匀变速直线运动
解得
之后做匀速圆周运动
（2）小球开始匀加速时间，结合（1）得到
小球做匀速圆周运动，根据线速度公式
得到
运动总时间
（3）小球做平抛运动，在竖直方向则有
在水平方向有
解得
12.（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）如图，在竖直平面内有半径为R的四分之一圆弧AB和直径为R的一半圆弧BC在最低点B平滑连接组成光滑固定轨道。一小球（可视为质点）在A点正上方某处由静止自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。小球运动到C后脱离轨道在D点与圆弧AB相撞，装在C处的压力传感器测得小球运动到C处时对圆轨道的压力恰为小球重力的一半。重力加速度大小为g，求
（1）小球开始下落处离A点的距离h；
（2）小球从C点运动到D点的时间t。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设小球在C处的速度为，由牛顿第二定律
小球自由下落至C点，由机械能守恒定律
解得
解得
（2）小球从C点到D点，水平方向
竖直方向
又有几何关系
解得
13．（2024·全国·校联考模拟预测）如图所示，竖直平面内一足够长的光滑倾斜轨道与一光滑水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，水平轨道右下方有一段抛物线形轨道。以O点为原点建立如图所示坐标系xOy，轨道的抛物线方程为，水平轨道末端的坐标为（0，0.8m）。小物块B从倾斜轨道上的某一位置由静止释放，沿着轨道下滑后与静止在水平轨道末端的小物块A发生碰撞，碰后两物块粘在一起水平抛出。已知小物块A、B的质量均为，物块B的释放点距离轨道末端的竖直高度为，取重力加速度。
（1）求两物块碰撞过程中损失的机械能；
（2）调节小物块B的释放点距离水平轨道的高度，使小物块B与小物块A碰撞后落到抛物线形轨道上时的动能最小，求小物块A动能最小值。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）物块B从释放到与A碰撞前瞬间，根据动能定理可得
解得碰撞前瞬间物块B的速度为
物块B与A碰撞过程，根据动量守恒可得
解得碰后瞬间A、B的速度为
则两物块碰撞过程中损失的机械能为
（2）设A、B整体做平抛运动的初速度为，竖直方向有
水平方向
代入抛物线方程，可得
可得
根据动能定理可知，小物块A落到抛物线形轨道上时的动能为
整理可得
根据数学知识可知，当
即
小物块A落到抛物线形轨道上时的动能具有最小值，则有
1.（2022·福建·高考真题）清代乾隆的《冰嬉赋》用“躄躠”（可理解为低身斜体）二字揭示了滑冰的动作要领。短道速滑世界纪录由我国运动员武大靖创造并保持。在其创造纪录的比赛中，
（1）武大靖从静止出发，先沿直道加速滑行，前用时。该过程可视为匀加速直线运动，求此过程加速度大小；
（2）武大靖途中某次过弯时的运动可视为半径为的匀速圆周运动，速度大小为。已知武大靖的质量为，求此次过弯时所需的向心力大小；
（3）武大靖通过侧身来调整身体与水平冰面的夹角，使场地对其作用力指向身体重心而实现平稳过弯，如图所示。求武大靖在（2）问中过弯时身体与水平面的夹角的大小。（不计空气阻力，重力加速度大小取，、、、）
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）设武大靖运动过程的加速度大小为，根据
解得
（2）根据
解得过弯时所需的向心力大小为
（3）设场地对武大靖的作用力大小为，受力如图所示
根据牛顿第二定律可得
解得
可得
2．（2023·全国·统考高考真题）将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？（不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g）
【答案】
【详解】石子做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，则有
可得落到水面上时的竖直速度
由题意可知
即
石子抛出速度的最小值为。
3．（2023·全国·统考高考真题）如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求
（1）小球离开桌面时的速度大小；
（2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由小球和弹簧组成的系统机械能守恒可知
得小球离开桌面时速度大小为
（2）离开桌面后由平抛运动规律可得
第一次碰撞前速度的竖直分量为，由题可知
离开桌面后由平抛运动规律得
，
解得小球第一次落地点距桌面上其飞出的水平距离为
4．（2022·重庆·高考真题）小明设计了一个青蛙捉飞虫的游戏，游戏中蛙和虫都在竖直平面内运动。虫可以从水平x轴上任意位置处由静止开始做匀加速直线运动，每次运动的加速度大小恒为（g为重力加速度），方向均与x轴负方向成斜向上（x轴向右为正）。蛙位于y轴上M点处，，能以不同速率向右或向左水平跳出，蛙运动过程中仅受重力作用。蛙和虫均视为质点，取。
（1）若虫飞出一段时间后，蛙以其最大跳出速率向右水平跳出，在的高度捉住虫时，蛙与虫的水平位移大小之比为，求蛙的最大跳出速率。
（2）若蛙跳出的速率不大于（1）问中的最大跳出速率，蛙跳出时刻不早于虫飞出时刻，虫能被捉住，求虫在x轴上飞出的位置范围。
（3）若虫从某位置飞出后，蛙可选择在某时刻以某速率跳出，捉住虫时蛙与虫的运动时间之比为；蛙也可选择在另一时刻以同一速率跳出，捉住虫时蛙与虫的运动时间之比为。求满足上述条件的虫飞出的所有可能位置及蛙对应的跳出速率。
【答案】（1）；（2）；（3），或，
【详解】（1）虫子做匀加速直线运动，青蛙做平抛运动，由几何关系可知
青蛙做平抛运动，设时间为，有
联立解得
，
（2）若蛙和虫同时开始运动，时间均为，则虫的水平分加速度和竖直分加速度分别为
，
相遇时有
解得
则最小的坐标为
若蛙和虫不同时刻出发，轨迹相切时，青蛙的平抛运动有
，
可得轨迹方程为
虫的轨迹方程为
两轨迹相交，可得
整理可知
令，即
解得
虫在x轴上飞出的位置范围为
（3）设蛙的运动时间为，有
解得
，
若青蛙两次都向右跳出，则
解得
，
若青蛙一次向左跳出，一次向右跳出，则
解得
，
5．（2022·湖北·统考高考真题）如图所示，水族馆训练员在训练海豚时，将一发光小球高举在水面上方的A位置，海豚的眼睛在B位置，A位置和B位置的水平距离为d，A位置离水面的高度为d。训练员将小球向左水平抛出，入水点在B位置的正上方，入水前瞬间速度方向与水面夹角为θ。小球在A位置发出的一束光线经水面折射后到达B位置，折射光线与水平方向的夹角也为θ。
已知水的折射率，求:
（1）tanθ的值；
（2）B位置到水面的距离H。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由平抛运动的规律可知
解得
（2）因可知，从A点射到水面的光线的入射角为α，折射角为，则由折射定律可知
解得
由几何关系可知
解得
6．（2022·全国·统考高考真题）将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度和之比为3：7。重力加速度大小取，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。
【答案】
【详解】频闪仪每隔0.05s发出一次闪光，每相邻两个球之间被删去3个影像，故相邻两球的时间间隔为
设抛出瞬间小球的速度为，每相邻两球间的水平方向上位移为x，竖直方向上的位移分别为、，根据平抛运动位移公式有
令，则有
已标注的线段、分别为
则有
整理得
故在抛出瞬间小球的速度大小为
7．（2023·福建·统考高考真题）一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度，杆与竖直转轴的夹角a始终为，弹簧原长，弹簧劲度系数，圆环质量；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取，摩擦力可忽略不计
（1）若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离；
（2）求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小；
（3）求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。
【答案】（1）0.05m；（2）；（3）
【详解】（1）当细杆和圆环处于平衡状态，对圆环受力分析得
根据胡克定律得
弹簧弹力沿杆向上，故弹簧处于压缩状态，弹簧此时的长度即为圆环到O点的距离
（2）若弹簧处于原长，则圆环仅受重力和支持力，其合力使得圆环沿水平方向做匀速圆周运动。根据牛顿第二定律得
由几何关系得圆环此时转动的半径为
联立解得
（3）圆环处于细杆末端P时，圆环受力分析重力，弹簧伸长，弹力沿杆向下。根据胡克定律得
对圆环受力分析并正交分解，竖直方向受力平衡，水平方向合力提供向心力，则有
，
由几何关系得
联立解得
8.（2022·辽宁·高考真题）2022年北京冬奥会短道速滑混合团体2000米接力决赛中，我国短道速滑队夺得中国队在本届冬奥会的首金。
（1）如果把运动员起跑后进入弯道前的过程看作初速度为零的匀加速直线运动，若运动员加速到速度时，滑过的距离，求加速度的大小；
（2）如果把运动员在弯道滑行的过程看作轨道为半圆的匀速圆周运动，如图所示，若甲、乙两名运动员同时进入弯道，滑行半径分别为，滑行速率分别为，求甲、乙过弯道时的向心加速度大小之比，并通过计算判断哪位运动员先出弯道。
【答案】（1）；（2），甲
【详解】（1）根据速度位移公式有
代入数据可得
（2）根据向心加速度的表达式
可得甲、乙的向心加速度之比为
甲、乙两物体做匀速圆周运动，则运动的时间为
代入数据可得甲、乙运动的时间为
，
因，所以甲先出弯道。
9．（2018·浙江·高考真题）如图所示，一轨道由半径为2m的四分之一竖直圆弧轨道AB和长度可以调节的水平直轨道BC在B点平滑连接而成．现有一质量为0.2kg的小球从A点无初速度释放，经过圆弧上的B点时，传感器测得轨道所受压力大小为3.6N，小球经过BC段所受阻力为其重力的0.2倍，然后从C点水平飞离轨道，落到水平面上的P点，P、C两点间的高度差为3.2m．小球运动过程中可以视为质点，且不计空气阻力．
（1）求小球运动至B点的速度大小以及小球在圆弧轨道上克服摩擦力所做的功；
（2）为使小球落点P与B点的水平距离最大，求BC段的长度；
（3）小球落到P点后弹起，与地面多次碰撞后静止．假设小球每次碰撞机械能损失75%，碰撞前后速度方向与地面的夹角相等．求小球从C点飞出后静止所需的时间．
【答案】（1）2.4J（2）3.36m（3）2.4s
【详解】（1）小球在B点受到的重力与支持力的合力提供向心力，则有：
解得：
A至B过程中，由动能定理：，解得：；
（2）B至C过程中，由动能定理：
B至P的水平距离为：
当时P至B的水平距离最大，最大距离为：；
（3）C至P的时间为：，由于小球每次碰撞机械能损失，由，则碰撞后的速度为碰撞前速度的，碰撞前后速度方向与地面的夹角相等，则碰撞后竖直方向的分速度为碰撞前竖直方向分速度的，所以第一次碰撞后上升到最高点的时间等于从C点到落地的时间的，所以：
第一次反弹至落地时间为：
第二次反弹至落地时间为：
第三次反弹至落地时间为：
……
第n次反弹至落地时间为：
由数学归纳法分可得总时间为：．
10．（2018·全国·高考真题）如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切。BC为圆弧轨道的直径。O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，，一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。求：
（1）水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；
（2）小球到达A点时动量的大小；
（3）小球从C点落至水平轨道所用的时间。
【答案】（1），；（2）；（3）
【详解】（1）设水平恒力的大小为F0，小球到达C点时所受合力的大小为F。由力的合成法则有
设小球到达C点时的速度大小为v，由牛顿第二定律得
得
（2）设小球到达A点的速度大小为，作，交PA于D点，由几何关系得
由动能定理有
得小球在A点的动量大小为
（3）小球离开C点后在竖直方向上做初速度不为零的匀加速运动，加速度大小为g。设小球在竖直方向的初速度为，从C点落至水平轨道上所用时间为t。由运动学公式有
得
11．（2015·海南·高考真题）如图，位于竖直水平面内的光滑轨道由四分之一圆弧ab和抛物线bc组成，圆弧半径Oa水平，b点为抛物线顶点。已知h=2m，。取重力加速度大小。
（1）一小环套在轨道上从a点由静止滑下，当其在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；
（2）若环从b点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达c点时速度的水平分量的大小。
【答案】（1）（2）
【详解】（1）一小环套在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，则说明下落到b点时的速度，使得小环套做平抛运动的轨迹与轨道bc重合，故有
联立解得
从ab滑落过程中，根据动能定理可得
可得
（2）环由b处静止下滑过程中机械能守恒，设环下滑至c点的速度大小为v，有
环在c点的速度水平分量为
式中，为环在c点速度的方向与水平方向的夹角，由题意可知，环在c点的速度方向和以初速度做平抛运动的物体在c点速度方向相同，而做平抛运动的物体末速度的水平分量为
竖直分量为
因此
联立可得
12．（2016·全国·高考真题）如图，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。
(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。
【答案】(1) ；(2)恰好可以运动到C点
【详解】（1）设小球的质量为m，小球在A点的动能为，由机械能守恒可得
①
设小球在B点的动能为，同理有
②
由①②联立可得
③
（2）若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力N应满足
④
设小球在C点的速度大小为，根据牛顿运动定律和向心加速度公式有
⑤
联立④⑤可得
⑥
根据机械能守恒可得
⑦
根据⑥⑦可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点。大题02 力与曲线运动
抛体运动与圆周运动是曲线运动两个基本运动，在历年高考中都有考察，近几年多以计算题的形式出现。其中抛体运动在全国卷与各地方卷都曾单独命制计算题，圆周运动借助水平面内圆周运动的临界问题以多次考察，直线圆周平抛组合模型更是经典多过程运动模型在每年高考中都会以大题的形式呈现。
抛体运动规律的综合应用
（2024·江西·校联考一模）如下图所示，将扁平的石子快速抛向水面，石子遇水后不断地在水面上连续向前多次跳跃，直至最后落入水中，俗称“打水漂”，假设小明在离水面高度处，将一质量的小石片以水平初速度抛出，玩“打水漂”，小石片在水面上滑行时受到的水平方向的阻力恒为，竖直方向分力未知．在水面上弹跳数次后沿水面滑行（水平方向）的速度减为零后沉入水底。假设小石片每次均接触水面后跳起，跳起时竖直方向的速度与此时沿水面滑行的速度之比为常数，取重力加速度，不计空气阻力，求小石片：
（1）第一次与水面接触前水平方向的位移x；
（2）第一次与水面接触过程中在竖直方向上的分加速度ay的大小；
（3）最后一次弹起在空中飞行的时间t。（该问结果保留2位有效数字）
1.处理平抛(类平抛)运动的四条注意点
(1)处理平抛运动(或类平抛运动)时，一般将运动沿初速度方向和垂直于初速度方向进行分解，先按分运动规律列式，再用运动的合成求合运动。
(2)如图甲所示，对于从斜面上水平抛出又落到斜面上的问题，其竖直位移与水平位移之比等于斜面倾角的正切值，即＝tan θ，速度方向与斜面平行时，物体离斜面最远。
(3)如图乙所示，对平抛运动的物体垂直打在斜面上，则物体打在斜面上瞬间，其水平速度与竖直速度之比等于斜面倾角的正切值，即＝tan θ。
(4)如图丙所示，做平抛运动的物体，其位移方向与速度方向一定不同，它们之间的关系tan φ＝2tan θ。
2.斜抛运动(类斜抛运动)的处理方法
(1)斜抛运动是匀变速曲线运动，以斜上抛运动为例(如图所示)
速度：vx＝v0cos θ，
vy＝v0sin θ－gt
位移：x＝v0cos θ·t，y＝v0sin θ·t－gt2
(2)当物体做斜上抛运动至最高点时，运用逆向思维，可转化为平抛运动。
（2024下·山东德州·高三统考开学考试）投石运动是中国最古老的投掷运动，是伴随着中国先民的狩猎活动一起产生的一项古老体育项目。某同学自制投石机模型，如图所示。在某次投石过程中，质量为的石块（可视为质点）装在长杆末端的篮子中，开始时篮子位于水平面并处于静止状态。现对长杆的另一侧施加外力，当杆转到与水平方向夹角为时立即停止转动，石块从A点沿垂直于杆方向以被抛出后，经过点时的速度大小为，与水平方向之间的夹角仍为。已知连线与水平面间的夹角也为，石块在运动过程中的空气阻力忽略不计，重力加速度，求：
（1）石块被抛出后，经多长时间离连线最远；
（2）两点之间的距离。
水平面内圆周运动与生产生活
（2024·湖北·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习）生产流水线可以提高劳动效率，下图是某工厂生产流水线的水平传输装置的俯视图，它由同一水平面的传送带和转盘组成，每间隔0.2秒在A处无初速放一个物品到传送带上，物品（可视为质点）运动到B处后进入匀速转动的转盘表面，随其做半径R=2.0m的圆运动（与转盘无相对滑动），到C处被取走装箱，已知A、B的距离L=6.4m，物品与传送带间的动摩擦因数μ1=0.5，传送带的传输速度和转盘上与转轴O相距为R处的线速度均为v=2.0m/s，取g=10m/s2，问：
（1）物品从A处运动到B处的时间t多大？
（2）若物品在转盘上的最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，则物品与转盘间的动摩擦因数μ2至少为多大？
1.解答水平面内的圆周运动的基本思路
2.常见模型
水平面内 动力学方程 临界情况示例
水平转盘上的物体 Ff＝mω2r 恰好滑动
圆锥摆模型 mgtan θ＝mrω2 恰好离开接触面
（2024·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）在某次自动驾驶测试中，测试车辆在平直、双车道公路（如图）上右侧车道正中间以54km/h的速度匀速行驶，某时刻探测到前方有一大型动物从左向右横穿公路，然后停在右侧车道上，恰好占据整个车道，此时车辆离动物x=36m左侧车道无来车。车载电脑经过0.4s的分析和模拟计算，开始执行应对措施。设车身宽度d=2.5m，车道宽度D=3.5m，车身在地面投影为矩形，路面与车胎间动摩擦因数可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略车身各部分间运动情况的差异，求：
（1）若测试车辆采取减速措施，在离动物5m以外刹停，刹车加速度至少为多大；
（2）若测试车辆不减速而是通过圆弧、直线、圆弧的轨迹进入左侧车道来避让前方的动物，为防止侧滑，转向过程中车辆做圆周运动半径R的最小值；
（3）在情况（2）下，为防止车辆失控，每次转向角度要尽量小，而且经过动物时留有最大距离，求左转向过程中速度方向变化量θ（这一过程中动物没有移动，结果可用函数式表示）。
直线+圆周+平抛组合模型中的多过程问题
（2024下·新疆·高三校联考阶段练习）如图所示，水平地面上固定有一个半径为的竖直圆弧轨道点为圆弧轨道的圆心，C点为轨道的最低点，O、D等高，连线与竖直方向的夹角为，圆弧的段光滑，其他部分粗糙。质量的物块b静止在C点，质量的物块a从圆弧轨道左边的平台右边缘A点以初速度水平抛出，物块a恰好可以无碰撞地从B点进入圆弧轨道，在C点物块a与物块b发生弹性正碰，碰撞时间极短，碰后立即撤去物块a，物块a、b均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g取，，，求：
（1）A点与B点的高度差h；
（2）物块a、b碰后瞬间物块b的速度大小；
（3）若物块a与b碰撞后物块b恰好不脱离轨道，求物块b第一次沿圆弧轨道上升过程中摩擦力所做的功。
解决竖直面内圆周运动的三点注意
1．竖直面内的圆周运动通常为变速圆周运动，合外力沿半径方向的分力提供向心力，在轨迹上某点对物体进行受力分析，根据牛顿第二定律列出向心力方程。
2．注意临界问题：物体与轨道脱离的临界条件是FN＝0或FT＝0。
3．求物体在某一位置的速度，可根据动能定理或机械能守恒定律，将初、末状态的速度联系起来。
（2024·广东·统考模拟预测）游客在动物园里常看到猴子在荡秋千和滑滑板，其运动可以简化为如图所示的模型，猴子需要借助悬挂在高处的秋千绳飞跃到对面的滑板上，质量为的猴子在竖直平面内绕圆心做圆周运动。若猴子某次运动到点的正下方时松手，猴子飞行水平距离后跃到对面的滑板上，点离平台高度也为，猴子与点之间的绳长，重力加速度大小，不考虑空气阻力，秋千绳视为轻绳，猴子可视为质点，求：
（1）猴子落到滑板时的速度大小；
（2）猴子运动到点的正下方时绳对猴子拉力的大小。
1．（2024·山西临汾·统考一模）如图所示，排球比赛中运动员将排球从M点以的速度水平击出，当球飞到P点时被对方运动员击出，球又斜向上飞出后经过M点正下方的N点，N、P两点等高且水平距离为10m。球斜向上飞出后轨迹最高点与M点等高。不计空气阻力，重力加速度取。求：
（1）M、N两点间的高度差h；
（2）在P点排球被击出时排球速度的大小。
2．（2024上·山东日照·高三日照一中校联考期末）几位同学在空旷的草地上进行投掷飞镖比赛，飞镖投出点的高度h均为。甲同学站在A点投掷飞镖，初速度的大小，与水平方向的夹角，最终在P点插入地面。乙同学站在B点投掷飞镖，初速度水平，最终也在P点插入地面，且插入地面的方向与甲同学的飞镖方向相同。飞镖的飞行轨迹如图所示，不计空气阻力，重力加速度，求：
（1）甲同学投掷的飞镖飞行过程中离地面的最大高度H；
（2）乙同学投掷飞镖的初速度v的大小：
（3）A、B两点间的距离。
3．（2024·云南曲靖·校联考一模）掷铅球是一个需要力量和灵活性的运动，今年的学校运动会，高三（5）班学生周红要参加掷铅球比赛，傍晚来到运动场训练，热身后（不计空气阻力，重力加速度取10m/s2，）
（1）她在第一次投掷中把铅球水平推出，高度为h=1.5m，速度为v0=8m/s，则铅球被推出的水平距离是多少米？
（2）第一次投掷后体育老师给了建议，让她投掷时出手点高一点，斜向上推出铅球。于是，第二次她从离地高为H=1.65m处推出铅球，出手点刚好在边界线上方，速度方向与水平方向成53°，如图所示，此次推出铅球时铅球的速度大小仍为8m/s，则这次投掷的成绩为多少米？
4．（2024下·江苏无锡·高三校联考开学考试）如图所示的装置中，光滑水平杆固定在竖直转轴上，小圆环A和轻弹簧套在杆上，弹簧两端分别固定于竖直转轴和环A，细线穿过小孔O，两端分别与环A和小球B连接，线与水平杆平行，环A的质量为m=0.1kg，小球B的质量为2m。现使整个装置绕竖直轴以角速度ω=5rad/s匀速转动，细线与竖直方向的夹角为37°。缓慢加速后使整个装置以角速度2ω匀速转动，细线与竖直方向的夹角为53°，此时弹簧弹力与角速度为ω时大小相等，已知重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）装置转动的角速度为ω 时，细线OB的长度s；
（2）装置转动的角速度为2ω时，弹簧的弹力大小F；
（3）装置转动的角速度由ω增至2ω过程中，细线对小球B做的功W。
5．（2024·辽宁沈阳·统考一模）如图甲，水平面内有一条双线等宽光滑轨道，它由直轨道和两端半圆形轨道组成。在直轨道上放置一质量的小圆柱体，如图乙。小圆柱体两侧与轨道相切处和小圆柱体截面的圆心O连线的夹角，如图丙，初始时小圆柱体位于轨道上A点。现使之获得沿直轨道AB方向的初速度，小圆柱体运动过程中所受阻力忽略不计，小圆柱体尺寸和轨道间距相对轨道长度也忽略不计，两端半圆形轨道半径，g取。
（1）当时，小圆柱体可以安全通过半圆形轨道，求小圆柱体在直轨道和半圆形轨道上运动时，内侧轨道对小圆柱体的支持力、的大小；
（2）为确保小圆柱体沿半圆形轨道运动不脱轨，初速度不能超过多少 （结果可以保留根式）
6.（2024下·山东·高三山东省实验中学校联考开学考试）玩滑板是一项青少年酷爱的运动。一滑板训练场地如图所示，斜坡与光滑竖直圆轨道相切于点，圆轨道半径，圆心为，圆弧最低点与水平地面相切，斜坡倾角为37°，圆轨道左侧有一高出地面的平台，平台右端到光滑圆轨道最高点的水平距离为4m。一运动员连同滑板的总质量为80kg，从右侧斜坡上距点12.5m处的点无初速度滑下，其运动可简化为滑块在轨道上的匀加速直线运动，其通过光滑圆弧轨道的点后落在了左侧平台上，滑板和人可视为质点，不计空气阻力，滑板与倾斜轨道间的动摩擦因数，重力加速度取，。求：
（1）滑板和人通过圆弧轨道最低点时，对点的压力大小；
（2）平台上的落点到点的距离。
7．（2023下·全国·高三校联考阶段练习）如图所示，质量为m的小球（视为质点），用长为5d的轻质细线悬挂在天花板的左边缘O点，现把小球拿到A点，细线伸直与水平方向的夹角为，让小球从A点由静止释放，当小球运动到C点时，细线再次伸直，然后沿圆弧CD运动到D点，当小球运动到D点时，细线突然断裂，小球接着做平抛运动落到地面，已知D点与地面之间的高度差为，重力加速度为g，、，求：
（1）小球到C点时，系统生成的热量；
（2）小球离开D点做平抛运动的水平位移。
8．（2023上·河南·高三校联考阶段练习）如图所示，水平面上固定放置一四分之一圆弧轨道PA，轨道的内壁光滑，P点的切线竖直，A点在水平面的右边缘且切线水平。在水平面的右下方固定放置一半径为r的圆管轨道，D是轨道上圆心O的等高点，EC是竖直直径，B、E是管口，管的内壁光滑。现让质量为m的小球（视为质点）从P点由静止释放，圆管的内径略大于小球的直径，小球从A点离开后，正好从管口B（与管口无碰撞）进入圆管，然后沿着管壁运动到E点，离开E点后又刚好落到B点。已知，重力加速度为g，忽略空气阻力，求：
（1）小球在E点以及在B点的速度大小；
（2）小球在D点时的加速度大小以及四分之一圆弧轨道PA的半径；
（3）小球从E点到达B点时在B点重力的瞬时功率与小球从A点到达B点时在B点重力的瞬时功率之差。
9．（2023上·全国·高三校联考阶段练习）如图所示，质量为m的小球（视为质点）从A点以初速开始做平抛运动，到达B点无碰撞进入内壁光滑的细管道BC（形状按抛物线AB制造而成，管口的直径略大于小球的直径），竖直固定放置的半圆弧轨道CD与BC在C点平滑对接，且C点的切线水平，D是圆弧的最高点且切线水平，已知小球从A到B沿水平方向的分位移为，重力加速度为g，忽略空气的阻力，求：
（1）小球在B点的速度与水平方向夹角的正切值以及小球从A到C合力的冲量；
（2）若小球能到达D点，求圆弧轨道半径的取值范围。
10．（2024上·四川成都·高三成都七中校考期末）如图所示，半径的四分之一圆弧形光滑轨道竖直放置，圆弧最低点B与长为的水平面BC相切于B点，BC离地面高，C点与一倾角为的光滑斜面连接，质量的小滑块从圆弧上某点由静止释放，到达圆弧B点时小滑块对圆弧的压力刚好等于其重力的2倍，当小滑块运动到C点时与一个质量的小球正碰，碰后返回恰好停在B点，已知滑块与水平面间的动摩擦因数。（，，g取）求：
（1）小滑块应从圆弧上离地面多高处释放；
（2）小球第一落点到C点的距离。
11．（2024·河北邢台·高三河北巨鹿中学校考阶段练习）如图所示长方形光滑水平台面WXYZ，WX边长为1.0m，XY边长为1.5m，距离地面h=0.8m。一质量m=1kg的小球从W静止出发，在CD区域之间受到沿着WZ方向恒力F1的作用，F1=25N，CD区域沿WZ方向间距为d，d=0.5m。当小球到达D点时撤去F1，并立即对小球施加变力F2，使得小球开始做半径R=1m的匀速圆周运动，最终小球从Y点离开光滑水平台面开始做平抛运动。取g=10m/s2：
（1）求F2的大小；
（2）求小球在光滑水平台面运动的总时间；
（3）求小球平抛的水平位移。
12.（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）如图，在竖直平面内有半径为R的四分之一圆弧AB和直径为R的一半圆弧BC在最低点B平滑连接组成光滑固定轨道。一小球（可视为质点）在A点正上方某处由静止自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。小球运动到C后脱离轨道在D点与圆弧AB相撞，装在C处的压力传感器测得小球运动到C处时对圆轨道的压力恰为小球重力的一半。重力加速度大小为g，求
（1）小球开始下落处离A点的距离h；
（2）小球从C点运动到D点的时间t。
13．（2024·全国·校联考模拟预测）如图所示，竖直平面内一足够长的光滑倾斜轨道与一光滑水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，水平轨道右下方有一段抛物线形轨道。以O点为原点建立如图所示坐标系xOy，轨道的抛物线方程为，水平轨道末端的坐标为（0，0.8m）。小物块B从倾斜轨道上的某一位置由静止释放，沿着轨道下滑后与静止在水平轨道末端的小物块A发生碰撞，碰后两物块粘在一起水平抛出。已知小物块A、B的质量均为，物块B的释放点距离轨道末端的竖直高度为，取重力加速度。
（1）求两物块碰撞过程中损失的机械能；
（2）调节小物块B的释放点距离水平轨道的高度，使小物块B与小物块A碰撞后落到抛物线形轨道上时的动能最小，求小物块A动能最小值。
1.（2022·福建·高考真题）清代乾隆的《冰嬉赋》用“躄躠”（可理解为低身斜体）二字揭示了滑冰的动作要领。短道速滑世界纪录由我国运动员武大靖创造并保持。在其创造纪录的比赛中，
（1）武大靖从静止出发，先沿直道加速滑行，前用时。该过程可视为匀加速直线运动，求此过程加速度大小；
（2）武大靖途中某次过弯时的运动可视为半径为的匀速圆周运动，速度大小为。已知武大靖的质量为，求此次过弯时所需的向心力大小；
（3）武大靖通过侧身来调整身体与水平冰面的夹角，使场地对其作用力指向身体重心而实现平稳过弯，如图所示。求武大靖在（2）问中过弯时身体与水平面的夹角的大小。（不计空气阻力，重力加速度大小取，、、、）
2．（2023·全国·统考高考真题）将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？（不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g）
3．（2023·全国·统考高考真题）如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求
（1）小球离开桌面时的速度大小；
（2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
4．（2022·重庆·高考真题）小明设计了一个青蛙捉飞虫的游戏，游戏中蛙和虫都在竖直平面内运动。虫可以从水平x轴上任意位置处由静止开始做匀加速直线运动，每次运动的加速度大小恒为（g为重力加速度），方向均与x轴负方向成斜向上（x轴向右为正）。蛙位于y轴上M点处，，能以不同速率向右或向左水平跳出，蛙运动过程中仅受重力作用。蛙和虫均视为质点，取。
（1）若虫飞出一段时间后，蛙以其最大跳出速率向右水平跳出，在的高度捉住虫时，蛙与虫的水平位移大小之比为，求蛙的最大跳出速率。
（2）若蛙跳出的速率不大于（1）问中的最大跳出速率，蛙跳出时刻不早于虫飞出时刻，虫能被捉住，求虫在x轴上飞出的位置范围。
（3）若虫从某位置飞出后，蛙可选择在某时刻以某速率跳出，捉住虫时蛙与虫的运动时间之比为；蛙也可选择在另一时刻以同一速率跳出，捉住虫时蛙与虫的运动时间之比为。求满足上述条件的虫飞出的所有可能位置及蛙对应的跳出速率。
5．（2022·湖北·统考高考真题）如图所示，水族馆训练员在训练海豚时，将一发光小球高举在水面上方的A位置，海豚的眼睛在B位置，A位置和B位置的水平距离为d，A位置离水面的高度为d。训练员将小球向左水平抛出，入水点在B位置的正上方，入水前瞬间速度方向与水面夹角为θ。小球在A位置发出的一束光线经水面折射后到达B位置，折射光线与水平方向的夹角也为θ。
已知水的折射率，求:
（1）tanθ的值；
（2）B位置到水面的距离H。
6．（2022·全国·统考高考真题）将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度和之比为3：7。重力加速度大小取，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。
7．（2023·福建·统考高考真题）一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度，杆与竖直转轴的夹角a始终为，弹簧原长，弹簧劲度系数，圆环质量；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取，摩擦力可忽略不计
（1）若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离；
（2）求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小；
（3）求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。
8.（2022·辽宁·高考真题）2022年北京冬奥会短道速滑混合团体2000米接力决赛中，我国短道速滑队夺得中国队在本届冬奥会的首金。
（1）如果把运动员起跑后进入弯道前的过程看作初速度为零的匀加速直线运动，若运动员加速到速度时，滑过的距离，求加速度的大小；
（2）如果把运动员在弯道滑行的过程看作轨道为半圆的匀速圆周运动，如图所示，若甲、乙两名运动员同时进入弯道，滑行半径分别为，滑行速率分别为，求甲、乙过弯道时的向心加速度大小之比，并通过计算判断哪位运动员先出弯道。
9．（2018·浙江·高考真题）如图所示，一轨道由半径为2m的四分之一竖直圆弧轨道AB和长度可以调节的水平直轨道BC在B点平滑连接而成．现有一质量为0.2kg的小球从A点无初速度释放，经过圆弧上的B点时，传感器测得轨道所受压力大小为3.6N，小球经过BC段所受阻力为其重力的0.2倍，然后从C点水平飞离轨道，落到水平面上的P点，P、C两点间的高度差为3.2m．小球运动过程中可以视为质点，且不计空气阻力．
（1）求小球运动至B点的速度大小以及小球在圆弧轨道上克服摩擦力所做的功；
（2）为使小球落点P与B点的水平距离最大，求BC段的长度；
（3）小球落到P点后弹起，与地面多次碰撞后静止．假设小球每次碰撞机械能损失75%，碰撞前后速度方向与地面的夹角相等．求小球从C点飞出后静止所需的时间．
10．（2018·全国·高考真题）如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切。BC为圆弧轨道的直径。O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，，一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。求：
（1）水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；
（2）小球到达A点时动量的大小；
（3）小球从C点落至水平轨道所用的时间。
11．（2015·海南·高考真题）如图，位于竖直水平面内的光滑轨道由四分之一圆弧ab和抛物线bc组成，圆弧半径Oa水平，b点为抛物线顶点。已知h=2m，。取重力加速度大小。
（1）一小环套在轨道上从a点由静止滑下，当其在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；
（2）若环从b点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达c点时速度的水平分量的大小。
12．（2016·全国·高考真题）如图，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。
(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。
