2023—2024学年度第二学期芜湖市高中教学质量监控
高二年级数学试题卷
注意事项：
1．本卷共四大题，19小题，满分150分，考试时间120分钟。
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分。“试题卷”共4页，“答题卷”共6页。
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的。
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列是等比数列，满足，公比，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
2．直线在轴上的截距为（ ）
A． B．2 C． D．1
3．随机变量与满足，若，则（ ）
A．8 B．5 C．4 D．2
4．为研究数学成绩（单位：分，满分150分）与物理成绩（单位：分，满分100分）之间的关系，随机抽取了5名同学这两科考试的成绩（取高二学年这两科所有考试成绩的均分），统计如下表
数学成绩 100 1377 116 142 125
物理成绩 89 89 97 85
根据表中的五组数据，用最小二乘法得到的经验回归方程为，由此可知表中的的值为（ ）
A．78 B．85 C．88 D．90
5．正态分布密度曲线的形状酷似钟的外型，因此又被称为钟形曲线．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.76 B．0.38 C．0.24 D．0.12
6．已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．10
7．在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A．120 B．240 C．274 D．282
8．若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知直线，圆，则下列结论正确的有（ ）
A．直线过定点
B．直线与圆恒相交
C．直线被圆截得的弦长最短为4
D．若直线被圆截得的弦长为，则
10．不透明的盒子里装有除颜色外无异的5个小球，其中红色球有3个，蓝色球有2个，不放回地从中摸出小球2次，每次取1个，则下列说法正确的是（ ）
A．两次摸到的都是红球的概率为
B．第二次摸到的是红球的概率为
C．第二次摸到红球的条件下，第一次摸到蓝球的概率为
D．第一次摸到红球的条件下，第二次摸到蓝球的概率为
11．在棱长为1的正方体中，为的中点，为底面上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若为中点，则
B．若平面，则点的轨迹长度是
C．若，则点在圆上
D．若直线与所成角为45°，则点在双曲线上
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在点处的切线方程为____________．
13．若安排5名同学去校园三个劳动基地参加劳动实践活动，每名同学都需要完成1项劳动任务，且只能去一个基地，处需要安排2名同学，则不同的安排方案共有____________种．（用数字作答）
14．已知双曲线的离心率为，左焦点为．若过点的直线斜率为，且与双曲线左支交于两点，则的取值范围为____________；过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，且与另一条渐近线交于点，若，则____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知四棱锥的底面是正方形，底面，且分别为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小．
16．（15分）石墨烯有超级好的保温功能，从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了5次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图．
（1）由等高堆积条形图提供的信息，填写列联表，并判断是否有的把握认为试验的结果与材料有关；
（2）以实验结果成功的频率为概率，用材料制作保温产品2件，仅从石墨烯结晶成功与否的角度考虑，求产品制作成功件数的分布列与期望．
附：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17.（15分）函数
（1）令，讨论函数的单调性；
（2）若，且在实数上恒成立，求的最大值．
18．（17分）抛物线的准线方程为，抛物线上的三个点构成一个以为直角顶点的直角三角形．
（1）求拋物线的标准方程；
（2）若点坐标为，证明：直线过定点；
（3）若，求面积的最小值．
19．（17分）已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）伯努利不等式是由瑞士数学家雅各布 伯努利提出的，是分析不等式中最常见的一种不等式．伯努利不等式的一般形式为：若且为正整数时，，当且仅当或时等号成立．
（ⅰ）证明：数列为递增数列；
（ⅱ）已知时，，证明：．
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高二年级数学试题参考答案
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A D B C C B
二、多项选择题
题号 9 10 11
答案 ABD AC BCD
三、填空题
12． 13．60 14．（1） （2）或
四、解答题
15．（1）面
（2）为正方形且面
以所在的直线为轴，所在的直线为轴，
所在的直线为轴，建立空间直角坐标系
设平面的法向量为
则
令，则
直线与平面所成角的大小为．
16．（1）
材料 材料 合计
实验成功 4 3 7
实验失败 1 2 3
合计 5 5 10
提出假设：实验的结果与材料无关
根据列联表中的数据可求得，
所以没有90%的把握认为，试验的结果与材料有关；
（2）设产品制作成功件数为，由题意可知服从二项分布，成功的概率为，即，
则的可能取值为0，1，2，
分布列为
0 1 2
或
17．（1）
（1）时，恒成立，在上单调递增
（2）时，时，，
在上单调递减
在上单调递增
综上所述：时，在上单调递增
时，在上单调递减，在上单调递增
（2）结合（1）与题意可得，即
从而得
令
时，在上单调递增
时，在上单调递减
，即的最大值为．
18．（1）拋物线的准线方程为且焦点在轴的非负半轴上
抛物线的标准方程为
（2）设点的坐标分别为，直线的方程为，
联立得
为直角，
直线的方程为，过定点
（3）由拋物线的对称性，不妨设三点的坐标分别为，且，
不妨记直线的斜率为，且，则直线的斜率为，则
结合（*）得
（仅当时取得等号）
（此时为坐标原点）
19．（1）因为；
当时，，
当时，符合此式，
所以
（2）（ⅰ）证明：记，
则
，
则，所以数列为递增数列．
（ⅱ）当时，，由伯努利不等式，得．
于是．
所以当时，
，
，即，
当时，，不等式成立；
当时，，不等式成立；
当时，，不等式成立；
综上所述，不等式恒成立．
