高 2023级半期考试数学答案
一．单选题（每题 5分共 40 分）
1-4.DACD 5-8.BAAC
二．多选题（选全得 5分，没选全得 2 分，有错误选项得 0 分）
9.AC 10.ABD 11.ABC 12.ABD
三．填空题（每题 5分）
29 13. 或0.725 14. ，2 1 315. 2，3 16.
40
，
2 2
四．解答题。（17题 10分，18-22 每题 12分）
17．(1){x | 5 x 5} (2) , 4 8,
【详解】（1）当 a 2时，集合 A x 5 x 1 ，
B x x 2由 2x 15 0 {x | x 3或x 5} , RB {x | 3 x 5}，
故： A RB {x | 5 x 5}；
（2）若“ x A ”是“ x B ”的充分条件，则 A B，
①当 A 时， a 3 a 1，a ；
②当 A 时，有a 1 3或 a 3 5，解得： a 4或 a 8，
综上，实数 a的取值范围是 , 4 8, ．
π 5π
18．(1)最小正周期为 π， kπ ,kπ ， k Z ． (2)[ 1,2] 3 6
2 2 3sin 2x 1 cos2x 1 cos2x【详解】（1） f (x) 2 3 sin x cos x sin x cos x
2 2
3 1 π
3 sin 2x cos 2x 2 sin 2x cos 2x 2sin
2x
，
2 2 6
因为T
2π 2π
π，所以 f (x)的最小正周期为 π .
2
令 2k
π π
2x 2kπ 3 π 5π π， k Z ，解得 kπ x kπ ， k Z ，
2 6 2 3 6
kπ π ,kπ 5π 所以函数 f (x)的单调减区间为 ， k Z． 3 6
π
（2）函数 f (x)的图象先向左平移 个单位得到 y 2sin
π π π
6
2 x 2sin 2x ，
6 6 6
1 π
将横坐标缩短为原来的 2 （纵坐标不变），得到
g(x) 2sin 4x ，
6
x π π π 7π 0,
时， 4x
, ，
4 6 6 6
{#{QQABbYSEogCAAIJAABhCQQFiCkEQkAAACIoGBFAMoAAASQFABCA=}#}
π 4x π π
π
所以当
时，解得 x 0, ，此时函数 g(x)为增函数；6 6 2 12
π 4x π 7π π π当 时，解得 x , ，此时函数 g(x)为减函数；2 6 6 12 4
π
所以函数 g(x)的单调递增区间为 0, ，单调递减区间为 , 12 12 4
，
π π
所以函数 g(x)的最大值为 g 2，又因为 g(0) 1， g 1，
12 4
所以函数 g(x)
π
的最小值为 g 1，所以 g(x)的值域为[ 1,2]．
4
19．(1) a b 1 (2)证明见解析
x
【详解】（1 3 b） 函数 f x x 是定义在 1,1 上的奇函数，且在 0处有定义，3 a
x
f 0 0 b 1 3 1， 0, b 1, f x ．
a 1 3 x a
x x x x
f x f x , 3 1 3 1, 3 1 3 1 x x , a 1 ．3 a 3 a 1 a 3x 3x a
经检验 a b 1符合题意.
x x
（2）由（1）得， f x 3 1 3 1 2 2 x x 1．3 1 3 1 3x 1
设 -1 x1 < x2 1，
x x x
2 2 2 3 2 1 2 3 1 1 2 3 2 3x1
则 f x1 f x2 x x ，3 1 1 3 2 1 3x1 1 3x2 1 3x1 1 3x2 1
1 x x 1, 3x2 3x1 0,3x1 1 0,3x21 2 1 0，
f x1 f x2 0，即 f x1 f x2 , 函数 f x 在区间 1,1 上单调递减．
20．(1)证明见解析 (2) a 2 3
【详解】（1）证明：由c cosB cosC c b cosC，及正弦定理，得
cosC sinB sinC sinC cosB cosC 0，即 sinBcosC cosBsinC 2sinCcosC，
即 sin B C sin2C .因为 A C B π，所以sin π A sin2C，
即 sinA sin2C .因为 A 0, π , 2C 0,2π ，所以 A 2C或 A 2C π .
因为 A 2C，所以 A 2C π，又 A C B π，所以 B C .
故 ABC是等腰三角形.
（2）解：因为b 4,c 2，即b c，则 B C .
{#{QQABbYSEogCAAIJAABhCQQFiCkEQkAAACIoGBFAMoAAASQFABCA=}#}
由（1）可得 A 2C .
因为 sinA sin2C，
所以 sinA 2sinCcosC .
由正弦定理，得 a 2ccosC .
2 2
cosC a b c
2 a2 b2a c
2
因为 ，所以 2c .
2ab 2ab
因为b 2c 4，
a2a 4 16 4所以 ，整理得 a2 12，
8a
因为 a 0，所以 a 2 3 .
80x 425,0 x 5
21．(1) P(x)
x 2 40x 200,5 x 20 ；
x 1600 300,x 20
x
(2)当 2024 年该型芯片产量为 40 万枚时利润最大，最大利润为 220 万元．
【详解】（1）（1）由题意可得， P x 80x V x ，
80x 300 125,0 x 5
所以 P(x) 80x 300 (x2 40x 100),5 x 20，
80x 300 (81x 1600 600), x 20
x
80x 425,0 x 5
即 P(x)
x 2 40x 200,5 x 20 .
1600 x 300,x 20
x
（2）当0 x 5时， P(x) P(5) 25；
当5 x 20时， P(x) x2 40x 200，对称轴 x = 20，P(x) P(20) 200；
当 x 20 x 1600 时，由基本不等式知 80x ，
x 1600当且仅当 ，即 x 40时等号成立，故 P(x)max 80 300 220，x
综上，当 2024 年该型芯片产量为 40 万枚时利润最大，最大利润为 220 万元．
22．(1)0
(2)证明见解析
{#{QQABbYSEogCAAIJAABhCQQFiCkEQkAAACIoGBFAMoAAASQFABCA=}#}
4 1
(3) , 9 2
【详解】（1）延长 AG交 BC于 D，则 D为 BC中点，
GB+GC 2GD ，
G是重心， GA 2GD ，
GA GB GC 2GD +2GD 0 ；
（2）设 AB a, AC b，
AP pPB， AP
p
a， a
1 p
AP
1+p p
AQ qQC， AQ
q 1 q
b b AQ
1+q ， q
2 AG AD 2 1
(AB 1 1 1 p 1 1 q
∵ AC ) a b AP AQ且 P,G,Q3 3 2 3 3 p 3 q 三点共线，
1 1 p 1 1 q 1 1
∴ 1 ( 1) ( 1) 33 p 3 q ，∴ p q
1 1
即 1p q ；
p q
（3）由（2） AP AB1+p ，
AQ AC
1+q ，
1
S AP AQ sin BAC2 AP AQ 1 1
p q
，
S2 AB AC sin BAC AB AC 1+p 1+q
2
1 1 p 1
p q ，
q
p 1，可知
p 1，
S p q p p p 2 1 1
1
S 1+p 1+q 1+p 2p 1 2p 2
1 1
2 p 1
2
1 1 ，
p2
2
p +
9
p 2 4
1
p 1， 0 1p ，
1 1 S 1 S
则当 1
4 1 1
p 2时， 取得最小值 ，当
1
S 时， 取得最大值 ，2 9 p S2 2
S
1 1 1 4 1
p ，则 S 的取值范围为
, .
2 9 2
{#{QQABbYSEogCAAIJAABhCQQFiCkEQkAAACIoGBFAMoAAASQFABCA=}#}
{#{QQABbYSEogCAAIJAABhCQQFiCkEQkAAACIoGBFAMoAAASQFABCA=}#}眉山市两校（丹棱中学校、青神中学校）2023-2024学年高一下学期期中考试
数学试题
总分：150分 考试时间：120分钟
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．设是定义域为的函数，命题“，”，则命题的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知函数则（ ）
A． B． C． D．
4．若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A． B． C． D．2
5．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．函数（）的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知非零向量，满足，设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充要条件
B．甲是乙的充分条件但不是必要条件
C．甲是乙的必要条件但不是充分条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8．在中，角所对的边分别是．已知，则（ ）
A． B． C．1 D．
二、多选题（部分选对得2分，选错0分，全对5分，共20分）
9．已知向量，则下列结论正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
10．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在单调递减
D．该图象向右平移个单位可得的图象
11. 若正实数满足，则下列结论中正确的有（ ）
A．的最小值为8． B．的最小值为
C．的最大值为． D．的最小值为．
12．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若，为的外心，则
D．若为的垂心，，则
三、填空题（每题5分，共20分）
13．已知平面向量，满足，，若，则向量，的夹角的余弦值为 ．
14．已知：是：的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ．
15．已知且，函数满足对任意不相等的实数x1，x2，都有
成立，则实数的取值范围 ．
16．在中，，若点为的中点，则的取值范围为 .
四、解答题（共6题，满分70分）
17．（10分）已知集合．
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
18．（12分）函数．
(1)求函数的最小正周期及单调递减区间；
(2)将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域．
19．（12分）已知函数是定义在上的奇函数．
(1)求的值；
(2)用定义法证明函数在上单调递减．
20．（12分）已知在中，角所对的边分别为.
(1)若，证明：是等腰三角形；
(2)若，求的值.
21．（12分）中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出.
(1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式.
（2）请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润.
22．（12分）已知中，过重心G的直线交边于P，交边于Q，设的面积为，的面积为，，.
(1)求；
(2)求证：.
(3)求的取值范围。
