清北课堂1 抽象函数的性质及应用
【课时训练】
A级(基础应用练)
1．(2023·九江模拟)已知函数y＝f (x)的定义域为[－1，5]，则函数y＝f (2x2－1)的定义域为( )
A．[0，3] B．[－3，3]
C． D．[－3，0]
答案：C
解析：因为函数y＝f (x)的定义域为[－1，5]，
所以－1≤2x2－1≤5，即0≤x2≤3，解得－，
所以函数y＝f (2x2－1)的定义域为.故选C.
2．(2023·郑州外国语学校一模)已知函数f (x)＝，则函数的定义域为( )
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
C．(－∞，－1)∪(－1，0)
D．(－∞，－1)∪(－1，1)
答案：D
解析：因为f (x)＝，所以2x－4x＞0，解得x＜0，
所以函数f (x)的定义域为(－∞，0)，
所以函数需满足x－1＜0且x＋1≠0，解得x＜1且x≠－1，故选D.
3．(2021·全国甲卷)设f (x)是定义域为R的奇函数，且f (1＋x)＝f (－x)．若f＝，则＝( )
A．－ B．－
C． D．
答案：C
解析：由题意可得f ＝f＝f＝－f，
而f＝f＝f＝－f＝－，故＝.故选C.
4．(2023·东北师大附中模拟)已知f (x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且满足f (1－x)＝f (1＋x)．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )
A．－50 B．0
C．2 D．50
答案：C
解析：∵f (x＋4)＝f (－2－x)＝－f (x＋2)＝－f (－x)＝f (x)，∴函数f (x)的周期为4.
∵f (1)＝2，f (2)＝0，f (3)＝－2，f (4)＝0，
∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，
∴f (1)＋f (2)＋…＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2.
5．(2023·沧州二模)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋2)＝f (－x)，且在区间[1，＋∞)上单调递增，则满足f (1－x)＞f (x＋3)的x的取值范围为( )
A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－1，1) D．(－∞，1)
答案：B
解析：[常规解析]因为函数f (x)满足f (x＋2)＝f (－x)，所以f (x)的图象关于直线x＝1对称，又f (x)在区间[1，＋∞)上单调递增，所以f (x)在(－∞，1)上单调递减．
因为f (1－x)＞f (x＋3)，所以|(1－x)－1|＞|(x＋3)－1|，
即|－x|＞|x＋2|，平方后解得x＜－1，
所以x的取值范围为(－∞，－1)．故选B.
[模型解法]构造函数g(x)＝|x－1|，将f (1－x)＞f (x＋3)，
转化为|(1－x)－1|＞|(x＋3)－1|，化简可得x＜－1，故选B.
6．(多选题)(2023·合肥一六八中学模拟)已知函数f (x)的定义域为R，若f (x＋1)与f (x－1)都是偶函数，则( )
A．f (x)是偶函数
B．f (x)是奇函数
C．f (x＋3)是偶函数
D．f (x)＝f (x＋4)
答案：CD
解析：由题知函数f (x)的定义域为R，因为f (x＋1)是偶函数，所以f (－x＋1)＝
f (x＋1)，从而f (－x)＝f (x＋2)．
因为f (x－1)是偶函数，所以f (－x－1)＝f (x－1)，从而f (－x)＝f (x－2)，
于是f (x＋2)＝f (x－2)，f (x＋4)＝f (x)，所以f (x)是以4为周期的周期函数．
因为f (－x－1)＝f (x－1)，所以f (－x－1＋4)＝f (x－1＋4)，即f (－x＋3)＝
f (x＋3)，
所以f (x＋3)是偶函数．故选CD.
7．(2023·滁州第三次诊断性考试)若定义在R上的函数f (x)满足 x，y∈R，f (x＋y)＋f (x－y)＝2f (x)f (y)，且f (0)＝1，则满足上述条件的函数f (x)可以为____________．(写出一个即可)
答案：f (x)＝1(答案不唯一，f (x)＝cos ωx也可以)
解析：令x＝0，则f (y)＋f (－y)＝2f (y)，所以f (－y)＝f (y)，所以函数f (x)为偶函数，
可取f (x)＝1，则f (x＋y)＝f (x－y)＝f (x)＝f (y)＝1，
所以 x，y∈R，f (x＋y)＋f (x－y)＝2f (x)f (y)，
所以函数f (x)＝1符合题意．
8．(2023·哈尔滨九中模拟)已知函数y＝f (x)对任意x∈R都有f (x＋2)＝f (－x)成立，且函数y＝f (x－1)的图象关于点(1，0)对称，f (1)＝4，则f (2022)＋f (2023)＋f (2024)＝________．
答案：－4
解析：因为函数y＝f (x－1)的图象关于点(1，0)对称，
所以函数y＝f (x)的图象关于点(0，0)对称，即f (－x)＝－f (x)，
又因为f (x＋2)＝f (－x)，所以f (x＋2)＝－f (x)，即f (x＋4)＝f (x)，所以函数的周期为T＝4，又f (1)＝4，
所以f (2022)＋f (2023)＋f (2024)＝f (0)＋f (－1)＋f (0)＝－4.
9．设函数f (x)是在定义域(0，＋∞)上的增函数，且＝f (x)－f (y)．
(1)求f (1)的值；
(2)若f (6)＝1，求不等式f (x＋3)＋f≤2的解集.
解：(1)将x＝y＝1代入f ＝f (x)－f (y)，
得f (1)＝f (1)－f (1)，所以f (1)＝0.
(2)因为f (6)＝1，所以2＝f (6)＋f (6)，
于是f (x＋3)＋f≤2等价于f (x＋3)－f (6)≤f (6)－，即f≤f (6x)，
而函数f (x)是在定义域(0，＋∞)上的增函数，
所以，解得x≥，
因此满足已知条件的不等式的解集为［.
B级(综合创新练)
10．(2023·广安模拟)已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x＋2)＋f (x)＝0，且当x∈[0，1]时，f (x)＝log2(x＋1)，则( )
A．f (log27)＜f (－5)＜f (6)
B．f (log27)＜f (6)＜f (－5)
C．f (－5)＜f (log27)＜f (6)
D．f (－5)＜f (6)＜f (log27)
答案：C
解析：由f (x＋2)＋f (x)＝0，得f (x＋2)＝－f (x)，所以f (x＋4)＝f (x)，f (x)的周期T＝4.又f (－x)＝－f (x)，且有f (2)＝－f (0)＝0，
所以f (－5)＝－f (5)＝－f (1)＝－log22＝－1，f (6)＝f (2)＝0.
又2＜log27＜3，所以0＜log27－2＜1，即0＜log2＜1，
因为当x∈[0，1]时，f (x)＝log2(x＋1)∈[0，1]，
所以f (log27)＝－f (log27－2)＝－f ＝＝－log2
又1＜log2＜2，所以0＜log2＜1，
所以－1＜－log2＜0，
所以f (－5)＜f (log27)＜f (6)．故选C.
11. （多选题）（2024· 高考适应性测试）已知函数的定义域为，且，若，则（ ）
A. B.
C. 函数是偶函数 D. 函数是减函数
答案：ABD
解析：令,，则有，
又，故，即，令,，则有，
即，由，可得，
又，故，故A正确；
令，则有，即，故函数是奇函数，C错误；令，有，故B正确；
，即，函数是减函数，故D正确.
12．(多选题)(2023·襄阳四中期末)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x－1)的图象关于点(1，0)对称，f (x＋1)是偶函数，且f ＝1，则( )
A．f (x)为奇函数
B．f (x)的周期为2
C．f ＝1
D．f (x－2)是奇函数
答案：AD
解析：由于f (x－1)的图象关于点(1，0)对称，又将函数f (x－1)的图象向左平移1个单位长度后为f (x)的图象，所以f (x)的图象关于点(0，0)对称，即f (x)是奇函数．又f (x＋1)是偶函数，将函数f (x＋1)的图象向右平移1个单位长度后为f (x)的图象，所以f (x)的图象关于直线x＝1对称，即f (x)＝f (2－x)，所以f (x)＝－f (x－2)＝f (x－4)，所以函数f (x)的周期T＝4，所以选项A正确，选项B错误．
f ＝f＝f＝f＝f＝＝－1，故选项C错误．
对于选项D，f (x－2)＝－f (－x＋2)＝－f (－x＋2－4)＝－f (－x－2)，所以f (x－2)是奇函数，D正确．
故选AD.
13．(2023·武汉三模)已知函数f (x)的定义域D＝(0，＋∞)，且对任意x1，x2∈D，恒有f (x1x2)＝f (x1)＋f (x2)，当x＞1时，f (x)＜0，若f (2m－1)＞f (2－m2)，则m的取值范围是__________．
答案：
解析：[常规解析] x1，x2∈D，令x1＜x2，则＞1，而当x＞1时，f (x)＜0，
得f ，
所以f (x2)＝f ＝f (x1)＋f ＜f (x1)，
从而得f (x)在(0，＋∞)上单调递减，由f (2m－1)＞f (2－m2)得0＜2m－1＜2－m2，
又由0＜2m－1得m＞，由2m－1＜2－m2，即m2＋2m－3＜0，得－3＜m＜1，
则有＜m＜1，所以m的取值范围是.
[模型解法]由f (x1x2)＝f (x1)＋f (x2)想到函数y＝x，显然满足当x＞1时，f (x)＜0，由f (2m－1)＞f (2－m2)，可得0＜2m－1＜2－m2，解得＜m＜1，m的取值范围是.
14．已知当x≠0时，函数f (x)＞0，对任意实数x，y都有f (xy)＝f (x)f (y)，且
f (－1)＝1，f (27)＝9，当0≤x＜1时，f (x)∈[0，1)．
(1)判断f (x)的奇偶性；
(2)判断f (x)在[0，＋∞)上的单调性，并给出证明；
(3)若a≥0且f (a＋1)≤，求a的取值范围．
解：(1)令y＝－1，则f (－x)＝f (x)f (－1)，又f (－1)＝1，
∴f (－x)＝f (x)，f (x)为偶函数．
(2)设0≤x1＜x2，∴0≤＜1，f (x1)＝f＝
∵当0≤x＜1时，f (x)∈[0，1)，∴f故f (x)在[0，
＋∞)上是增函数．
(3)∵f (27)＝9，f (3×9)＝f (3)f (9)＝f (3)f (3)f (3)＝，
∴9＝[f (3)]3，f (3)＝，∵f (a＋1)≤，∴f (a＋1)≤f (3)．
∵a≥0，a＋1∈[0，＋∞)，3∈[0，＋∞)，∴a＋1≤3，即a≤2，又a≥0，故0≤a≤2.清北课堂1 抽象函数的性质及应用
【课时训练】
A级(基础应用练)
1．(2023·九江模拟)已知函数y＝f (x)的定义域为[－1，5]，则函数y＝f (2x2－1)的定义域为( )
A．[0，3] B．[－3，3]
C． D．[－3，0]
2．(2023·郑州外国语学校一模)已知函数f (x)＝，则函数的定义域为( )
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
C．(－∞，－1)∪(－1，0)
D．(－∞，－1)∪(－1，1)
3．(2021·全国甲卷)设f (x)是定义域为R的奇函数，且f (1＋x)＝f (－x)．若f＝，则＝( )
A．－ B．－
C． D．
4．(2023·东北师大附中模拟)已知f (x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且满足f (1－x)＝f (1＋x)．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )
A．－50 B．0
C．2 D．50
5．(2023·沧州二模)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋2)＝f (－x)，且在区间[1，＋∞)上单调递增，则满足f (1－x)＞f (x＋3)的x的取值范围为( )
A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－1，1) D．(－∞，1)
6．(多选题)(2023·合肥一六八中学模拟)已知函数f (x)的定义域为R，若f (x＋1)与f (x－1)都是偶函数，则( )
A．f (x)是偶函数
B．f (x)是奇函数
C．f (x＋3)是偶函数
D．f (x)＝f (x＋4)
7．(2023·滁州第三次诊断性考试)若定义在R上的函数f (x)满足 x，y∈R，f (x＋y)＋f (x－y)＝2f (x)f (y)，且f (0)＝1，则满足上述条件的函数f (x)可以为____________．(写出一个即可)
8．(2023·哈尔滨九中模拟)已知函数y＝f (x)对任意x∈R都有f (x＋2)＝f (－x)成立，且函数y＝f (x－1)的图象关于点(1，0)对称，f (1)＝4，则f (2022)＋f (2023)＋f (2024)＝________．
9．设函数f (x)是在定义域(0，＋∞)上的增函数，且＝f (x)－f (y)．
(1)求f (1)的值；
(2)若f (6)＝1，求不等式f (x＋3)＋f≤2的解集.
B级(综合创新练)
10．(2023·广安模拟)已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x＋2)＋f (x)＝0，且当x∈[0，1]时，f (x)＝log2(x＋1)，则( )
A．f (log27)＜f (－5)＜f (6)
B．f (log27)＜f (6)＜f (－5)
C．f (－5)＜f (log27)＜f (6)
D．f (－5)＜f (6)＜f (log27)
11. （多选题）（2024· 高考适应性测试）已知函数的定义域为，且，若，则（ ）
A. B.
C. 函数是偶函数 D. 函数是减函数
12．(多选题)(2023·襄阳四中期末)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x－1)的图象关于点(1，0)对称，f (x＋1)是偶函数，且f ＝1，则( )
A．f (x)为奇函数
B．f (x)的周期为2
C．f ＝1
D．f (x－2)是奇函数
13．(2023·武汉三模)已知函数f (x)的定义域D＝(0，＋∞)，且对任意x1，x2∈D，恒有f (x1x2)＝f (x1)＋f (x2)，当x＞1时，f (x)＜0，若f (2m－1)＞f (2－m2)，则m的取值范围是__________．
14．已知当x≠0时，函数f (x)＞0，对任意实数x，y都有f (xy)＝f (x)f (y)，且
f (－1)＝1，f (27)＝9，当0≤x＜1时，f (x)∈[0，1)．
(1)判断f (x)的奇偶性；
(2)判断f (x)在[0，＋∞)上的单调性，并给出证明；
(3)若a≥0且f (a＋1)≤，求a的取值范围．
