2.2.1有理数的乘法（2）乘法的简便运算 分层题型专练
题型一、有理数乘法运算律的理解
1．（23-24七年级上·河北唐山·期末）夕夕总结了以下结论，不正确的是( )
A． B．
C． D．
2．（23-24七年级上·福建泉州·期中）在算式：中，运用了（ ）
A．乘法结合律 B．乘法交换律 C．分配律 D．加法交换律
3．（23-24七年级上·湖南湘西·期中）计算最简便的方法是（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23七年级上·河北石家庄·期中）为了使的计算结果是，在“□”中填入的运算符号是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24七年级上·河北邢台·期末）在计算时，利用乘法的 可以简单运算；其计算结果是 ．
题型二、利用有理数乘法运算律进行计算
6．（23-24七年级上·山东济宁·期末）计算： ．
7．（23-24七年级上·江苏南京·期末）计算的结果是 ．
8．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）简便运算
(1) (2)
9．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）用简便方法计算：
(1) (2)
10．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）用简便方法计算．
(1)； (2)．
题型三、有理数乘法运算律有关材料问题
11．（23-24七年级上·江苏连云港·开学考试）观察下图，它的计算过程可以解释（ ）这一运算规律
A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律
12．（23-24七年级上·宁夏中卫·期中）小阳在做一道计算题：■时，不小心一滴墨水滴在了本子上，盖住了其中一个数字，导致他无法计算，在求助老师时老师告诉他：“被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个，并且这道题直接用乘法结合律来计算会非常简便”，则被盖住的数字可能是 ．
13．（2024·广东广州·中考真题）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为 ．
14．（2021·湖南永州·一模）符号“”表示一种运算，它对一些数的运算如下：＝1＋，＝1＋，＝1＋，＝1＋，…．利用以上运算的规律求出2021＝
15．（24-25七年级上·全国·假期作业）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算．
逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多
计算：
(1)； (2)；
(3)．
题型四、有理数乘法的新定义问题
16．（22-23七年级上·重庆万州·期末）定义一种新运算“”，规定：等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，．则的值是（ ）．
A． B． C． D．
17．（22-23七年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）若规定，例，则 ．
18．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：．下面给出了关于这种运算的几个结论：①；②；③；④，其中正确的是 ．
题型五、有理数乘法的实际应用问题
19．（2024·浙江金华·二模）对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如．
(1)求的值．
(2)请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明．
20．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）某商场9月24日销售衬衫100件，下表是该商场9月25日至9月30日六天的销售变化情况（注：正号表示销售量比前一天上升，负号表示销售量比前一天下降）：
日期 9月25日 9月26日 9月27日 9月28日 9月29日 9月30日
销售量/件
(1)这六天中哪一天销售衬衫的数量最多？哪一天最少？
(2)若每件衬衫的价格是80元，该商场这六天销售衬衫的总收入是多少元？
21．（22-23七年级上·云南·期中）小蜗牛从大树上某点出发，将大树看成一条直线，假设向上爬行的路线记为正数，则小蜗牛爬行的路线依次为：（单位：）
，，，，，，．
(1)蜗牛最后是否能回到出发点？
(2)在爬行过程中，如果每爬行1奖励两片叶子，则小蜗牛一共得到几片叶子？
22．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）某蛋糕店在某一时段的销售情况如下，请分别完成下列问题：
(1)该蛋糕店在一周的销售中，盈亏情况如表盈利为正，亏损为负，单位：元．
星期 一 星期 二 星期 三 星期 四 星期 五 星期 六 星期 日 合计
350 1900 4600
表中星期四的盈亏被墨水涂污了，请你算出星期四的盈亏数，并说明星期四是盈还是亏，盈亏是多少．
(2)该蛋糕店去年月平均每月盈利3万元，月平均每月亏损2万元，月平均每月亏损1万元，月平均每月盈利5万元，则该蛋糕店去年总的盈亏情况如何．
一、单选题
1．（2022·河北唐山·一模）计算的结果是（ ）
A．1 B． C．10 D．
2．（20-21七年级上·陕西西安·阶段练习）下列运算过程中，有错误的是（ ）
A．（3﹣4）×2＝3﹣4×2
B．﹣4×（﹣7）×（﹣125）＝﹣（4×125×7）
C．9×16＝（10﹣）×16＝160﹣
D．[3×（﹣25）]×（﹣2）＝3×[（﹣25）×（﹣2）]
3．（23-24七年级上·福建福州·期中）对式子进行简便计算，如图所示，运用到的运算律①是（ ）．
A．乘法交换律 B．乘法分配率 C．乘法结合律 D．加法交换律
4．（20-21六年级上·山东威海·期中）规定“！”的运算规则：1！=1；2！＝2×1＝2；3！＝3×2×1＝6；4！＝4×3×2×1＝24，…．那么的值为（ ）
A． B．99！ C．100 D．2！
5．（2020·河北唐山·一模）三位同学在计算时，用了不同的方法：
小小说：12的，，分别是3，2和6，所以结果应该是；
聪聪说：先计算括号里面的数，，再乘以12得到；
明明说：把12与，，分别相乘后再相加，得到结果是．
对于三位同学的计算方式，下面描述正确的是（ ）
A．三位同学都用了运算律 B．聪聪使用了加法结合律 C．明明使用了分配律 D．小小使用乘法交换律
6．（23-24七年级上·河北邯郸·期中）若的值记为p，则的值可表示为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： ．
8．（23-24七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）观察下列各式：，，，…，根据观察计算： ．
9．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算的值是 ．
10．（2021·湖南永州·一模）符号“”表示一种运算，它对一些数的运算如下：＝1＋，＝1＋，＝1＋，＝1＋，…．利用以上运算的规律求出2021＝
11．（18-19七年级上·浙江杭州·开学考试）已知4个不相等的整数、、、，它们的积，则 ．
12．（19-20七年级上·全国·课后作业）规定一种新运算：，请比较 .（填“＞”“＜”或“＝”）
三、解答题
13．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）简便运算
(1) (2)
14．（22-23七年级上·河南许昌·阶段练习）请你参考黑板中老师的讲解 用运算律简便计算：
(1) (2)
15．（22-23七年级上·四川德阳·阶段练习）用简便方法计算下列各题：
(1)； (2)．
16．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）利用运算律，有时可以使运算简便
例1：；
例2 ：；
请你参考上述示例，用运算律进行简便运算
(1)； (2)；
(3)．
2.2.1有理数的乘法（2）乘法的简便运算 分层题型专练
题型一、有理数乘法运算律的理解
1．（23-24七年级上·河北唐山·期末）夕夕总结了以下结论，不正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查加法交换律、乘法运算律，关键是根据加法交换律乘法交换律、乘法结合律、 分配律解答．
根据加法交换律、乘法交换律、乘法结合律、分配律判断即可．
【详解】解： A 、 ，说法正确；
B 、，说法正确；
C 、 ，说法正确；
D 、，说法错误；
故选： D .
2．（23-24七年级上·福建泉州·期中）在算式：中，运用了（ ）
A．乘法结合律 B．乘法交换律 C．分配律 D．加法交换律
【答案】C
【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握乘法分配律．据此解答即可．
【详解】解：算式中，运用了分配律．
故选：C．
3．（23-24七年级上·湖南湘西·期中）计算最简便的方法是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的乘法的分配律是解答本题的关键．
利用乘法分配律将因数进行变形即可．
【详解】解：，可以使计算简便，
故答案为：D
4．（22-23七年级上·河北石家庄·期中）为了使的计算结果是，在“□”中填入的运算符号是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了有理数乘法运算律，根据题意可以看出括号内之和为分数，与之积为只有乘法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则．
【详解】解：，
，
，
故选：．
5．（23-24七年级上·河北邢台·期末）在计算时，利用乘法的 可以简单运算；其计算结果是 ．
【答案】 分配律
【分析】本题考查有理数的运算．掌握乘法分配律，正确的计算，是解题的关键．
【详解】解：在计算时，利用乘法的分配律可以简单运算；
原式；
故答案为：分配律，．
题型二、利用有理数乘法运算律进行计算
6．（23-24七年级上·山东济宁·期末）计算： ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了有理数乘法分配律，根据乘法分配律把原式变形为，再计算乘法，最后计算加减法即可．
【详解】解；
，
故答案为：1．
7．（23-24七年级上·江苏南京·期末）计算的结果是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用有理数的乘法分配律求解，然后计算加减；解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
【详解】
．
故答案为：3．
8．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）简便运算
(1)
(2)
【答案】(1)25
(2)
【分析】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练乘法分配律简便计算．
（1）运用乘法分配律简算；
（2）先将变形为，再根据乘法分配律进行计算．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
9．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）用简便方法计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）本题考查了有理数加减混合运算，掌握加法的交换律是解决问题的关键．
（2）本题考查了有理数的四则运算，掌握有理数的乘法的分配律是解答本题的关键．
【详解】（1）解：
（2）解：
10．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）用简便方法计算．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查有理数的运算，掌握乘法分配律，是解题的关键．
（1）逆用乘法分配律进行计算即可；
（2）除法变乘法，利用乘法分配律进行计算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）原式．
题型三、有理数乘法运算律有关材料问题
11．（23-24七年级上·江苏连云港·开学考试）观察下图，它的计算过程可以解释（ ）这一运算规律
A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律
【答案】D
【分析】根据图形，可以写出相应的算式，然后即可发现用的运算律．
【详解】解：由图可知，，
由上可得，上面的式子用的是乘法分配律，
故选：D．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算律是解答本题的关键．
12．（23-24七年级上·宁夏中卫·期中）小阳在做一道计算题：■时，不小心一滴墨水滴在了本子上，盖住了其中一个数字，导致他无法计算，在求助老师时老师告诉他：“被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个，并且这道题直接用乘法结合律来计算会非常简便”，则被盖住的数字可能是 ．
【答案】7
【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，根据直接用乘法结合律来计算会非常简便来确定即可．
【详解】解：被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个，
并且直接用乘法结合律来计算会非常简便，
观察■，只有数字7可以直接用乘法结合律来计算．
故答案为：7．
13．（2024·广东广州·中考真题）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为 ．
【答案】220
【分析】本题考查了代数式求值，乘法运算律，掌握相关运算法则，正确计算是解题关键．根据，将数值代入计算即可．
【详解】解：，
当，，，时，
，
故答案为：220．
14．（2021·湖南永州·一模）符号“”表示一种运算，它对一些数的运算如下：＝1＋，＝1＋，＝1＋，＝1＋，…．利用以上运算的规律求出2021＝
【答案】2023
【分析】由＝1＋，＝1＋，＝1＋，＝1＋，…具体的运算，总结出一般规律为：再利用规律解题即可得到答案．
【详解】解： ＝1＋，＝1＋，＝1＋，＝1＋，…．
故答案为：
【点睛】本题考查的是数字的规律探究，有理数的混合运算，列代数式，掌握利用代数式总结数字的变化规律是解题的关键．
15．（24-25七年级上·全国·假期作业）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算．
逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多
计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键；
（1）逆用分配律把原式化为，再计算即可；
（2）逆用分配律把原式化为，再计算即可；
（3）逆用乘法分配律计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
（3）
．
题型四、有理数乘法的新定义问题
16．（22-23七年级上·重庆万州·期末）定义一种新运算“”，规定：等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，．则的值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据新运算的运算法则，先计算，再计算即可得解．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查定义新运算．理解并掌握新运算的运算法则，是解题的关键．
17．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）若规定，例，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了有理数的混合运算，正确理解题意列得算式是解题的关键．根据公式列式计算可得答案．
【详解】解：，
故答案为：．
18．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：．下面给出了关于这种运算的几个结论：①；②；③；④，其中正确的是 ．
【答案】①②/②①
【分析】①将，代入计算可得②根据法则，先计算，再计算 可得；根据新定义分别验证交换律与结合律，即可判断③④．
【详解】解：①解：∵，
∴；故①正确；
②∵，
∴
；故②正确；
③
例如：由①知
又∵
∴，
④
例如②
∴
∴
故答案为：．①②
【点睛】本题主要考查新运算，有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及新定义的运用．
19．（2024·浙江金华·二模）对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如．
(1)求的值．
(2)请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明．
【答案】(1)
(2)成立，见解析
【分析】本题考查了有理数的混合运算；
（1）根据新定义进行计算即可求解；
（2）根据交换律结合新定义进行计算即可求解．
【详解】（1）
（2）交换律在“”运算中成立
证明如下：
即交换律在“”运算中成立．
题型五、有理数乘法的实际应用问题
20．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）某商场9月24日销售衬衫100件，下表是该商场9月25日至9月30日六天的销售变化情况（注：正号表示销售量比前一天上升，负号表示销售量比前一天下降）：
日期 9月25日 9月26日 9月27日 9月28日 9月29日 9月30日
销售量/件
(1)这六天中哪一天销售衬衫的数量最多？哪一天最少？
(2)若每件衬衫的价格是80元，该商场这六天销售衬衫的总收入是多少元？
【答案】(1)这六天中9月27日销售衬衫的数量最多，9月26日销售衬衫的数量最少．
(2)该商场这六天销售衬衫的总收入是56480元．
【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算法则，弄清有理数的加减混合运算的实质就是加法运算是解本题关键．
（1）计算出每天的销售衬衫的数量，通过比较，就可以得出结果；
（2）计算出6天的销售衬衫的总数量，然后与单价相乘，即可得出销售衬衫的总收入．
【详解】（1）解：9月25日：（件），9月26日：（件），
9月27日：（件），9月28日：（件），
9月29日：（件），9月30日：（件），
答：这六天中9月27日销售衬衫的数量最多，9月26日销售衬衫的数量最少．
（2）
（元），
答：该商场这六天销售衬衫的总收入是56480元．
21．（22-23七年级上·云南·期中）小蜗牛从大树上某点出发，将大树看成一条直线，假设向上爬行的路线记为正数，则小蜗牛爬行的路线依次为：（单位：）
，，，，，，．
(1)蜗牛最后是否能回到出发点？
(2)在爬行过程中，如果每爬行1奖励两片叶子，则小蜗牛一共得到几片叶子？
【答案】(1)能
(2)112片
【分析】（1）把记录数据相加，结果为0，说明蜗牛最后回到出发点；
（2）蜗牛一共得到的叶子数，与它爬行的方向无关，只与爬行的距离有关，所以应把爬行距离的绝对值相加，再求得到的叶子数．
【详解】（1）解：
，
∴蜗牛最后回到出发点；
（2）蜗牛爬行的总路程为：
，
（片），
所以，蜗牛一共得到112片叶子．
【点睛】本题主要考查了正数和负数的意义、有理数运算的应用、化简绝对值等知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
22．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）某蛋糕店在某一时段的销售情况如下，请分别完成下列问题：
(1)该蛋糕店在一周的销售中，盈亏情况如表盈利为正，亏损为负，单位：元．
星期 一 星期 二 星期 三 星期 四 星期 五 星期 六 星期 日 合计
350 1900 4600
表中星期四的盈亏被墨水涂污了，请你算出星期四的盈亏数，并说明星期四是盈还是亏，盈亏是多少．
(2)该蛋糕店去年月平均每月盈利3万元，月平均每月亏损2万元，月平均每月亏损1万元，月平均每月盈利5万元，则该蛋糕店去年总的盈亏情况如何．
【答案】(1)盈利元
(2)盈利万元
【分析】本题考查了有理数四则混合运算的实际应用以及正负数的实际意义：
（1）根据合计可计算出星期四的数值，以此可判断出是盈还是亏；
（2）根据题意可得到正负数，进行运算即可；
正确计算是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意可得：
星期四的数值为：，
∴星期四是盈利元；
（2）解：蛋糕店去年月平均每月盈利3万元，即三个月盈利（万元），
月平均每月亏损2万元，即三个月亏损（万元），
月平均每月亏损1万元，即两个月亏损（万元），
月平均每月盈利5万元，即四个月盈利（万元），
则（万元），
即该蛋糕店去年情况为盈利万元．
一、单选题
1．（2022·河北唐山·一模）计算的结果是（ ）
A．1 B． C．10 D．
【答案】A
【分析】原式利用乘法分配律计算即可求出值
【详解】解：原式=
=-22+28-18+13
=6-18+13
=-12+13
=1，
故选：A
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（20-21七年级上·陕西西安·阶段练习）下列运算过程中，有错误的是（ ）
A．（3﹣4）×2＝3﹣4×2
B．﹣4×（﹣7）×（﹣125）＝﹣（4×125×7）
C．9×16＝（10﹣）×16＝160﹣
D．[3×（﹣25）]×（﹣2）＝3×[（﹣25）×（﹣2）]
【答案】A
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、原式＝3×2﹣×2＝6﹣9＝﹣3，符合题意；
B、原式＝﹣（4×125×7），不符合题意；
C、原式＝（10﹣）×16＝160﹣，不符合题意；
D、原式＝3×[（﹣25）×（﹣2）]，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（23-24七年级上·福建福州·期中）对式子进行简便计算，如图所示，运用到的运算律①是（ ）．
A．乘法交换律 B．乘法分配率 C．乘法结合律 D．加法交换律
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，根据计算过程结合有理数的乘法运算律进行判断即可得出答案，熟练掌握有理数的乘法运算律是解此题的关键．
【详解】解：，上面的计算中运用到的运算律是乘法结合律，
故选：C．
4．（20-21六年级上·山东威海·期中）规定“！”的运算规则：1！=1；2！＝2×1＝2；3！＝3×2×1＝6；4！＝4×3×2×1＝24，…．那么的值为（ ）
A． B．99！ C．100 D．2！
【答案】C
【分析】先根据运算规则发现规律：n!=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1，然后根据新运算法则将待求式转化为一般的算式求解即可．
【详解】解：根据题中的新定义可得：n!=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1
所以，= =100．
故选A．
【点睛】本题考查定义新运算、有理数的除法、有理数的乘法等知识点，根据题目所给的已知条件归纳出新运算的法则是解答本题的关键．
5．（2020·河北唐山·一模）三位同学在计算时，用了不同的方法：
小小说：12的，，分别是3，2和6，所以结果应该是；
聪聪说：先计算括号里面的数，，再乘以12得到；
明明说：把12与，，分别相乘后再相加，得到结果是．
对于三位同学的计算方式，下面描述正确的是（ ）
A．三位同学都用了运算律 B．聪聪使用了加法结合律 C．明明使用了分配律 D．小小使用乘法交换律
【答案】C
【分析】根据运算律的特点判断即可．
【详解】根据题意，明明使用了分配律，是正确的，其余三位同学的描述都是错误的。
故选C．
【点睛】本题考查了运算律，正确理解运算律是解题的关键．
6．（23-24七年级上·河北邯郸·期中）若的值记为p，则的值可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查乘法分配律．利用乘法分配律将转化为，求解后即可得出结果．
【详解】解：∵的值记为p，
∴
；
故选C．
二、填空题
7．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了分数四则运算的简算，把应用乘法分配律展开，再把、、展开成整数和分数的和，然后整数和整数一起简算，分数和分数一起简算，再结合减法的性质解答，灵活应用乘法分配律、减法性质是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
8．（23-24七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）观察下列各式：，，，…，根据观察计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了数字类的规律探究，乘法运算律．根据题意确定数的分解规律是解题的关键．
由题意知， ，然后利用乘法运算律计算求解即可．
【详解】解：由题意知，
，
故答案为：．
9．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算的值是 ．
【答案】
【分析】根据有理数的乘法运算，简便计算的方法，有理数的加减混合运算即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查有理数的乘法运算，简便计算，掌握有理数的乘法运算法则及简便计算的方法是解题的关键．
10．（2021·湖南永州·一模）符号“”表示一种运算，它对一些数的运算如下：＝1＋，＝1＋，＝1＋，＝1＋，…．利用以上运算的规律求出2021＝
【答案】2023
【分析】由＝1＋，＝1＋，＝1＋，＝1＋，…具体的运算，总结出一般规律为：再利用规律解题即可得到答案．
【详解】解： ＝1＋，＝1＋，＝1＋，＝1＋，…．
故答案为：
【点睛】本题考查的是数字的规律探究，有理数的混合运算，列代数式，掌握利用代数式总结数字的变化规律是解题的关键．
11．（18-19七年级上·浙江杭州·开学考试）已知4个不相等的整数、、、，它们的积，则 ．
【答案】0
【分析】先根据整数性求出、、、的值，再代入求解即可得．
【详解】、、、是4个不相等的整数
、也是整数
或
（1）当时
两个整数的积等于5只有两种情况，即，
4个不相等的整数、、、的值只能是从中各取一个数
则
（2）当时
两个整数的积等于只有两种情况，即，
4个不相等的整数、、、的值只能是从中各取一个数
则
综上，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了有理数的乘法法则、整数的性质等知识点，掌握乘法法则是解题关键．
12．（19-20七年级上·全国·课后作业）规定一种新运算：，请比较 .（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】=
【分析】根据新运算法则，计算比较即可.
【详解】由，可得=（-3）×4-（-3）-4+1=-12
=4×（-3）-4-（-3）+1=-12.
所以=
故答案为=
【点睛】考核知识点：新定义运算与乘法运算.理解定义，掌握法则是关键.
三、解答题
13．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）简便运算
(1)
(2)
【答案】(1)25
(2)
【分析】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练乘法分配律简便计算．
（1）运用乘法分配律简算；
（2）先将变形为，再根据乘法分配律进行计算．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
14．（22-23七年级上·河南许昌·阶段练习）请你参考黑板中老师的讲解 用运算律简便计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)99900
【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
（1）先变形为，再根据乘法分配律计算；
（2）根据乘法分配律的逆用计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
15．（22-23七年级上·四川德阳·阶段练习）用简便方法计算下列各题：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了乘法分配律：
（1）先把原式变形为，再利用乘法分配律求解即可；
（2）利用乘法分配律求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
16．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）利用运算律，有时可以使运算简便
例1：；
例2 ：；
请你参考上述示例，用运算律进行简便运算
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则及运算顺序是解此题的关键．
（1）将式子变形为，再进行计算即可得到答案；
（2）利用乘法分配律进行计算即可得到答案；
（3）先将式子变形为，再利用乘法分配律进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
