第4节 复 数
考试要求 1.理解复数的基本概念. 2.理解复数相等的充要条件. 3.了解复数的代数表示法及其几何意义. 4.会进行复数代数形式的四则运算. 5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
【知识梳理】
1.复数的有关概念
(1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).
(2)分类：
满足条件(a，b为实数)
复数的 分类 a＋bi为实数 b＝0
a＋bi为虚数 b≠0
a＋bi为纯虚数 a＝0且b≠0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R).
2.复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.
3.复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)几何意义：
复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－.
[常用结论与微点提醒]
1.i的乘方具有周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
2.(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.
3.复数的模与共轭复数的关系z·＝|z|2＝||2.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( )
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( )
(3)原点是实轴与虚轴的交点.( )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
解析 (1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小.
2.(必修二P69例1改编)若复数z＝m＋1＋(m－1)i为纯虚数，则m＝________.
答案 －1
解析 由题意知解得m＝－1.
3.(必修二P94T1改编)复数的共轭复数是________.
答案 －2＋i
解析 ＝＝－2－i，
故其共轭复数是－2＋i.
4.已知z＝1－3i，则|－i|＝________.
答案
解析 由z＝1－3i，得－i＝1＋3i－i＝1＋2i，
故|－i|＝＝.
考点一 复数的概念
例1 (1)(2023·全国甲卷)若复数(a＋i)(1－ai)＝2，a∈R，则a＝( )
A.－2 B.－1 C.1 D.2
答案 C
解析 因为(a＋i)(1－ai)＝2a＋(1－a2)i＝2，
所以2a＝2且1－a2＝0，解得a＝1.
(2)(2024·西安质检)已知复数z1＝a－3i，z2＝2＋i(i为虚数单位).若z1z2是纯虚数，则实数a＝( )
A.－ B. C.－6 D.6
答案 A
解析 因为z1z2＝(a－3i)(2＋i)＝(2a＋3)＋(a－6)i是纯虚数，
所以2a＋3＝0且a－6≠0，可得a＝－.
(3)(多选)(2024·惠州调研)已知复数z＝，则下列结论正确的是( )
A.z的虚部为1
B.|z|＝2
C.z2为纯虚数
D.在复平面内对应的点位于第一象限
答案 AC
解析 对于A，z＝＝＝1＋i，
则z的虚部为1，故A正确；
对于B，|z|＝，故B错误；
对于C，z2＝2i为纯虚数，故C正确；
对于D，＝1－i在复平面内对应的点为(1，－1)，位于第四象限，故D错误.
感悟提升 解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
训练1 (1)(2023·全国乙卷)|2＋i2＋2i3|＝( )
A.1 B.2 C. D.5
答案 C
解析 |2＋i2＋2i3|＝|2－1－2i|＝|1－2i|＝.
(2)(2024·辽宁名校模拟)已知复数z＝2－i，且－az＋b＝i，其中a，b为实数，则a－b＝( )
A.－2 B.0 C.2 D.3
答案 C
解析 由题意得＝2＋i，则代入原式得
2＋i－a(2－i)＋b＝i，
即(2－2a＋b)＋(1＋a)i＝i，
所以解得
所以a－b＝2.
(3)已知复数z满足|z|＝|z－1|＝1，且复数z对应的点在第一象限，则下列结论正确的是( )
A.复数z的虚部为－
B.z＝－i
C.z2＝z＋1
D.复数z的共轭复数为－i
答案 D
解析 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，
因为|z|＝|z－1|＝1，且复数z对应的点在第一象限，
所以解得
即z＝＋i.
对于A，复数z的虚部为，故A错误；
对于B，z＝＋i，故B错误；
对于C，因为z2＝＝－＋i≠z＋1，故C错误；
对于D，复数z的共轭复数为－i，故D正确.
考点二 复数的四则运算
例2 (1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝( )
A.－i B.i C.0 D.1
答案 A
解析 因为z＝＝＝－i，
所以＝i，
所以z－＝－i－i＝－i.
(2)(2023·全国乙卷)设z＝，则＝( )
A.1－2i B.1＋2i
C.2－i D.2＋i
答案 B
解析 z＝＝＝
＝1－2i，所以＝1＋2i.
感悟提升 1.复数的乘法类似于多项式的乘法运算；
2.复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.
训练2 (1)(2023·全国甲卷)＝( )
A.－1 B.1 C.1－i D.1＋i
答案 C
解析 由题意知，＝＝＝1－i.
(2)(2024·宁波调研)已知i为虚数单位，则＝________.
答案 －＋i
解析 ＝＝＝＝＝－＋i.
(3)(2023·天津卷)已知i是虚数单位，化简的结果为________.
答案 4＋i
解析 ＝
＝＝＝4＋i.
考点三 复数的几何意义
例3 (1)(2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 A
解析 因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，
所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A.
(2)(2024·广州模拟)复数z＝(a＋2)－(a＋3)i在复平面内对应的点Z位于第二象限，则实数a的取值范围为( )
A.(－∞，－2) B.(－3，－2)
C.(－2，＋∞) D.(－∞，－3)
答案 D
解析 由复数z＝(a＋2)－(a＋3)i在复平面内对应的点Z位于第二象限，
可得解得a<－3，
故实数a的取值范围为(－∞，－3).
(3)18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义.例如，|z|＝|OZ|，即复数z的模的几何意义为z在复平面内对应的点Z到原点的距离.在复平面内，若复数z1＝对应的点为Z1，Z为曲线|z－3|＝1上的动点，则Z1与Z之间的最小距离为________.
答案 4
解析 因为z1＝＝－4i，所以Z1(0，－4)，
又因为曲线|z－3|＝1表示以A(3，0)为圆心，1为半径的圆，所以|AZ1|＝5，
故Z1与Z之间的最小距离为5－1＝4.
感悟提升 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) ＝(a，b).
2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.
训练3 (1)(2024·重庆诊断)已知(1＋i)2·z＝5－2i，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 B
解析 z＝＝＝＝－＝－1－i，则＝－1＋i，
∴在复平面内对应的点为，位于第二象限.
(2)(2024·石家庄模拟)如图，已知复数z在复平面内所对应的向量是，图中每个小正方形网格的边长均为1，则＝( )
A.1＋2i B.1＋3i
C.3＋i D.2＋i
答案 D
解析 由题图可知＝(3，1)，
则z＝3＋i，＝3－i，
因此＝＝＝2＋i.
(3)已知复数z满足|z＋i|＝|z－i|，则|z＋1＋2i|的最小值为________.
答案 2
解析 设复数z在复平面内对应的点为Z，
因为复数z满足|z＋i|＝|z－i|，
所以由复数的几何意义可知，点Z到点(0，－1)和(0，1)的距离相等，
所以在复平面内点Z的轨迹为x轴，
又|z＋1＋2i|表示点Z到点(－1，－2)的距离，
所以问题转化为x轴上的动点Z到定点(－1，－2)距离的最小值，
所以|z＋1＋2i|的最小值为2.
考点四 复数与方程
例4 已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根.
(1)求实数a，b的值；
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.
解 (1)把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，
得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，
∴解得
(2)由(1)知方程为x2＋2x＋2＝0.
设另一个根为x2，由根与系数的关系，
得－1＋i＋x2＝－2，
∴x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，
则左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边，
∴x2＝－1－i是方程的另一个根.
感悟提升 1.对实系数二次方程来说，求根公式、根与系数关系、判别式的功能没有变化，仍然适用.
2.对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.
训练4 在复数集内解方程x2－ix＋i－1＝0.
解 因为a＝1，b＝－i，c＝i－1，
所以Δ＝(－i)2－4×1·(i－1)＝3－4i.
设(m＋ni)2＝3－4i，则
解得或
所以3－4i的平方根为±(2－i)，
所以x＝＝，
得x1＝＝1，x2＝＝－1＋i，
即原方程的根为x1＝1，x2＝－1＋i.
【A级 基础巩固】
1.(2024·金华质检)设复数z满足z(1＋i)＝2，则|z|＝( )
A. B.1 C. D.2
答案 C
解析 由z(1＋i)＝2，得z＝＝＝1－i，所以|z|＝.
2.(2024·湖北名校联考)在复平面内，复数z对应的点为(－1，1)，则＝( )
A.－1＋i B.－1－i C.i D.1＋i
答案 C
解析 由题意可知z＝－1＋i，
所以＝＝＝＝i.
3.(2024·邵阳模拟)已知复数z满足(2z＋3)i＝3z，则＝( )
A.－－i B.－＋i
C.－i D.＋i
答案 A
解析 因为(2z＋3)i＝3z，2zi＋3i＝3z，(3－2i)z＝3i，
所以z＝＝＝
＝－＋i，
所以＝－－i.
4.(2024·湘潭模拟)在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是(2，－1)，(0，5)，则复数的虚部为( )
A.2 B.－2 C.－2i D.2i
答案 A
解析 由题可知z1＝2－i，z2＝5i，
则＝＝＝－1＋2i，
所以复数的虚部为2.
5.设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A.(x＋1)2＋y2＝1 B.(x－1)2＋y2＝1
C.x2＋(y－1)2＝1 D.x2＋(y＋1)2＝1
答案 C
解析 因为z在复平面内对应的点为(x，y)，
所以z＝x＋yi(x，y∈R).
因为|z－i|＝1，所以|x＋(y－1)i|＝1，
所以x2＋(y－1)2＝1.
6.(2024·开封模拟)若是纯虚数，则复数z可以是( )
A.－3＋4i B.3－4i
C.4＋3i D.4－3i
答案 D
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
由题意知a2＋b2≠0，
则＝＝
＝.
因为是纯虚数，
所以
经验证可知，a＝4，b＝－3符合，
即复数z可以是4－3i.
7.(2024·衡水调研)设a∈R，z＝，则“a>1”是“|z|>”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分条件也不必要条件
答案 A
解析 由题意得z＝＝a－2i，
所以|z|＝＝.
因为|z|>，所以a2＋4>5，
解得a<－1或a>1，
故“a>1”是“|z|>”的充分不必要条件.
8.棣莫弗公式(cos x＋isin x)n＝cos nx＋isin nx(其中i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667—1754年)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 C
解析 由已知得
＝cos ＋isin
＝cos＋isin＝－cos －isin
＝－－i.
∴复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限.
9.(2023·上海卷)已知复数z＝1＋i，则|1－i·z|＝________.
答案
解析 ∵z＝1＋i，∴1－i·z＝1－i(1＋i)＝1－i＋1＝2－i，∴|1－i·z|＝|2－i|＝.
10.(2022·新高考Ⅰ卷改编)若i(1－z)＝1，则z＋＝________.
答案 2
解析 因为i(1－z)＝1，
所以z＝1－＝1＋i，
所以＝1－i，
所以z＋＝(1＋i)＋(1－i)＝2.
11.(2024·桂林、崇左调研)已知i为虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b＝________.
答案 1
解析 因为＝a＋bi，
所以a＋bi＝＝
＝＝＋i，
所以a＝，b＝，则a＋b＝＋＝1.
12.若2－3i是方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一个根，则其另外一个根是________，a＝________.
答案 2＋3i 13
解析 设方程的另外一根为x，
则x＋2－3i＝4，故x＝2＋3i，
a＝(2－3i)(2＋3i)＝13.
【B级 能力提升】
13.(多选)(2024·济南调研)设复数z1＝2－i，z2＝2i(i为虚数单位)，则下列结论正确的为( )
A.z2是纯虚数
B.z1－z2在复平面内对应的点位于第二象限
C.|z1＋z2|＝3
D.1＝2＋i
答案 AD
解析 对于A，z2＝2i，其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，故A正确；
对于B，z1－z2＝2－3i，其在复平面内对应的点为(2，－3)，位于第四象限，故B错误；
对于C，z1＋z2＝2＋i，则|z1＋z2|＝＝，故C错误；
对于D，z1＝2－i，则1＝2＋i，故D正确.故选AD.
14.(多选)(2024·南通质检)已知复数z1＝－2＋i(i为虚数单位)，复数z2满足|z2－1＋2i|＝2，z2在复平面内对应的点为M(x，y)，则( )
A.复数z1在复平面内对应的点位于第二象限
B.＝－－i
C.(x＋1)2＋(y－2)2＝4
D.|z2－z1|的最大值为3＋2
答案 ABD
解析 对于A，复数z1在复平面内对应的点的坐标为(－2，1)，该点位于第二象限，故A正确；
对于B，＝＝＝－－i，故B正确；
对于C，由题意可得z2－1＋2i＝(x－1)＋(y＋2)i，因为|z2－1＋2i|＝2，所以(x－1)2＋(y＋2)2＝4，故C错误；
对于D，因为z2在复平面内对应的点表示圆，
其圆心为P(1，－2)，半径为2，z1表示点为Q(－2，1)，且|PQ|＝3，
所以|z2－z1|的最大值为2＋3，故D正确.
15.(2024·厦门调研)已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，为z的共轭复数，且满足|z＋|＝|z－|＝|z|2，则复数z＝________.
答案 －1＋i
解析 由题意设z＝a＋bi(a，b∈R，a＜0，b＞0)，则＝a－bi.
因为|z＋|＝|z－|＝|z|2，
则|2a|＝|2bi|＝a2＋b2，
即|a|＝|b|＝， 解得|a|＝|b|＝1.
因为a＜0，b＞0，
所以a＝－1，b＝1，所以z＝－1＋i.
16.已知复数z1，z2，z3满足|z1|＝|z2|＝|z3|＝1，则＝________.
答案 1
解析 因为复数z1，z2，z3满足|z1|＝|z2|＝|z3|＝1，
所以z1·1＝1，z2·2＝1，z3·3＝1，
所以
＝
＝＝1.第4节 复 数
考试要求 1.理解复数的基本概念. 2.理解复数相等的充要条件. 3.了解复数的代数表示法及其几何意义. 4.会进行复数代数形式的四则运算. 5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
【知识梳理】
1.复数的有关概念
(1)定义：我们把集合________＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的________，b叫做复数z的________(i为虚数单位).
(2)分类：
满足条件(a，b为实数)
复数的 分类 a＋bi为实数 ____________
a＋bi为虚数 ____________
a＋bi为纯虚数 ____________
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di ________________(a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭 ________________________(a，b，c，d∈R).
(5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作____________或________，即|z|＝|a＋bi|＝____________(a，b∈R).
2.复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点________及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.
3.复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)几何意义：
复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝________，＝____________.
[常用结论与微点提醒]
1.i的乘方具有周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
2.(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.
3.复数的模与共轭复数的关系z·＝|z|2＝||2.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( )
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( )
(3)原点是实轴与虚轴的交点.( )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )
2.(必修二P69例1改编)若复数z＝m＋1＋(m－1)i为纯虚数，则m＝________.
3.(必修二P94T1改编)复数的共轭复数是________.
4.已知z＝1－3i，则|－i|＝________.
考点一 复数的概念
例1 (1)(2023·全国甲卷)若复数(a＋i)(1－ai)＝2，a∈R，则a＝( )
A.－2 B.－1
C.1 D.2
(2)(2024·西安质检)已知复数z1＝a－3i，z2＝2＋i(i为虚数单位).若z1z2是纯虚数，则实数a＝( )
A.－ B.
C.－6 D.6
(3)(多选)(2024·惠州调研)已知复数z＝，则下列结论正确的是( )
A.z的虚部为1
B.|z|＝2
C.z2为纯虚数
D.在复平面内对应的点位于第一象限
感悟提升 解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
训练1 (1)(2023·全国乙卷)|2＋i2＋2i3|＝( )
A.1 B.2
C. D.5
(2)(2024·辽宁名校模拟)已知复数z＝2－i，且－az＋b＝i，其中a，b为实数，则a－b＝( )
A.－2 B.0
C.2 D.3
(3)已知复数z满足|z|＝|z－1|＝1，且复数z对应的点在第一象限，则下列结论正确的是( )
A.复数z的虚部为－
B.z＝－i
C.z2＝z＋1
D.复数z的共轭复数为－i
考点二 复数的四则运算
例2 (1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝( )
A.－i B.i
C.0 D.1
(2)(2023·全国乙卷)设z＝，则＝( )
A.1－2i B.1＋2i
C.2－i D.2＋i
感悟提升 1.复数的乘法类似于多项式的乘法运算；
2.复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.
训练2 (1)(2023·全国甲卷)＝( )
A.－1 B.1
C.1－i D.1＋i
(2)(2024·宁波调研)已知i为虚数单位，则＝________.
(3)(2023·天津卷)已知i是虚数单位，化简的结果为________.
考点三 复数的几何意义
例3 (1)(2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)·(3－i)对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)(2024·广州模拟)复数z＝(a＋2)－(a＋3)i在复平面内对应的点Z位于第二象限，则实数a的取值范围为( )
A.(－∞，－2) B.(－3，－2)
C.(－2，＋∞) D.(－∞，－3)
(3)18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义.例如，|z|＝|OZ|，即复数z的模的几何意义为z在复平面内对应的点Z到原点的距离.在复平面内，若复数z1＝对应的点为Z1，Z为曲线|z－3|＝1上的动点，则Z1与Z之间的最小距离为________.
感悟提升 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) ＝
(a，b).
2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.
训练3 (1)(2024·重庆诊断)已知(1＋i)2·z＝5－2i，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)(2024·石家庄模拟)如图，已知复数z在复平面内所对应的向量是，图中每个小正方形网格的边长均为1，则＝( )
A.1＋2i B.1＋3i
C.3＋i D.2＋i
(3)已知复数z满足|z＋i|＝|z－i|，则|z＋1＋2i|的最小值为________.
考点四 复数与方程
例4 已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根.
(1)求实数a，b的值；
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.
感悟提升 1.对实系数二次方程来说，求根公式、根与系数关系、判别式的功能没有变化，仍然适用.
2.对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.
训练4 在复数集内解方程x2－ix＋i－1＝0.
(共59张PPT)
第五章 平面向量、复数
第4节 复 数
1.理解复数的基本概念.
2.理解复数相等的充要条件.
3.了解复数的代数表示法及其几何意义.
4.会进行复数代数形式的四则运算.
5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
1.复数的有关概念
(1)定义：我们把集合____＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的_____，b叫做复数z的______ (i为虚数单位).
C
实部
虚部
(2)分类：
满足条件(a，b为实数)
复数的 分类 a＋bi为实数 _____
a＋bi为虚数 _____
a＋bi为纯虚数 ___________
b＝0
b≠0
a＝0且b≠0
a＝c且b＝d
a＝c，b＝－d
|a＋bi|
|z|
Z(a，b)
3.复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(a±c)+(b±d)i
(ac±bd)+(bc±ad)i
常用结论与微点提醒
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( )
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( )
(3)原点是实轴与虚轴的交点.( )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )
×
×
√
√
解析 (1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小.
2.(必修二P69例1改编)若复数z＝m＋1＋(m－1)i为纯虚数，则m＝________.
－1
－2＋i
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 复数的概念
例1 (1)(2023·全国甲卷)若复数(a＋i)(1－ai)＝2，a∈R，则a＝( )
A.－2 B.－1 C.1 D.2
C
解析 因为(a＋i)(1－ai)＝2a＋(1－a2)i＝2，
所以2a＝2且1－a2＝0，解得a＝1.
A
解析 因为z1z2＝(a－3i)(2＋i)＝(2a＋3)＋(a－6)i是纯虚数，
AC
感悟提升
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
C
C
D
解析 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，
因为|z|＝|z－1|＝1，且复数z对应的点在第一象限，
考点二 复数的四则运算
A
B
感悟提升
1.复数的乘法类似于多项式的乘法运算；
2.复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.
C
4＋i
考点三 复数的几何意义
例3 (1)(2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
A
解析 因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，
所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A.
(2)(2024·广州模拟)复数z＝(a＋2)－(a＋3)i在复平面内对应的点Z位于第二象限，则实数a的取值范围为( )
A.(－∞，－2) B.(－3，－2)
C.(－2，＋∞) D.(－∞，－3)
D
解析 由复数z＝(a＋2)－(a＋3)i在复平面内对应的点Z位于第二象限，
4
又因为曲线|z－3|＝1表示以A(3，0)为圆心，1为半径的圆，所以|AZ1|＝5，
故Z1与Z之间的最小距离为5－1＝4.
感悟提升
B
D
(3)已知复数z满足|z＋i|＝|z－i|，则|z＋1＋2i|的最小值为________.
2
解析 设复数z在复平面内对应的点为Z，
因为复数z满足|z＋i|＝|z－i|，
所以由复数的几何意义可知，点Z到点(0，－1)和(0，1)的距离相等，
所以在复平面内点Z的轨迹为x轴，
又|z＋1＋2i|表示点Z到点(－1，－2)的距离，
所以问题转化为x轴上的动点Z到定点(－1，－2)距离的最小值，
所以|z＋1＋2i|的最小值为2.
考点四 复数与方程
例4 已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根.
(1)求实数a，b的值；
解 把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，
得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.
解 由(1)知方程为x2＋2x＋2＝0.
设另一个根为x2，由根与系数的关系，
得－1＋i＋x2＝－2，∴x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，
则左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边，
∴x2＝－1－i是方程的另一个根.
感悟提升
1.对实系数二次方程来说，求根公式、根与系数关系、判别式的功能没有变化，仍然适用.
2.对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.
训练4 在复数集内解方程x2－ix＋i－1＝0.
解 因为a＝1，b＝－i，c＝i－1，
所以Δ＝(－i)2－4×1·(i－1)＝3－4i.
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
C
C
解析 由题意可知z＝－1＋i，
A
解析 因为(2z＋3)i＝3z，2zi＋3i＝3z，(3－2i)z＝3i，
A
解析 由题可知z1＝2－i，z2＝5i，
5.设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A.(x＋1)2＋y2＝1 B.(x－1)2＋y2＝1
C.x2＋(y－1)2＝1 D.x2＋(y＋1)2＝1
C
解析 因为z在复平面内对应的点为(x，y)，
所以z＝x＋yi(x，y∈R).
因为|z－i|＝1，所以|x＋(y－1)i|＝1，
所以x2＋(y－1)2＝1.
D
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知a2＋b2≠0，
经验证可知，a＝4，b＝－3符合，
即复数z可以是4－3i.
A
C
9.(2023·上海卷)已知复数z＝1＋i，则|1－i·z|＝________.
2
1
12.若2－3i是方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一个根，则其另外一个根是_________，a＝________.
2＋3i
13
解析 设方程的另外一根为x，
则x＋2－3i＝4，故x＝2＋3i，
a＝(2－3i)(2＋3i)＝13.
AD
解析 对于A，z2＝2i，其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，故A正确；
对于B，z1－z2＝2－3i，其在复平面内对应的点为(2，－3)，位于第四象限，故B错误；
ABD
解析 对于A，复数z1在复平面内对应的点的坐标为(－2，1)，该点位于第二象限，故A正确；
对于C，由题意可得z2－1＋2i＝(x－1)＋(y＋2)i，
因为|z2－1＋2i|＝2，所以(x－1)2＋(y＋2)2＝4，故C错误；
对于D，因为z2在复平面内对应的点表示圆，
－1＋i
1对点练4 复 数
【A级 基础巩固】
1.(2024·金华质检)设复数z满足z(1＋i)＝2，则|z|＝( )
A. B.1
C. D.2
2.(2024·湖北名校联考)在复平面内，复数z对应的点为(－1，1)，则＝( )
A.－1＋i B.－1－i
C.i D.1＋i
3.(2024·邵阳模拟)已知复数z满足(2z＋3)i＝3z，则＝( )
A.－－i B.－＋i
C.－i D.＋i
4.(2024·湘潭模拟)在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是(2，－1)，(0，5)，则复数的虚部为( )
A.2 B.－2
C.－2i D.2i
5.设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A.(x＋1)2＋y2＝1 B.(x－1)2＋y2＝1
C.x2＋(y－1)2＝1 D.x2＋(y＋1)2＝1
6.(2024·开封模拟)若是纯虚数，则复数z可以是( )
A.－3＋4i B.3－4i
C.4＋3i D.4－3i
7.(2024·衡水调研)设a∈R，z＝，则“a>1”是“|z|>”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分条件也不必要条件
8.棣莫弗公式(cos x＋isin x)n＝cos nx＋isin nx(其中i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667—1754年)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
9.(2023·上海卷)已知复数z＝1＋i，则|1－i·z|＝________.
10.(2022·新高考Ⅰ卷改编)若i(1－z)＝1，则z＋＝________.
11.(2024·桂林、崇左调研)已知i为虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b＝________.
12.若2－3i是方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一个根，则其另外一个根是___，a＝____.
【B级 能力提升】
13.(多选)(2024·济南调研)设复数z1＝2－i，z2＝2i(i为虚数单位)，则下列结论正确的为( )
A.z2是纯虚数
B.z1－z2在复平面内对应的点位于第二象限
C.|z1＋z2|＝3
D.1＝2＋i
14.(多选)(2024·南通质检)已知复数z1＝－2＋i(i为虚数单位)，复数z2满足|z2－1＋2i|＝2，z2在复平面内对应的点为M(x，y)，则( )
A.复数z1在复平面内对应的点位于第二象限
B.＝－－i
C.(x＋1)2＋(y－2)2＝4
D.|z2－z1|的最大值为3＋2
15.(2024·厦门调研)已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，为z的共轭复数，且满足|z＋|＝|z－|＝|z|2，则复数z＝________.
16.已知复数z1，z2，z3满足|z1|＝|z2|＝|z3|＝1，则＝________.
对点练4 复 数
1.C [由z(1＋i)＝2，得z＝＝＝1－i，所以|z|＝.]
2.C [由题意可知z＝－1＋i，
所以＝＝＝＝i.]
3.A [因为(2z＋3)i＝3z，2zi＋3i＝3z，(3－2i)z＝3i，
所以z＝＝＝＝－＋i，
所以＝－－i.]
4.A [由题可知z1＝2－i，z2＝5i，
则＝＝＝－1＋2i，
所以复数的虚部为2.]
5.C [因为z在复平面内对应的点为(x，y)，
所以z＝x＋yi(x，y∈R).
因为|z－i|＝1，所以|x＋(y－1)i|＝1，
所以x2＋(y－1)2＝1.]
6.D [设z＝a＋bi(a，b∈R)，
由题意知a2＋b2≠0，
则＝＝＝.
因为是纯虚数，所以
经验证可知，a＝4，b＝－3符合，
即复数z可以是4－3i.]
7.A [由题意得z＝＝a－2i，
所以|z|＝＝.
因为|z|>，所以a2＋4>5，
解得a<－1或a>1，
故“a>1”是“|z|>”的充分不必要条件.]
8.C [由已知得＝cos ＋isin
＝cos＋isin＝－cos －isin ＝－－i.
∴复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限.]
9. [∵z＝1＋i，
∴1－i·z＝1－i(1＋i)＝1－i＋1＝2－i，
∴|1－i·z|＝|2－i|＝.]
10.2 [因为i(1－z)＝1，
所以z＝1－＝1＋i，
所以＝1－i，
所以z＋＝(1＋i)＋(1－i)＝2.]
11.1 [因为＝a＋bi，
所以a＋bi＝＝＝＝＋i，
所以a＝，b＝，
则a＋b＝＋＝1.]
12.2＋3i 13 [设方程的另外一根为x，
则x＋2－3i＝4，故x＝2＋3i，
a＝(2－3i)(2＋3i)＝13.]
13.AD [对于A，z2＝2i，其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，故A正确；
对于B，z1－z2＝2－3i，其在复平面内对应的点为(2，－3)，位于第四象限，故B错误；
对于C，z1＋z2＝2＋i，则|z1＋z2|＝＝，故C错误；
对于D，z1＝2－i，则1＝2＋i，故D正确.故选AD.]
14.ABD [对于A，复数z1在复平面内对应的点的坐标为(－2，1)，该点位于第二象限，故A正确；
对于B，＝＝＝－－i，故B正确；
对于C，由题意可得z2－1＋2i＝(x－1)＋(y＋2)i，
因为|z2－1＋2i|＝2，所以(x－1)2＋(y＋2)2＝4，故C错误；
对于D，因为z2在复平面内对应的点表示圆，
其圆心为P(1，－2)，半径为2，z1表示点为Q(－2，1)，且|PQ|＝3，
所以|z2－z1|的最大值为2＋3，故D正确.]
15.－1＋i [由题意设z＝a＋bi(a，b∈R，a＜0，b＞0)，则＝a－bi.
因为|z＋|＝|z－|＝|z|2，
则|2a|＝|2bi|＝a2＋b2，
即|a|＝|b|＝， 解得|a|＝|b|＝1.
因为a＜0，b＞0，
所以a＝－1，b＝1，所以z＝－1＋i.]
16.1 [因为复数z1，z2，z3满足|z1|＝|z2|＝|z3|＝1，
所以z1·1＝1，z2·2＝1，z3·3＝1，
所以＝＝＝1.]
