2024年数学高二下册数列四大题型专题
一．由递推公式求数列通项公式
1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，Sn+1＝3Sn+2，n∈N*，则S4＝（ ）
A．80 B．160 C．121 D．242
2．已知数列{an}满足，设其前n项和为Sn，则S100＝（ ）
A．2500 B．2600 C．2700 D．2800
3．已知数列{an}满足，若，则a1＝（ ）
A． B． C．1 D．2
4．在数列{an}中，若a1＝1，，则a12＝（ ）
A．﹣2 B． C．1 D．4
（多选）5．正项数列{an}的前n项和为Sn，若，，数列{bn}的前n项和为Tn，下面结论正确的有（ ）
A．an+1＞an B．是等差数列
C．lnn+2≥2Sn D．满足Tn≥2的最小正整数n为5
（多选）6．设Sn是数列{an}的前n项和，，a1＝a10，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知数列{an}满足2an+2＝（n∈N*），且a1＝a2＝1，Sn为数列{an}的前n项和，则＝ ，2a2024+S2023＝ ．
8．已知Sn为数列{an}的前n项和，且a2＝a11，+2Sn+2Sn+1＝0，则a1的最小值为 ．
9．已知数列{bn}的前n项和为Tn，且满足．
（1）证明：t≤1；
（2）当t＝0时，求证：Tn≥（n+1）2；
（3）是否存在常数t，使得{bn}为等比数列？若存在，求出所有满足条件的t的值．若不存在，请说明理由．
10．设数列{an}满足a1＝2，，n∈N*，
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足，其前n项和为Sn，数列{cn}满足cn＝，其前n项积为Tn，求证：Sn+2Tn＝2．
二．前n项和做差法求数列通项公式
11．已知数列{an}的前n项和分别为Sn，Sn+an＝1，若任取n∈N*，不等式（﹣1）nλ＜Sn恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）
A．（，） B．（，） C．（﹣1，） D．（﹣1，）
12．已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，Sn+Sn+1＝n（n+2），则＝（ ）
A． B． C． D．
13．在数列{an}中，Sn＝2n2﹣3n，则a4等于（ ）
A．11 B．15 C．17 D．20
14．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝3，Sn+1＝Sn+2n，那么a3＝（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
（多选）15．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn+1＝Sn+2an+1，数列的前n项和为Tn，n∈N*，则下列结论正确的是（ ）
A．{an+1}是等差数列 B．{an+1}是等比数列
C．{an}的通项公式为 D．Tn＜1
（多选）16．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+3SnSn﹣1＝0（n≥2），a1＝，则下列命题中正确的是（ ）
A．{}是等差数列 B．Sn＝
C．an＝﹣ D．{Sn}是等比数列
17．已知数列{an}各项非零，前n项和为Sn，a1＝1，且4Sn＝an+1an+1，则a100＝ ．
18．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2nSn+1﹣2（n+1）Sn＝n（n+1），则数列{an}的通项an＝ ．
19．已知正项数列{an}，对任意n∈N*，都有2Sn＝+an，Sn为数列{an}的前n项和．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，若数列{bn}是递增数列，求实数λ的取值范围．
20．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，（n∈N*且n≥2）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为Tn，求证：Tn＜1．
21．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S5＝35，且a4是a1与a13的等比中项，数列{bn}的前n项和．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）若a1＜4，对任意n∈N*总有恒成立，求实数λ的最小值．
三．列项法求数列前n项和
22．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则数列的前2024项和为（ ）
A． B． C． D．
23．已知数列{an}的前n项和为Sn，若，则S7＝（ ）
A． B． C． D．
24．已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝2且，设bn＝1+log2an，则的值是（ ）
A． B． C． D．
（多选）25．已知数列{an}的前n项和为，数列{}的前n项和为Tn，若对一切n∈N*都有3m﹣1＞Tn恒成立，则整数m的可能值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
26．已知等差数列{an}是递增数列，且满足a2a8＝85，a3+a7＝22，令，且，则数列{bn}的前n项和为 ．
27．已知数列{an}是正项数列，Sn是数列{an}的前n项和，且满足．若，Tn是数列{bn}的前n项和，则T20＝ ．
28．若数列{an}的前n项和为Sn，，则称数列{bn}是数列{an}的“均值数列”．已知数列{bn}是数列{an}的“均值数列”且bn＝n，设数列的前n项和为Tn，若对n∈N*恒成立，则实数m的取值范围为 ．
29．已知数列{an}为等差数列，且a2+a3＝8，a5+a6＝20．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：．
30．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，2Sn＝anan+1，数列{bn}为正项等比数列，b2＝a4且b2，3b1，b3依次成等差数列．
（1）求{an}，{bn}的通项公式；
（2）设，{cn}的前n项和为Tn，问是否存在正整数k使得成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
31．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣1，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）已知bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，若对任意的正整数n，不等式2λ﹣1≤Tn＜λ都成立，求实数λ的取值范围．
四．错位相减法求数列前n项和
32．设数列{an}满足a1+2a2+4a3+…+2n﹣1an＝，则数列{an}的前n项和Sn为（ ）
A． B．
C． D．
33．设数列{nan}的前n项和为Sn，且an＝2n，则使得Sn＜1000成立的最大正整数n的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
34．已知数列{an}满足，数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论错误的是（ ）
A．a1的值为2 B．数列{an}的通项公式为
C．数列{an}为递减数列 D．
（多选）35．已知数列an满足a1＝2，an+1＝，设bn＝a2n，记数列{an}的前2n项和为S2n，数列{bn}的前n项和为Tn，则下列结论正确的是（ ）
A．a5＝24 B．bn＝n 2n
C．Tn＝n 2n+1 D．S2n＝（2n﹣1）2n+1+2
36．已知函数f（x）＝xn，数列{an}的通项公式为an＝f'（2），则数列{an}的前n项和Sn＝ ．
37．数列{an}满足a1＝2，且（n∈N*且n＞1），若{an}的前n项和为Sn，则满足的最小正整数n的值为 ．
38．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3＝3，S8＝36，设bn＝an 3n﹣1，且数列{bn}的前n项和为Tn，则使+λbn≥Tn恒成立的实数λ的取值范围是 ．
39．数列{an}满足a1＝，an+1＝（n∈N*）．
（1）计算a2，a3，猜想数列{an}的通项公式并证明；
（2）求数列{an（n+1）3n}的前n项和；
（3）设bn＝2an（n∈N*），数列{bn}前n项和为Sn，证明：．
40．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＝15，a1，a4，a13成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，
（ⅰ）求数列{bn}的前n项和Tn；
（ⅱ）若不等式对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．
41．已知数列{an}满足a1＝2，．
（1）证明：an+2﹣an+1＝an+1﹣an对任意的n∈N*成立．
（2）记，求数列{bn}的前n项和Tn．
（3）证明：．
课后练习
42．已知数列{an}满足a1＝1，，Sn是数列{an}的前n项和，则S9＝（ ）
A．29﹣10 B．29﹣11 C．210﹣10 D．210﹣11
43．已知等差数列{an}与等比数列{bn}的首项均为﹣1，且a2＝8b4＝1，则数列{anbn}（ ）
A．既有最大项又有最小项 B．只有最大项没有最小项
C．只有最小项没有最大项 D．没有最大项也没有最小项
44．已知数列{an}满足，数列{bn}的前n项和为Sn，若λ＞Sn对n∈N*恒成立，则实数λ的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
45．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且，＝﹣1，则下列结论正确的是（ ）
A．S2022＝2022，a3＞a2022 B．S2022＝﹣2022，a3＜a2022
C．S2024＝2024，a3＞a2022 D．S2024＝﹣2024，a3＜a2022
（多选）46．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项积为Tn，则（ ）
A．{anbn}可能为等差数列 B．{anbn}不可能为等比数列
C．是等差数列 D．{}是等比数列
（多选）47．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且，则（ ）
A．an＝2n﹣1 B．
C．数列的前n项和为 D．数列的前n项和为2n+1+n2﹣2
48．在正项等比数列{an}中，a1＝16，a3+a5＝12，则a2a4…a2n的最大值为 ．
49．在数列{an}中，a1＝1，．设数列的前n项和Tn，若存在n∈N*，使得不等式Tn≥λ，则实数λ的取值范围为 ．
50．设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，且a2，a4，a8成等比数列；
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，数列{bn}的前n项和为Kn，求证：．
51．已知函数f（x）＝xe4x，记f1（x）＝f'（x），且fn+1（x）＝fn'（x），n∈N*．
（1）求f1（x），f2（x）；
（2）设，n∈N*，
（ⅰ）证明：数列是等差数列；
（ⅱ）数列{bn}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，满足，求λ的取值范围．
参考答案与试题解析
1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，Sn+1＝3Sn+2，n∈N*，则S4＝（ ）
A．80 B．160 C．121 D．242
【解答】解：由Sn+1＝3Sn+2，得Sn+1+1＝3Sn+3＝3（Sn+1），
又S1＝a1＝2，得S1+1＝3，
所以{Sn+1}是以3为首项，以3为公比的等比数列，
所以Sn+1＝3n，即Sn＝3n﹣1，
所以S4＝34﹣1＝80．
故选：A．
2．已知数列{an}满足，设其前n项和为Sn，则S100＝（ ）
A．2500 B．2600 C．2700 D．2800
【解答】解：若n＝2k﹣1，k∈N*，则，
若n＝2k，k∈N*，则，
所以数列{an}的偶数项构成以2为首项，公差为2的等差数列，奇数项构成常数数列，
．
故选：B．
3．已知数列{an}满足，若，则a1＝（ ）
A． B． C．1 D．2
【解答】解：因为，
令n＝2，则a2＝+1；
令n＝3，则a3＝+1＝+1＝+1＝，
所以a1＝1．
故选：C．
4．在数列{an}中，若a1＝1，，则a12＝（ ）
A．﹣2 B． C．1 D．4
【解答】解：∵a1＝1，an+1＝，
∴a2＝＝4，a3＝＝﹣2，a4＝＝1＝a1，
∴{an}是以3为周期的周期数列，
∴a12＝a3×4＝a3＝﹣2．
故选：A．
（多选）5．正项数列{an}的前n项和为Sn，若，，数列{bn}的前n项和为Tn，下面结论正确的有（ ）
A．an+1＞an
B．是等差数列
C．lnn+2≥2Sn
D．满足Tn≥2的最小正整数n为5
【解答】解：因为，
所以，n≥2，
整理得，，
当n＝1时，，得a1＝1，
当n＝2时，，得，
所以是首项为1，公差为1的等差数列，B正确；
由得，
所以，
两式相减得，
因为{an}是正项数列，
所以an﹣an+1＞0，即an＞an+1，A错；
由选项B知，，
则，假设lnn+2≥2Sn，
则，
令，f（x）＝lnx2﹣2x+2（x≥1），
则，
所以f（x）在定义域内单调递减，
所以f（x）≤f（1）＝0，与假设矛盾，C错；
由，，
所以Tn＝b1+b2+b3+ +bn＝，
即Tn＝＝，
令Tn≥2，即，
解得，当n＝4时，，当n＝5时，，
所以Tn≥2的最小正整数n为5，D正确．
故选：BD．
（多选）6．设Sn是数列{an}的前n项和，，a1＝a10，则（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由，可知，
则（﹣1）nan＝﹣（n﹣1）﹣（n﹣2）﹣…﹣1+（﹣1）1a1＝，
故，
由a10＝a1，可知，解得，故A正确；
而，
当且仅当，即n＝7时，anan+1≥0，
故anan+1的最大值为 ，
即，故D正确；
由，可得，
则有a2+a1＝﹣1，a4+a3＝﹣3，…，a2n+a2n﹣1＝﹣（2n﹣1），
所以a1+a2+…+a2n＝﹣[1+3+…+（2n﹣1）]＝＝﹣n2，
即，故C正确；
由A，C可知，s9＝s10﹣a10＝﹣25﹣（）＝﹣，故B错误．
故选：ACD．
7．已知数列{an}满足2an+2＝（n∈N*），且a1＝a2＝1，Sn为数列{an}的前n项和，则＝ ，2a2024+S2023＝ 22023+1 ．
【解答】解：∵数列{an}满足2an+2＝（n∈N*），
∴an+2an﹣＝，
∵a1＝a2＝1，
∴a3a1﹣＝，解得a3＝，
同理可得：a4＝，a5＝，
则＝＝．
由an+2an﹣＝，
n≥2时，可得an+2an﹣＝an+1an﹣1﹣，
化为＝＝……＝＝＝＝，
∴an+1+an﹣1＝an，（*）
变形为an+1﹣xan＝y（an﹣xan﹣1），
化为an+1+xyan﹣1＝（x+y）an，
与（*）比较可得，
解得或，
不妨取，
∴an+1﹣2an＝（an﹣2an﹣1），
∴数列{an+1﹣2an}是等比数列，公比为，首项为a2﹣2a1＝﹣1，
∴an+1﹣2an＝﹣，
变形为an+1﹣×＝2[an﹣×]，
a1﹣×＝，a2﹣×＝，
∴n＝1时也成立，
∴数列{an﹣×}是等比数列，首项为，公比为2，
∴an﹣×＝×2n﹣1，
可得an＝[2n﹣1+]，
∴Sn＝×+×＝（2n﹣+3），
∴2a2024+S2023＝2×[22023+]+（22023﹣+3）＝22023+1．
故答案为：，22023+1．
8．已知Sn为数列{an}的前n项和，且a2＝a11，+2Sn+2Sn+1＝0，则a1的最小值为 ﹣8 ．
【解答】解：∵+2Sn+2Sn+1＝0，
∴+2Sn﹣1+2Sn＝0，（n≥2），
两式相减得﹣+2（an+an+1）＝0，
∴（an+1+an）（an+1﹣an+2）＝0，（n≥2），
∴an+1＝﹣an…①，（n≥2），
或an+1＝an﹣2…②，（n≥2），
又a2＝a11，
∴由a2到a11经过9次变化，
∴要使a1的值最小，则9次变化中8次采用②，1次采用①，
∴a11＝﹣（a2﹣2×8）＝a2，
∴a2＝8，
∴a1＝﹣a2＝﹣8，
∴a1的最小值为﹣8．
故答案为：﹣8
9．已知数列{bn}的前n项和为Tn，且满足．
（1）证明：t≤1；
（2）当t＝0时，求证：Tn≥（n+1）2；
（3）是否存在常数t，使得{bn}为等比数列？若存在，求出所有满足条件的t的值．若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：当n＝1时，此时，
从而，
故t 1；
（2）证明：由题意有，
从而当n＝1时，，解得b1＝4；
当n 2时，，两式相减可得，且bn 0，
从而，
累加可得bn＞2（n﹣1）+b1＝2n+2，
从而，
又（n2+3n）﹣（n+1）2＝n﹣1 0，即n 2时，，
又T1＝4＝（1+1）2，故；
（3）解：若存在常数t，使得{bn}为等比数列，不妨设其公比为q（q≠0），
又，可得，从而，
整理得对任意n均成立，
即对任意n均成立，故q＝1或q＝﹣1，
当q＝1时，b1＝0，舍去；
当q＝﹣1时，，
特别地，，
解得b1＝t＝0（舍去）或b1＝t＝1，
当b1＝t＝1时，bn＝（﹣1）n﹣1，
故存在常数t＝﹣1，使得{bn}是公比为﹣1的等比数列．
10．设数列{an}满足a1＝2，，n∈N*，
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足，其前n项和为Sn，数列{cn}满足cn＝，其前n项积为Tn，求证：Sn+2Tn＝2．
【解答】（1）解：由题意，可知 an＞0，n∈N*，
则由两边取对数，
可得lnan+1＝ln＝2lnan，
∵lna1＝ln2，
∴数列{lnan}是以ln2为首项，2为公比的等比数列，
∴lnan＝ln2 2n﹣1＝ln，
∴an＝，n∈N*．
（2）证明：由（1）可得，
＝
＝
＝
＝
＝﹣
＝﹣，
∴Sn＝b1+b2+…+bn
＝﹣+﹣+…+﹣
＝﹣
＝1﹣，
又cn＝＝，
故Tn＝c1c2…cn
＝ …
＝
＝
＝，
∴Sn+2Tn＝1﹣+2
＝1﹣+
＝1+
＝2．
11．已知数列{an}的前n项和分别为Sn，Sn+an＝1，若任取n∈N*，不等式（﹣1）nλ＜Sn恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）
A．（，） B．（，） C．（﹣1，） D．（﹣1，）
【解答】解：∵Sn+an＝1①，
当n＝1时，a1＝，
当n≥2时，Sn﹣1+an﹣1＝1②，
由①﹣②得an＝an﹣1，
∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列，
∴an＝，Sn＝1﹣，
任取n∈N*，不等式（﹣1）nλ＜Sn恒成立，
∴当n为奇数时，λ＞﹣Sn＝﹣1恒成立，即λ＞（﹣1）max，
∵﹣Sn＝﹣1随着n的增大而减小，
∴当n＝1时取得最大值﹣，即；
当n为偶数时，λ＜Sn＝1﹣恒成立，只需λ＜（1﹣）min
又Sn随着n的增大而增大，
∴当n＝2时取得最小值，即，
∴＜λ＜，即λ∈（，）．
故选：A．
12．已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，Sn+Sn+1＝n（n+2），则＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，当n＝1时，S1+S2＝2a1+a2＝3，
∵a1＝1，∴a2＝1，
当n≥2时，由Sn+Sn+1＝n（n+2），
可得Sn﹣1+Sn＝（n﹣1）（n+1），
两式相减，可得an+an+1＝2n+1，
化简整理，可得an+1﹣（n+1）＝﹣（an﹣n）（n≥2），
∵a2﹣2＝﹣1，
∴数列{an﹣n}从第二项起是以﹣1为首项，﹣1为公比的等比数列，
∴，
∴
∴S2023＝a1+a2+a3+…+a2023
＝1+（2﹣1）+（3+1）+ +（2023+1）
＝1+2+3+…+2023
＝
＝2023×1012，
∴S2024＝S2023+a2024
＝2023×1012+（2024﹣1）
＝2023×1013，
∴＝＝．
故选：A．
13．在数列{an}中，Sn＝2n2﹣3n，则a4等于（ ）
A．11 B．15 C．17 D．20
【解答】解：根据题意，a4＝S4﹣S3＝（2×42﹣3×4）﹣（2×32﹣3×3）＝11．
故选：A．
14．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝3，Sn+1＝Sn+2n，那么a3＝（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
【解答】解：依题意，由Sn+1＝Sn+2n，
可知Sn+1﹣Sn＝2n，
当n＝2时，a3＝S3﹣S2＝22＝4．
故选：A．
（多选）15．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn+1＝Sn+2an+1，数列的前n项和为Tn，n∈N*，则下列结论正确的是（ ）
A．{an+1}是等差数列
B．{an+1}是等比数列
C．{an}的通项公式为
D．Tn＜1
【解答】解：由Sn+1＝Sn+2an+1，可知an+1＝Sn+1﹣Sn＝2an+1，可化为an+1+1＝2（an+1）．
又∵a1＝1，a1+1＝2，∴{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴，即．
又∵，
∴Tn＝…+＝1﹣＜1，
即Tn＜1．
综上，可知A错误，B，C，D正确．
故选：BCD．
（多选）16．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+3SnSn﹣1＝0（n≥2），a1＝，则下列命题中正确的是（ ）
A．{}是等差数列 B．Sn＝
C．an＝﹣ D．{Sn}是等比数列
【解答】解：由题意，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，
代入题干表达式，
可得Sn﹣Sn﹣1+3SnSn﹣1＝0，
两边同时乘以，
可得﹣+3＝0，
整理，得﹣＝3，
∵当n＝1时，＝＝3，
∴数列{}是以3为首项，3为公差的等差数列，故选项A正确，
∴＝3+3（n﹣1）＝3n，n∈N*，
∴Sn＝，n∈N*，故选项B正确，
∵Sn＝，n∈N*，
∴数列{Sn}不是等比数列，故选项D错误，
则当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣＝﹣，
当n＝1时，a1＝不满足上式，
∴an＝，故选项C错误．
故选：AB．
17．已知数列{an}各项非零，前n项和为Sn，a1＝1，且4Sn＝an+1an+1，则a100＝ 199 ．
【解答】解：由题意：a1＝1，4Sn＝an+1an+1，
当n＝1时，4S1＝a2a1+1，解得a2＝3，
当n 2时，由4Sn＝an+1an+1，可得4Sn﹣1＝an﹣1an+1，
两式相减得4Sn﹣4Sn﹣1＝an+1an+1﹣（an﹣1an+1），
即4an＝an+1an﹣an﹣1an，由题意，an≠0，
所以4＝an+1﹣an﹣1，
所以数列{a2n} 是以3为首项，4为公差的等差数列，
数列{a2n﹣1}是以1为首项，4 为公差的等差数列，
所以a2n＝3+4（n﹣1）＝2×2n﹣1，
a2n﹣1＝1+4（n﹣1）＝2×（2n﹣1）﹣1，
所以an＝2n﹣1，故a100＝199．
故答案为：199．
18．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2nSn+1﹣2（n+1）Sn＝n（n+1），则数列{an}的通项an＝ n ．
【解答】解：由2nSn+1﹣2（n+1）Sn＝n（n+1），
两边同时除以2n（n+1）得：，
∵，
∴数列{}是以1为首项，为公差的等差数列，
∴＝，
∴＝，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝＝n，
当n＝1时，a1＝1也满足上式，
∴数列{an}的通项an＝n．
故答案为：n．
19．已知正项数列{an}，对任意n∈N*，都有2Sn＝+an，Sn为数列{an}的前n项和．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，若数列{bn}是递增数列，求实数λ的取值范围．
【解答】解：（1）因为，故，
故，整理得到，
因为an＞0，故an+an﹣1＞0，故an﹣an﹣1＝1，
故{an}为等差数列，而，
故a1＝0（舍）或a1＝1，故an＝n；
（2）由（1）可得，
因为{bn}是递增数列，故bn+1＞bn，
故3n+1+（﹣1）n λ 2n+1＞3n+（﹣1）n﹣1 λ 2n，
整理得到：2 3n＞（﹣1）n﹣1 3λ 2n，故，
当n为正奇数时，故恒成立，故；
当n为正偶数时，故恒成立，故；
故．
20．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，（n∈N*且n≥2）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为Tn，求证：Tn＜1．
【解答】解：（1）由（n≥2）得：
，
∵{an}为正项数列，∴，
又∵，
∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴，
当n≥2时，，
∵a1＝1也满足上式，
∴an＝2n﹣1．
证明：（2）由（1）得＝＝，
∴…
＝＜1，
∴Tn＜1．
21．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S5＝35，且a4是a1与a13的等比中项，数列{bn}的前n项和．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）若a1＜4，对任意n∈N*总有恒成立，求实数λ的最小值．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
∵S5＝35，且a4是a1与a13的等比中项，
∴，即3d（3d﹣2a1）＝0，a1+2d＝7，解得d＝0或d＝2，
当d＝0时，a1＝7，此时数列{an}的通项公式an＝7，
当d＝2时，a1＝3，此时数列{an}的通项公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1，
∵数列{bn}的前n项和①，
当n＝1时，b1＝T1＝9，
当n≥2时，Tn﹣1＝4（n﹣1）2+5（n﹣1）②，
由①﹣②得n≥2时，bn＝4n2+5n﹣[4（n﹣1）2+5（n﹣1）]＝8n+1，
当n＝1时，b1＝9，
∴数列{bn}的通项公式为bn＝8n+1；
（2）由（1）得an＝7或an＝2n+1，bn＝8n+1，
∵a1＜4，∴an＝2n+1，
∴等差数列{an}的前n项和为Sn＝＝n（n+2），
令cn＝＝＝（﹣），
∴++...+＝c1+c2+...+cn＝（1﹣+﹣+...+﹣）＝（1﹣），
∵（1﹣）随n的增大而增大，
∴（1﹣）＜恒成立，
∵对任意n∈N*总有恒成立，
∴λ≥，
故实数λ的最小值为．
22．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则数列的前2024项和为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
由，得，解得，
∴an＝﹣2+4（n﹣1）＝4n﹣6，
∴，
令数列的前n项和为Tn，
∴T2024＝．
故选：C．
23．已知数列{an}的前n项和为Sn，若，则S7＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，可得＝＝2 （﹣），
则S7＝a1+a2+…+a7
＝2 （1﹣）+2 （﹣）+…+2 （﹣）
＝2 （1﹣+﹣+…+﹣）
＝2 （1﹣）
＝．
故选：C．
24．已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝2且，设bn＝1+log2an，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵a1＝2且，
∴数列{Sn}为等比数列，首项为2，公比为2，
∴Sn＝2n，
n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣2n﹣1＝2n﹣1，
n＝1时上式不成立，
∴an＝．
∴b1＝1+log22＝2；
n≥2，bn＝1+log2an＝1+＝1+n﹣1＝n．
∴n≥2时，＝＝﹣，
n＝1时，＝＝，
则＝+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝+﹣＝．
故选：D．
（多选）25．已知数列{an}的前n项和为，数列{}的前n项和为Tn，若对一切n∈N*都有3m﹣1＞Tn恒成立，则整数m的可能值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【解答】解：已知数列{an}的前n项和为，
则当n≥2时，＝2n+1，
又a1＝S1＝3满足上式，
则an＝2n+1，
则＝，
则Tn＝＝，
又对一切n∈N*都有3m﹣1＞Tn恒成立，
则，
则，
故选：CD．
26．已知等差数列{an}是递增数列，且满足a2a8＝85，a3+a7＝22，令，且，则数列{bn}的前n项和为 ．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d（d＞0），
∵a2a8＝85，a3+a7＝a2+a8＝22，可得，其中a2＜a8，
解得a2＝5，a8＝17，∴，
∴an＝a2+（n﹣2）×d＝2n+1，
可得，
设数列{bn}的前n项和为Sn，
∴
＝．
故答案为：．
27．已知数列{an}是正项数列，Sn是数列{an}的前n项和，且满足．若，Tn是数列{bn}的前n项和，则T20＝ 1﹣ ．
【解答】解：由题意，当n＝1时，a1＝S1＝（a1+），
解得a1＝1，
当n≥2时，将an＝Sn﹣Sn﹣1代入Sn＝（an+），
可得Sn＝（Sn﹣Sn﹣1+），
则有，即，
∴，
∵＝＝1，
∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴＝1+1 （n﹣1）＝n，
∴Sn＝，n∈N*，
则当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣，
∵当n＝1时，a1＝1也符合上式，
∴an＝﹣，n∈N*，
∴，
∴T20＝b1+b2+b3+…b20
＝+﹣
＝1﹣．
故答案为：1﹣．
28．若数列{an}的前n项和为Sn，，则称数列{bn}是数列{an}的“均值数列”．已知数列{bn}是数列{an}的“均值数列”且bn＝n，设数列的前n项和为Tn，若对n∈N*恒成立，则实数m的取值范围为 （﹣1，2） ．
【解答】解：由题意，可知bn＝＝n，
即Sn＝n2，n∈N*，
则当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，
∵当n＝1时，a1＝1也符合上式，
∴an＝2n﹣1，n∈N*，
∴＝
＝
＝，
∴Tn＝++…+
＝++…+
＝，
故不等式即为（m2﹣m+﹣3）＜，
化简整理，可得m2﹣m＜+2﹣，
∵n∈N*，∴≥＝，
∴+2﹣≥+2﹣＝2，
∵不等式对n∈N*恒成立，
∴m2﹣m＜2对n∈N*恒成立，
即m2﹣m﹣2＜0恒成立，
解得﹣1＜m＜2，
∴满足不等式对n∈N*恒成立的实数m的取值范围为（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
29．已知数列{an}为等差数列，且a2+a3＝8，a5+a6＝20．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：．
【解答】解：（1）设数列{an}的公差为d，
由题意可得：，解得，
故an＝2n﹣1；
（2）证明：由an＝2n﹣1，故，
＝．
30．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，2Sn＝anan+1，数列{bn}为正项等比数列，b2＝a4且b2，3b1，b3依次成等差数列．
（1）求{an}，{bn}的通项公式；
（2）设，{cn}的前n项和为Tn，问是否存在正整数k使得成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵a1＝1，2Sn＝anan+1，
当n＝1时，2S1＝a1a2，所以a2＝2；
当n≥2时，2Sn﹣1＝anan﹣1，
∴2Sn﹣2Sn﹣1＝anan+1﹣anan﹣1，
即2an＝an（an+1﹣an﹣1）．
∵an＞0，可得an+1﹣an﹣1＝2（n≥2），
∴{an}的奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列，
偶数项是以2为首项，2为公差的等差数列，
∴a2n﹣1＝2n﹣1，a2n＝2n，
综上可得an＝n；
设等比数列{bn}的公比为q，
∵b2，3b1，b3依次成等差数列，∴b2+b3＝6b1，
∴，∴q2+q﹣6＝0，解得q＝2或q＝﹣3．
∵{bn}为正项等比数列，故q＝2，由b2＝a4＝4，则，
∴．
（2）由（1）可得，
∴，
则，
当n＝4时，；
当n＞4时，
＝
＝
＝．
∴存在k＝16，使得．
31．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣1，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）已知bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，若对任意的正整数n，不等式2λ﹣1≤Tn＜λ都成立，求实数λ的取值范围．
【解答】解：（1）由Sn＝2an﹣1，n∈N*，可得：
当n＝1时，S1＝2a1﹣1，即a1＝2a1﹣1，所以a1＝1，
当n 2时，有Sn﹣1＝2an﹣1﹣1，
所以Sn﹣Sn﹣1＝（2an﹣1）﹣（2an﹣1﹣1），
即an＝2an﹣2an﹣1，整理得：an＝2an﹣1，
因为a1＝1，所以，
所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以；
（2）由（1）得：，
所以Tn＝b1+b2+ +bn＝＝，
显然{Tn}是递增数列，且n→+∞时，→0，
所以，即，
所以，解得，
故实数λ的取值范围是．
32．设数列{an}满足a1+2a2+4a3+…+2n﹣1an＝，则数列{an}的前n项和Sn为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题得
②﹣①得，
∴，适合，
所以，
所以数列{an}是以为首项，以的等比数列，
所以，
故选：C．
33．设数列{nan}的前n项和为Sn，且an＝2n，则使得Sn＜1000成立的最大正整数n的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：数列{an}满足：an＝2n，
故，
所以①，
2②，
①﹣②得：，
整理得，
由于Sn＜1000，
故（n﹣1） 2n+1+2＜1000，
解得n的最大值为6．
故选：B．
34．已知数列{an}满足，数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论错误的是（ ）
A．a1的值为2
B．数列{an}的通项公式为
C．数列{an}为递减数列
D．
【解答】解：对于选项A，当n＝1时，2a1＝4，∴a1＝2，
故选项A正确；
对于选项B，当n≥2时，，
∴，
∴，
∵上式对n＝1也成立，
∴（n∈N*），
故选项B错误；
对于选项C，∵，
∴数列{an}为递减数列，
故选项C正确；
对于选项D，∵，
∴，
两式相减得，，
∴，
故选项D正确．
故选：B．
（多选）35．已知数列an满足a1＝2，an+1＝，设bn＝a2n，记数列{an}的前2n项和为S2n，数列{bn}的前n项和为Tn，则下列结论正确的是（ ）
A．a5＝24 B．bn＝n 2n
C．Tn＝n 2n+1 D．S2n＝（2n﹣1）2n+1+2
【解答】解：∵an+1＝，a1＝2，
∴a2n+1＝2a2n，a2n+2＝a2n+1+2n+1，a2＝a1+2＝4，
∴a2n+2＝2a2n+2n+1，
化为﹣＝1，＝2，
∴数列{}为等差数列，首项为2，公差为1，
∴＝2+n﹣1＝n+1，
化为a2n＝（n+1） 2n＝bn，
∴a2n+1＝2a2n＝（n+1） 2n+1．
∴a5＝3×23＝24，
数列{bn}的前n项和Tn＝2×2+3×22+4×23…+（n+1） 2n，
2Tn＝2×22+3×23…+n 2n+（n+1） 2n+1，
相减可得：﹣Tn＝4+（22+23…+2n）﹣（n+1） 2n+1＝1+﹣（n+1） 2n+1，
化为Tn＝n 2n+1，
S2n＝（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+a4+…+a2n）
＝a1+2（a2+a4+…+a2（n﹣1））+（a2+a4+…+a2n）
＝2+3（a2+a4+…+a2n）﹣2a2n
＝2+3×n 2n+1﹣2×（n+1） 2n＝（2n﹣1） 2n+1+2．
综上可得：只有ACD正确．
故选：ACD．
36．已知函数f（x）＝xn，数列{an}的通项公式为an＝f'（2），则数列{an}的前n项和Sn＝ （n﹣1）×2n+1 ．
【解答】解：∵f（x）＝xn，∴f'（x）＝n×xn﹣1，
∴an＝f′（2）＝n×2n﹣1．
∴Sn＝1+2×21+3×22+…+n×2n﹣1，
2Sn＝21+2×22+…+（n﹣1）×2n﹣1+n×2n，
相减可得：﹣Sn＝1+21+22+…+2n﹣1﹣n×2n＝﹣n×2n，
化为Sn＝（n﹣1）×2n+1．
故答案为：（n﹣1）×2n+1．
37．数列{an}满足a1＝2，且（n∈N*且n＞1），若{an}的前n项和为Sn，则满足的最小正整数n的值为 8 ．
【解答】解：∵（n∈N*且n＞1），
∴（n≥2），
∴，
即，又a1＝2，∴，
∴，
，
∴
＝，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴数列单调递减，
又当n＝7时，
又当n＝8时，
∴n≥8，则最小正整数n的值为8．
故答案为：8．
38．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3＝3，S8＝36，设bn＝an 3n﹣1，且数列{bn}的前n项和为Tn，则使+λbn≥Tn恒成立的实数λ的取值范围是 [，+∞） ．
【解答】解：由题意，设等差数列{an}的公差为d，
则，
整理，得，
解得，
∴an＝1+1×（n﹣1）＝n，n∈N*，
∴bn＝an 3n﹣1＝n 3n﹣1，
则Tn＝b1+b2+…+bn＝1 30+2 31+3 32+…+n 3n﹣1，
3Tn＝1 31+2 32+…+（n﹣1） 3n﹣1+n 3n，
两式相减，
可得﹣2Tn＝1+31+32+…+3n﹣1﹣n 3n
＝﹣n 3n
＝﹣ 3n﹣，
∴Tn＝ 3n+，
故不等式+λbn≥Tn即为+λ n 3n﹣1≥ 3n+，
化简整理，可得λ≥，
构造数列{cn}：令cn＝，
则cn+1＝，
∵cn+1﹣cn＝﹣＝＞0，
∴数列{cn}是单调递增数列，
∵n＝1时，c1＝；n→∞，cn→，
∴λ≥．
故答案为：[，+∞）．
39．数列{an}满足a1＝，an+1＝（n∈N*）．
（1）计算a2，a3，猜想数列{an}的通项公式并证明；
（2）求数列{an（n+1）3n}的前n项和；
（3）设bn＝2an（n∈N*），数列{bn}前n项和为Sn，证明：．
【解答】解：（1）已知数列{an}满足a1＝，an+1＝（n∈N*），
则，，
猜想：（n∈N*），
证明：由得，，
所以，
即，
所以，
又，
则数列是首项为﹣2，公差为﹣1的等差数列，
所以，
故；
（2）由（1）可得：，
设的前n项和为Tn，
则①，
则②，
由①﹣②得＝，
即；
（3）证明：，
则，
要证，
只需证，
即证，
设，
只需证明f（n）的最大值小于0，
作差得，
构造函数g（x）＝ln（1+x）﹣x（x＞0），
则，g（x）在（0，+∞）上单调递减，
所以g（x）＜g（0）＝0，
故f（n+1）＜f（n），
即函数f（n）单调递减，
从而，
得证．
40．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＝15，a1，a4，a13成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，
（ⅰ）求数列{bn}的前n项和Tn；
（ⅱ）若不等式对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．
【解答】解：（1）依题意得＝a1a13，S3+S5＝50，
即有，解得，
∴an＝a1+（n﹣1）d＝3+2（n﹣1）＝2n+1，即an＝2n+1；
（2）①，，
，
，
所以＝＝﹣2n 3n．
∴；
②由（1）易求得Sn＝n（n+2），
所以不等式对一切n∈N*恒成立，
即转化为对一切n∈N*恒成立，
令，则f（n）min≥λ，
又，
当1≤n≤2时，f（n+1）﹣f（n）＜0；n≥3时，f（n+1）﹣f（n）＞0，
所以f（1）＞f（2）＞f（3），且f（3）＜f（4）＜ ，
则，
所以实数λ的最大值为．
41．已知数列{an}满足a1＝2，．
（1）证明：an+2﹣an+1＝an+1﹣an对任意的n∈N*成立．
（2）记，求数列{bn}的前n项和Tn．
（3）证明：．
【解答】（1）证明：由，得nan+1＝（n+1）an+1，
以n+1代换n，可得（n+1）an+2＝（n+2）an+1+1，
以上两式相减得（n+1）an+2﹣nan+1＝（n+2）an+1﹣（n+1）an，即（n+1）an+2﹣（2n+2）an+1+（n+1）an＝0，
整理得an+2﹣2an+1+an＝0，即an+2﹣an+1＝an+1﹣an对任意的n∈N*成立．
（2）解：根据a1＝2，．可得a2＝2a1+1＝5，
由（1）的结论，可知数列{an}是等差数列，首项为2，公差d＝a2﹣a1＝3，
所以an＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1，故，，
可知{bn}是首项为22＝4，公比q＝8的等比数列，因此＝；
（3）证明：由（1）的结论，可知，n≥2．
故＝＝．
故不等式对任意n∈N*且n≥2成立．
42．已知数列{an}满足a1＝1，，Sn是数列{an}的前n项和，则S9＝（ ）
A．29﹣10 B．29﹣11 C．210﹣10 D．210﹣11
【解答】解：因为数列{an}满足a1＝1，，
所以an+1+1＝2（an+1），a1+1＝2，
所以数列{1+an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
所以1+an＝2n，即an＝2n﹣1，
则S9＝（2﹣1）+（22﹣1）+…+（29﹣1）
＝﹣9
＝210﹣11．
故选：D．
43．已知等差数列{an}与等比数列{bn}的首项均为﹣1，且a2＝8b4＝1，则数列{anbn}（ ）
A．既有最大项又有最小项
B．只有最大项没有最小项
C．只有最小项没有最大项
D．没有最大项也没有最小项
【解答】解：由题意得，a2＝﹣1+d＝1，即d＝2，
＝，即q＝﹣，
所以an＝2n﹣3，bn＝﹣（﹣）n﹣1，anbn＝，
则n≥2时，奇数项为负，偶数项为正，
设cn＝|anbn|＝，n≥2，
则cn+1﹣cn＝＝，
n＝2时，cn+1＞cn，n≥3时，cn+1＜cn，
c2＜c3＞c4＞c5＞…＞cn＞…，
又c1＝1，c2＝，c4＝，，c5＝
故数列{anbn}中，a1b1最大，a3b3最小．
故选：A．
44．已知数列{an}满足，数列{bn}的前n项和为Sn，若λ＞Sn对n∈N*恒成立，则实数λ的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【解答】解：因为，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，
所以bn＝
＝，因为λ＞Sn对n∈N*恒成立，
所以λ≥1，所以λ的最小值是1．
故选：B．
45．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且，＝﹣1，则下列结论正确的是（ ）
A．S2022＝2022，a3＞a2022
B．S2022＝﹣2022，a3＜a2022
C．S2024＝2024，a3＞a2022
D．S2024＝﹣2024，a3＜a2022
【解答】解：构造函数f（x）＝x2023+2023x，x∈R，
则f（﹣x）＝（﹣x）2023+2023（﹣x）＝﹣x2023﹣2023x＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数，又y＝2023x与y＝x2023是增函数，
所以f（x）是R上的增函数，
又，
，
所以a3﹣1＞a2022﹣1即a3＞a2022，且（a3﹣1）+（a2022﹣1）＝0即a3+a2022＝2，
又Sn是等差数列{an}的前n项和，
所以．
故选：C．
（多选）46．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项积为Tn，则（ ）
A．{anbn}可能为等差数列
B．{anbn}不可能为等比数列
C．是等差数列
D．{}是等比数列
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，当bn＝1时，anbn＝an，数列{anbn}为等差数列，A正确；
对于B，当an＝1时，anbn＝bn，数列{anbn}为等比数列，B错误；
对于C，设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1+，则＝a1+，易得{}是等差数列，C正确；
对于D，对于数列{}，易得＝×，则数列{}不一定是等比数列，D错误．
故选：AC．
（多选）47．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且，则（ ）
A．an＝2n﹣1
B．
C．数列的前n项和为
D．数列的前n项和为2n+1+n2﹣2
【解答】解：因为等差数列{an}中，，
故a2＝2a1+1＝a1+d，即a1﹣d＝﹣1①，
由S4＝4S2可得，4a1+6d＝8a1+4d，即2a1﹣d＝0②，
①②联立得，a1＝1，d＝2，
所以an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，A正确；
Sn＝n+＝n2，B正确；
＝＝（），
故前n项和S＝（1﹣+…+）
＝（1﹣）＝，C错误；
因为＝2n﹣1+2n，
故其前n项和Tn＝（1+3+…+2n﹣1）+（2+22+…+2n）
＝+
＝n2+2n+1﹣2．D正确．
故选：ABD．
48．在正项等比数列{an}中，a1＝16，a3+a5＝12，则a2a4…a2n的最大值为 256 ．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q（q＞0），
由题意，得，即16q2+16q4＝12，
解得，
故＝，n∈N*，
所以当n＝4时，a2a4 … a2n取得最大值28＝256．
49．在数列{an}中，a1＝1，．设数列的前n项和Tn，若存在n∈N*，使得不等式Tn≥λ，则实数λ的取值范围为 （﹣∞，） ．
【解答】解：由a1＝1，+＝2（an+1）（an+1﹣1）+1，
可得++1﹣2anan+1+2an﹣2an+1＝0，
即为（an﹣an+1+1）2＝0，
可得an+1﹣an＝1，
则数列{an}是首项和公差均为1的等差数列，则an＝1+n﹣1＝n，
＝＝（﹣），
Tn＝（1﹣+﹣+﹣+...+﹣+﹣）＝（1+﹣﹣）
＝﹣（+）＜，
存在n∈N*，使得不等式Tn≥λ，可得λ＜，
即实数λ的取值范围为（﹣∞，）．
故答案为：（﹣∞，）．
50．设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，且a2，a4，a8成等比数列；
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，数列{bn}的前n项和为Kn，求证：．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），由S3＝6，a2，a4，a8成等比数列，
得，解得，
所以数列{an}的通项公式为an＝1+n﹣1＝n．
（2）证明：由（1）知，，
＝，
由bn＞0恒成立，得数列{Kn}单调递增，因此，
所以．
51．已知函数f（x）＝xe4x，记f1（x）＝f'（x），且fn+1（x）＝fn'（x），n∈N*．
（1）求f1（x），f2（x）；
（2）设，n∈N*，
（ⅰ）证明：数列是等差数列；
（ⅱ）数列{bn}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，满足，求λ的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）＝xe4x，可得f1（x）＝f'（x）＝（1+4x）e4x，
f2（x）＝f1'（x）＝（8+16x）e4x；
（2）（ⅰ）证明：由（1）可得a1＝4，b1＝1，
又fn（x）＝（anx+bn）e4x，可得fn+1（x）＝（an+1x+bn+1）e4x，
而fn+1（x）＝fn'（x）＝（4anx+an+4bn）e4x，
则an+1＝4an，bn+1＝an+4bn，
由an＝4n，可得bn+1＝4n+4bn，
即有＝+，
可得数列是首项和公差均为的等差数列；
（ⅱ）由（ⅰ）可得＝n，即bn＝n 4n﹣1，
Sn＝1 40+2 41+3 42+...+n 4n﹣1，
4Sn＝1 4+2 42+3 43+...+n 4n，
上面两式相减可得﹣3Sn＝1+41+42+...+4n﹣1﹣n 4n＝﹣n 4n＝，
则Sn＝，
又对任意的n∈N*，满足，
可得9λ≥（3n﹣1） （）n恒成立，
设cn＝（3n﹣1） （）n，则cn+1﹣cn＝（3n+2） （）n+1﹣（3n﹣1） （）n＝（﹣n） （）n，
当n＝1，2时，cn+1﹣cn＞0，即c3＞c2＞c1，
当n≥3时，cn+1﹣cn＜0，即c3＞c4＞c5＞...＞cn，
可得cn的最大值为c3，且c3＝，
所以9λ≥，即λ≥，
即λ的取值范围是[，+∞）．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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