人教A版（2019）选择性必修第二册《5.2 导数的运算》2024年同步练习卷（A卷）
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
2.已知，则( )
A. 2 B. 5 C. 6 D. 7
3.已知函数的导函数为，若，则( )
A. B. 1 C. D. 0
4.已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
二、填空题：本题共1小题，每小题5分，共5分。
5.设曲线在点处的切线为l，则l与两坐标轴围成的三角形的面积为______.
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
6.本小题12分
已知函数
求导函数；
当时，求函数的图像在点处的切线方程.
7.本小题12分
已知函数
当时，函数的图像上任意一点处的切线斜率为k，若，求实数a的取值范围；
若，求曲线过点的切线方程.
8.本小题12分
已知抛物线：和：如果直线l同时是和的切线，则称l是和公切线，当a取何值时，和有且仅有一条公切线？并写出此时公切线的方程.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：，A错误；
，B正确；
，C错误；
，D错误．
故选：
根据基本初等函数和积的导数的求导公式逐项求导即可．
本题考查了基本初等函数和积的导数的求导公式，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由，得，
故选：
求出导函数，代入求值即可．
本题考查导数值的求法，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由，得，
则，解得，
所以，得
故选：
求导可得，令求得，进而即可求出
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：设曲线上的切点为，曲线上的切点为，
又，
则，解得
故选：
设出切点坐标和，建立关于k，b，，的方程组，解出即可．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由已知得，，，
所以l的方程为，令得；令得，
l与两坐标轴围成的三角形面积：
故答案为：
求出切点的坐标与导数，求出切线方程，进而求出切线与坐标轴的交点坐标，表示出所求三角形的面积．
本题考查导数的几何意义与切线方程的求法，属于基础题．
6.【答案】解：由，
得
当时，，
由得，所以，
切线方程：，即
【解析】套用导数公式、法则计算即可；
求出切点处的导数值，然后利用点斜式求出切线方程．
本题考查导数的运算以及切线方程的求法，属于基础题．
7.【答案】解：，
根据题意可得当时，恒成立，
，，
又，
当且仅当，即有时，取得等号，
，
即有a的取值范围是；
，
设切点为，则，
又，
切线方程为，又切线过，
，
，
或，
即有所求切线的方程为或，
即为或
【解析】求出函数的导数，由题意可得当时，恒成立，运用参数分离和基本不等式即可得到右边的最小值，即可得到a的范围；
设出切点，求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程得到所求切线的方程，代入，解方程可得切点，进而得到切线的方程．
本题考查导数的几何意义，同时考查不等式恒成立问题转化为求最值，运用基本不等式和正确求导是解题的关键．
8.【答案】解：函数的导数，
曲线在点的切线方程是：，
即①
函数的导数，
曲线在点的切线方程是
②
如果直线l是过P和Q的公切线，
则①式和②式都是l的方程，
，所以
消去得方程
若判别式时，
即时解得，此时点P与Q重合．
即当时和有且仅有一条公切线，
由①得公切线方程为
【解析】先分别求出抛物线：和：在某点处的切线，然后根据是公切线建立等量关系，要使和有且仅有一条公切线，可利用判别式进行判定．
本题考查导数的运用：求切线方程，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
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