(共22张PPT)
第四章 三角函数、解三角形
多选题加练(四) 三角函数、解三角形
1.(2024·武汉模拟)在△ABC中，若A>B，则( )
A.sin A>sin B B.cos A
解析 在△ABC中，若A>B，由三角形中大边对大角，可得a>b，
又由正弦定理，可知sin A>sin B，故A正确；
又由余弦函数在(0，π)上单调递减，可知cos A
由cos 2A＝1－2sin2A，cos 2B＝1－2sin2B，
由A可知cos 2A
A.a，b，γ B.α，β，γ
C.a，β，γ D.α，β，b
ACD
解析 对于A，由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcos γ，可求得c，A正确；
对于B，知三个内角，此时三角形大小不唯一，B错误；
BC
对于C，由余弦定理有b2＋c2－bc＝3，有(b＋c)2－3bc＝3，
代入b＋c＝3，可得bc＝2，故C正确；
对于D，由余弦定理有b2＋c2－bc＝4≥2bc－bc＝bc(当且仅当b＝c＝2时取等号)，
CD
BD
AB
AD
BD
ACD
BCD
对于D，若△ABC为直角三角形，则tan A，tan B，tan C中有一个无意义，不合乎题意.
因为A＋B＋C＝π，则A＋B＝π－C，
所以tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，
则tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)，
所以tan A＋tan B＋tan C＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan C
＝tan C－tan C(1－tan Atan B)＝tan Atan Btan C>0，
由于△ABC中至少有两个锐角，则tan A，tan B，tan C中至少有两个正数，
进而可知tan A，tan B，tan C均为正数，从而C为锐角，D满足条件.多选题加练(四) 三角函数、解三角形
1.(2024·武汉模拟)在△ABC中，若A>B，则( )
A.sin A>sin B B.cos A
A.a，b，γ B.α，β，γ
C.a，β，γ D.α，β，b
3.(2024·南昌调研)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin B＝bcos A，则( )
A.A＝
B.若B＝，则b＝a
C.若a＝，b＋c＝3，则bc＝2
D.若a＝2，则△ABC的面积的最小值为
4.(2024·青岛模拟)已知函数f(x)＝sin 2x－2cos2x，则下列结论正确的是( )
A.f(x)是周期为π的奇函数
B.f(x)的图象关于点对称
C.f(x)在上单调递增
D.f(x)的值域是[－3，1]
5.(2024·吉林统考)如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A在(1，0)处，质点B在第一象限，且∠AOB＝.质点A以 rad/s的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以 rad/s的角速度按逆时针方向运动，则( )
A.经过1 s后，扇形AOB的面积为
B.经过2 s后，劣弧的长为
C.经过6 s后，质点B的坐标为
D.经过 s后，质点A，B在单位圆上第一次相遇
6.(2024·广州质检)已知函数f(x)＝sin xcos x－cos2x＋，则下列说法正确的是( )
A.f(x)＝sin
B.函数f(x)的最小正周期为π
C.函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z)
D.函数f(x)的图象可由y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度得到
7.(2024·淄博调研)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.当x∈时，f(x)的最大值为
C.函数f(x)的图象关于点对称
D.函数f(x)在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1
8.(2024·大连调研)在△ABC中，若tan ＝sin C，则下列结论正确的是( )
A.＝1 B.0
9.(2024·潍坊模拟)将函数f(x)＝sin(0<ω<6)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若是g(x)的一个单调递增区间，则( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)在上单调递增
C.函数F(x)＝f(x)＋g(x)的最大值为
D.方程f(x)＝－在[0，2π]上有5个实数根
10.(2024·郑州模拟)在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，能确定C为锐角的有( )
A.·>0
B.a2＋b2>c2
C.A，B均为锐角，且sin A>cos B
D.tan A＋tan B＋tan C>0
多选题加练(四) 三角函数、解三角形
1.ABD [在△ABC中，若A>B，由三角形中大边对大角，可得a>b，
又由正弦定理，可知sin A>sin B，故A正确；
又由余弦函数在(0，π)上单调递减，可知cos A
当A>时，cos A<0，
所以sin 2A
由A可知cos 2A
对于B，知三个内角，此时三角形大小不唯一，B错误；
对于C，由正弦定理可知＝得c＝，C正确；
对于D，同上由正弦定理得c＝，D正确.]
3.BC [对于A，由正弦定理有
sin Asin B＝sin Bcos A，
因为sin B≠0，有sin A＝cos A，
有tan A＝，可知A＝，故A错误；
对于B，由正弦定理有＝＝＝，有b＝a，故B正确；
对于C，由余弦定理有b2＋c2－bc＝3，
有(b＋c)2－3bc＝3，
代入b＋c＝3，可得bc＝2，故C正确；
对于D，由余弦定理有b2＋c2－bc＝4≥2bc－bc＝bc(当且仅当b＝c＝2时取等号)，
有S△ABC＝bc≤，故D错误.]
4.CD [由题意可得f(x)＝sin 2x－cos 2x－1＝2sin－1.
因为f(－x)＝2sin－1＝－2sin－1≠－f(x)，
所以f(x)不是奇函数，故A错误；
因为f＝2sin－1＝－1，
所以f(x)的图象不关于点对称，故B错误；
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
当k＝1时，≤x≤，故C正确；
因为－1≤sin≤1，
所以－2≤2sin≤2，
所以－3≤2sin－1≤1，
即f(x)的值域是[－3，1]，故D正确.]
5.BD [对于A，由题意可知，经过1 s后，∠AOB＝－＋＝，
所以此时扇形AOB的面积为α·r2＝××12＝，A错误；
对于B，经过2 s后，∠AOB＝－2×＋2×＝，
所以此时劣弧的长为αr＝，B正确；
对于C，经过6 s后，质点B转过的角度为6×＝，
结合题意，此时质点B为角＋＝的终边与单位圆的交点，
所以质点B的坐标为，C错误；
对于D，经过 s后，质点B转过的角度为×＝，质点A转过的角度为×＝－，
因为－＋＝2π，
所以经过 s后，质点A，B在单位圆上第一次相遇，D正确.]
6.AB [f(x)＝sin xcos x－cos2x＋
＝sin 2x－＋
＝sin 2x－cos 2x
＝sin，故A正确；
函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，故B正确；
由2x－＝＋kπ(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)，故C错误；
由y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度，
得y＝cos 2＝cos
＝cos＝sin
＝sin＝sin，故D错误.]
7.AD [由图可知，A＝2，
f(0)＝2sin φ＝1，即sin φ＝，
又－<φ<，所以φ＝，
由五点作图法可得＋＝π，
所以ω＝2，f(x)＝2sin，
对于A，f(x)的最小正周期为T＝＝π，故A正确；
对于B，当x∈时，
2x＋∈，
所以sin∈，
所以f(x)的最大值为2，故B错误；
对于C，当x＝时，2x＋＝，f＝2，
所以函数f(x)的图象不关于点对称，故C错误；
对于D，由f(x)＝2sin，可得
f′(x)＝4cos，f′(0)＝2，
所以函数f(x)在点(0，1)处的切线方程为
y＝2x＋1，故D正确.]
8.BD [由tan ＝sin C，
得tan＝＝＝2sin cos ，
因为0<<，所以cos ≠0，
所以1＝2sin2，得1－2sin2＝0，cos C＝0，
得C＝，所以tan B＝tan＝，
＝tan2A不一定为1，A错误；
因为sin A＋sin B＝sin A＋cos A＝sin，0
所以sin2A＋cos2B＝2sin2A也不一定等于1，C错误；
而cos2A＋cos2B＝cos2A＋sin2A＝1＝sin2C，D正确.]
9.ACD [f(x)＝sin(0<ω<6)的图象向右平移个单位长度后得到
g(x)＝sin＝sin，
所以g(x)的最小正周期为T＝，
又是g(x)的一个单调递增区间，
所以g(0)＝－1，即－－＝2kπ－，k∈Z，
解得ω＝－12k＋2，k∈Z，
因为0<ω<6，所以ω＝2，
故f(x)＝sin，
f(x)的最小正周期T＝＝π，故A正确；
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
即f(x)的递增区间为，k∈Z，
所以f(x)在上单调递增，故B错误；
g(x)＝sin＝sin
＝－cos 2x，
所以F(x)＝sin－cos 2x
＝sin 2xcos －cos 2xsin －cos 2x
＝sin 2x－cos 2x＝sin，
所以F(x)的最大值为，故C正确；
当x∈[0，2π]时，2x－∈，
令f(x)＝sin＝－，
则2x－＝－，或2x－＝，或2x－＝，或2x－＝，或2x－＝，
即方程f(x)＝－在[0，2π]上有5个实数根，故D正确.]
10.BCD [对于A，·＝－·＝－||·||cos C>0，
可得cos C<0，则C为钝角，A不满足条件；
对于B，由余弦定理可得cos C＝>0，则C为锐角，B满足条件；
对于C，因为B为锐角，则－B也为锐角，
因为sin A>cos B＝sin，且y＝sin x在上单调递增，A，－B均为锐角，
所以A>－B，则A＋B>，
所以0
则tan A，tan B，tan C中有一个无意义，不合乎题意.
因为A＋B＋C＝π，则A＋B＝π－C，
所以tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，
由两角和的正切公式可得tan(A＋B)＝，
则tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)，
所以tan A＋tan B＋tan C＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan C
＝tan C－tan C(1－tan Atan B)
＝tan Atan Btan C>0，
由于△ABC中至少有两个锐角，
则tan A，tan B，tan C中至少有两个正数，
进而可知tan A，tan B，tan C均为正数，从而C为锐角，D满足条件.]多选题加练(四) 三角函数、解三角形
1.(2024·武汉模拟)在△ABC中，若A>B，则( )
A.sin A>sin B B.cos A
解析 在△ABC中，若A>B，由三角形中大边对大角，可得a>b，
又由正弦定理，可知sin A>sin B，故A正确；
又由余弦函数在(0，π)上单调递减，可知cos A
当A>时，cos A<0，
所以sin 2A
由A可知cos 2A
A.a，b，γ B.α，β，γ C.a，β，γ D.α，β，b
答案 ACD
解析 对于A，由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcos γ，可求得c，A正确；
对于B，知三个内角，此时三角形大小不唯一，B错误；
对于C，由正弦定理可知＝得c＝，C正确；
对于D，同上由正弦定理得c＝，D正确.
3.(2024·南昌调研)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin B＝bcos A，则( )
A.A＝
B.若B＝，则b＝a
C.若a＝，b＋c＝3，则bc＝2
D.若a＝2，则△ABC的面积的最小值为
答案 BC
解析 对于A，由正弦定理有
sin Asin B＝sin Bcos A，
因为sin B≠0，有sin A＝cos A，
有tan A＝，可知A＝，故A错误；
对于B，由正弦定理有＝＝＝，有b＝a，故B正确；
对于C，由余弦定理有b2＋c2－bc＝3，
有(b＋c)2－3bc＝3，
代入b＋c＝3，可得bc＝2，故C正确；
对于D，由余弦定理有b2＋c2－bc＝4≥2bc－bc＝bc(当且仅当b＝c＝2时取等号)，
有S△ABC＝bc≤，故D错误.
4.(2024·青岛模拟)已知函数f(x)＝sin 2x－2cos2x，则下列结论正确的是( )
A.f(x)是周期为π的奇函数
B.f(x)的图象关于点对称
C.f(x)在上单调递增
D.f(x)的值域是[－3，1]
答案 CD
解析 由题意可得f(x)＝sin 2x－cos 2x－1＝2sin－1.
因为f(－x)＝2sin－1
＝－2sin－1≠－f(x)，
所以f(x)不是奇函数，故A错误；
因为f＝2sin－1＝－1，
所以f(x)的图象不关于点对称，故B错误；
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
当k＝1时，≤x≤，故C正确；
因为－1≤sin≤1，
所以－2≤2sin≤2，
所以－3≤2sin－1≤1，
即f(x)的值域是[－3，1]，故D正确.
5.(2024·吉林统考)如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A在(1，0)处，质点B在第一象限，且∠AOB＝.质点A以 rad/s的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以 rad/s的角速度按逆时针方向运动，则( )
A.经过1 s后，扇形AOB的面积为
B.经过2 s后，劣弧的长为
C.经过6 s后，质点B的坐标为
D.经过 s后，质点A，B在单位圆上第一次相遇
答案 BD
解析 对于A，由题意可知，经过1 s后，
∠AOB＝－＋＝，
所以此时扇形AOB的面积为
α·r2＝××12＝，A错误；
对于B，经过2 s后，
∠AOB＝－2×＋2×＝，
所以此时劣弧的长为αr＝，B正确；
对于C，经过6 s后，质点B转过的角度为
6×＝，
结合题意，此时质点B为角＋＝的终边与单位圆的交点，所以质点B的坐标为，C错误；
对于D，经过 s后，质点B转过的角度为×＝，质点A转过的角度为×＝－，
因为－＋＝2π，所以经过 s后，质点A，B在单位圆上第一次相遇，D正确.
6.(2024·广州质检)已知函数f(x)＝sin xcos x－cos2x＋，则下列说法正确的是( )
A.f(x)＝sin
B.函数f(x)的最小正周期为π
C.函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z)
D.函数f(x)的图象可由y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度得到
答案 AB
解析 f(x)＝sin xcos x－cos2x＋
＝sin 2x－＋
＝sin 2x－cos 2x
＝sin，故A正确；
函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，故B正确；
由2x－＝＋kπ(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)，故C错误；
由y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度，
得y＝cos 2＝cos
＝cos＝sin
＝sin＝sin，故D错误.
7.(2024·淄博调研)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.当x∈时，f(x)的最大值为
C.函数f(x)的图象关于点对称
D.函数f(x)在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1
答案 AD
解析 由图可知，A＝2，
f(0)＝2sin φ＝1，即sin φ＝，
又－<φ<，所以φ＝，
由五点作图法可得＋＝π，
所以ω＝2，f(x)＝2sin，
对于A，f(x)的最小正周期为T＝＝π，故A正确；
对于B，当x∈时，2x＋∈，
所以sin∈，
所以f(x)的最大值为2，故B错误；
对于C，当x＝时，2x＋＝，f＝2，
所以函数f(x)的图象不关于点对称，故C错误；
对于D，由f(x)＝2sin，可得
f′(x)＝4cos，f′(0)＝2，
所以函数f(x)在点(0，1)处的切线方程为
y＝2x＋1，故D正确.
8.(2024·大连调研)在△ABC中，若tan ＝sin C，则下列结论正确的是( )
A.＝1
B.0
D.cos2A＋cos2B＝sin2C
答案 BD
解析 由tan ＝sin C，
得tan＝＝＝2sin cos ，
因为0<<，所以cos ≠0，
所以1＝2sin2，得1－2sin2＝0，
cos C＝0，得C＝，
所以tan B＝tan＝，
＝tan2A不一定为1，A错误；
因为sin A＋sin B＝sin A＋cos A＝sin，0
所以sin2A＋cos2B＝2sin2A也不一定等于1，C错误；
而cos2A＋cos2B＝cos2A＋sin2A＝1＝sin2C，D正确.
9.(2024·潍坊模拟)将函数f(x)＝sin(0<ω<6)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若是g(x)的一个单调递增区间，则( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)在上单调递增
C.函数F(x)＝f(x)＋g(x)的最大值为
D.方程f(x)＝－在[0，2π]上有5个实数根
答案 ACD
解析 f(x)＝sin(0<ω<6)的图象向右平移个单位长度后得到
g(x)＝sin＝sin，
所以g(x)的最小正周期为T＝，
又是g(x)的一个单调递增区间，
所以g(0)＝－1，即－－＝2kπ－，k∈Z，
解得ω＝－12k＋2，k∈Z，
因为0<ω<6，所以ω＝2，
故f(x)＝sin，
f(x)的最小正周期T＝＝π，故A正确；
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
即f(x)的递增区间为，k∈Z，
所以f(x)在上单调递增，故B错误；
g(x)＝sin＝sin
＝－cos 2x，
所以F(x)＝sin－cos 2x
＝sin 2xcos －cos 2xsin －cos 2x
＝sin 2x－cos 2x
＝sin，
所以F(x)的最大值为，故C正确；
当x∈[0，2π]时，2x－∈，
令f(x)＝sin＝－，
则2x－＝－，或2x－＝，或2x－＝，或2x－＝，或2x－＝，
即方程f(x)＝－在[0，2π]上有5个实数根，故D正确.
10.(2024·郑州模拟)在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，能确定C为锐角的有( )
A.·>0
B.a2＋b2>c2
C.A，B均为锐角，且sin A>cos B
D.tan A＋tan B＋tan C>0
答案 BCD
解析 对于A，·＝－·
＝－||·||cos C>0，
可得cos C<0，则C为钝角，A不满足条件；
对于B，由余弦定理可得cos C＝>0，则C为锐角，B满足条件；
对于C，因为B为锐角，则－B也为锐角，
因为sin A>cos B＝sin，且y＝sin x在上单调递增，A，－B均为锐角，
所以A>－B，则A＋B>，
所以0
因为A＋B＋C＝π，则A＋B＝π－C，
所以tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，
由两角和的正切公式可得
tan(A＋B)＝，
则tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)，
所以tan A＋tan B＋tan C＝
tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan C
＝tan C－tan C(1－tan Atan B)
＝tan Atan Btan C>0，
由于△ABC中至少有两个锐角，则tan A，tan B，tan C中至少有两个正数，
进而可知tan A，tan B，tan C均为正数，从而C为锐角，D满足条件.
