2023-2024学年北师大版数学八年级下册 期末复习冲刺卷
一、单选题
1．一个正多边形的每个外角都等于60°，那么它的边数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．如图所示，平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点A（-1，0），点A第1次向上平移1个单位至点A1（-1，1），接着又向右平移1个单位至点A2（0，1），然后再向上平移1个单位至点A3（0，2），向右平移1个单位至点A4（1，2），…，照此规律平移下去，点A平移至点A2023时，点A2023的坐标是（ ）
A．（1009，1011） B．（1009，1010）
C．（1010，1012） D．（1010，1011）
4．点P在的角平分线上，点P到边的距离为10，点Q是边上任意一点，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
6． 四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知直线l：y=2x+4，把直线l向右平移6个单位得到直线l1，则直线l1的表达式为（ ）
A． B． C． D．
8．若数a使关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．10 B．15 C．18 D．23
9．如图所示，在中，，AD平分，于点E，则下列结论：① DA平分；②∠=∠；③DE平分∠；④．其中
正确的有
A．①② B．①④ C．③④ D．①②④
10．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝
A．112.5° B．105° C．90° D．82.5°
二、填空题
11．在实数范围内因式分解：＝ ．
12．下列条件：①∠C＝∠A－∠B；②∠A：∠B：∠C＝5∶2∶3；③a＝c，b＝c；④a∶b∶c＝1∶2：，则能确定△ABC是直角三角形的条件有 个．
13．一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是 ．
14．在等边△ABC所在平面内有点P，且使得△ABP，△ACP，△BCP均为等腰三角形，则符合条件的点P共有 个．
15．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，过点C的直线m平行AB，D、E分别是线段AB、直线m上的点，先按如图方式进行折叠，点A、C分别落在A′、C′处，且A′C′经过点B，DE为折痕，当C′E⊥m时， 的值为 ．
三、计算题
16．先化简，再求值：，其中．
四、解答题
17．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
18．去年冬天某市遭遇持续暴雪天气，该市启用了清雪机，已知一台清雪机的工作效率相当于一名环卫工人工作效率的200倍，若用这台清雪机清理6000立方米的雪，要比120名环卫工人清理这些雪少用 小时，试求一台清雪机每小时清雪多少立方米．
19．先化简 ÷ ，然后从0，1，2中选一个合适的数作为a的值代入求值．
20．已知：如图， ， 是平行四边形 的对角线 所在直线上的两点，且 ．
求证：四边形 是平行四边形．
21．已知：如图，在中，，以为边向形外作等边三角形，把绕着点D按顺时针方向旋转后得到，且A、C、E三点共线，若，，求的度数与的长．
22．如图，平行四边形的对角线、交于点O，点E、F在上，且求证：．
23．阅读、填空并将说理过程补充完整：如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠AED＝∠B，延长DE与BC的延长线交于点F，∠BAC和∠BFD的角平分线交于点G．那么AG与FG的位置关系如何？为什么？
解：AG⊥FG．将AG、DF的交点记为点P，延长AG交BC于点Q．
因为AG、FG分别平分∠BAC和∠BFD（已知）
所以∠BAG＝ ▲ ， ▲ （角平分线定义）
又因为∠FPQ＝ ▲ +∠AED， ▲ ＝ ▲ +∠B
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∠AED＝∠B（已知）
所以∠FPQ＝ ▲ （等式性质）
（请完成以下说理过程）
答案解析部分
1．A
【解答】解：由题意可得：
正多边形的边数为：360°÷60°＝6.
故答案为：A.
【分析】多边形的外角和等于360°，利用360°除以外角的度数即得正多边形的边数.
2．B
【解答】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，A不符合题意；
B、∵AD＝BC，AB∥CD，可能得出四边形ABCD是等腰梯形，B符合题意；
C、∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，C不符合题意；
D、∵AB=CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的判定逐一进行判断即可.
3．C
【解答】解：∵ A1（-1，1）， A2（0，1）， A3（0，2） ， A4（1，2） ，
∴A5（1，3），A7（2，4）…A2n-1（-2+n，n），
∴2n-1=2023，
解之：n=1012，
∴-2+1012=1000，
∴点A2023（1000，1012）.
故答案为：C
【分析】利用点A1，A3，A5，A7的横纵坐标的规律可知A2n-1（-2+n，n），要求点A2023的坐标，可得到关于n的方程，解方程求出n的值，再将n的值，代入可得到点点A2023的坐标.
4．C
【解答】解：∵P在的角平分线上，点P到边的距离为10，
∴点P到边的距离为10，
∴的最小值为10．
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的性质和垂线段最短的性质可得的最小值为10。
5．D
【解答】解：根据题意，
由，得，
由，得，
∴不等式组的解集是；
故答案为：D．
【分析】利用不等式的性质求解即可。
6．B
【解答】解：由题意得DA=DC=2，
∴0＜AC＜2+2=4，
对比选项，AC的长为3，
故答案为：B
【分析】根据三角形的三边关系结合等腰三角形的定义即可求解。
7．C
【解答】解：直线l：y=2x+4向右平移6个单位得到的直线l2的解析式为：y=2（x-6）+4，即y=2x-8，
故答案为：C．
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
8．B
9．D
【解答】解：，
∴，
∵AD平分，
∴DE=DC，
∵AD=AD，
∴，
∴，，
∴DA平分，故①正确；
∵，，
∴，故②正确；
∵与不一定相等，
∴DE不一定平分∠，故③错误；
∵，故④正确，
∴ 其中正确的有①②④.
故答案为：D.
【分析】证出，得出，，即可判断①正确；
根据，，得出，即可判断②正确；
根据与不一定相等，得出DE不一定平分∠，即可判断③错误；
利用，即可判断④正确.
10．B
【解答】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AC＝BC，∠DAC＝30°，
∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAC＝∠ACH＝30°，
∵AE＝CF，
∴△AEC≌△CFH，
∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，
∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，
此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，
∴∠AFB＝105°.
故答案为：B.
【分析】作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，证出△AEC≌△CFH，得出CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，从而得出当F为AC与BH的交点时，BF+CE的值最小，再利用三角形外角性质得出∠AFB＝∠FBC+∠FCB，即可得出答案.
11．
【解答】解：
故答案为：
．
【分析】利用平方差公式分解即可.
12．4
【解答】解：①∵∠C=∠A-∠B，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝90°，故△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝5：2：3，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝90°，故△ABC是直角三角形；
③∵a= c，b= c，∴a2+b2=c2，∴∠c=90°，故△ABC是直角三角形；
④∵a：b：c＝1：2：，∴a2＋c2＝b2，∴∠B=90°，故△ABC是直角三角形.
故答案为：4.
【分析】根据三角形的内角和定理，结合已知找出最大内角的度数，根据最大内角是90°，即可判断该三角形是直角三角形，据此判断①与②；根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边满足较小两边两边的平方和等于最大边长的平方，该三角形就是直角三角形，据此判断③④.
13．9
【解答】设这个多边形的边数为n，
根据题意可得：（n-2）×180°=1260°，
解得：n=9，
∴这个多边形的边数为9，
故答案为：9.
【分析】设这个多边形的边数为n，设多边形的内角和列出方程（n-2）×180°=1260°，再求出n的值即可.
14．10
【解答】解：①作三边的垂直平分线必在三角形内交于一点，即三角形的外心，这点就是符合要求的P点；
②作BC的垂直平分线，以B点为圆心、AB长为半径画弧，与BC的垂直平分线有两个交点，其中一点是点A，另一点为符合要求的P点；以A点为圆心、AB长为半径画弧，与BC的垂直平分线有两个交点，其中一点为B，另一点是符合要求的P点，∴BC垂直平分线上符合要求的共有四点，除去外心，还要三个点；
③同理AB和AC的垂直平分线也有符合条件的三点；
综上符合条件的P点共有：3×3+1=10个.
故答案为：10.
【分析】三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，符合条件；每条边的垂直平分线和以每个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径画弧的交点也符合条件；因为等边三角形的三条边的情况是相同的，求出一边符合条件的个数，则总数可求.
15．1+
【解答】∵C′E⊥m，
∴∠CEC′＝90°，
∵DE为折痕，
∴∠C′ED＝∠CED＝45°，
∵m∥AB，
∴∠BDE＝∠DEC＝45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝1，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
设CB与DE交于点F，如图所示：
则∠DFB＝∠CFE＝75°，
∴∠BCE＝60°，
∴∠ACE＝∠C′＝120°，
∵∠A＝∠A′＝60°，
∴∠A′DE＝135°，
∴∠A′DB＝90°，
∴A′B＝2A′D，
∵A′D＝AD，
设AD＝x，则BA′＝2x，BD＝1﹣x，A′D＝x，BC′＝1﹣2x，
在Rt△A′BD中，由勾股定理得：x2+（1﹣x）2＝（2x）2，
解得：x＝ （负值舍去），
∴x＝ ，
∴BA'＝﹣1+ ，BC'＝1﹣（﹣1+ ）＝2﹣ ，
∴ ＝ ＝1+ ；
故答案为：1+ ．
【分析】由折叠的性质得出∠C′ED=∠CED=45°，由平行线的性质得出∠BDE=∠DEC=45°，再由等边三角形的性质得出AB=AC=1，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，求出∠DFB=∠CFE=75°，得出∠BCE=60°，∠ACE=∠C′=120°，证出∠A′DB=90°，由直角三角形的性质得出A′B=2A′D，设AD=x，则BA′=2x，BD=1-x，A′D=x，BC′=1-2x，在Rt△A′BD中，由勾股定理得出方程，解方程求出x的值，即可得出结果．
16．解：原式
，
当时，原式．
【分析】先利用分式的混合运算的计算方法化简，再将m的值代入计算即可。
17．解：去分母得：2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≥6，
4x﹣2﹣15x﹣3≥6，
﹣11x≥11，
x≤﹣1，
在数轴上表示不等式的解集为：
．
【分析】利用不等式的性质及不等式的解法求出解集，再在数轴上画出解集即可。
18．解：设一名环卫工人每小时清雪 立方米，则一台清雪机每小时清雪 立方米
根据题意得：
解得：
检验： 是原方程得解
当 时， ．
答：一台清雪机每小时晴雪1500立方米．
【分析】解设出环卫工人每小时清雪 立方米，则一台清雪机每小时清雪 立方米 ，根据等量关系式：一台清雪机清理6000立方米的积雪所用时间=120名环卫工人清理积雪所用时间- 小时，列出方程即可求解.
19．解：原式＝[ ﹣1]÷
＝（ ）÷
＝
＝ ，
∵a≠1且a≠0，
∴a＝2，
当a＝2时，
原式＝ ．
【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。
20．证明：如图，连接BD，交AC于点O．
四边形BEDF是平行四边形，
， ．
又 ，
，
即 ，
四边形ABCD是平行四边形．
【分析】连接BD，交AC于点O，由平行四边形的性质得出OD=OB，OE=OF，再由已知条件证出OA=OC，即可得出结论．
21．解：∵绕着点D按顺时针方向旋转后得到，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵点A、C、E在一条直线上，
∴，
∴，
∵绕着点D按顺时针方向旋转后得到，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴．
【分析】先证出为等边三角形，可得，再求出，可得，再结合，求出，最后为等边三角形，可得.
22．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
在△OBE和△ODF中，
，
∴△OBE≌△ODF（SAS），
∴BE=DF．
【分析】利用平行四边形的性质求出OB=OD，再利用全等三角形的判定与性质证明即可。
23．解：AG⊥FG．将AG、DF的交点记为点P，延长AG交BC于点Q．
因为AG、FG分别平分∠BAC和∠BFD（已知）
所以∠BAG＝∠CAG，∠PFG＝∠QFG（角平分线定义）
又因为∠FPQ＝∠CAG+∠AED，∠FQG＝∠BAG+∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∠AED＝∠B（已知）
所以∠FPQ＝∠FQG（等式性质）
所以FP＝FQ（等角对等边）
又因为∠PFG＝∠QFG
所以AG⊥FG（等腰三角形三线合一）．
【分析】首先根据角平分线的定义，完成前两个填空；再根据 ∠FPQ 是△AEP的一个外角，是△ABQ的一个外角，根据三角形外角的性质，完成第三、四、五个填空；再根据等式性质得出∠FPQ=∠FQG，从而判定△FPQ 是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质，得出结论。
