第1讲 函数的概念及其表示
【课时训练】
A级(基础应用练)
1．下列四组函数中，函数f (x)，g(x)表示相同函数的是( )
A．f (x)＝3x，g(x)＝log3x
B．f (x)＝|x|，g(x)＝
C．f (x)＝x，g(x)＝
D．f (x)＝2lg x，g(x)＝lg (2x)
答案：B
解析：对于选项A，f (x)，g(x)一个为指数运算，一个为对数运算，对应法则不同，因此不为相同函数；
对于选项B，g(x)＝＝|x|＝f (x)，为相同函数；
对于选项C，函数f (x)的定义域为R，函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，因此不为相同函数；
对于选项D，函数g(x)＝lg (2x)＝lg 2＋lg x与函数f (x)＝2lg x的对应法则不同，因此不为相同函数．故选B.
2．(2023·临川模拟)函数f (x)＝的定义域是( )
A．(－∞，1)
B．(0，＋∞)
C．(0，1)
D．(－∞，0]
答案：D
解析：由，得，解得x≤0，
所以函数的定义域为(－∞，0]，故选D.
3．(2023·汕头三模)已知函数f (x)＝，则f (f (0))＝( )
A．3 B．1
C．2 D．－2
答案：C
解析：由题意可得f (0)＝9－02＝9，
所以f (f (0))＝f (9)＝log39＝2.故选C.
4．(2022·山东模拟)我们在网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表，如下所示，第一行是我们习惯称呼的“鞋号”(单位：号)，第二行是脚长(单位：mm)．请根据表中数据，思考：他们家正好有一款“32号”的女鞋在搞打折活动，那么适合购买这款鞋的脚长的取值范围是( )
鞋号 35 36 37 38 39
脚长 225 230 235 240 245
A．[201，205]
B．[206，210]
C．[211，215]
D．[216，220]
答案：B
解析：设脚长为y，鞋号为x，根据题意发现x与y满足y＝5x＋50的函数关系，当x＝32时，y＝5×32＋50＝210，故选B.
5．若f (2x－1)＝x2＋3x－1(0＜x＜2)，则( )
A．f (x)＝
B．f (x)＝(－1＜x＜3)
C．f (x)＝4x2＋2x－3(0＜x＜2)
D．f (x)＝4x2＋2x－3(－1＜x＜3)
答案：B
解析：令2x－1＝t，－1＜t＜3，则x＝，
∴f (t)＝2＋3×，
∴f (x)＝(－1＜x＜3)．故选B.
6．(多选题)(2023·厦门模拟)如图，这是函数f (x)的图象，则( )
A．f (0)＝2
B．f (x)的定义域为[－2，2]
C．f (x)的值域为[－3，2]
D．若f (x)＝0，则x＝或2
答案：CD
解析：由图象知f (0)＝－2，故A错误；
函数的定义域为[－3，2]，故B错误；
函数的值域为[－3，2]，故C正确；
若f (x)＝0，则x＝或2，故D正确．故选CD.
7．已知f (x5)＝lg x，则f (100)＝________．
答案：
解析：令x5＝100，则x＝，
∴f (100)＝.
8．(2023·泰州二调)设函数f (x)＝
若f (f (a))＝4，则a＝________．
答案：ln 2
解析：由f (f (a))＝4得f (a)＝0或f (a)＝－2，而f (a)＝0无解，所以a＝ln 2.
9．已知函数f (x)满足f (－x)＋2f (x)＝2x，则f (x)＝________．
答案：
解析：由f (－x)＋2f (x)＝2x， ①
得f (x)＋2f (－x)＝2－x， ②
①×2－②，得3f (x)＝2x+1－2－x，即f (x)＝.
B级(综合创新练)
10．(2023·北京育才学校模拟)若函数y＝＋ln (x＋2)的定义域为[1，＋∞)，则a＝( )
A．－3
B．3
C．1
D．－1
答案：A
解析：由，得，
由题意可知上式的解集为[1，＋∞)，
所以x＝1为方程x2＋2x＋a＝0的一个根，
所以1＋2＋a＝0，得a＝－3，故选A.
11．(2023·天津市宝坻区第一中学二模)已知函数f (x)＝，则不等式f (x)≤的解集是( )
A．
B．(－∞，－ln 2)
C．
D．(－∞，－ln 2)∪
答案：A
解析：当x≤0时，由f (x)≤得ex≤，两边取以e为底的对数得x≤－ln 2；
当x＞0时，由f (x)≤得ln x≤，解得0＜x≤.
综上，x≤－ln 2或0＜x≤.故选A.
12．已知f (3x)＝4xlog23＋10，则f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (210)的值等于________．
答案：320
解析：∵f (3x)＝4xlog23＋10，f (3x)＝4log23x＋10，
∴f (x)＝4log2x＋10，则f (2n)＝4log22n＋10＝4n＋10，
∴f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (210)＝4(1＋2＋…＋10)＋10×10＝4×＋10×10＝320.
13．[原创题]已知函数f (x)在定义域D＝(0，＋∞)上是严格增函数，对定义域D内的任意自变量x，均有＝1成立，则f (x)的解析式为________．
答案：f (x)＝－
解析：因为对定义域D内的任意自变量x，均有f (f (x)＋)＝1成立，且f (x)在定义域D＝(0，＋∞)上是严格增函数，
所以令f (x)＋＝t(t为常数)，则f (t)＝1，所以f (t)＋＝t，即1＋＝t＞0，
解得t＝，所以f (x)＝－.
14．(2023·扬州模拟)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫作刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数)．如图，这是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图．
(1)求出y关于x的函数解析式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求行驶的最大速度．
解：(1)由题意及函数图象，
得解得m＝，n＝0，
∴y＝(x≥0)．
(2)令≤25.2，得－72≤x≤70.
∵x≥0，∴0≤x≤70.故行驶的最大速度是70 km/h.第1讲 函数的概念及其表示
【课时训练】
A级(基础应用练)
1．下列四组函数中，函数f (x)，g(x)表示相同函数的是( )
A．f (x)＝3x，g(x)＝log3x
B．f (x)＝|x|，g(x)＝
C．f (x)＝x，g(x)＝
D．f (x)＝2lg x，g(x)＝lg (2x)
2．(2023·临川模拟)函数f (x)＝的定义域是( )
A．(－∞，1)
B．(0，＋∞)
C．(0，1)
D．(－∞，0]
3．(2023·汕头三模)已知函数f (x)＝，则f (f (0))＝( )
A．3 B．1
C．2 D．－2
4．(2022·山东模拟)我们在网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表，如下所示，第一行是我们习惯称呼的“鞋号”(单位：号)，第二行是脚长(单位：mm)．请根据表中数据，思考：他们家正好有一款“32号”的女鞋在搞打折活动，那么适合购买这款鞋的脚长的取值范围是( )
鞋号 35 36 37 38 39
脚长 225 230 235 240 245
A．[201，205]
B．[206，210]
C．[211，215]
D．[216，220]
5．若f (2x－1)＝x2＋3x－1(0＜x＜2)，则( )
A．f (x)＝
B．f (x)＝(－1＜x＜3)
C．f (x)＝4x2＋2x－3(0＜x＜2)
D．f (x)＝4x2＋2x－3(－1＜x＜3)
6．(多选题)(2023·厦门模拟)如图，这是函数f (x)的图象，则( )
A．f (0)＝2
B．f (x)的定义域为[－2，2]
C．f (x)的值域为[－3，2]
D．若f (x)＝0，则x＝或2
7．已知f (x5)＝lg x，则f (100)＝________．
8．(2023·泰州二调)设函数f (x)＝
若f (f (a))＝4，则a＝________．
9．已知函数f (x)满足f (－x)＋2f (x)＝2x，则f (x)＝________．
B级(综合创新练)
10．(2023·北京育才学校模拟)若函数y＝＋ln (x＋2)的定义域为[1，＋∞)，则a＝( )
A．－3
B．3
C．1
D．－1
11．(2023·天津市宝坻区第一中学二模)已知函数f (x)＝，则不等式f (x)≤的解集是( )
A．
B．(－∞，－ln 2)
C．
D．(－∞，－ln 2)∪
12．已知f (3x)＝4xlog23＋10，则f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (210)的值等于________．
13．[原创题]已知函数f (x)在定义域D＝(0，＋∞)上是严格增函数，对定义域D内的任意自变量x，均有＝1成立，则f (x)的解析式为________．
14．(2023·扬州模拟)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫作刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数)．如图，这是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图．
(1)求出y关于x的函数解析式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求行驶的最大速度．
