课时专练(十八) 机械振动
一、单项选择题
1.(2022·浙江卷)如图所示，一根固定在墙上的水平光滑杆，两端分别固定着相同的轻弹簧，两弹簧自由端相距x。套在杆上的小球从中点以初速度v向右运动，小球将做周期为T的往复运动，则( )
A.小球做简谐运动
B.小球动能的变化周期为
C.两根弹簧的总弹性势能的变化周期为T
D.小球的初速度为时，其运动周期为2T
2.共振碎石化是修补混凝土路面的一种技术手段，用来破碎的机器产生振动，破除旧的混凝土的同时要保护旧路面的地基，为实现这样的目的，破碎机器的振动应该( )
A.与要破碎的混凝土的振幅相同
B.与旧路面地基的振幅相同
C.与要破碎的混凝土的振动频率相同
D.与旧路面地基的频率相同
3.将一台智能手机水平粘在秋千的座椅上，使手机边缘与座椅边缘平行(图甲)，让秋千以小摆角(小于5°)自由摆动，此时秋千可看作一个理想的单摆，摆长为L。从手机传感器中得到了其垂直手机平面方向的a-t关系图如图乙所示。则以下说法正确的是( )
A.忽略空气阻力，秋千的回复力由重力和拉力的合力提供
B.当秋千摆至最低点时，秋千对手机的支持力等于手机所受的重力
C.秋千摆动的周期为t3-t1
D.该地的重力加速度g=
4.已知弹簧振子的振动周期与振子的质量和弹簧的劲度系数有关，周期T=2π，小鸟落在弹性树枝上的振动类似于弹簧振子的振动。一只100 g的小鸟落在树枝P处，其振动周期为T，另一只鸟落在P右边一点Q处，其振动周期也是T，右端为树枝末端，则另一只鸟的质量可能为( )
A.50 g B.100 g
C.150 g D.200 g
5.如图，用轻质丝线与小铁球组成单摆，将摆球拉开一个微小的角度后由静止释放，不计空气阻力，摆球到达最低点B时的动能为Ek、加速度为a，第一次到达B点所用的时间为t。仅改变摆长L，将摆线拉开相同角度后由静止释放摆球，多次重复实验。下列图像正确的是( )
6.摆球质量为m的单摆做简谐运动，其动能Ek随时间t的变化关系如图所示，重力加速度为g，则该单摆( )
A.摆长为
B.摆长为
C.摆球向心加速度的最大值为
D.摆球向心加速度的最大值为
7.如图所示是某一质点做简谐运动的振动图像，下列说法正确的是( )
A.质点振动的周期为7 s
B.1 s末质点受到的回复力改变方向
C.3 s时与7 s时质点速度相同
D.质点振动方程为x=2sint+ cm
8.如图甲、乙分别是A、B两个单摆在同一位置处做简谐运动的图像，则下列说法正确的是( )
A.A、B两单摆的振幅相等
B.t=2 s时，A单摆的重力势能最小，B单摆的动能为零
C.A、B两单摆的摆长之比为4∶1
D.A、B两单摆的摆球在最低点时，向心加速度大小一定相等
9.如图所示，三根长度均为L的轻细绳a、b、c组合系住一质量分布均匀且带正电的小球，球的直径为d(d L)，质量为m，绳b、c与天花板的夹角α=30°，空间中存在平行于纸面竖直向下的匀强电场，电场强度E=，重力加速度为g，现将小球拉开小角度后由静止释放，则( )
A.若小球在纸面内做小角度的左右摆动，则周期为2π
B.若小球做垂直于纸面的小角度摆动，则周期为2π
C.摆球经过平衡位置时合力为零
D.无论小球如何摆动，电场力都不做功
10.已知两个简谐运动：x1=3asin(4πbt+)和x2=9asin(8πbt+)，求它们的振幅之比，它们的频率之比和t=0时它们的初相位差各是多少( )
A.3∶1，1∶1， B.1∶3，2∶1，
C.1∶3，1∶2， D.1∶3，1∶2，
11.如图所示两个较大的相同容器中盛有相同体积的水和盐水。将一根粗细均匀的木筷，下端绕几圈铁丝，分别竖直按入液体中相同深度后静止释放，木筷开始在液体中上下振动(不计液体粘滞阻力)，则筷子分别在两种液体中振动时( )
A.周期相同
B.振幅相同
C.重力势能变化的最大值不相同
D.受到液体对它的最小浮力相同
二、多项选择题
12.如图，飞力士棒是一种物理康复器材，其整体结构是一根两端带有配重的弹性杆。用户在健身训练时，使杆体发生振动，从而使杆体带动手臂肌肉运动，改变配重可以改变杆体振动快慢，以达到最佳锻炼效果。若杆体振动越快，则( )
A.手臂肌肉的振动快慢程度保持不变
B.手臂肌肉的振动一定越快
C.手臂肌肉的振动幅度一定越大
D.手臂肌肉的振动幅度不一定越大
三、非选择题
13.一位游客在湖边欲乘游船体验美景，当日风浪较大，游船上下浮动。若把游船的上下浮动简化为竖直方向的简谐运动，已知该简谐运动的振幅为30 cm，周期为 3.0 s。当游船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。只要甲板与码头地面的高度差不超过15 cm，游客都能舒适地登船。现在以游船刚好上升到甲板与码头地面平齐为计时起点。求：
(1)游船做简谐运动的振动方程；
(2)在1 min的时间里，游客能舒适地登船的总时间。
14.将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力。图甲中O点为单摆的固定悬点，现将质量m=0.05 kg的小摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于伸直状态，释放摆球，则摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置，∠AOB=∠COB=θ(θ小于10°且是未知量)。由计算机得到的细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线如图乙所示，且图中t=0时刻为摆球从A点开始运动的时刻。试根据力学规律和题中所给的信息(g取10 m/s2，=2.83)，求：
(1)单摆的振动周期和摆长；
(2)摆球运动到最低点时的速度大小；
(3)图乙中细线拉力最小值为多少
解析版：课时专练(十八) 机械振动
一、单项选择题
1.(2022·浙江卷)如图所示，一根固定在墙上的水平光滑杆，两端分别固定着相同的轻弹簧，两弹簧自由端相距x。套在杆上的小球从中点以初速度v向右运动，小球将做周期为T的往复运动，则( )
A.小球做简谐运动
B.小球动能的变化周期为
C.两根弹簧的总弹性势能的变化周期为T
D.小球的初速度为时，其运动周期为2T
解析 物体做简谐运动的条件是它在运动中所受回复力与位移成正比，且方向总是指向平衡位置，而小球在两弹簧的自由端之间运动时所受合力为零，此过程做匀速直线运动，故小球的运动不是简谐运动，A项错误；小球在一个周期T内要经历两次动能从最大到零再到最大的过程，经历两次弹性势能从零到最大再到零的过程，故小球动能和弹性势能变化的周期均为，B项正确，C项错误；小球与弹簧接触的运动过程可看成弹簧振子的运动，弹簧振子的周期与小球的初速度大小无关，小球在两弹簧自由端之间做匀速直线运动，当小球的初速度为时，小球匀速阶段的时间变为原来的2倍，所以小球的初速度为时，其运动周期应小于2T，D项错误。
答案 B
2.共振碎石化是修补混凝土路面的一种技术手段，用来破碎的机器产生振动，破除旧的混凝土的同时要保护旧路面的地基，为实现这样的目的，破碎机器的振动应该( )
A.与要破碎的混凝土的振幅相同
B.与旧路面地基的振幅相同
C.与要破碎的混凝土的振动频率相同
D.与旧路面地基的频率相同
解析 根据共振现象，当驱动力的频率等于物体的固有频率时物体的振幅达到最大值，所以应使破碎机器的振动频率与要破碎的混凝土的振动频率相同，从而损坏混凝土，而与地基频率相差较大，可以不损坏路面的地基，C项正确。
答案 C
3.将一台智能手机水平粘在秋千的座椅上，使手机边缘与座椅边缘平行(图甲)，让秋千以小摆角(小于5°)自由摆动，此时秋千可看作一个理想的单摆，摆长为L。从手机传感器中得到了其垂直手机平面方向的a-t关系图如图乙所示。则以下说法正确的是( )
A.忽略空气阻力，秋千的回复力由重力和拉力的合力提供
B.当秋千摆至最低点时，秋千对手机的支持力等于手机所受的重力
C.秋千摆动的周期为t3-t1
D.该地的重力加速度g=
解析 忽略空气阻力，秋千的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，A项错误；在最低点，合力提供向心力FN-mg=m，秋千对手机的支持力FN=mg+m>mg，故秋千对手机的支持力大于手机的重力，B项错误；秋千的周期为从最大振幅偏角到另外一最大振幅偏角位置再回到最大振幅偏角位置所用的时间，所以两次经过最低点，有两次向心加速度最大，根据垂直手机平面方向的a-t关系图，周期为T=t3-t1，C项正确；根据单摆周期公式T=t3-t1=2π，故当地重力加速度g=，D项错误。
答案 C
4.已知弹簧振子的振动周期与振子的质量和弹簧的劲度系数有关，周期T=2π，小鸟落在弹性树枝上的振动类似于弹簧振子的振动。一只100 g的小鸟落在树枝P处，其振动周期为T，另一只鸟落在P右边一点Q处，其振动周期也是T，右端为树枝末端，则另一只鸟的质量可能为( )
A.50 g B.100 g
C.150 g D.200 g
解析 一只鸟落在Q处时，由于Q点比P点靠近树枝末端， Q点与P点受到同样的作用力时，作用在Q点树枝的形变更大，则类似弹簧的劲度系数k更小，由于周期仍然为T，则落在Q处的鸟质量m较小，故A项正确。
答案 A
5.如图，用轻质丝线与小铁球组成单摆，将摆球拉开一个微小的角度后由静止释放，不计空气阻力，摆球到达最低点B时的动能为Ek、加速度为a，第一次到达B点所用的时间为t。仅改变摆长L，将摆线拉开相同角度后由静止释放摆球，多次重复实验。下列图像正确的是( )
解析 第一次到达B点所用的时间应当为单摆周期的，即t=T=，t与L并不呈线性关系，故A项错误；根据动能定理Ek=mgL(1-cos θ)，故Ek-L图线应是一条直线，故D项错误；在最低点加速度为向心加速度，a===2g(1-cos θ)，故a-L图线为平行于横轴的一条直线，故B项正确，C项错误。
答案 B
6.摆球质量为m的单摆做简谐运动，其动能Ek随时间t的变化关系如图所示，重力加速度为g，则该单摆( )
A.摆长为
B.摆长为
C.摆球向心加速度的最大值为
D.摆球向心加速度的最大值为
解析 由题图可知，单摆的周期T=4t0，根据单摆周期公式T=2π，解得l=，A、B两项错误；摆球到最低点的动能Ek=E0=mv2，向心加速度的最大值为a=，解得a=，C项正确，D项错误。
答案 C
7.如图所示是某一质点做简谐运动的振动图像，下列说法正确的是( )
A.质点振动的周期为7 s
B.1 s末质点受到的回复力改变方向
C.3 s时与7 s时质点速度相同
D.质点振动方程为x=2sint+ cm
解析 由题图可知，质点振动的周期为8 s，A项错误；1 s末前后质点受到的回复力都沿x轴负方向，B项错误；由x-t图像斜率表示速度可知，3 s时与7 s时质点速度大小相同，方向相反，C项错误；由A项可得ω== rad/s，设质点振动方程为x=Asin(ωt+φ) cm，t=3 s时x=0，代入数据解得φ=，可得x=2sint+cm，D项正确。
答案 D
8.如图甲、乙分别是A、B两个单摆在同一位置处做简谐运动的图像，则下列说法正确的是( )
A.A、B两单摆的振幅相等
B.t=2 s时，A单摆的重力势能最小，B单摆的动能为零
C.A、B两单摆的摆长之比为4∶1
D.A、B两单摆的摆球在最低点时，向心加速度大小一定相等
解析 由题图知，A、B两单摆的振幅分别为4 cm、2 cm，A项错误；t=2 s时，A单摆在平衡位置处，B单摆在振动的正方向最大位移处，则A单摆的重力势能最小，B单摆的动能为零，B项正确；由单摆的周期公式，推出A、B两单摆的摆长之比为lA∶lB=∶=1∶4，C项错误；设摆球摆动的最大偏角为θ，由mgl(1-cos θ)=mv2，a=可得，摆球在最低点时向心加速度a=2g(1-cos θ)，因两摆球的最大偏角θ满足 sin θ=，故θA>θB，所以aA>aB，D项错误。
答案 B
9.如图所示，三根长度均为L的轻细绳a、b、c组合系住一质量分布均匀且带正电的小球，球的直径为d(d L)，质量为m，绳b、c与天花板的夹角α=30°，空间中存在平行于纸面竖直向下的匀强电场，电场强度E=，重力加速度为g，现将小球拉开小角度后由静止释放，则( )
A.若小球在纸面内做小角度的左右摆动，则周期为2π
B.若小球做垂直于纸面的小角度摆动，则周期为2π
C.摆球经过平衡位置时合力为零
D.无论小球如何摆动，电场力都不做功
解析 若小球在纸面内做小角度的左右摆动，小球以O'为悬点做简谐运动，则摆长为l=L+，电场和重力场合成等效重力加速度为2g，振动的周期为T1=2π= 2π=2π，A项错误；若小球在垂直纸面内做小角度摆动时，相当于以O为悬点做简谐运动，摆长l'=L+Lsin α+=L+，振动周期为T2=2π=2π，B项正确；摆球经过平衡位置时速度最大，回复力为零，但沿半径方向合力不为零，C项错误；小球摆动过程中，沿电场力方向存在位移，故电场力做功，D项错误。
答案 B
10.已知两个简谐运动：x1=3asin(4πbt+)和x2=9asin(8πbt+)，求它们的振幅之比，它们的频率之比和t=0时它们的初相位差各是多少( )
A.3∶1，1∶1， B.1∶3，2∶1，
C.1∶3，1∶2， D.1∶3，1∶2，
解析 由简谐运动的方程可知，振幅分别为3a和9a，则振幅之比为1∶3；根据频率f==，则f1∶f2=1∶2，t=0时刻，相位差为Δφ=φ2-φ1=-=，D项正确。
答案 D
11.如图所示两个较大的相同容器中盛有相同体积的水和盐水。将一根粗细均匀的木筷，下端绕几圈铁丝，分别竖直按入液体中相同深度后静止释放，木筷开始在液体中上下振动(不计液体粘滞阻力)，则筷子分别在两种液体中振动时( )
A.周期相同
B.振幅相同
C.重力势能变化的最大值不相同
D.受到液体对它的最小浮力相同
解析 若木筷平衡时插入水中x0，则有mg=ρSx0g。设某时刻筷子位置较平衡位置低x，则其回复力F=ρS(x0+x)g-mg=ρSgx，与x成正比，方向相反，故做简谐运动，两种液体密度不同，木筷的平衡位置不同，因此木筷做简谐运动的振幅A、最大势能变化不同，B项错误，C项正确；该简谐运动的周期与回复力的比例系数ρSg有关，因此周期T不同，A项错误；简谐运动最高点与最低点加速度大小相等，则有mg-F浮=ma，盐水中a大，所以盐水的最小浮力小，D项错误。
答案 C
二、多项选择题
12.如图，飞力士棒是一种物理康复器材，其整体结构是一根两端带有配重的弹性杆。用户在健身训练时，使杆体发生振动，从而使杆体带动手臂肌肉运动，改变配重可以改变杆体振动快慢，以达到最佳锻炼效果。若杆体振动越快，则( )
A.手臂肌肉的振动快慢程度保持不变
B.手臂肌肉的振动一定越快
C.手臂肌肉的振动幅度一定越大
D.手臂肌肉的振动幅度不一定越大
解析 手臂肌肉在杆体带动下做受迫振动，则杆体振动越快，手臂肌肉的振动一定越快，A项错误，B项正确；当驱动力的频率接近固有频率时，受迫振动的振幅越大，则杆体振动越快时，手臂肌肉的振动幅度不一定越大，C项错误，D项正确。
答案 BD
三、非选择题
13.一位游客在湖边欲乘游船体验美景，当日风浪较大，游船上下浮动。若把游船的上下浮动简化为竖直方向的简谐运动，已知该简谐运动的振幅为30 cm，周期为 3.0 s。当游船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。只要甲板与码头地面的高度差不超过15 cm，游客都能舒适地登船。现在以游船刚好上升到甲板与码头地面平齐为计时起点。求：
(1)游船做简谐运动的振动方程；
(2)在1 min的时间里，游客能舒适地登船的总时间。
解析 (1)由于从最高点开始计时，设游船做简谐运动的振动方程为
x=Acos ωt，
其中A=30 cm=0.3 m，ω==，
联立解得x=0.3cos(t) m。
(2)当x'=0.15 m时，代入上式可解得
t'=0.5 s，
故一个T内游客有1 s时间可以舒适登船，由于
1 min=60 s=20T，
1 min内游客可以舒适登船的总时间为20 s。
答案 (1)x=0.3cos (t) m (2)20 s
14.将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力。图甲中O点为单摆的固定悬点，现将质量m=0.05 kg的小摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于伸直状态，释放摆球，则摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置，∠AOB=∠COB=θ(θ小于10°且是未知量)。由计算机得到的细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线如图乙所示，且图中t=0时刻为摆球从A点开始运动的时刻。试根据力学规律和题中所给的信息(g取10 m/s2，=2.83)，求：
(1)单摆的振动周期和摆长；
(2)摆球运动到最低点时的速度大小；
(3)图乙中细线拉力最小值为多少
解析 (1)由题中F-t图像可得单摆振动周期
T=0.4π s，
由T=2π，
解得摆长L=0.4 m。
(2)由题中F-t图像可得，摆球运动到最低点时细线的拉力Fmax=0.510 N，
此时有Fmax-mg=m，
解得v=0.283 m/s。
(3)摆球A→B机械能守恒，
mgL(1-cos θ)=mv2，
Fmin=mgcos θ，
解得Fmin=0.495 N。
答案 (1)0.4π s 0.4 m (2)0.283 m/s (3)0.495 N
