二O二四年九年级复习质量检测
数学试题（A）
温馨提示：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共7页．满分120分．考试用时120分钟．
2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上．
3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷（选择题 共24分）
一、选择题：本大题共8个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．每小题涂对得3分，满分24分．
1. 在东西走向的马路上，若把向东走记做，则向西走应记做（ ）
A. B. C. D.
2. 某几何体如图所示，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C D.
4. 已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）之间的关系如下表所示，则下列说法中错误的是（ ）
5 4 2 1 0.5 0.25
20 25 30 40 50 100 200 400
A. 的值为2.5 B. 与之间的函数表达式为
C. 当时， D. 随增大而减小
5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 某校足球队20名队员年龄分布情况如下表：
年龄（岁） 12 13 14 15
人数（人） 3 8 7 2
则该队队员年龄的众数、中位数分别是（ ）
A. 15， B. 15，13 C. 13， D. 13，13
7. 如图，正六边形内接于，连接，则（ ）
A. B. C. D.
8. 如图所示，在边长为1的正方形中，点P是边上不与端点重合的一动点，连接、过点P作交正方形外角的平分线于点Q，则有关面积的说法正确的为（ ）．
A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最大值为 D. 有最小值为
第Ⅱ卷（非选择题 共96分）
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9. 3的平方根是_________.
10. 如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，，则的长为_______．
11. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
12. 如图，将平移到位置，点A的对应点为点分别交于点，若，则________．
13. 若点，都在反比例函数的图象上，且，则____________．（填“”“”或“”）
14. 某工厂为了提高生产效率，更新了工厂设备，现在每台机器平均每天比原来多生产25件产品，若该工厂的机器台数不变，现在每天总的生产能力由2000件提高到了3000件，求原来每台机器平均每天生产多少件产品？设原来每台机器每天生产件产品，根据题意可列方程为_______．
15. 如图，在矩形ABCD中，AD＝2，DC＝4，将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，当点C对应点E恰好落在边AB上时，图中阴影部分的面积是_____．
16. 如图，菱形中，，G是对角线的中点，是等腰直角三角形，，将绕点B顺时针旋转，连接．已知，，在旋转过程中，当为直角三角形时，的长为________．
三、解答题：（本大题共8个小题，满分72分．解答时请写出必要的演推过程．）
17. （1）计算．
（2），其中，．
18. 《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准：（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．
请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了__________名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有__________名，“D烹饪与营养”的男生有__________名；
（2）补全上面的条形统计图；
（3）求扇形统计图中“D烹饪与营养”所对应圆心角的度数；
（4）学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中．
（1）求反比例函数解析式及的面积；
（2）请根据图象直接写出不等式的解集．
20. 已知矩形，以为一边求作一个平行四边形，使得该平行四边形的一个内角为，且面积为矩形面积的一半．
（1）利用尺规作图作出符合题意的平行四边形（保留作图痕迹）；
（2）写出判定四边形是平行四边形的依据是______．
21. 2023年12月6日，中央广播电视总台2024龙年春晚吉祥物“龙辰辰”正式发布亮相．其从我国历史出土文物中提取“龙”的要素作为设计特色，精美别致，充满了趣味和古韵．某批发商场在春节前以60元的进价购进了一批龙辰辰玩偶，计划以每个80元销售．春节来临之际，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售．已知玩偶销售量（单位：个）与每个玩偶的降价（单位：元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）设商场销售个玩偶所获利润为（单位：元），请直接写出与之间的函数关系式：_____；
（3）若商场要想获利2600元，且让顾客获得更大实惠，这种玩偶每个应降价多少元？
22. 如图，为的直径，点C为上一点，过点C作的切线交的延长线于点E，作于点F，交于另一点D，连接、．
（1）求证：为的切线；
（2）若的直径为26，，求的长．
23. 将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q，设AP＝x．
（1）当点Q在边CD上时，求证：PQ＝PB．
（2）在（1）的情况下，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）当点P在线段AC上滑动时，当△PCQ是等腰三角形时，求x的值．
24. 【课本再现】
（1）如图1，四边形是一个正方形，E是延长线上一点，且，则的度数为 ．
【变式探究】
（2）如图2，将（1）中的沿折叠，得到，延长交于点F，若，求的长．
【延伸拓展】
（3）如图3，当（2）中的点E在射线上运动时，连接，与交于点P．探究：当的长为多少时，D，P两点间的距离最短？请求出最短距离．二O二四年九年级复习质量检测
数学试题（A）
温馨提示：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共7页．满分120分．考试用时120分钟．
2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上．
3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷（选择题 共24分）
一、选择题：本大题共8个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．每小题涂对得3分，满分24分．
1. 在东西走向的马路上，若把向东走记做，则向西走应记做（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相反意义的量，熟练掌握正负的意义是解题的关键，根据题意得到向东走为正，则可得到向西走为负，即可得到答案．
【详解】解：由题可得：向东走记做，
则向西走向西走，应记作．
故选：B．
2. 某几何体如图所示，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据从上面看得到的图形是俯视图，即可得答案．
【详解】解：从上面看，是一个上宽下窄的梯形．
故选：D．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，单项式除以单项式，积的乘方和完全平方公式，根据合并同类项，单项式除以单项式，积的乘方和完全平方公式运算法则逐项判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】、与不是同类项，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
故选：．
4. 已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）之间的关系如下表所示，则下列说法中错误的是（ ）
5 4 2 1 0.5 0.25
20 25 30 40 50 100 200 400
A. 的值为2.5 B. 与之间的函数表达式为
C. 当时， D. 随的增大而减小
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，熟练掌握电流=电压÷电阻是解决此题的关键．根据等量关系“电流=电压÷电阻”，即可求出反比例函数解析式，再利用反比例函数性质分析得出答案．
【详解】解：∵闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，
∴，
∴，
故A不合题意；
∵闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，
则，把代入得：
故，
即，
故B不合题意；
∵，
∴I随R的增大而减小，故D不合题意；
∴当时，，故C符合题意．
故选：C．
5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示即可作答．
本题主要考查了求解不等式组的解集并在数轴上表示解集的知识，注意，含端点时用实心点，不含端点时，用空心点．
【详解】
解不等式①得，
解不等式②得，
∴数轴表示为：
故选：D．
6. 某校足球队20名队员年龄分布情况如下表：
年龄（岁） 12 13 14 15
人数（人） 3 8 7 2
则该队队员年龄的众数、中位数分别是（ ）
A. 15， B. 15，13 C. 13， D. 13，13
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数和众数，把一组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个，据此求解即可．
【详解】解：把这20名队员的年龄从低到高排列，处在第10名和第11名的年龄分别为岁，岁，
∴中位数为，
∵年龄为13岁的人数最多，
∴众数为13，
故选：D．
7. 如图，正六边形内接于，连接，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了正多边形与圆，等边对等角，先根据正六边形的性质得到，，再由等边对等角得到，则，由此可得．
【详解】解：∵六边形是正六边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
8. 如图所示，在边长为1的正方形中，点P是边上不与端点重合的一动点，连接、过点P作交正方形外角的平分线于点Q，则有关面积的说法正确的为（ ）．
A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最大值为 D. 有最小值为
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识点，求出面积的解析式成为解题的关键．
如图：连接，过P作交于G，过Q作于K，先证明可得，再证，进而得到，设，则，进而得到，最后根据二次函数的性质求最值即可解答．
【详解】解：如图：连接，过P作交于G，过Q作于K，
∵四边形为正方形；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵正方形外角的平分线，
∴，
∴，
∵
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴当时，即时，面积有最大值．
故选C．
第Ⅱ卷（非选择题 共96分）
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9. 3的平方根是_________.
【答案】
【解析】
详解】试题解析：∵（）2=3，
∴3的平方根是.
故答案为.
10. 如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，，则的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等角对等边，根据三角形中位线的性质，得出，计算，，根据“两直线平行，内错角相等”、角平分线的定义，推出，根据等角对等边，得出的长，最后根据计算得出答案即可，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵是的中位线，，
∴，，点是的中点，
又∵的角平分线交于点，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，进行计算即可得到答案．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：．
12. 如图，将平移到的位置，点A的对应点为点分别交于点，若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键．根据平移的性质得出，，于是可证得，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
【详解】解：由平移的性质得，，，
∴，，
，
，
即，
∵，
，
，
故答案为：．
13. 若点，都在反比例函数的图象上，且，则____________．（填“”“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据函数解析式可得反比例函数图象经过第一、三象限，再由可得．
【详解】解：∵反比例函数解析式为，，
∴反比例函数图象经过第一、三象限，
∵，
∴，
故答案为：．
14. 某工厂为了提高生产效率，更新了工厂设备，现在每台机器平均每天比原来多生产25件产品，若该工厂的机器台数不变，现在每天总的生产能力由2000件提高到了3000件，求原来每台机器平均每天生产多少件产品？设原来每台机器每天生产件产品，根据题意可列方程为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列分式方程，根据题意找出等量关系是解题关键．根据机器台数不变，现在每台机器平均每天比原来多生产25件产品，现在每天总的生产能力由2000件提高到了3000件列方程即可．
【详解】解：设原来每台机器每天生产件产品，则现在每台机器平均每天生产件产品，
∵机器台数不变，现在每天总的生产能力由2000件提高到了3000件，
∴，
故答案为：
15. 如图，在矩形ABCD中，AD＝2，DC＝4，将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，当点C的对应点E恰好落在边AB上时，图中阴影部分的面积是_____．
【答案】24﹣64π
【解析】
【分析】由旋转的性质可得DE＝DC＝4，由锐角三角函数可求∠ADE＝60°，由勾股定理可求AE的长，分别求出扇形EDC和四边形DCBE的面积，即可求解．
【详解】解：∵将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，
∴DE＝DC＝4，
∵cos∠ADE，
∴∠ADE＝60°，
∴∠EDC＝30°，
∴S扇形EDC4π，
∵AE6，
∴BE＝AB﹣AE＝46，
∴S四边形DCBE24﹣6，
∴阴影部分的面积＝24﹣64π，
故答案为：24﹣64π．
【点睛】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数，矩形的性质，扇形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
16. 如图，菱形中，，G是对角线的中点，是等腰直角三角形，，将绕点B顺时针旋转，连接．已知，，在旋转过程中，当为直角三角形时，的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】由菱形，，可得，是等边三角形，则，，由是等腰直角三角形，可得，在以为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接，当为直角三角形时，分，，三种情况求解；当时，由题意知，三点共线，，根据，计算求解；当时，当时，由题意知，此两种情况不成立，然后作答即可．
【详解】解：∵菱形，，
∴，是等边三角形，
∴，
∵G是对角线中点，
∴，
∵是等腰直角三角形，，，
∴，，
∴在以为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接，
当为直角三角形时，分，，三种情况求解；
当时，由题意知，三点共线，
∴，
∴；
当时，，，
此时到的距离为，
∵，
∴此情况不成立；
当时，由题意知，此情况不成立，
综上所述，的长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，余弦，圆，旋转的性质等知识．分类讨论是解题的关键．
三、解答题：（本大题共8个小题，满分72分．解答时请写出必要的演推过程．）
17. （1）计算．
（2），其中，．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，分式的化简求值、整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键．
（1）依据题意，根据实数运算法则，零指数幂，负整数指数幂的性质及特殊角的三角函数值进行计算可以得解；
（2）依据题意，根据分式的混合运算法则进行化简，然后代入计算可以得解．
【详解】解：（1）
．
（2）
，
当，时，原式．
18. 《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准：（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．
请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了__________名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有__________名，“D烹饪与营养”的男生有__________名；
（2）补全上面的条形统计图；
（3）求扇形统计图中“D烹饪与营养”所对应的圆心角的度数；
（4）学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）20；2；1
（2）见解析 （3）
（4）
【解析】
【分析】（1）利用组人数除以所占的百分比求出总数，总数乘以组的百分比，求出组人数，进而求出组女生人数，总数乘以组的百分比，求出组的人数，进而求出组男生人数；
（2）根据（1）中所求数据，补全图形即可；
（3）用乘以该项的百分比即可.
（4）利用列表法求出概率即可．
【小问1详解】
解：（人），
∴一共调查了20人；
∴组人数为：（人），
∴组女生有：（人）；
由扇形统计图可知：组的百分比为，
∴组人数为：（人），
∴组男生有：（人）；
故答案为：
【小问2详解】
补全图形如下：
【小问3详解】
“D烹饪与营养”所对应的圆心角的度数．
【小问4详解】
用表示名男生，用表示两名女生，列表如下：
A B C D E
A
B
C
D
E
共有20种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果有12种，
∴．
【点睛】本题考查扇形图与条形图的综合应用，以及利用列表法求概率．从统计图中有效的获取信息，利用频数除以百分比求出总数，熟练掌握列表法求概率，是解题的关键．
19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中．
（1）求反比例函数解析式及的面积；
（2）请根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．
（1）先求出反比例函数解析式和点C坐标，再根据计算即可；
（2）根据函数图象，直接写出不等式解集即可；
【小问1详解】
解：将点代入中，得：，
，
将点代入中，得： ，
反比例函数的解析式为：，
令，则，
解得：，
点，
联立方程得：，
解得：，，
点．
．
小问2详解】
解：∵，，．
根据图象可知，或．
20. 已知矩形，以为一边求作一个平行四边形，使得该平行四边形的一个内角为，且面积为矩形面积的一半．
（1）利用尺规作图作出符合题意的平行四边形（保留作图痕迹）；
（2）写出判定四边形是平行四边形的依据是______．
【答案】（1）见解析 （2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【解析】
【分析】本题考查作图 复杂作图，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（1）先作线段的垂直平分线l，以点A为圆心，的长为半径画弧，交直线l于点F，再以点F为圆心，的长为半径画弧，交直线l于点E，连接即可；
（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解决问题即可．
【小问1详解】
解：先作线段的垂直平分线l，以点A为圆心，的长为半径画弧，交直线l于点F，再以点F为圆心，的长为半径画弧，交直线l于点E，连接，
可得，且，为等边三角形，
则四边形为平行四边形，．
则平行四边形即为所求．
【小问2详解】
解：由（1）可知，，
∴四边形为平行四边形．
判定依据为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
21. 2023年12月6日，中央广播电视总台2024龙年春晚吉祥物“龙辰辰”正式发布亮相．其从我国历史出土文物中提取“龙”的要素作为设计特色，精美别致，充满了趣味和古韵．某批发商场在春节前以60元的进价购进了一批龙辰辰玩偶，计划以每个80元销售．春节来临之际，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售．已知玩偶销售量（单位：个）与每个玩偶的降价（单位：元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）设商场销售个玩偶所获利润为（单位：元），请直接写出与之间的函数关系式：_____；
（3）若商场要想获利2600元，且让顾客获得更大实惠，这种玩偶每个应降价多少元？
【答案】（1）
（2）
（3）这种玩偶每个应降价10元
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，列函数关系式：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据利润（售价进价降价）销售量求解即可；
（3）根据（2）所求列出方程求解即可．
【小问1详解】
解；设与之间的函数关系式为，
将和代入中，得，
解得．
∴与之间的函数关系式为．
【小问2详解】
解：由题意得，
；
【小问3详解】
根据题意，得，
解得，．
∵要让顾客获得更大实惠，
∴．
答：这种玩偶每个应降价10元．
22. 如图，为的直径，点C为上一点，过点C作的切线交的延长线于点E，作于点F，交于另一点D，连接、．
（1）求证：为的切线；
（2）若的直径为26，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）24
【解析】
【分析】（1）连接，，先由切线的性质得，再证明，得，从而由切线的判定得出结论；
（2）根据，设，则．利用勾股定理得出，求解即可得出，然后利用垂径定理即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，，如图．
是的切线，
．
，
，
．
在和中，，，，
，
．
为的半径，
为的切线．
【小问2详解】
解：的直径为26，
．
，
设，则．
，
．
在中，，
，
解得（舍去），，
．
，
．
【点睛】本题考查切线的判定与性质，垂径定理，三角函数，圆心角与弧的关系，全等三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
23. 将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q，设AP＝x．
（1）当点Q边CD上时，求证：PQ＝PB．
（2）在（1）的情况下，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）当点P在线段AC上滑动时，当△PCQ是等腰三角形时，求x的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）0或1
【解析】
【分析】（1）过点P作MNBC，分别交AB、CD于点M、N，根据矩形的性质和直角三角形的性质，可证明△QNP≌△PMB，可证明PQ＝PB；
（2）设AP＝x，结合（1）的结论可分别表示出AM、BM、CQ和PN，可表示出△PBC和△PCQ的面积，从而表示出四边形PBCQ的面积，从而得到y与x的关系式；
（3）△PCQ可以成为等腰三角形．当点Q在DC边上时，利用勾股定理可得到x的方程；当点Q在DC的延长线上时，由PQ＝CQ，可得到x的方程；当Q与点C重合时，不满足条件；从而可求得满足条件的x的值．
【小问1详解】
证明：过点P作MNBC，分别交AB、CD于点M、N，如图1，
则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰三角形，
∴NP＝NC＝MB．
∵∠BPQ＝90°，
∴∠QPN＋∠BPM＝90°，而∠BPM＋∠PBM＝90°，
∴∠QPN＝∠PBM．
又∵∠QNP＝∠PMB＝90°
在△QNP和△PMB中，
，
∴△QNP≌△PMB（ASA），
∴PQ＝PB；
【小问2详解】
由（1）知△QNP≌△PMB，得NQ＝MP．
设AP＝x，则AM＝MP＝NQ＝DNx，BM＝PN＝CN＝1x，
∴CQ＝CD﹣DQ＝1﹣2x＝1x
∴，
，
∴，
∵当Q点到点C时则P点到达AC的中点，
∴AP的最大值为AC，
∴．
【小问3详解】
△PCQ可能成为等腰三角形．
①当点Q在边DC上，
由PQ＝CQ得：
解得（舍去）；
②当点Q在边DC的延长线上时，如图2，
由PC＝CQ得：xx﹣1，解得x＝1．
③当点Q与C点重合，△PCQ不存在．
综上所述，x＝0或1时，△PCQ为等腰三角形．
【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理等知识．在（1）中构造三角形全等是解题的关键，在（2）中用x分别表示出△PBC和△PCQ的面积是解题的关键，在（3）中利用分类讨论思想分别得到关于x的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，有一定的难度．
24. 【课本再现】
（1）如图1，四边形是一个正方形，E是延长线上一点，且，则的度数为 ．
【变式探究】
（2）如图2，将（1）中的沿折叠，得到，延长交于点F，若，求的长．
【延伸拓展】
（3）如图3，当（2）中的点E在射线上运动时，连接，与交于点P．探究：当的长为多少时，D，P两点间的距离最短？请求出最短距离．
【答案】（1）；（2）；（3）当的长为时，D，P两点间的距离最短，最短距离为
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质，得到，推出，由，得到，推出即可得出结果；
（2）根据正方形的性质，得到，求出，进而得到，由折叠的性质得到，，再根据（1）中，得到，进而得到，利用勾股定理求出，由即可求解；
（3）由折叠的性质，得到，即点P在以为直径的圆上运动，设的中点为Q，连接，则当点P在上时，D，P两点间的距离最短，设交于点G，如图，求出，进而得到，，证明，得到，即可求出，即可得出结论．
【详解】解：（1）四边形是正方形，
，
，
，
，
，
故答案：；
（2）四边形是正方形，
，
，
，
，
由折叠的性质得到，，
由（1）知，
，
，
，
；
（3）由折叠知，
，
点P在以为直径的圆上运动，
设的中点为Q，连接，则当点P在上时，D，P两点间的距离最短，设交于点G，如图，
，
，
，
又，
，即，
，
故当的长为时，D，P两点间的距离最短，最短距离为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，点到圆上的最短距离，三角形相似的判定与性质，灵活运用点到圆上的最短距离，折叠的性质，是解题的关键．
