2024年苏州中考数学考前押题卷（七）
（考试时间：120分钟 试卷满分：130分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．的相反数是（ ）
A．2024 B． C．﹣2024 D．1
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
3．刚刚发布的年全国主要城市第一季度排行榜中，苏州市以亿元排名全国第七位，其中亿用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的主视图为（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．抛一枚质地均匀的硬币；连续抛4次，硬币落地时都是正面朝上，如果第5次抛掷这枚硬币，那么正面朝上的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知矩形的一边长为12，点P为边上一动点，连接，且满足，则的值可能是（
A．6 B．6.8 C． D．
第7题 第8题
8．如图，是的一条弦，点C是上一动点，且，点E，F分别是的中点，直线与交于G，H两点，若的半径是r，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案填写在答题卡相应位置上）
9．若有意义，则的取值范围是___________．
10．因式分解：__________
11．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点，则代数式的值为___________．
12．如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，再分别以A、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线，分别交、于点E、F，则的长度为____________．
第12题 第13题
13．如图，O、B两点是线段的三等分点，以为直径作，点E为上一点，连接，交于点D，连接，若点D恰为线段中点，则为__________．
14．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边经过原点，，且顶点、、都在反比例函数的图像上，则顶点的坐标为___________．
第14题 第15题 第16题
15．如图，正方形的边长为，点为的中点，以为圆心，为半径作圆，分别交、于、两点，与切于点．则图中阴影部分的面积是________．
16．如图，在中，，点D是边上一动点，连接，以为斜边作，使，连接．则面积的最大值__________．
三、解答题（本大题共11小题，第17、18题每题5分，第19、20、21题每题6分，第22、23、24题每题8分，第25、26、27题每题10分，共82分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
18．解不等式组：
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图，中，、分别为边、中点，连接DE并延长至点，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求四边形的周长．
21．将数，，分别写在三张相同的不透明卡片上的正面，将卡片洗匀后背面朝上置于桌面，甲乙两个同学从中随机各抽取一张卡片（注：第一个同学抽取到的卡片不放回）．
(1)甲同学抽到的卡片上数字是的概率是；
(2)求甲乙两个同学抽到的卡片数字都是无理数的概率．（用画树状图或列表的方法求解）
22．3月5日，某学校师生积极参加“学雷锋志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题：
(1)本次调查的师生共有_______人，请补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，求“文明宣传”对应的圆心角度数；
(3)该校共有1500名师生，若有的师生参加志愿者服务，请你估计参加“敬老服务”项目的师生人数．
23．如图1是常熟市聚沙塔，始建于南宋绍兴年间，塔基是正八边形．塔是聚众人之财，汇众人之力而建成，所以取“聚沙成塔，集腋成裘"意而名．某数学学习活动小组开展了测量“聚沙塔塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：
①如图2，测量塔基正八边型的边长；②在地面选取测量点和塔基正八边形的顶、，调整的度数，使得测量点、八边形的顶点以及正八边形的中心在同一条直线上（三点在同一条直线上）；③测量之间的距离；④如图3，测量塔的顶点与地面测量点所在直线与地面形成的夹角．
数据收集：通过实地测量，正八边形的边长，地面上两点的距离为，．
问题解决：
(1)如图2，要使得三点在同一条直线上，应调整的角度，使得的度变为；
(2)求塔的高度．（结果保留一位小数．参考数据：，）
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于两点．
(1)求m的值和反比例函数的解析式；
(2)若点C为坐标轴上一点，且满足，求点C的坐标．
25．如图，是的直径，切于，弦．
(1)求证：是的切线；
(2)设四边形的面积为，的面积为，若，求的值．
26．如图1，已知正方形中，，点P从B点出发，以的速度沿的路径匀速运动，运动到D点后立即停止运动；点Q从点C出发，以的速度沿的路径匀速运动，然后以的速度沿路径匀速运动，运动到点B后立即停止运动，若P、Q两点同时出发，设点Q的运动时间为，的面积为，y与x的函数关系如图2所示．
(1)______，______，______，______；
(2)求的函数表达式；
(3)时，求出以为直径的圆与任一边相切时相应的x的值．
27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，与轴的交点为，直线轴，在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求面积的最大值；
(3)当时，是否存在点，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
答案与解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．的相反数是（ ）
A．2024 B． C．﹣2024 D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数．根据相反数的概念解题．
【详解】解；的相反数是，
故选：B．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形．熟练掌握轴对称图形定义和中心对称图形的定义，是解决问题的关键．轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
根据轴对称图形定义和中线对称图形的定义，逐一判断即得．
【详解】A．是轴对称图形不是中心对称图形，不合题意；
B．不是轴对称图形是中心对称图形，不合题意；
C．是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意；
D．不是轴对称图形也不是中心对称图形，不合题意．
故选：C．
3．刚刚发布的年全国主要城市第一季度排行榜中，苏州市以亿元排名全国第七位，其中亿用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，n为整数，正确确定a与n的值是解题的关键．
【详解】
解：亿．
故选：C．
4．如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的主视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查简单几何体的主视图，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．主视图即从正面看几何体，据此解题即可．
【详解】解：从正面看榫的主视图为：
故选：B．
5．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查合并同类项法则、单项式乘法法则、积的乘方法则、幂的乘方法则、完全平方公式，熟练掌握相关法则是解题的关键．依据合并同类项法则、单项式乘法法则、积的乘方法则、完全平方公式进行计算即可．
【详解】解：A、原式错误，不符合题意；
B、 不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
C、该选项正确，符合题意；
D、原式错误，不符合题意；
故选：C．
6．抛一枚质地均匀的硬币；连续抛4次，硬币落地时都是正面朝上，如果第5次抛掷这枚硬币，那么正面朝上的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用概率的意义分析得出答案．
【详解】解：∵概率是频率（多个）的波动稳定值，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，
∴抛掷硬币4次的结果不是事件的概率，
∵抛掷一枚质地均匀的硬币只有两种情况：正面朝上或反面朝上，
∴硬币正面朝上的概率都是．
故选：D．
【点睛】此题考查了概率的意义以及概率公式，明确概率的意义以及概率的计算方法是解答的关键．
7．如图，已知矩形的一边长为12，点P为边上一动点，连接，且满足，则的值可能是（ ）
A．6 B．6.8 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，矩形的性质，三角形的面积等知识，考虑的两个临界点，①如图1，当点P与点A重合时，最小，此时的值最大；②如图2，当点P是的中点时，最大，此时最小；分别计算的值，确定的最大值和最小值，可得结论．
【详解】解：①如图1，当点P与点A重合时，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴
此时是满足题意的最大值；
②如图2，当点P是的中点时，此时最小，
此时，
过点B作于E，
设，则
∵，
∴，，
∴，
解得：（舍）或，
∴，
综上，，即．
故选：B．
8．如图，是的一条弦，点C是上一动点，且，点E，F分别是的中点，直线与交于G，H两点，若的半径是r，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题考查圆周角定理，三角形中位线定理，解直角三角形，作直径，连接，由锐角的正弦得到，由三角形中位线定理得到，因此当是圆直径时，有最大值，于是即可得到答案．
【详解】
解：作直径，连接，
，
，
，
，
∵E，F分别是的中点，
是的中位线，
，
，
∴当长最大时，有最大值，
∴当是圆直径时，最大．
∴最大值是．
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案填写在答题卡相应位置上）
9．若有意义，则的取值范围是．
【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义条件，以及解一元一次不等式，根据二次根式有意义，即被开方数非负，建立不等式求解，即可解题．
【详解】解：有意义，
，
解得，
故答案为：．
10．因式分解：
【答案】
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可；
【详解】
．
故答案为：．
11．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点，则代数式的值为．
【答案】1
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，把代入函数得，代入代数式解答即可．
【详解】解：把代入函数得，
，
把代入得，
，
故答案为：1．
12．如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，再分别以A、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线，分别交、于点E、F，则的长度为．
【答案】
【分析】由题意得，，直线为线段的垂直平分线，由勾股定理得，进而可得，证明，可得，即，求出，即可得出答案．
【详解】解：由题意得，，直线为线段的垂直平分线，
，，，
，
，
，
，，
，
，
即，
解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查作图基本作图、勾股定理、线段垂直平分线、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
13．如图，O、B两点是线段的三等分点，以为直径作，点E为上一点，连接，交于点D，连接，若点D恰为线段中点，则为．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理、中位线定理、正切函数的定义等，解题的关键是正确做出辅助线．
连接、，证为的中位线，则为半径的一半，根据圆周角定理得，利用勾股定理求出表示的代数式，然后根据正切的定义求解即可．
【详解】解：连接、，如图，设的半径为r
O、B两点是线段的三等分点，
，
点D恰为线段中点，
为的中位线，
，
为直径，
，
在中，，
．
故答案为：．
14．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边经过原点，，且顶点、、都在反比例函数的图像上，则顶点的坐标为．
【答案】
【分析】过点A作轴于N，过点C作轴于M，连接，设，则由对称性可知，先证明是等边三角形，得到，再证明，得到，则，再求出点D的坐标为，由点D在反比例函数图象上，得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点A作轴于N，过点C作轴于M，连接，
设，则由对称性可知，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴点B平移到点A和点C平移到到点D的平移方式相同，
∴点D的坐标为，
又∵点D在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
15．如图，正方形的边长为，点为的中点，以为圆心，为半径作圆，分别交、于、两点，与切于点．则图中阴影部分的面积是．
【答案】
【分析】根据直角三角形的性质求出和，根据勾股定理求出，根据扇形面积公式计算，得到答案．
【详解】解：由题意得，，
，
，，
，
同理，，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是切线的性质、正方形的性质、扇形面积计算，熟记扇形面积公式是解题的关键．
16．如图，在中，，点D是边上一动点，连接，以为斜边作，使，连接．则面积的最大值．
【答案】
【分析】过点作，交的延长线于根据题意得到，，进而得到即可解答．
【详解】解：过点作，交的延长线于，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴面积的最大值是．
故答案为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，第17、18题每题5分，第19、20、21题每题6分，第22、23、24题每题8分，第25、26、27题每题10分，共82分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
【答案】
【分析】
本题主要考查了特殊角的三角函数值、负整数次幂、绝对值等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
根据特殊角的三角函数值、负整数次幂、绝对值进行化简，然后再计算即可．
【详解】
解：
．
18．解不等式组：
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式组．解题的关键是分别求出每个不等式的解集，再根据一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到即可确定一元一次不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为．
19．先化简，再求值：，其中．
【答案】，.
【分析】原式括号中两项利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．如图，中，、分别为边、中点，连接DE并延长至点，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求四边形的周长．
【答案】(1)见详解 (2)
【分析】（1）可得，由即可求证；
（2）可得，，，可证四边形是平行四边形，即可求解．
【详解】（1）证明：是的中点，
，
在和中
，
()．
（2）解：、分别为边、中点，
，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键．
21．将数，，分别写在三张相同的不透明卡片上的正面，将卡片洗匀后背面朝上置于桌面，甲乙两个同学从中随机各抽取一张卡片（注：第一个同学抽取到的卡片不放回）．
(1)甲同学抽到的卡片上数字是的概率是；
(2)求甲乙两个同学抽到的卡片数字都是无理数的概率．（用画树状图或列表的方法求解）
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查列表法和树状图法求等可能事件概率，掌握列表法和树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键．
（1）根据概率的意义求出即可；
（2）用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果数，从中找出甲乙两个同学抽到的卡片数字都是无理数的结果数，再用等可能事件概率公式求出即可．
【详解】（1）解：有3张卡片，其中只有一张卡片上的数字是，
（甲同学抽到的卡片上数字是），
故答案为：；
（2）解：，
画树状图如下：
一共有6种等可能的结果，其中甲乙两个同学抽到的卡片数字都是无理数有2种可能，
（甲乙两个同学抽到的卡片数字都是无理数）．
22．3月5日，某学校师生积极参加“学雷锋志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题：
(1)本次调查的师生共有_______人，请补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，求“文明宣传”对应的圆心角度数；
(3)该校共有1500名师生，若有的师生参加志愿者服务，请你估计参加“敬老服务”项目的师生人数．
【答案】(1)300，补全条形统计图见解答(2)(3)480名
【分析】（1）根据“清洁卫生”的人数和所占的百分比求出样本容量，再用样本容量减去其他三个项目的人数，可得“文明宣传”的人数，进而补全条形统计图；
（2）用乘“文明宣传”所占的百分比即可得出“文明宣传”对应的圆心角度数；
（3）用参加志愿者服务的人数乘样本中参加“敬老服务”的人数所占的百分比即可．
【详解】（1）解：本次调查的师生共有：（人），
“文明宣传”的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：300；
（2）解：由（1）知“文明宣传”的人数为人，
在扇形统计图中，“文明宣传”对应的圆心角度数为；
（3）解：由条形统计图中数据可知样本中“敬老服务”的人数为人，
（人）．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．如图1是常熟市聚沙塔，始建于南宋绍兴年间，塔基是正八边形．塔是聚众人之财，汇众人之力而建成，所以取“聚沙成塔，集腋成裘"意而名．某数学学习活动小组开展了测量“聚沙塔塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：
①如图2，测量塔基正八边型的边长；②在地面选取测量点和塔基正八边形的顶、，调整的度数，使得测量点、八边形的顶点以及正八边形的中心在同一条直线上（三点在同一条直线上）；③测量之间的距离；④如图3，测量塔的顶点与地面测量点所在直线与地面形成的夹角．
数据收集：通过实地测量，正八边形的边长，地面上两点的距离为，．
问题解决：
(1)如图2，要使得三点在同一条直线上，应调整的角度，使得的度变为；
(2)求塔的高度．（结果保留一位小数．参考数据：，）
【答案】(1)；
(2)塔高约为．
【分析】（）利用等腰三角形的性质和领补角的定义即可求解；
（）过点作，求出，再利用三角函数即可求解；
本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质和领补角的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵塔基是正八边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如图过点作，
∵ ，
∴（米），
在中，，
∴，
∴（米）
如图，在中，，
∴（米），
答：塔高约为．
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于两点．
(1)求m的值和反比例函数的解析式；
(2)若点C为坐标轴上一点，且满足，求点C的坐标．
【答案】(1)4， (2)
【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，勾股定理，熟知反比例函数和一次函数的对称性是解题的关键．
（1）先求出点坐标，再代入反比例函数解析式即可．
（2）根据反比例函数的对称性可求出的长，再由并利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求得的长，进而解决问题．
【详解】（1）解： 点在一次函数 的图象上，
．
点的坐标为．
反比例函数 的图象经过点，
．
反比例函数的解析式为．
（2）过点作轴的垂线，垂足为点，
，
则，．
由勾股定理，得．
由图象的对称性，可知．
又，
．
点的坐标为．
25．如图，是的直径，切于，弦．
(1)求证：是的切线；
(2)设四边形的面积为，的面积为，若，求的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）接，利用平行线的性质得出，，证明即可；
（）过点作，利用三角函数和面积公式即可求解；
本题考查圆的切线判定，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在与 中
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）如图所示，过点作，
∵，
∴设，，，，
，，，
∴．
26．如图1，已知正方形中，，点P从B点出发，以的速度沿的路径匀速运动，运动到D点后立即停止运动；点Q从点C出发，以的速度沿的路径匀速运动，然后以的速度沿路径匀速运动，运动到点B后立即停止运动，若P、Q两点同时出发，设点Q的运动时间为，的面积为，y与x的函数关系如图2所示．
(1)______，______，______，______；
(2)求的函数表达式；
(3)时，求出以为直径的圆与任一边相切时相应的x的值．
【答案】(1)，2，4，5；
(2)；
(3)x的值为0，，1，．
【分析】（1）先根据正方形的性质和勾股定理可得，根据题意可得当点P与点C重合时面积为0，可得直角三角形的性质可得；此时点Q恰好与点A重合，进而求得，然后根据线变化趋势可得面积y时间x增大而增大，利用边界点进行解答即可求得m、n；
（2）先求得F、G的坐标，然后运用待定系数法求解即可；
（3）分与、、相切三种情况，分别画出图形，利用正方形的性质、圆的性质、直角三角形的性质解答即可．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，是对角线，，
∴，，
由图像可得点F示的实际意义是面积为0，即点P点C合，由直线变化趋势可得面积y时间x增大而增大，即此时点P与点C重合时，点Q恰好与点A重合，
当点P与点C重合时所需时间为，即，
∵点Q恰好与点A重合，
∴，解得：，
∵线变化趋势可得面积y时间x增大而增大，
∴在此期间点P在上运动，
∴当P和重合时，点G的横坐标为：，的面积为，
∴点G的坐标为，
之后点P在D点停止，点Q在的后半段运动长度为：，所用时间为：，
∴n表示的数为，
故答案为，2，4，5；
（2）解：由（1）可得，即点；点G的坐标为，
设的函数表达式为，
则，解得：，
∴．
（3）解：①如图：当与AB相切时，即P与B重合，Q与C重合，即；
②如图：当与相切时，即，
∵正方形
∴
∴
∴
∴，解得：
③如图：②当与相切时，即，
∵正方形
∴
∴
∴
∵
∴，解得：
④如图：当与相切时，即，
∴
由正方形的性质和直角三角形的性质可得：，
过Q作,则
∵
∴
∴，
∴，解得：．
综上，以为直径的圆与任一边相切时相应的x的值为0，，1，．
【点睛】本题主要考查了四边形的动点问题、求函数解析式、正方形的性质，切线的性质的应用等知识点，掌握数形结合思想成为解答本题的关键
27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，与轴的交点为，直线轴，在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求面积的最大值；
(3)当时，是否存在点，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，面积有最大值，为
(3)、或
【分析】（1）根据抛物线对称性得到，再由得到，联立方程组求解得到，，利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案；
（2）由（1）中所求解析式，得到，，求出直线：，根据在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线的交点为，分二种情况：①当在轴之间时；②当在轴右边时；利用平面直角坐标系中三角形面积的表示方法，最后结合抛物线图象与性质求解即可得到答案；
（3）分两种情况：点在上方；点在下方；当点在上方时，如图所示，，当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；利用相似比代值求解即可得到答案；同理，当点在下方时，如图所示，，当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；利用相似比代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线，
对称轴为，
抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，
，，则，解得，
，，
将代入得，解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：由得：，
设直线：，将，代入得，解得，
直线：，
在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为，根据，，则分二种情况：①当在轴之间时；②当在轴右边时；
当在轴之间时，如图所示：
，，
，
，，
抛物线开口向下，当时，有最大值，为；
当在轴右边时，过作轴，如图所示：
，，
，
，对称轴为，，
抛物线开口向上，则当时，随着的增大而增大，即当时，有最大值，为；
，
当时，面积有最大值，为；
（3）解：由（1）知，当时，，解得或，
，
当在上方，即时，如图所示：
，
当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；
由（1）（2）可知，，，且，，
当时，，
，
，即，解得（舍去）或；
当时，，
，
，即，解得（舍去）或（舍去）；
当在下方，即时，如图所示：
，
当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；
由（1）（2）可知，，，且，，
当时，，
，
，即，解得（舍去）或；
当时，，
，
，即，解得（舍去）或；
综上所述，存在点，使以为顶点的三角形与相似，此时，、或．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象与性质、抛物线与三角形面积问题、抛物线与三角形相似、解一元二次方程等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数综合题型的解法，分类讨论是解决问题的关键．
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