2023-2024学年江苏省南京市金陵中学教育集团八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 2023年6月4日6时33分，神舟十五号载人飞船返回舱在东风着陆场平安着陆，神舟十五号载人飞行任务取得圆满成功，展现了中国航天科技的新高度．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. 中国探火 B. 中国行星探测
C. 航天神舟 D. 中国火箭
2. 化简 的结果为（ ）
A. B. C. D.
3. 为了解我校八年级600名学生期中数学考试成绩，从中抽取了100名学生数学成绩进行统计．下列判断正确的是（ ）
A. 被抽取的100名学生的数学成绩是总体 B. 样本容量是600
C. 被抽取的100名学生是总体的一个样本 D. 样本容量是100
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 矩形是轴对称图形，两条对角线所在直线是它的对称轴
D. 对角线互相垂直的平行四边形为菱形
5. 如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点，固定点，把正方形向左偏移，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在正方形外侧，作等边，则为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共9小题，每小题3分，共27分．
7. 一个样本的50个数据分别落在5个组内，第1～4组数据的频数分别是2、8、15、10，则第5组的频数为_______．
8. 若关于的分式方程的解为正实数，则实数的取值范围是______．
9. 随着郑州市核酸检测常态化，郑州航空港区每位中小学生都精心制作了核酸检测二维码胸牌﹒如图是小铭同学的核酸检测二维码示意图，用黑白打印机打印于边长为10cm的正方形区域内，为了估计图中黑色阴影部分的总面积，向正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入阴影部分的频率稳定在0.65左右，据此估计阴影部分的总面积约约为_____cm2．
10. 一个分数的分母比它的分子大3，如果将这个分数的分子加上11，分母加上2，那么所得分数是原分数的倒数．若设原分数的分子为，则可列分式方程为________．
11. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，若，则菱形的面积为________________．
12. 为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树a棵．原计划每天种b棵树，由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前_______天完成任务．
13. 如图，在矩形中，对角线上一动点E，连接，过点E作于点F，，求的最小值为_______．
14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上．若点的坐标是，则点的坐标为__________．
15. 如图，在矩形中，，，点M是的中点，点N是射线上一点，且，连接，将沿翻折至，使D恰好落在上，则_______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分．
16. 计算
（1）
（2）
（3）
（4）
四、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 先化简，再求值，然后从1，2，3中选一个合适的数代入求值．
18. 一次抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，如果你只能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题：
（1）直接写出翻牌得到“手机”奖品的可能性的是__________；
（2）请你根据题意设计翻奖牌反面的奖品，包含（手机、微波炉、球拍、电影票，谢谢参与）使得最后抽到“电影票”的可能性大小是．
19. 嘉琪准备完成如下这样一道填空题．其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为．
化简：的结果为
（1）求被墨水污染的部分；
（2）嘉琪认为当时，原分式的值等于1，你同意嘉琪的说法吗？如果不同意，请说明理由？
20. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接．
（1）求证：四边形矩形；
（2）连接，若，，求的长．
21. 张家口市某中学举办了文化知识大赛（全体同学都参与），赛后抽取部分参赛选手答题成绩进行了相关统计，整理并绘制成如下不完整的频数分布表和如图所示不完整的频数分布直方图．
组别 分数段 频数 百分比
1
2
3
4
5
（1）被抽取选手的总人数为________，________，________；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若参赛成绩不低于分即可获奖，求获奖人数所占的比例．
22. 如图，在矩形中，是对角线．
（1）在边上确定一点，将沿翻折后，点的对应点恰好落在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接、，判断四边形的形状．
23. 如图，正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，H为BF的中点，连接GH，求GH的长．
24. 点E、F分别在正方形的边、AB所在直线上，点M在直线上，且，，直线，垂足分别是E、N．
（1）当点E边上时，如图①，求证：；
（2）当点E在的延长线上时，如图②；当点E在的延长线上时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明．
25. 如图1，在等边三角形中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动，设点E的运动时间为．
（1）如图2，连接，若经过边的中点D．
①求证：四边形是平行四边形；
②求此时t的值．
（2）是否存在t，使得以点A，E，C，F为顶点的四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．2023-2024学年江苏省南京市金陵中学教育集团八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 2023年6月4日6时33分，神舟十五号载人飞船返回舱在东风着陆场平安着陆，神舟十五号载人飞行任务取得圆满成功，展现了中国航天科技的新高度．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. 中国探火 B. 中国行星探测
C. 航天神舟 D. 中国火箭
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、B、C不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
2. 化简 的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查分式的乘法运算，根据乘法法则，约分化简即可．
【详解】解：原式；
故选C．
3. 为了解我校八年级600名学生期中数学考试成绩，从中抽取了100名学生的数学成绩进行统计．下列判断正确的是（ ）
A. 被抽取的100名学生的数学成绩是总体 B. 样本容量是600
C. 被抽取的100名学生是总体的一个样本 D. 样本容量是100
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【详解】解：A．被抽取的100名学生的数学成绩是样本，故A错误；
．样本容量是100，故B错误，D正确；
C．被抽取的100名学生的数学成绩是总体的一个样本，故C错误．
故选：D．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴
D. 对角线互相垂直的平行四边形为菱形
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形、菱形、矩形的判定方法以及矩形的性质逐项作出判断即可．
【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A错误；
B、对角线相等平行四边形是矩形，故B错误；
C、矩形是轴对称图形，过两组对边中点的直线是它的两条对称轴，故C错误；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形的判定以及矩形的性质，熟练掌握平行四边形、菱形、矩形的判定方法，是解题关键．
5. 如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点，固定点，把正方形向左偏移，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，坐标与图形，由题意可得，，，再由勾股定理求出即可求解，利用勾股定理求出是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，，
∴，四边形为菱形，
∴轴，
∴点的坐标为，
故选：．
6. 如图，在正方形外侧，作等边，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等，先根据已知条件推出是等腰三角形，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：在正方形外侧，作等边，
，，，
，
，
，
故选C．
二、填空题：本题共9小题，每小题3分，共27分．
7. 一个样本的50个数据分别落在5个组内，第1～4组数据的频数分别是2、8、15、10，则第5组的频数为_______．
【答案】15
【解析】
【分析】本题考查频率、频数的关系：频率=频数除以数据总数，同时考查频数的定义即样本数据出现的次数．总数减去其它四组的数据就是第5组的频数，用频数除以数据总数就是频率．
【详解】解：根据题意可得：第1、2、3、4组数据个数分别是2、8、15、10，共，
又样本总数为50，
故第5小组的频数是．
故答案为15．
8. 若关于的分式方程的解为正实数，则实数的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】此题考查解分式方程．利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：，
去分母得：，
解得：，
∵分式方程的解为正实数，
∴且，
∴且，
解得：且．
故答案为：且
9. 随着郑州市核酸检测常态化，郑州航空港区每位中小学生都精心制作了核酸检测二维码胸牌﹒如图是小铭同学的核酸检测二维码示意图，用黑白打印机打印于边长为10cm的正方形区域内，为了估计图中黑色阴影部分的总面积，向正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入阴影部分的频率稳定在0.65左右，据此估计阴影部分的总面积约约为_____cm2．
【答案】65
【解析】
【分析】本题考查了用频率估计概率．根据频率可以估计阴影部分占正方形的，求出正方形面积即可求．
【详解】解：因为经过大量重复试验，发现点落在阴影部分的频率稳定在0.65左右，
所以，估计阴影部分面积大约占正方形面积的，
正方形的面积为，
由此可估计阴影部分的总面积约为：，
故答案为：65．
10. 一个分数的分母比它的分子大3，如果将这个分数的分子加上11，分母加上2，那么所得分数是原分数的倒数．若设原分数的分子为，则可列分式方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用．根据题意，先表示出原分数的分母，再列出等量关系即可．
【详解】解：原分数的分子为
原分数分母为
依题得．
故答案为：．
11. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，若，则菱形的面积为________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质．首先求得， ，然后在直角三角形中，利用角所对的直角边等于斜边的一半与勾股定理即可求得的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得该菱形的面积．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴， ，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴该菱形的面积是：，
故答案为：．
12. 为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树a棵．原计划每天种b棵树，由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前_______天完成任务．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式减法应用．根据题意列出代数式，再计算，即可．
【详解】解：根据题意得：
，
即结果提前天完成任务．
故答案为：
13. 如图，在矩形中，对角线上一动点E，连接，过点E作于点F，，求的最小值为_______．
【答案】2
【解析】
【分析】此题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，矩形的性质，过点A作的对称点，连接，则，得到，故当点，E，F共线时，最小，即最小，证明是等边三角形，得到，即可求出的最小值．
【详解】过点A作的对称点，连接，则，
∴，
∴当点，E，F共线时，最小，即最小，
此时，，
在中，，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为2．
14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上．若点的坐标是，则点的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、坐标与图形的性质．根据点的坐标是，可得的长，再根据菱形的四条边都相等即可得点的坐标．
【详解】解：点的坐标是，
，
四边形为菱形，在x轴上，
，，
则点的坐标为．
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，，，点M是的中点，点N是射线上一点，且，连接，将沿翻折至，使D恰好落在上，则_______．
【答案】8或2
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
分两种情况：如图，当点在线段时，当点在的延长线时，连接，根据矩形的性质得到 由点是的中点，得到根据折叠的性质得到根据全等三角形的性质得到根据勾股定理即可得到结论．
【详解】如图，当点在线段时，连接,
∵四边形是矩形,
，
∵点是的中点,
，
∵将沿翻折至，使恰好落在上，
，，
∴，
，
在与中,
，
，
，
，
，，
，
(负值舍去)，
如图，当点在的延长线时，连接,
∵四边形是矩形,
，
∵点是的中点,
，
∵将沿翻折至，使恰好落在上，
，，
，
，
在与中,
，
，
，
，
，
，
解得 (负值舍去)，
综上所述， 或,
故答案为:或.
三、计算题：本大题共1小题，共6分．
16. 计算
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）1 （2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的混合计算，分式的乘除法计算，分式的加法计算：
（1）根据同分母分式减法计算法则求解即可；
（2）根据分式乘法计算法则求解即可；
（3）把除法变成乘法后约分化简即可；
（4）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
．
四、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 先化简，再求值，然后从1，2，3中选一个合适的数代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，化简求值，分式有意义的条件，先计算括号里的分式减法，再把除法变为乘法，约分即可，再根据分式有意义的条件得到时，代入求值即可．
【详解】解：
，
分式有意义，
，
时，原式．
18. 一次抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，如果你只能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题：
（1）直接写出翻牌得到“手机”奖品的可能性的是__________；
（2）请你根据题意设计翻奖牌反面的奖品，包含（手机、微波炉、球拍、电影票，谢谢参与）使得最后抽到“电影票”的可能性大小是．
【答案】（1）抽到“手机”奖品的可能性是：
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）一共有9张牌，其中2张手机的牌，再根据公式计算；
（2）根据可能性的大小，保证“电影票”有4张即可，设计九张牌中有四张写着电影票，其它的五张牌中手机、微波炉、球拍各一张，谢谢参与两张，答案不唯一．
【小问1详解】
由题意可知一共有9张牌，其中“手机”有2张，则抽到“手机”奖品的可能性是：；
【小问2详解】
设计九张牌中有四张写着电影票，其它的五张牌中手机、微波炉、球拍各一张，谢谢参与两张，答案不唯一．
如图所示，
19. 嘉琪准备完成如下这样一道填空题．其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为．
化简：的结果为
（1）求被墨水污染的部分；
（2）嘉琪认为当时，原分式的值等于1，你同意嘉琪的说法吗？如果不同意，请说明理由？
【答案】（1）
（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键；
（1）根据分式的除法运算法则即可求出答案．
（2）由原分式的值等于1可知x的值，然后根据分式有意义的条件即可判定．
【小问1详解】
设被墨水污染的部分是，
则，
解得：；
【小问2详解】
不同意，理由如下：
若，则
由原题可知，当时，原式，原分式无意义，
所以当时，原分式的值不能等于1．
20. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）根据菱形的性质可得且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，再根据矩形的判定定理即可得出结论；
（2）由菱形的性质可得,，由直角三角形斜边上的中线的性质可得，由勾股定理可得，计算出的长，最后再由勾股定理计算出AE的长即可．
【小问1详解】
证明: ∵四边形是菱形,
∴且,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴四边形是平行四边形，
∵,
∴,
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
∵四边形是菱形,
∴,,
∵,
∴,
∴,
，即，
，
．
21. 张家口市某中学举办了文化知识大赛（全体同学都参与），赛后抽取部分参赛选手的答题成绩进行了相关统计，整理并绘制成如下不完整的频数分布表和如图所示不完整的频数分布直方图．
组别 分数段 频数 百分比
1
2
3
4
5
（1）被抽取选手的总人数为________，________，________；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若参赛成绩不低于分即可获奖，求获奖人数所占的比例．
【答案】（1）；；
（2）作图见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，
（1）先根据第1组频数及其频率求出总人数，再利用“频率频数总数”可分别求出，的值；
（2）先求出第组的频数，再根据所求的值即可补全频数分布直方图；
（3）用参赛成绩不低于分的学生人数除以总人数即可；
解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
【小问1详解】
解：被抽取选手的总人数为：（人），
∴，
，
∴，
故答案为：；；；
【小问2详解】
第组的频数为：，
补全的频数分布直方图如图所示，
【小问3详解】
由频数分布直方图可知，参赛成绩不低于分的学生人数为：，
∴，
答：获奖人数所占的比例为．
22. 如图，在矩形中，是对角线．
（1）在边上确定一点，将沿翻折后，点的对应点恰好落在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接、，判断四边形的形状．
【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形．理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图：作线段的垂直平分线，矩形的性质，菱形的判定等知识，掌握这些知识是解题的关键．
（1）作的垂直平分线即可；
（2）由矩形的性质、翻折性质及线段垂直平分线的性质即可证明．
【小问1详解】
解：所作的图形如下：
；
【小问2详解】
证明：四边形是菱形．理由如下，
∵四边形为矩形，
∴，
由翻折知，，
由作图知，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
．
23. 如图，正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，H为BF的中点，连接GH，求GH的长．
【答案】
【解析】
【分析】利用正方形的性质证出△ABE≌△DAF，所以∠ABE＝∠DAF，进而证得△GBF是直角三角形，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半可知GH＝BF，最后利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△DAF中，
∵ ，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
∵BC＝5，CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，
∴BF＝，
∴GH＝BF＝．
【点睛】本题考点涉及正方形的性质、三角形全等的证明、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识点，难度适中，熟练掌握相关性质定理是解题关键．
24. 点E、F分别在正方形的边、AB所在直线上，点M在直线上，且，，直线，垂足分别是E、N．
（1）当点E在边上时，如图①，求证：；
（2）当点E在的延长线上时，如图②；当点E在的延长线上时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、矩形的判定和性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）当点在边上时, 如图①, 过点作于点，先根据证明, 则可得, 再证明四边形是矩形，则可得, 由此可得；
（2）当点在的延长线上时，如图②，延长, 过点作的延长线于点,则四边形是矩形，由此可得，再根据证明, 则可得, 由此可得；
当点在的延长线上时，如图③，过点作于点, 则四边形是矩形, 则，再根据证明, 则可得, 由此可得．
【小问1详解】
证明: 当点在边上时, 如图①,
过点作于点,
∵四边形是正方形，
，
，
，
，
，
又，
，
，
∵，
∴,
∴四边形是矩形,
∴,
∴；
【小问2详解】
当点在的延长线上时，如图②，
延长, 过点作的延长线于点,
则四边形是矩形，
∴,
∵,
∴,
∴,
∵, ，
，
，
，
；
当点在的延长线上时，如图③，
过点作于点,
则四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
25. 如图1，在等边三角形中，，射线，点E从点A出发沿射线以速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动，设点E的运动时间为．
（1）如图2，连接，若经过边的中点D．
①求证：四边形是平行四边形；
②求此时t的值．
（2）是否存在t，使得以点A，E，C，F为顶点的四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①见解析；②2；
（2）存在，6．
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．
（1）①根据证明得，进而可证结论成立；
②表示出，，然后根据列方程求解即可；
（2）当点F在线段上时，四边形不可能为菱形；当点F在的延长线上时，
若四边形是菱形，则有，据此求解即可．
【小问1详解】
，
∴，．
∵经过边的中点D，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形；
②此时，
由运动知，，．
∴，
解得；
【小问2详解】
存在；
∵点E从点A出发沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动，
∴当点F在线段上时，四边形不可能为菱形；
当点F在的延长线上时，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
∴，
解得，
此时，
∴当时，四边形是菱形．
