第6讲 对数与对数函数
【课时训练】
A级(基础应用练)
1．(2022·贵阳高三联考)已知a＝log23，b＝log25，则log415＝( )
A．2a＋2b B．a＋b
C．ab D．
2．(2023·沈阳二中模拟)已知函数f (x)＝log5x，f-1(x)是f (x)的反函数，则f (1)＋f-1(1)＝( )
A．10 B．8
C．5 D．2
3．(2023·上饶模拟)函数f (x)＝log2(x2－x)，x∈[2，5]的值域为( )
A．[1，2＋log25] B．[1，2]
C．[2，log210] D．[2，1＋log25]
4．(2023·华中师大一附中模拟)已知a＝log511，b＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＜c＜b B．b＜c＜a
C．c＜a＜b D．a＜b＜c
5．(多选题)(2023·江苏模拟)若实数a，b满足log3a＜log3b，则下列各式一定正确的是( )
A．3a＜3b B．a－b＞1
C．ln (b－a)＞0 D．loga3＜logb3
6．(多选题)(2023·合肥模拟)设a与b为实数，a＞0，且a≠1，已知函数f (x)＝loga(x＋b)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．a＝
B．b＝3
C．函数的定义域为(0，＋∞)
D．函数f (x)＝loga(x＋b)在(0，＋∞)上为增函数
7．(2023·南昌二模)函数f (x)＝log2·的最小值为________．
8．(2022·广西模拟)已知函数f (x)满足①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；②值域为R；③f (－x)＝f (x).写出一个满足上述条件的函数：f (x)＝________.
9．[原创题]已知f (x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f (x)＝ln (e－x)－ex.
(1)求f (1)；
(2)解不等式f (x2－x)＞f (2x)．
B级(综合创新练)
10．(2022·安徽模拟)已知函数f (x)＝|log2x|，当0＜m＜n时，f (m)＝f (n)，若f (x)"在[m2 ，n]上的最大值为2，则＝( )
A．2 B．
C．3 D．4
11．(2023·西安调研)设函数f (x)的定义域为D，若满足①f (x)在D上是增函数，②存在[m，n] D(n＞m)，使得f (x)在[m，n]上的值域为[m，n]，那么就称y＝f (x)是定义域为D的“成功函数”．若函数g(x)＝loga(a2x＋t)(a＞0，且a≠1)是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是( )
A． B．
C． D．
12．(多选题)(2023·惠州模拟)已知函数f (x)＝ln (e2x＋1)－x，则( )
A．f (ln 2)＝ln
B．f (x)是奇函数
C．f (x)在(0，＋∞)上单调递增
D．f (x)的最小值为ln 2
13．(2023·郑州模拟)若函数f (x)＝loga有最小值，则实数a的取值范围是________．
14．(2023·滨州二模)已知函数f (x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.
(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f (x)＋1]·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f (x2)·f ＞k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．第6讲 对数与对数函数
【课时训练】
A级(基础应用练)
1．(2022·贵阳高三联考)已知a＝log23，b＝log25，则log415＝( )
A．2a＋2b B．a＋b
C．ab D．
答案：D
解析：log415＝log215＝＝b，故选D.
2．(2023·沈阳二中模拟)已知函数f (x)＝log5x，f-1(x)是f (x)的反函数，则f (1)＋f-1(1)＝( )
A．10 B．8
C．5 D．2
答案：C
解析：因为函数f (x)＝log5x，所以f-1(x)＝5x，所以f (1)＝log51＝0，f--1(1)＝51＝5，即f (1)＋f--1(1)＝5.
3．(2023·上饶模拟)函数f (x)＝log2(x2－x)，x∈[2，5]的值域为( )
A．[1，2＋log25] B．[1，2]
C．[2，log210] D．[2，1＋log25]
答案：A
解析：令g(x)＝x2－x，x∈[2，5]，则g(x)在[2，5]上单调递增，又g(2)＝2，g(5)＝20，所以g(x)∈[2，20]，
又y＝log2x在[2，20]上单调递增，
所以f (x)∈[log22，log220]，即f (x)∈[1，2＋log25].
4．(2023·华中师大一附中模拟)已知a＝log511，b＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＜c＜b B．b＜c＜a
C．c＜a＜b D．a＜b＜c
答案：D
解析：由对数函数的运算性质，可得a＝log511＝log5＜log5，b＝log2log28＝＞，所以c＞b＞a.
5．(多选题)(2023·江苏模拟)若实数a，b满足log3a＜log3b，则下列各式一定正确的是( )
A．3a＜3b B．a－b＞1
C．ln (b－a)＞0 D．loga3＜logb3
答案：AB
解析：因为函数y＝log3x为(0，＋∞)上的增函数，由log3a＜log3b可得b＞a＞0.
对于A选项，函数y＝3x为R上的增函数，则3a＜3b，A对；
对于B选项，函数y＝ 为R上的减函数，且a－b＜0，则a－b＞0＝1，B对；
对于C选项，b－a＞0，但b－a与1的大小关系不确定，故ln (b－a)与0的大小关系不确定，C错；
对于D选项，取a＝3，b＝9，则log33＝1＞＝log93，即loga3＞logb3，D错．
6．(多选题)(2023·合肥模拟)设a与b为实数，a＞0，且a≠1，已知函数f (x)＝loga(x＋b)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．a＝
B．b＝3
C．函数的定义域为(0，＋∞)
D．函数f (x)＝loga(x＋b)在(0，＋∞)上为增函数
答案：ABD
解析：有题意可知，
即，解得，AB选项正确；
∴f (x)＝，则x＋3＞0 x＞－3，
函数的定义域为(－3，＋∞)，C选项错误；
∵a＞1，函数在(0，＋∞)上为增函数，D选项正确．
故选ABD.
7．(2023·南昌二模)函数f (x)＝log2·的最小值为________．
答案：－
解析：依题意得f (x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝ －
，
当log2x＝－，即x＝时等号成立，所以函数f (x)的最小值为－.
8．(2022·广西模拟)已知函数f (x)满足①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；②值域为R；③f (－x)＝f (x).写出一个满足上述条件的函数：f (x)＝________.
答案：ln |x|(答案不唯一)
解析：f (x)＝ln |x|的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R，且f (－x)＝
ln |－x|＝ln |x|＝f (x)，因此f (x)＝ln |x|符合题意．
9．[原创题]已知f (x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f (x)＝ln (e－x)－ex.
(1)求f (1)；
(2)解不等式f (x2－x)＞f (2x)．
解：(1)因为f (x)是定义在R上的奇函数，
则f (1)＝－f (－1)＝－ln (e＋1)．
(2)当x≤0时，f (x)＝ln (e－x)－ex，因为y＝ln x为单调增函数，
根据复合函数单调性知y＝ln (e－x)为单调减函数，又因为y＝为单调减函数，
所以函数f (x)＝ln (e－x)－ex为单调减函数．
又因为f (x)是定义在R上的奇函数，
所以f (x)是在R上的单调减函数，
因为f (x2－x)＞f (2x)，
所以x2－x＜2x，解得0＜x＜3，
所以不等式的解集为{x|0＜x＜3}．
B级(综合创新练)
10．(2022·安徽模拟)已知函数f (x)＝|log2x|，当0＜m＜n时，f (m)＝f (n)，若f (x)"在[m2 ，n]上的最大值为2，则＝( )
A．2 B．
C．3 D．4
答案：D
解析：如图所示，根据函数f (x)＝|log2x|的图象，得0＜m＜1＜n，所以0＜m2＜m＜1.结合函数图象，易知当x＝m2时f (x)在[m2，n]上取得最大值，所以f (m2)＝|log2m2|＝2.
又0＜m＜1，所以m＝，再结合f (m)＝f (n)，可得n＝2，所以＝4.故选D.
11．(2023·西安调研)设函数f (x)的定义域为D，若满足①f (x)在D上是增函数，②存在[m，n] D(n＞m)，使得f (x)在[m，n]上的值域为[m，n]，那么就称y＝f (x)是定义域为D的“成功函数”．若函数g(x)＝loga(a2x＋t)(a＞0，且a≠1)是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是( )
A． B．
C． D．
答案：A
解析：解析：因为g(x)＝loga(a2x＋t)是定义在R上的“成功函数”，
所以g(x)为增函数，且g(x)在[m，n]上的值域为[m，n]，故g(m)＝m，g(n)＝n，即g(x)＝x有两个不相同的实数根．
又loga(a2x＋t)＝x，即a2x－ax＋t＝0.
令s＝ax，s＞0，即s2－s＋t＝0有两个不同的正数根，
可得解得0＜t＜.
12．(多选题)(2023·惠州模拟)已知函数f (x)＝ln (e2x＋1)－x，则( )
A．f (ln 2)＝ln
B．f (x)是奇函数
C．f (x)在(0，＋∞)上单调递增
D．f (x)的最小值为ln 2
答案：ACD
解析：f (ln 2)＝ln (e2ln 2＋1)－ln 2＝ln ，A正确；
f (x)＝ln (e2x＋1)－x＝ln (e2x＋1)－ln ex＝ln ＝ln (ex＋e－x)，
所以f (－x)＝ln (ex＋e－x)＝f (x)，所以f (x)为偶函数，B错误；
当x＞0时，y＝ex＋e－x在(0，＋∞)上单调递增，
因此y＝ln (ex＋e－x)在(0，＋∞)上单调递增，C正确；
由于f (x)在(0，＋∞)上单调递增，又f (x)为偶函数，
所以f (x)在(－∞，0]上单调递减，所以f (x)的最小值为f (0)＝ln 2，D正确．
13．(2023·郑州模拟)若函数f (x)＝loga有最小值，则实数a的取值范围是________．
答案：
解析：令u＝x2－ax＋＝2＋，
则u有最小值，
欲使函数f (x)＝loga有最小值，
则有，
解得1＜a＜，即实数a的取值范围为.
14．(2023·滨州二模)已知函数f (x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.
(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f (x)＋1]·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f (x2)·f ＞k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)h(x)＝(4－2log2x)log2x＝2－2(log2x－1)2.
因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，
故函数h(x)的值域为[0，2].
(2)由f (x2)·f ＞k·g(x)，
得(3－4log2x)(3－log2x)＞k·log2x，
令t＝log2x，因为x∈[1，4]，所以t＝log2x∈[0，2]，
所以(3－4t)(3－t)＞k·t对一切t∈[0，2]恒成立，
①当t＝0时，k∈R；
②当t∈(0，2]时，k＜恒成立，即k＜4t＋－15，
因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，
所以4t＋－15的最小值为－3，所以k＜－3.
综上，实数k的取值范围为(－∞，－3)．
