第3讲 函数的奇偶性、周期性与对称性
【课时训练】
A级(基础应用练)
1．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
答案：B
解析：根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x)＝f (x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；
B选项为偶函数；
对于C选项，函数定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；
D选项既不是奇函数，也不是偶函数．
2．(2023·全国乙卷)已知f (x)＝是偶函数，则a＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案：D
解析：因为f (x)＝为偶函数，所以f (x)－f (－x)＝＝0，
又因为x不恒为0，所以ex－e(a-1)x＝0，即ex＝e(a-1)x，
则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2，故选D.
3．(2023·临泉第一中学三模)若f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x＋2)＝－f (x)，则f (8)的值为( )
A．1 B．2
C．0 D．－1
答案：C
解析：根据题意，若f (x)是定义在R上的奇函数，则f (0)＝0，
又由f (x＋2)＝－f (x)，得f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，
则f (8)＝f (4)＝f (0)＝0，故选C.
4．(2023·九江三模)设函数f (x)＝ax3－x-3＋a，若函数f (x－1)的图象关于点(1，0)对称，则a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
答案：B
解析：因为函数f (x－1)的图象关于点(1，0)对称，所以函数f (x)的图象关于点(0，0)对称，
即f (x)为奇函数，故f (－x)＋f (x)＝a(－x)3－(－x)-3＋a＋ax3－x-3＋a＝2a＝0，所以a＝0.故选B.
5．(多选题)(2023·汕头三模)已知f (x)为奇函数，且f (x＋1)为偶函数，若f (1)＝0，则( )
A．f (3)＝0
B．f (3)＝f (5)
C．f (x＋3)＝f (x－1)
D．f (x＋2)＋f (x＋1)＝1
答案：ABC
解析：因为函数f (x＋1)为偶函数，所以f (x＋1)＝f (1－x)，
又因为f (x)是R上的奇函数，所以f (x＋1)＝f (1－x)＝－f (x－1)，
所以f (x＋2)＝－f (x)，f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，
所以f (x)的周期为4，
又因为f (1)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝0，
f (5)＝f (1)＝0，故A，B正确；
f (x＋3)＝f (x＋3－4)＝f (x－1)，所以C正确；
f (2)＝f (2－4)＝f (－2)，
同时根据奇函数的性质得f (2)＝－f (－2)，
所以f (2)，f (－2)既相等又互为相反数，故f (2)＝0，
所以f (2)＋f (1)＝0≠1，即f (x＋2)＋f (x＋1)＝1对于x＝0不成立，故D不正确．
6．(多选题)(2023·临沂二模)已知奇函数f (x)的定义域为R，且在(0，＋∞)上单调递减，若f ＝f (－2)＝1，则下列命题正确的是( )
A．f (x)有两个零点 B．f (－1)＞－1
C．f (－3)＜1 D．f ＞f (2)
答案：BD
解析：根据题意可得函数f (x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为减函数，f (0)＝0，
由f ＝f (－2)＝1可得f ＝f (2)＝－1.
对于A，因为f (x)在(0，＋∞)上为减函数，且f ＝1，f (2)＝－1，所以存在x0∈
，f (x0)＝0，
所以f (x)在(0，＋∞)上有一个零点，
同理f (x)在(－∞，0)上有一个零点，
又因为f (0)＝0，所以f (x)有三个零点，故A错误；
对于B，因为函数f (x)在(－∞，0)上为减函数，所以f (－1)＞＝－1，故B正确；
对于C，因为函数f (x)在(－∞，0)上为减函数，所以f (－3)＞f (－2)＝1，故C错误；
对于D，f ＝1，f (2)＝－1，所以f ＞f (2)，故D正确．
故选BD.
7．(2023·泸州模拟)函数f (x)＝ax3－bx－tan x＋2，若f (m)＝1，则f (－m)＝________．
答案：3
解析：由题得f (m)＝am3－bm－tan m＋2＝1，
所以am3－bm－tan m＝－1，
所以f (－m)＝－am3＋bm＋tan m＋2＝－(am3－bm－tan m)＋2＝1＋2＝3.
8．(2022·雅安三模)已知函数f (x)满足 x∈R，有f (1－x)＝f (1＋x)，f (x＋2)＝－f (x)，当x∈(0，1)时，f (x)＝x2＋mx，若f ＝，则m＝________.
答案：
解析：由f (1－x)＝f (1＋x)，f (x＋2)＝－f (x)，
知f (x)的图象关于直线x＝1对称，f (x)的周期为4，
∴f ＝f ＝f ＝，∴，∴m＝.
9．设f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f (x＋2)＝－f (x).当x∈[0，2]时，f (x)＝2x－x2.
(1)求证：f (x)是周期函数．
(2)当x∈[2，4]时，求f (x)的解析式．
解：(1)∵f (x＋2)＝－f (x)，∴f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，
∴f (x)是周期为4的周期函数．
(2)∵x∈[2，4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0，2]，
∴f (4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.
∵f (4－x)＝f (－x)＝－f (x)，
∴－f (x)＝－x2＋6x－8，
即当x∈[2，4]时，f (x)＝x2－6x＋8.
B级(综合创新练)
10．(2023·莆田模拟)已知定义在R上的函数f (x)满足①f (x＋2)＝f (x)，② f (x－2)为奇函数，③当x∈[0，1)时，＞0(x1≠x2)恒成立，则，f (4)，
f 的大小关系正确的是( )
A．f ＞f (4)＞f
B．f (4)＞f ＞f
C．f ＞f (4)＞f
D．f ＞f ＞f (4)
答案：C
解析：由f (x＋2)＝f (x)可得f (x)的周期为2，
因为f (x－2)为奇函数，所以f (x)为奇函数，
因为当x∈[0，1)时，＞0，
所以f (x)在(0，1)上单调递增，
因为f (x)为奇函数，所以f (x)在(－1，0)上单调递增，
所以f (x)在(－1，1)上单调递增，
因为f ＝f ＝f ，f (4)＝f (4－2×2)＝f (0)，f ＝f ＝f ，
所以f ＞f (0)＞f ，即f ＞f (4)＞f ，故选C.
11．(多选题)(2023·德州二模)已知函数f (x)为R上的奇函数，且f (x＋4)＋f (x)＝0，当0≤x≤2时，f (x)＝，则( )
A．a＝－1
B．a＝－2
C．f (－33)＜f (40)＜f (19)
D．f (40)＜f (－33)＜f (19)
答案：AC
解析：已知函数f (x)是R上的奇函数，则f (0)＝0，
即f (0)＝＝0，解得a＝－1，A正确，B错误；
又因为f (x＋4)＋f (x)＝0，即f (x＋8)＝－f (x＋4)＝f (x)，从而周期为8，所以
f (－33)＝f (－1－4×8)＝f (－1)＝－f (1)，
f (40)＝f (0＋5×8)＝f (0)，f (19)＝f (3＋2×8)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．
因为当0≤x≤2时，f (x)＝，所以f (1)＝，
从而f (－33)＝－f (1)＝－，f (40)＝0，f (19)＝，
所以f (－33)＜f (40)＜f (19)，C正确，D错误．故选AC.
12．[原创题](多选题)已知定义在R上的函数f (x)，g(x)，其导函数分别为f′(x)，g′(x)，且f (x)－g′(x)＝2024，f (3－x)＋g′(3＋x)＝2024，且g(x)为奇函数，则( )
A．f (3)＝2024
B．f′(x＋12)＝f′(x)
C．g(x＋6)＝g(x)
D．g′(12－x)＝g′(x)
答案：ABD
解析：由
得，
∴g′(3－x)＝－g′(3＋x)，∴g′(x)的图象关于点(3，0)对称，则g′(6＋x)＝－g′(－x)，
∵g(x)为奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，左右求导得－g′(－x)＝－g′(x)，
∴g′(x)＝g′(－x)，∴g′(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，
∴g′(x＋12)＝－g′(－(x＋6))＝－g′(x＋6)＝－[－g′(－x)]＝g′(－x)＝g′(x)，
∴g′(x)是周期为12的周期函数，
∴g′(12－x)＝g′(x－12)＝g′(x)，D正确；
∵f (x)－g′(x)＝2024，∴f (3)－g′(3)＝2024，
又g′(－3)＝g′(3)＝0，
∴f (3)＝2024，A正确；
令h(x)＝g′(x)，则h(x＋12)＝h(x)，∴h′(x＋12)＝h′(x)，
又h(x)＝f (x)－2024，h(x＋12)＝f (x＋12)－2024，
∴f′(x＋12)＝f′(x)，B正确；
∵g′(6＋x)＝－g′(－x)，∴g′(x＋6)＋g′(x)＝0，
设F(x)＝g(x＋6)＋g(x)，则F′(x)＝g′(x＋6)＋g′(x)＝0，
∴F(x)＝C(C∈R)，
又g(x)为奇函数，∴F(－3)＝g(3)＋g(－3)＝0，∴F(x)＝0，
即g(x＋6)＝－g(x)，C错误．
故选ABD.
13．(2023·河南名校大联考)写出一个同时具有下列性质①②③的函数解析式：f (x)＝________．
①f (x)的最大值为2；② x∈R，f (2－x)＝f (x)；③f (x)是周期函数．
答案：2sin x(答案不唯一)
解析：由于f (x)是周期函数，
所以首先考虑f (x)为正弦型函数或余弦型函数，
由 x∈R，f (2－x)＝f (x)可知f (x)的图象关于直线x＝1对称，又f (x)的最大值为2，
所以f (x)＝2sin x或f (x)＝2cos πx等．
14．(2022·济南模拟)设f (x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x＋2)＝－f (x)，当0≤x≤1时，f (x)＝x.
(1)求f (π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f (x)的图象与x轴所围成图形的面积．
解：(1)由f (x＋2)＝－f (x)，
得f (x＋4)＝f ((x＋2)＋2)＝－f (x＋2)＝f (x)，
所以f (x)是以4为周期的周期函数，所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝
－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f (x)是奇函数，且f (x＋2)＝－f (x)，
得f ((x－1)＋2)＝－f (x－1)＝f (－(x－1))，
即f (1＋x)＝f (1－x)，
得函数y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f (x)＝x，
且f (x)的图象关于原点对称，则f (x)的图象如下图所示，
当－4≤x≤4时，设f (x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.第3讲 函数的奇偶性、周期性与对称性
【课时训练】
A级(基础应用练)
1．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
2．(2023·全国乙卷)已知f (x)＝是偶函数，则a＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
3．(2023·临泉第一中学三模)若f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x＋2)＝－f (x)，则f (8)的值为( )
A．1 B．2
C．0 D．－1
4．(2023·九江三模)设函数f (x)＝ax3－x-3＋a，若函数f (x－1)的图象关于点(1，0)对称，则a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
5．(多选题)(2023·汕头三模)已知f (x)为奇函数，且f (x＋1)为偶函数，若f (1)＝0，则( )
A．f (3)＝0
B．f (3)＝f (5)
C．f (x＋3)＝f (x－1)
D．f (x＋2)＋f (x＋1)＝1
6．(多选题)(2023·临沂二模)已知奇函数f (x)的定义域为R，且在(0，＋∞)上单调递减，若f ＝f (－2)＝1，则下列命题正确的是( )
A．f (x)有两个零点 B．f (－1)＞－1
C．f (－3)＜1 D．f ＞f (2)
7．(2023·泸州模拟)函数f (x)＝ax3－bx－tan x＋2，若f (m)＝1，则f (－m)＝________．
8．(2022·雅安三模)已知函数f (x)满足 x∈R，有f (1－x)＝f (1＋x)，f (x＋2)＝－f (x)，当x∈(0，1)时，f (x)＝x2＋mx，若f ＝，则m＝________.
9．设f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f (x＋2)＝－f (x).当x∈[0，2]时，f (x)＝2x－x2.
(1)求证：f (x)是周期函数．
(2)当x∈[2，4]时，求f (x)的解析式．
B级(综合创新练)
10．(2023·莆田模拟)已知定义在R上的函数f (x)满足①f (x＋2)＝f (x)，② f (x－2)为奇函数，③当x∈[0，1)时，＞0(x1≠x2)恒成立，则，f (4)，
f 的大小关系正确的是( )
A．f ＞f (4)＞f
B．f (4)＞f ＞f
C．f ＞f (4)＞f
D．f ＞f ＞f (4)
11．(多选题)(2023·德州二模)已知函数f (x)为R上的奇函数，且f (x＋4)＋f (x)＝0，当0≤x≤2时，f (x)＝，则( )
A．a＝－1
B．a＝－2
C．f (－33)＜f (40)＜f (19)
D．f (40)＜f (－33)＜f (19)
12．[原创题](多选题)已知定义在R上的函数f (x)，g(x)，其导函数分别为f′(x)，g′(x)，且f (x)－g′(x)＝2024，f (3－x)＋g′(3＋x)＝2024，且g(x)为奇函数，则( )
A．f (3)＝2024
B．f′(x＋12)＝f′(x)
C．g(x＋6)＝g(x)
D．g′(12－x)＝g′(x)
13．(2023·河南名校大联考)写出一个同时具有下列性质①②③的函数解析式：f (x)＝________．
①f (x)的最大值为2；② x∈R，f (2－x)＝f (x)；③f (x)是周期函数．
14．(2022·济南模拟)设f (x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x＋2)＝－f (x)，当0≤x≤1时，f (x)＝x.
(1)求f (π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f (x)的图象与x轴所围成图形的面积．
