数学试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1. 在实数0、、、中，最小的数是（ ）
A. 0 B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】先估算出的值的范围，然后进行比较即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在实数0、、、中，，
∴最小的数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．
2. 从提出北斗建设工程开始，北斗导航卫星研制团队攻坚克难，突破重重关键技术，建成独立自主，开放兼容的全球卫星导航系统，成为世界上第三个独立拥有全球卫星导航系统的国家，现在每分钟200多个国家和地区的用户访问使用北斗卫星导航系统超70000000次．其中70000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解本题的关键．本题确定，即可．
【详解】解：，
故选D
3. 榫卯（sǔnmǎo），是一种中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，利用榫卯加固物件，体现出中国古老的文化和智慧．如图是其中一种榫，其主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的图形，可得答案．
【详解】解：该几何体的主视图是：
故选：B．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】考查了幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，熟记计算法则或公式即可解题．根据幂的乘方与积的乘方，完全平方公式进行解答．
【详解】解：，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C正确；
，故选项D错误；
故选：C．
5. 如图，是的外接圆，，则的度数等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形的外接圆．连接，根据，可得，从而得到，再由圆周角定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵是的外接圆，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
6. 随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融人人们的日常生活．如图是共享单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
先利用平行线的性质可得，再利用角的和差关系可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：D．
7. 如图，在中，，依据尺规作图痕迹，下列判断正确的是（ ）
①；②； ③．
A. ①②③ B. ②③ C. ② D. ③
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查角平分线和垂线段的画法，全等三角形的判定与性质，根据尺规作图痕迹可知，为的角平分线，为的垂线，可得，可判断结论Ⅱ，再由，，可得结论②正确．由无法得到判断①即可得解．
【详解】解：由尺规作图痕迹可知，
为的角平分线，为的垂线，
∴，为直角三角形，
∴，
在和中，
∴
∴，
∵
∴
故结论③正确；
∵，
∴
故结论②正确，
∵无法得到，
∴不能得到，故①错误，
故选：B．
8. 如图，直线分别与轴、轴交于，两点，以为边作正方形，双曲线经过点，则的值为（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，正方形的性质，全等三角形的性质．先求出点，点，则，，过点作于点，证和全等得，，则，进而得点，将点的坐标代入之中即可求出的值．
【详解】解：对于，当时，，当时，，
点，点，
，，
过点作于点，如下图所示：
，，
四边形为正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
点的坐标为，
双曲线经过点，
．
故选：B．
二、填空题（每题3分，共18分）
9. 分解因式：=_________________________．
【答案】．
【解析】
【详解】试题分析：原式==．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
10. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是________．
【答案】且
【解析】
【分析】若一元二次方程有两不等根二次项系数不为0，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，解关于m不等式即可．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝m，b＝﹣1，c＝2，
∴m≠0
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×m ×2＞0，
解得m＜，
∴实数的取值范围是m＜且m≠0．
故答案m＜且m≠0．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0 方程有两个不相等的实数根；②△＝0 方程有两个相等的实数根；③△＜0 方程没有实数根，要注意二次项系数不为0．
11. 东西塔是泉州古城的标志性建筑之一．如图，某课外兴趣小组在距离西塔塔底A点50米的C处，用测角仪测得塔顶部B的仰角为，则可估算出西塔的高度为______米．（结果保留整数，参考数据：，，）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了仰角，解直角三角形，根据,计算即可．
【详解】根据题意，，，
∴，
故答案为：．
12. 如图，在中，，，，将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到．若第一次经过点时停止旋转，此时与交于点，则点走过的路径长为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了求弧长，解直角三角形，旋转的性质，等边三角形的性质与判定等等．先解直角三角形得到，由旋转的性质得到，，，则是等边三角形，可得旋转的角度为，再利用弧长公式求解即可．
【详解】解：在中，，，，
，
，由旋转的性质可得，，，
是等边三角形，，
旋转的角度为，点走过的路径长为．
故答案为：．
13. 如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着方向平移到的位置，若，，则阴影部分的面积等于__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求阴影部分的面积，平移的性质，根据平移的性质，得到阴影部分的面积等于梯形的面积，进行求解即可．
【详解】解：∵其中一个三角形沿着方向平移到的位置，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
14. 距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当时，w的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，理解“极差”的意义是解题的关键．
先利用待定系数法求得抛物线解析式，从而得到顶点坐标，再结合函数图象即可求解．
【详解】∵物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒，
∴抛物线的顶点的纵坐标为20，且经过点，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴抛物线的最高点的坐标为．
当时，，当时，，
∵，，
∴当时，w的取值范围是：．
故答案为：．
三、解答题（共78分）
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，先通分，计算括号内，再把除法变乘法，约分化简后，代值计算即可．
【详解】解：原式
；
当时，原式．
16. 如图，时下有一种四人对战桌游十分流行，游戏开始前，四个人通常经过抽签决定座位A、B、C、D．小明和小张一同报名参加了这项桌游．
（1）小明抽中A座位的概率为______；
（2）若面对面座位上的两人视为游戏中的盟友，求小明和小张成为盟友的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小张成为盟友的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意得，小明抽中A座位的概率为；
【小问2详解】
列表如下：
共有12种等可能的结果，其中小明和小张成为盟友的结果有：（A，C），（B，D），（C，A），（D，B），共4种结果，
∴小明和小张成为盟友的概率为．
17. 李老师有一辆电动汽车，为了充电方便，他安装了家庭充电桩．该充电桩峰时充电的电价为0.5元/度，谷时充电的电价为0.3元/度，某月李老师的电动汽车在家庭充电桩的充电量合计为180度，共花电费64元．求这个月李老师的电动汽车峰时和谷时的充电量．
【答案】李老师的电动汽车峰时充电量为50度，谷时充电量为130度
【解析】
【分析】设李老师的电动汽车峰时充电量为x度，谷时充电量为y度，根据题意列二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设李老师的电动汽车峰时充电量为x度，谷时充电量为y度，
根据题意，得，
解得，，
答：李老师的电动汽车峰时充电量为50度，谷时充电量为130度．
18. 如图 ，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是菱形；
（2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是_ ．
【答案】（1）证明见解析；（2）矩形
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质求出OA=OD，证出四边形AODE是平行四边形即可；
（2）根据菱形的性质求出∠AOD=90°，再证出四边形AODE是平行四边形即可．
【详解】解：（1）∵矩形ABCD，
∴OA=OC=AC，OD=OB=BD，AC=BD，
∴OA=OD，
∵DE∥CA，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∴四边形AODE是菱形．
（2）∵DE∥CA，AE∥BD，
∴四边形AODE平行四边形，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∴平行四边形AODE是矩形．
故答案为：矩形．
【点睛】本题主要考查对菱形的性质和判定，矩形的性质和判定，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，能推出四边形是平行四边形和证正出∠AOD=90°、OA=OD是解此题的关键．
19. 【问题背景】在中，，，三边的边长分别为，，，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点，如图1所示．这样不需求的高，借助网格就能计算三角形的面积．
（1）直接写出的面积，___________．
（2）【思维拓展】若三边的长分别为，，，请利用图2的正方形网格中画出（每个小正方形的边长为）．
（3）【探索创新】若的三边长分别为，，（，，且）．试运用构图法求出的面积．
【答案】（1）；
（2）见解析； （3）的面积．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题；
（1）直接根据割补法求解即可；
（2）根据 三边的长分别为，，，可得画出图形即可；
（3）根据题意画出图形，利用割补法可得，求解即可．
【小问1详解】
解：，
故答案为：；
【小问2详解】
∵，
∴如图：即为所作：
;
【小问3详解】
如图③，的面积．
20. 近些年，新能源汽车以其清洁环保、使用成本低、高能源利用率等优点，慢慢走进人们的生活．下面是我国某区域2023年各季度新能源汽车销售量情况统计图．
（1）这个区域2023年共销售新能源汽车______万辆，其中一季度销售______万辆.
（2）将上面的条形统计图和扇形统计图中缺失的数据填、画完整．
（3）2023年平均每季度的增长量为
（4）结合以上信息，请你预测2024年这个区域新能源汽车的销售量可能是______万辆.将你预测的理由写在下面．
【答案】（1）120，18
（2）图见解析 （3）9万
（4）270
【解析】
【分析】本题主要考查条形统计图、扇形统计图的运用，能够将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联是解题的关键．
（1）根据二季度的销量和百分比可求出总销售量；用总销售量乘以一季度的百分比即可求出一季度的销量；
（2）根据（1）的到第一季度的销量，可补充条形统计图；用三季度的销量除以总销量求出三季度的百分比，即可补全扇形统计图；
（3）先每季度的增长量，然后再求平均数即可；
（3）根据2023年销量预测2024年的销量即可．
【小问1详解】
解：总销量为（万辆）， 一季度销量为（万辆）．
故答案为：120，18．
【小问2详解】
解：三季度的百分比为：；由（1）得一季度销量为18万辆，
则条形统计图和扇形统计图如图所示：
．
【小问3详解】
解：2023年平均每季度的增长量为：万．
故答案为：9万．
【小问4详解】
解：=270（万辆）．
故答案为：270．
21. 甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，两人同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止．甲、乙两人间的距离与甲行驶的时间之间的关系如图所示．
；
（1）以下是点M，N，P所代表的实际意义，请将M，N，P填入对应的横线上．
①甲到达终点： ；②甲、乙两人相遇： ；③乙到达终点： ．
（2）甲出发多少小时后，甲、乙两人相距？
【答案】（1）P ，M，N；
（2）甲出发或小时后，甲、乙两人相距；
【解析】
【分析】本题考查一次函数应用，函数图象的意义：
（1）根据函数图象，两个相距0时两个相遇，然后距离逐渐增加，当增加量减小时说明一个已经停止，最后达到最大停止即可得到答案；
（2）分相遇前相距km，即在第一段图象上，相遇后相距180km，即在第三段图象上，分别求出解析式代入求解即可得到答案
【小问1详解】
解：由图象可得，
点上，此时两人相遇，
点N之后，两人的距离增加速度减少，此时乙先到达终点，
点P表示两人距离为，此时甲到达终点
故答案为：P ，M，N；
【小问2详解】
解：设第一段解析式为：，
将点 ，代入得，
，解得：，
∴，
当时，，
解得：，
设第三段解析式为：：，
将点 ，代入得，
，解得：，
∴，
当时，，
解得：，
综上所述：甲出发或小时后，甲、乙两人相距．
22. 综合与实践
如图1，在直角三角形纸片中，，，．
【数学活动】
将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：将沿折痕展开，然后将绕点逆时针方向旋转得到，点，的对应点分别是点，，直线与边所在直线交于点（点不与点重合），与边所在直线交于点．
【数学思考】
（1）折痕的长为______；
（2）绕点旋转至图1的位置时，试判断与的数量关系，并证明你的结论；
【数学探究】
（3）绕点旋转至图2、图3所示位置时，探究下列问题：
①如图2，当直线经过点时，的长为______；
②如图3，当直线时，的长为______；
【问题延伸】
（4）在绕点旋转的过程中，连接，则的取值范围是______．
【答案】（1）3 （2），证明见解析
（3）①；②3
（4）
【解析】
【分析】（1）由折叠可知，，再证是的中位线，即可得出结论；
（2）连接，由旋转知，，，再证，即可得出结论；
（3）①由旋转的性质和等腰三角形的性质得，则，设，然后在中，由勾股定理求出的值，即可解决问题；
②过作于，交于．则四边形是矩形，得，再由三角形面积求出，然后证，得，即可得出结论；
（4）连接，则，当、、三点共线，且点F在线段上时，，此时最小，由直角三角形的性质得，即可求得最小值为2；当、、三点共线，且点F在延长线上时，，此时最大，即可求得最大值为8；即可解决问题．
【小问1详解】
解：由折叠的性质得：，，
，
，
，
是的中位线，
【小问2详解】
解：，证明如下：
如图1，连接，
由旋转的性质得：，，
在和中，
，
∴，
；
【小问3详解】
解：①由旋转的性质得：，，
，
，
，
，
，
设，
在中，，
即，
解得：，
；
②如图3，过作于，交于．
则四边形是矩形，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
【小问4详解】
解：如图4，连接，
则，
当、、三点共线，且点F在线段上时，，
此时的值最小，最小，
，，
，
，
的最小值，
当、、三点共线，且点F在延长线上时， ，
此时，最大，
∴，
∴．
【点睛】本题是几何变换综合题目，考查了旋转性质、折叠的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质以及最小值等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
23. 如图，在中，，，．点从点出发沿→→方向向终点运动，在、边的速度分别为每秒3个单位、4个单位，同时点从点出发沿→→方向向终点运动，在、边的速度分别为每秒4个单位、5个单位．当、、不共线时，以、为边作平行四边形．设点的运动时间为（秒）．
（1）_________．
（2）求的长度（用含的代数式表示）．
（3）当平行四边形被线段分成两部分的面积比为时，求的值．
（4）作四边形的对角线，当与某边平行时，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）当时，；当时，
（3）
（4），，
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理求得的长，即可求得的值；
（2）分两种情况：当时，，当时，
（3）通过面积比可推得，可得到，等量替换可得，通过， ，可求出值；
（4）分三种情况：当时，通过平行线性质可得，求得，根据，求得值；当时，通过平行线的性质可得四边形为矩形，根据，求得值；当时，通过平行线的性质可得，代入即可求得值．
【小问1详解】
∵，，
∴
∴
故答案为：．
【小问2详解】
当时，，
当时，；
【小问3详解】
如图，与交于点，当平行四边形面积被分成时
即三角形的面积与四边形面积比为
故
∴；即
又∵
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
解得．
【小问4详解】
①当时，连接，过点作交于点，如图1
∵
∴
即
又∵
∴
即
∴
又∵，，
∴
解得；
②当时，连接，如图2
∵
∴
又∵
∴
∴四边形为矩形
∴
又∵，
∴
解得；
③当时，连接，与交与点，如图3
∵
∴
∴
∵，
∴，
故
解得
故当，，时，与某边平行．
【点睛】本题考查勾股定理，三角形的面积，锐角三角函数，平行线的性质等知识点，运用数形结合的方法和分类讨论的思想是解决该类试题的关键．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线（，为常数）的顶点坐标为，抛物线与轴交于、两点，点位于点的左侧，点在抛物线上，且点的横坐标为，当点不与点和点重合时，过点作轴的垂线，与轴交于点，以、为邻边作矩形．
（1）求该抛物线函数表达式；
（2）求点与点的坐标；
（3）当矩形的对角线互相垂直时，求的值；
（4）点关于对称轴的对称点为点，连结，当时，直接写出的值．
【答案】（1）
（2），
（3）
（4）或
【解析】
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）令，解得，，即可求解；
（3）当矩形的对角线互相垂直时，则该矩形为正方形，则，即可求解；
（4）由，即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线，为常数）的顶点坐标为
∴，
解得，
该抛物线函数表达式为；
【小问2详解】
解：∵抛物线与轴交于、两点，点位于点的左侧，
∴令，解得，，
，；
【小问3详解】
解：当矩形的对角线互相垂直时，则该矩形为正方形，
则，
由题意知，点，则，
而，
则，
解得（舍或，
即或4；
【小问4详解】
解：设点，
而抛物线的对称轴为直线，则点，
点、点，
则，，
则，
或3，
则，
解得：或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法解解析式，特殊四边形的性质、解直角三角形等，熟悉特殊四边形之间的关系和会解绝对值问题是解题的关键．数学试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1. 在实数0、、、中，最小的数是（ ）
A. 0 B.
C.
D.
2. 从提出北斗建设工程开始，北斗导航卫星研制团队攻坚克难，突破重重关键技术，建成独立自主，开放兼容的全球卫星导航系统，成为世界上第三个独立拥有全球卫星导航系统的国家，现在每分钟200多个国家和地区的用户访问使用北斗卫星导航系统超70000000次．其中70000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 榫卯（sǔnmǎo），是一种中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，利用榫卯加固物件，体现出中国古老的文化和智慧．如图是其中一种榫，其主视图是（ ）
A B. C. D.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，是的外接圆，，则的度数等于（ ）
A. B. C. D.
6. 随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融人人们的日常生活．如图是共享单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，，依据尺规作图痕迹，下列判断正确的是（ ）
①；②； ③．
A. ①②③ B. ②③ C. ② D. ③
8. 如图，直线分别与轴、轴交于，两点，以为边作正方形，双曲线经过点，则的值为（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
二、填空题（每题3分，共18分）
9. 分解因式：=_________________________．
10. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是________．
11. 东西塔是泉州古城的标志性建筑之一．如图，某课外兴趣小组在距离西塔塔底A点50米的C处，用测角仪测得塔顶部B的仰角为，则可估算出西塔的高度为______米．（结果保留整数，参考数据：，，）．
12. 如图，在中，，，，将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到．若第一次经过点时停止旋转，此时与交于点，则点走过的路径长为__________．
13. 如图，两个大小一样直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着方向平移到的位置，若，，则阴影部分的面积等于__________．
14. 距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当时，w的取值范围是________．
三、解答题（共78分）
15 先化简，再求值：，其中．
16. 如图，时下有一种四人对战桌游十分流行，游戏开始前，四个人通常经过抽签决定座位A、B、C、D．小明和小张一同报名参加了这项桌游．
（1）小明抽中A座位的概率为______；
（2）若面对面座位上的两人视为游戏中的盟友，求小明和小张成为盟友的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
17. 李老师有一辆电动汽车，为了充电方便，他安装了家庭充电桩．该充电桩峰时充电的电价为0.5元/度，谷时充电的电价为0.3元/度，某月李老师的电动汽车在家庭充电桩的充电量合计为180度，共花电费64元．求这个月李老师的电动汽车峰时和谷时的充电量．
18. 如图 ，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是菱形；
（2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是_ ．
19. 【问题背景】在中，，，三边的边长分别为，，，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点，如图1所示．这样不需求的高，借助网格就能计算三角形的面积．
（1）直接写出的面积，___________．
（2）【思维拓展】若三边的长分别为，，，请利用图2的正方形网格中画出（每个小正方形的边长为）．
（3）【探索创新】若的三边长分别为，，（，，且）．试运用构图法求出的面积．
20. 近些年，新能源汽车以其清洁环保、使用成本低、高能源利用率等优点，慢慢走进人们的生活．下面是我国某区域2023年各季度新能源汽车销售量情况统计图．
（1）这个区域2023年共销售新能源汽车______万辆，其中一季度销售______万辆.
（2）将上面的条形统计图和扇形统计图中缺失的数据填、画完整．
（3）2023年平均每季度的增长量为
（4）结合以上信息，请你预测2024年这个区域新能源汽车的销售量可能是______万辆.将你预测的理由写在下面．
21. 甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，两人同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止．甲、乙两人间的距离与甲行驶的时间之间的关系如图所示．
；
（1）以下是点M，N，P所代表的实际意义，请将M，N，P填入对应的横线上．
①甲到达终点： ；②甲、乙两人相遇： ；③乙到达终点： ．
（2）甲出发多少小时后，甲、乙两人相距？
22. 综合与实践
如图1，在直角三角形纸片中，，，．
【数学活动】
将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：将沿折痕展开，然后将绕点逆时针方向旋转得到，点，的对应点分别是点，，直线与边所在直线交于点（点不与点重合），与边所在直线交于点．
【数学思考】
（1）折痕长为______；
（2）绕点旋转至图1的位置时，试判断与的数量关系，并证明你的结论；
【数学探究】
（3）绕点旋转至图2、图3所示位置时，探究下列问题：
①如图2，当直线经过点时，的长为______；
②如图3，当直线时，的长为______；
【问题延伸】
（4）在绕点旋转的过程中，连接，则的取值范围是______．
23. 如图，在中，，，．点从点出发沿→→方向向终点运动，在、边的速度分别为每秒3个单位、4个单位，同时点从点出发沿→→方向向终点运动，在、边的速度分别为每秒4个单位、5个单位．当、、不共线时，以、为边作平行四边形．设点的运动时间为（秒）．
（1）_________．
（2）求的长度（用含的代数式表示）．
（3）当平行四边形被线段分成两部分的面积比为时，求的值．
（4）作四边形的对角线，当与某边平行时，直接写出的值．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线（，为常数）顶点坐标为，抛物线与轴交于、两点，点位于点的左侧，点在抛物线上，且点的横坐标为，当点不与点和点重合时，过点作轴的垂线，与轴交于点，以、为邻边作矩形．
（1）求该抛物线函数表达式；
（2）求点与点的坐标；
（3）当矩形的对角线互相垂直时，求的值；
（4）点关于对称轴的对称点为点，连结，当时，直接写出的值．
