一课一练(二十四) 机械能守恒定律
[基础训练]
1．忽略空气阻力，下列物体运动过程中满足机械能守恒的是( )
A．电梯匀速下降
B．物体由光滑斜面顶端滑到斜面底端
C．物体沿着斜面匀速下滑
D．拉着物体沿光滑斜面匀速上升
2．质量为m的小球从距离水平地面高H处由静止开始自由落下，取水平地面为参考平面，重力加速度大小为g，不计空气阻力，当小球的动能等于重力势能的2倍时，经历的时间为( )
A. B．2
C． D．
3．(2024·湖北高中名校联盟联考)如图所示，两个光滑半圆形轨道竖直固定放置，质量相同的两个小球分别从与轨道圆心等高处的P、P′点由静止滑下，经过最低点Q、Q′，已知轨道半径R>r，不计空气阻力，则( )
A．小球经过Q时的速率比经过Q′时的速率大
B．小球经过Q时的向心加速度比经过Q′时的向心加速度大
C．小球经过Q时受到轨道的支持力比经过Q′时受到轨道的支持力大
D．小球经过Q时重力的功率比经过Q′时重力的功率大
4．(2024·湖南师范大学附属中学月考)如图所示，长为l的轻质细线一端固定在O点，另一端拴接一个质量为m的小球，小球由最低点A以速度v0＝2开始运动，其所能到达的最高点与最低点的高度差为h，小球摆动过程中空气阻力忽略不计，重力加速度为g，则( )
A．h
A．经过位置B时小球的动能最大
B．在AB段小球机械能先增大后减小
C．在AB段小球机械能一直增大
D．在BC段小球机械能守恒
6．图甲中过山车可抽象为图乙所示模型：弧形轨道下端与半径为R的竖直圆轨道平滑相接，B点和C点分别为圆轨道的最低点和最高点．质量为m的小球(可视为质点)从弧形轨道上距B点高4R的A点静止释放，先后经过B点和C点，而后沿圆轨道滑下．忽略一切摩擦，已知重力加速度g.
(1)求小球通过B点时的速度大小vB；
(2)求小球通过C点时，轨道对小球作用力F的大小和方向．
[能力提升]
7．(多选)如图所示，一根很长且不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，两端各系一小球a和b.a球的质量为m，静置于地面；b球的质量为4m，用手托住，距离地面高度为h，此时轻绳刚好拉紧．从静止开始释放b球，不计空气阻力，已知b球落地后速度为零，则下列说法正确的是( )
A．在a球上升的过程中，a球的机械能始终是增加的
B．在a球上升的过程中，系统的机械能守恒
C．a球到达高度h时两球的速度大小v＝
D．从释放b球开始，a球能上升的最大高度为1.6h
8．(2024·湖南常德第一中学检测)(多选)如图所示，滑块2套在光滑的竖直杆上并通过细绳绕过光滑定滑轮连接滑块1，滑块1又与一轻质弹簧连接在一起，轻质弹簧另一端固定在地面上．开始时用手托住滑块2，使绳子刚好伸直处于水平位置但无张力，此时弹簧的压缩量为d.现将滑块2从A处由静止释放，经过B处的速度最大，到达C处的速度为零，此时滑块1还没有到达滑轮位置．已知滑轮与杆的水平距离为3d，A、C间距离为4d，不计滑轮质量、大小及摩擦．下列关于滑块2在A、C间下滑时的说法中正确的是( )
A．滑块2下滑过程中，加速度一直减小
B．滑块2经过B处时的加速度等于零
C．滑块1和滑块2的质量之比为2∶1
D．除A、C两点外，滑块1的速度大小始终小于滑块2的速度大小
9．如图所示，倾角为37°的斜面与一竖直光滑圆轨道相切于A点，轨道半径R＝1 m，将滑块由B点无初速度释放，滑块恰能运动到圆周的C点，OC水平，OD竖直，xAB＝2 m，滑块可视为质点，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)滑块在斜面上第一次下滑到A点的时间；
(2)若滑块能从D点抛出，滑块仍从斜面上无初速度释放，释放点至少应距A点多远？
答案及解析
1． 答案：B
2．答案：B
3． 解析：小球从P点到Q点的过程，由动能定理得mgR＝mv2，半径越大，小球到最低点速率越大，A正确；在最低点Q，根据牛顿第二定律得FN－mg＝m＝ma，解得FN＝3mg，a＝2g，则小球在最低点时加速度大小、支持力大小与半径无关，B、C错误；小球在Q点和Q′点重力方向和速度方向垂直，因此重力的瞬时功率都为0(【关键点】重力的功率只与竖直方向的速度有关)，D错误．
答案：A
4．解析：设小球在最低点的速度为v1时恰能运动到与圆心等高的位置，由机械能守恒有mv－0＝mgl，得v1＝；设小球在最低点的速度为v2时恰能做完整的圆周运动，由机械能守恒有mv－mv2＝mg·2l，在最高点时有mg＝m，则v2＝，根据
5． 解析：从A到B的过程中小球先加速后减速，当小球加速度为零，即处于弹力与重力大小相等的位置时，速度最大，动能最大，该位置位于AB之间，不在B点，故A错误；小球从A到B的过程中，小球只受重力和弹力作用，由题意知弹簧一直表现为支持力，与小球运动方向相同，所以弹簧做正功，则小球的机械能一直增大，小球在BC段只受重力作用，小球机械能守恒，故C、D正确，B错误．
答案：CD
6． 解析：(1)从A到B的过程中，根据动能定理，有
mg·4R＝mv
解得vB＝2.
(2)从B到C的过程中，只有重力做功，因此小球和地球组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律有
mv＝mg·2R＋mv
再根据牛顿运动定律，当小球通过C点时，有
mg＋F＝m
联立解得F＝3mg，方向竖直向下．
答案：(1)2 (2)3mg，方向竖直向下
7．解析：在b球落到地面之前，为第一过程，a、b两球组成的系统机械能守恒，拉力对a球做正功，所以a球的机械能增加；b球落地后，a球继续上升，为第二过程，此时a球的机械能守恒，故A错误．b球落地时，有机械能损失，系统的机械能不守恒，故B错误．设a球到达高度h时两球的速度为v，根据机械能守恒定律可得4mgh－mgh＝×5mv2，解得v＝，此时轻绳恰好松弛，a球此后的运动可等效为初速度为v的竖直上抛运动，a球的机械能守恒，则有mgh＋mv2＝mgH，解得H＝1.6h，故C、D正确．
答案：CD
8． 解析：滑块2下滑过程中，绳子拉力增大，滑块2受到的合力先减小后反向增大，在B处速度最大，加速度为零，则加速度先减小后反向增大，故A错误，B正确．当滑块2从A下滑到C点时，滑块1上升的高度为h＝－3d＝2d，则当滑块2到达C时弹簧伸长的长度为x＝h－d＝d(【名师点睛】此处应通过几何关系求出两滑块在竖直方向上空间高度的变化以及弹簧形变量的变化)，此时弹簧的弹性势能等于滑块1静止时的弹性势能，对于滑块1、2及弹簧组成的系统，由机械能守恒定律有m1g·2d＝m2g·4d，解得m1∶m2＝2∶1，C正确．除A、C两点外，滑块1的速度等于滑块2沿绳方向的分速度，所以滑块1的速度大小始终小于滑块2的速度大小，D正确．
答案：BCD
9． 解析：(1)设滑块到达A点的速度为vA，以A点所在水平面为参考平面，从A到C过程，由机械能守恒定律有mv＝mgRcos 37°
从B到A过程，滑块做匀加速直线运动，由匀变速直线运动规律可知v＝2axAB，vA＝at
联立各式解得a＝4 m/s2，t＝1 s.
(2)设滑块能从D点抛出的最小速度为vD，在D点，由重力提供向心力，有mg＝m
从A到D由机械能守恒定律有
mv′＝mgR(1＋cos 37°)＋mv
v′＝2ax′
联立各式解得x′＝5.75 m.
答案：(1)1 s (2)5.75 m
