2023-2024学年江苏省南通市海安市十三校联考八年级（下）月考
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在 中，，则的度数是( )
A. B.
C. D.
2.将一元二次方程配方后得到( )
A. B. C. D.
3.下列各组数中，以，，为边的三角形不是直角三角形的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
4.一次函数的图象与正比例函数的图象平行且经过点，则等于( )
A. B. C. D.
5.如图，已知函数和的图象交于点，则二元一次方程组的解是( )
A.
B.
C.
D.
6.已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，则另一组数据，，，，的平均数和方差分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
7.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值不可能是( )
A. B. C. D.
8.如图，在矩形中，有以下结论：
是等腰三角形；
；
；
；
当时，矩形会变成正方形．
其中正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
9.已知某四边形的两条对角线相交于点动点从点出发，沿四边形的边按的路径匀速运动到点设点运动的时间为，线段的长为，表示与的函数关系的图象大致如图所示，则该四边形可能是( )
A. B.
C. D.
10.如图，直线分别与轴、轴相交于点，，点在平面内，，点，则长度的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.关于的方程是一元二次方程，则______．
12.如图，在菱形中，对角线，，则菱形的面积为______．
13.已知一次函数，若，则的取值范围是______．
14.已知一元二次方程的两根分别为，，则的值等于______．
15.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，边在轴上，若点的坐标为，则点的坐标为______．
16.如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为______．
17.如图，在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为，直线在轴上平移的距离为，、间的函数关系图象如图所示，那么矩形的面积为______．
18.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，且，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是______．
三、解答题：本题共8小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
解方程：
配方法
；
；
．
20.本小题分
已知一次函数的图象经过，两点．
求这个一次函数的解析式；
设图象与轴和轴交点分别是，，求的面积．
21.本小题分
已知关于的一元二次方程有两个实数根．
求的取值范围；
设是方程的一个实数根，且满足，求的值．
22.本小题分
如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点与交于点，连接，．
求证：四边形是菱形；
若，，，求的度数．
23.本小题分
综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各片，通过测量得到这些树叶的长单位：，宽单位：的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
芒果树叶的长宽比
荔枝树叶的长宽比
【实践探究】分析数据如下：
平均数 中位数 众数 方差
芒果树叶的长宽比
荔枝树叶的长宽比
【问题解决】
上述表格中： ______， ______；
同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大”
同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍”
上面两位同学的说法中，合理的是______填序号；
现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由．
24.本小题分
已知：平行四边形的两边，的长是关于的方程的两个实数根．
当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长；
若的长为，那么平行四边形的周长是多少？
若此方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
25.本小题分
如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线不含点上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、．
连接，是等边三角形吗？为什么？
求证：≌；
当点在何处时，的值最小；
如图，当点在何处时，的值最小，请你画出图形，并说明理由．
26.本小题分
已知直线：与轴交于点，与轴交于点，将直线沿轴翻折，得到一个新函数的图象图，直线与轴交于点．
求新函数的图象的解析式；
在射线上一动点，连接，试求的面积关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
如图，过点画平行于轴的直线，
求证：是等腰直角三角形；
将直线沿轴方向平移，当平移到恰当距离的时候，直线与轴交于点，与轴交于点，在直线上是否存在点纵、横坐标均为整数，使得是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.解：，
，
，
，
所以，．
，
，
则，
所以，
所以．
，
，
，
则或，
所以，．
，
，
，
则或，
所以，．
20.解：一次函数的图象经过，两点，
，
解得，，
这个一次函数的解析式为；
当时，，
当时，，解得，
函数图象与两坐标轴交点坐标分别为、，
，，
．
21.解：根据题意得，解得；
是方程的一个实数根，则，则，
则即，
解得：舍去或．
故的值为．
22.证明：四边形是平行四边形，
．
．
平分，
．
．
．
同理：．
．
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形；
解：过作于，交于，如图所示：
则，
四边形是菱形，，，
，，，，
，，
，，
，
，
同理：，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
是直角三角形，．
23.；；
；
这片树叶更可能是荔枝树叶．理由如下：
，
这片树叶更可能是荔枝树叶．
24.解：当时，四边形是菱形，即方程的两个实数根相等，
，
解得：，
此时方程为，
解得：，
这时菱形的边长为；
根据题意知，，
解得：，
平行四边形的周长是；
方程的两个实数根分别为，，
，，
代入到，可得，
解得：．
25.解：是等边三角形．
理由如下：如图，绕点逆时针旋转得到，
，，
是等边三角形；
证明：和都是等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
≌；
由两点之间线段最短可知、、三点共线时，的值最小，
四边形是正方形，
点为的中点；
当点在与的交点时，的值最小，
理由如下：如图，≌，
，
是等边三角形，
，
，
由两点之间线段最短可知，点、、、在同一直线上时，，
故，点在与的交点时，的值最小．
26.解：，
当时，，当时，，
，，
将直线沿轴翻折，得到一个新函数的图象图，直线与轴交于点，
与关于轴对称，过点，
，
设：，将，代入得：，
：；
解：，，，
，，
，
当点在线段上，如图：即：时，
；
当点在线段的延长线上，如图，即：时，
，
综上：；
证明：，，，
，，，
，，
是等腰直角三角形；
存在，理由如下：
当点为直角顶点时，设，如图：
由平移的性质，设直线的解析式为，
当时，，当时，，
，，
过点作，设交轴于点，
为等腰直角三角形，轴，
，，，
，
≌，
，，
，，
当时，或，当时，或；
或；
当点为直角顶点时，如图：
过点作轴，则，
同上法可得：≌，
，，
或舍去；
直线向上平移了个单位，
直线的解析式为：，
当时，，
，
，
，
；
当点为直角顶点时：此时在轴正半轴上，在轴负半轴上，
设平移后的解析式为：，
当时，，当时，，
，，
当在的右侧时，如图：
同法可得：≌，
，，
，
解得：，
，
；
当在的左侧时，如图：
同法可得：≌，
，，
，
，
不合题意，舍去；
综上：或或．
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