2024年湖南省初中学业水平考试模拟试卷
数学(BEST联考三)
考试时量：120分钟满分：120分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题(在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分)
1．下列四个数中，最大的数是（ ）
A． B．-4 C． D．-2
2．“仓廪实，天下安”．确保粮食丰产丰收、大国粮仓根基稳固，是维护社会和谐稳定、经济健康发展、国家长治久安的重要保障。2023年，全国粮食总产量创历史新高，增产17760000000斤．数据17760000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．中国是第一个实现奥运“全满贯”(先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会)的国家．下列奥运会徽是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，直线直线b，为直角三角形，且，则∠EDF的度数为（ ）
A．100° B．120° C．130° D．150°
6．不同种类的药品的保存温度有区别．已知甲药品的保存温度为2℃~8℃，乙药品的保存温度为5℃~15℃．若将甲、乙两种可以共同存放的药品放在一起保存，则下列能符合要求的温度是（ ）
A．2℃ B．4℃ C．6℃ D．10℃
7．下列说法错误的是（ ）
A．一组数据6，5，3，5，4的众数和中位数都是5
B．圆内接四边形的对角互补
C．式子在实数范围内有意义的条件是
D．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合
8．若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，A为反比例函数的图象上的一点，轴于点B．若，则k的值为（ ）
A．12 B．6 C．3 D．不能确定
10．如图，点E在线段AC上(点E不与点A，C重合)，设，．已知，，连接BE，BD．下列结论错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．若，则
二、填空题(本大题共8个小题，每小题3分，共24分)
11．分解因式：______．
12．在平面直角坐标系中，已知点和点关于原点对称，则______．
13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，点E为AD的中点，连接OE．若，，则______．
14．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______．
15．2024年4月23日是第29个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占40%、“语言表达”占40%、“形象风度”占10%、“整体效果”占10%进行计算．小芳这四项的得分依次为85，95，92，88，则她的最后得分是______分．
16．如图，在正六边形ABCDEF中，对角线CE，DF相交于点G，则______°．
17．如图，一个圆锥形烟囱帽的底面圆半径为30cm，母线长为50cm．若将这个烟囱帽的外侧面用油漆涂成红色，则需要涂成红色部分的面积为______．(结果保留)
18．如图，在等腰中，．以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AB于点E，连接CE；以点C为圆心，以任意长为半径画弧，分别交CB，CE于点G，F，再分别以点G，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点H，作射线CH，交AB于点D．若，则∠BCD的度数为______．
三、解答题(本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22、23、24题每小题8分，第25题10分，第26题12分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19．计算：．
20．解不等式组：
21．如图2是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线(整个过程中风筝线近似地看作线段)与水平线构成的角的余弦值是，线段表示小红的身高，为1.5m．
(1)若风筝的水平距离，求此时风筝线AD的长度；
(2)若她从点A跑动5m到达点B处，风筝线BE与水平线构成53°角，风筝的水平移动距离，从点A跑到点B的过程中风筝线的长度保持不变，求小红跑动前风筝的高度(参考数据：)．
22．某校开展数学文化节活动，预计用3600元网购数学经典书籍《几何原本》和《九章算术》奖励获奖同学．已知《九章算术》的单价是《几何原本》单价的1.5倍，用1800元购买《几何原本》比用1800元购买《九章算术》可多买20本．
(1)求《几何原本》和《九章算术》的单价分别为多少元；
(2)学校实际购买时，恰逢该网上书店进行促销活动，所有图书均按原价的八折出售．若学校在不超过预算的前提下，购买了《几何原本》和《九章算术》两种图书共120本，则学校至少购买了多少本《几何原本》
23．为推进特色学校创建工作，丰富学生们的体育活动，某校准备成立四个球类活动社团：A．篮球；B．乒乓球；C．足球；D．羽毛球．为了解学生对四个球类活动社团的喜爱情况，随机选取学校部分学生进行调查，要求每名学生从中选择一个最喜爱的社团．根据调查结果，绘制如下两幅不完整的统计图．
请结合图中所给信息，解答下列问题：
(1)本次调查中，抽查的学生总数是______人，扇形统计图中m的值是______；
(2)补全条形统计图；
(3)现从参加羽毛球社团的甲、乙、丙、丁四名同学中，随机选取两名同学参加比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
24．如图，AB是圆O的直径，弦，垂足为H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且．
(1)求证：CF是的切线；
(2)若，；求BE的长．
25．定义：如果两个相似三角形的其中一组对应角有一条公共边，则称它们为“友谊三角形”
(1)【初步理解】如图1，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，，求证：和为“友谊三角形”；
(2)【尝试应用】在(1)的基础上，如图2，若，，，求四边形ABCD的周长；
(3)【拓展应用】如图3，在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的点，且，．若点C是直线在第一象限上的一点，且和为“友谊三角形”，求四边形OACB的面积．
26．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线(a，b，c为常数，且)与x轴交于，B两点，与y轴交于点，且抛物线的对称轴为直线．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作轴，垂足为M，交直线BC于点N．若的面积为，试求出点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，将抛物线沿射线CA的方向平移个单位长度，得到新的抛物线，如图2，点E为新抛物线上一点，点F为原抛物线对称轴上一点，是否存在以点B，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形 若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
2024年湖南省初中学业水平考试模拟试卷
数学(BEST联考三)参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B A B C D C A D
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11． 12．-2 13．5 14．
15．90 16．60 17． 18．26
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22、23、24题每小题8分，第25题10分，第26题12分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．解：原式．
20．解：解得；
解得；
故该不等式组的解集为．
21．解：（1）在中，，
解得．
答：此时风筝线AD的长度为19.5m；
（2）设风筝线长为x m．则，，
则，即，
解得，则．
在中，由勾股定理得，
∴．
答：小红跑动前风筝的高度为6.5m．
22．解：（1）设《几何原本》的单价为x元，则《九章算术》的单价为元．
由题意得，解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：《几何原本》的单价为30元，《九章算术》的单价为45元；
（2）设学校购买了m本《几何原本>，则购买了本《九章算术》．
由题意得，解得．
答：学校至少购买了60本《几何原本》．
23．（1）50；36；
（2）选择B的学生人数为：（人）．
补全条形统计图如下图所示：
（3）画树状图如下：
由图可知，一共有12种等可能出现的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的情况有2种，
∴恰好选中甲和乙两名同学的概率为．
24．（1）证明：如图，连接OC．
∵AB是的直径，弦，
∴，∴，∴．
∵，∴．
又∵，∴．
∵，∴，
∴，∴，即．
又∵OC是的半径，∴CF是的切线；
（2）解：∵，∴．
∵，，
∴，∴，∴．
在 中，．
在和中，∵，∴，
∴，∴，∴，
∴．
25．（1）∵对角线AC平分∠BAD，∴．
在中，，
∴．
∵，∴，∴，
∴，且AC为∠CAD和∠BAC的公共边，
∴和为“友谊三角形”．
（2）解：∵，∴．
∵，∴，∴．
∵，∴，
即，∴，，
∴四边形ABCD的周长为：．
（3）解：∵点C是直线在第一象限上的一点，
∴OC平分∠BOA，即．
又∵和为“友谊三角形”，
∴有下列两种情形：
①当时，，即，∴，
如图，作轴于点M，轴于点N，
∴和都是等腰直角三角形，∴，
∴；
②当时，，而，∴此情况不存在．
综上所述，四边形OACB的面积为．
26．解：（1）将点，分别代入，
得解得．
∵该抛物线的对称轴为直线，∴，即，
∴，∴，，，
∴该抛物线的解析式为．
（2）由(1)可得点B的坐标为．
由点，可求得直线BC的函数解析式为．
∵，，∴是等腰直角三角形．
又∵轴，∴也是等腰直角三角形，∴．
∵的面积为，∴，
解得（负值舍去），
∴，即点M的坐标为，
∴点P的横坐标为，
∴点P的纵坐标为，
∴点P的坐标为．
（3）存在．理由如下：
∵点，点，∴，，∴．
∵抛物线沿射线CA的方向平移个单位长度得到抛物线，
∴抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，
∴抛物线的解析式为．
设点．
①当BP为对角线时，如图1，
∴，解得，
此时点E的坐标为．
②当BE为对角线时，如图2，
∴，解得，
此时点E的坐标为；
③当B为对角线时，如图3，
∴，解得，
此时点E的坐标为．
综上所述，存在以点B，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为，或．
