湖南省岳阳市岳阳县长岭中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，，5 C．5，12，13 D．4，4，8
3．（3分）若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限，则k、b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＜0 D．k＜0，b＞0
4．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，则∠A的度数是（ ）
A．60° B．30° C．50° D．40°
5．（3分）一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是（ ）
A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
6．（3分）小东5分钟内共投篮60次，共进球15个，则小东进球的频率是（ ）
A．0.25 B．60 C．0.26 D．15
7．（3分）下列命题是假命题的是（ ）
A．有一组邻边相等的矩形是正方形
B．有一组邻边相等的四边形是平行四边形
C．有三个角是直角的四边形是矩形
D．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
8．（3分）我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直指算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”词写得很优美，其大意是：当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步（每一步为五尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺，当然这时秋千的绳索是呈直线状态，问这个秋千的绳索有多长？（ ）
A．14尺 B．14.5尺 C．15尺 D．无法计算
9．（3分）在方格纸上建立如图所示的平面直角坐标系，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O，则点A的对应点A′的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为（2，0）、（1，2），点B在第一象限，将直线y＝﹣2x沿y轴向上平移m（m＞0）个单位．若平移后的直线与边BC有交点，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜8 B．0＜m＜4 C．2＜m＜8 D．4≤m≤8
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）函数中自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 ．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点．若AB＝12，BC＝5，则BD＝ ．
14．（3分）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OB，如果PC＝6，那么点P到OA的距离等于 ．
15．（3分）如图，直线y1＝k1x+b1（k1≠0）与y2＝k2x+b2（k2≠0）的交点C的横坐标为2，则不等式y2≤y1的自变量x的取值范围是 ．
16．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD的交点为O，点E为BC边的中点，∠OCB＝30°，如果OE＝2，那么对角线BD的长为 ．
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝6，点P是AB边上的一点（异于A、B两点），过点P分别作AC，BC边的垂线，分别为M，N，连接MN，则MN的最小值是 ．
18．（3分）如图，已知正方形ABCD对角线的交点M的坐标为（2，2）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2024次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为 ．
三．解答题（共9小题，满分66分）
19．（4分）计算：．
20．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）．
21．（5分）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E，D分别为垂足，CF＝CB．求证：BE＝FD．
22．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣3，1），按下列要求作图．
（1）△ABC关于y轴对称的图形为△A1B1C1（点A、B、C分别对应A1、B1、C1），请画出△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
（3）求△A2B2C2的面积．
23．（7分）某中学的一个数学兴趣小组在本校学生中开展主题为“垃圾分类知多少”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查．问卷调查的结果分为A．“非常了解”、B．“比较了解”、C．“基本了解”、D．“不太了解”四个等级，划分等级后的数据整理成如下表格和频数分布直方图．
等级 频数 频率
非常了解 30 b
比较了解 0.25
基本了解 100 0.5
不太了解 20
合计 a 1
根据以上信息，请回答下列问题：
（1）表中a＝ ，b＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校有学生1800人，请根据调查结果估计这些学生中“不太了解”垃圾分类知识的人数．
24．（6分）如图，已知一次函数的图象经过点A（0，﹣4）与B（3，2），且与x轴交于点C．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求△BOC的面积．
25．（10分）如图，在直角△AEC中，∠AEC＝90°，B是边AE上一点，连接BC，O为AC的中点，过C作CD∥AB交BO延长线于D，且AC平分∠BCD，连接AD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）连接OE交BC于F，∠ACD＝27°，求∠CFO的度数．
26．（10分）随着共享单车与城市生活的深度融合，骑车绿色出行已成为市民日常．如图是某市公共自行车车桩的截面示意图如图，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB＝80cm，AD＝24cm，BC＝25cm．
（1）求CD的长；
（2）该市拟建A、B两类自行车位共100组，建A类车位每组需要3万元，建B类车位每组需要2.2万元，若该市建设A、B两类自行车位共投入资金不少于234万元，则至少建A类自行车位多少组？
27．（10分）已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：
①BD⊥CF．
②CF＝BC﹣CD．
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变，若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．
湖南省岳阳市岳阳县长岭中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
2．（3分）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，，5 C．5，12，13 D．4，4，8
【答案】C
3．（3分）若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限，则k、b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＜0 D．k＜0，b＞0
【答案】A
4．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，则∠A的度数是（ ）
A．60° B．30° C．50° D．40°
【答案】B
5．（3分）一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是（ ）
A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】D
6．（3分）小东5分钟内共投篮60次，共进球15个，则小东进球的频率是（ ）
A．0.25 B．60 C．0.26 D．15
【答案】A
7．（3分）下列命题是假命题的是（ ）
A．有一组邻边相等的矩形是正方形
B．有一组邻边相等的四边形是平行四边形
C．有三个角是直角的四边形是矩形
D．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
【答案】B
8．（3分）我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直指算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”词写得很优美，其大意是：当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步（每一步为五尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺，当然这时秋千的绳索是呈直线状态，问这个秋千的绳索有多长？（ ）
A．14尺 B．14.5尺 C．15尺 D．无法计算
【答案】B
9．（3分）在方格纸上建立如图所示的平面直角坐标系，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O，则点A的对应点A′的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
【答案】B
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为（2，0）、（1，2），点B在第一象限，将直线y＝﹣2x沿y轴向上平移m（m＞0）个单位．若平移后的直线与边BC有交点，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜8 B．0＜m＜4 C．2＜m＜8 D．4≤m≤8
【答案】D
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）函数中自变量x的取值范围是 x≥1 ．
【答案】见试题解答内容
12．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 6 ．
【答案】见试题解答内容
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点．若AB＝12，BC＝5，则BD＝ ．
【答案】．
14．（3分）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OB，如果PC＝6，那么点P到OA的距离等于 6 ．
【答案】见试题解答内容
15．（3分）如图，直线y1＝k1x+b1（k1≠0）与y2＝k2x+b2（k2≠0）的交点C的横坐标为2，则不等式y2≤y1的自变量x的取值范围是 x≥2 ．
【答案】x≥2．
16．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD的交点为O，点E为BC边的中点，∠OCB＝30°，如果OE＝2，那么对角线BD的长为 8 ．
【答案】见试题解答内容
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝6，点P是AB边上的一点（异于A、B两点），过点P分别作AC，BC边的垂线，分别为M，N，连接MN，则MN的最小值是 ．
【答案】．
18．（3分）如图，已知正方形ABCD对角线的交点M的坐标为（2，2）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2024次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为 （﹣2022，2） ．
【答案】（﹣2022，2）．
三．解答题（共9小题，满分66分）
19．（4分）计算：．
【答案】见试题解答内容
20．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）．
【答案】见试题解答内容
21．（5分）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E，D分别为垂足，CF＝CB．求证：BE＝FD．
【答案】证明见解答．
22．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣3，1），按下列要求作图．
（1）△ABC关于y轴对称的图形为△A1B1C1（点A、B、C分别对应A1、B1、C1），请画出△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
（3）求△A2B2C2的面积．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
（3）2．
23．（7分）某中学的一个数学兴趣小组在本校学生中开展主题为“垃圾分类知多少”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查．问卷调查的结果分为A．“非常了解”、B．“比较了解”、C．“基本了解”、D．“不太了解”四个等级，划分等级后的数据整理成如下表格和频数分布直方图．
等级 频数 频率
非常了解 30 b
比较了解 0.25
基本了解 100 0.5
不太了解 20
合计 a 1
根据以上信息，请回答下列问题：
（1）表中a＝ 200 ，b＝ 0.15 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校有学生1800人，请根据调查结果估计这些学生中“不太了解”垃圾分类知识的人数．
【答案】（1）200，0.15．
（2）图形见解答．
（3）估计这些学生中“不太了解”垃圾分类知识的人数为180人．
24．（6分）如图，已知一次函数的图象经过点A（0，﹣4）与B（3，2），且与x轴交于点C．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求△BOC的面积．
【答案】（1）y＝2x﹣4；
（2）2．
25．（10分）如图，在直角△AEC中，∠AEC＝90°，B是边AE上一点，连接BC，O为AC的中点，过C作CD∥AB交BO延长线于D，且AC平分∠BCD，连接AD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）连接OE交BC于F，∠ACD＝27°，求∠CFO的度数．
【答案】（1）证明见解析；
（2）99°．
26．（10分）随着共享单车与城市生活的深度融合，骑车绿色出行已成为市民日常．如图是某市公共自行车车桩的截面示意图如图，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB＝80cm，AD＝24cm，BC＝25cm．
（1）求CD的长；
（2）该市拟建A、B两类自行车位共100组，建A类车位每组需要3万元，建B类车位每组需要2.2万元，若该市建设A、B两类自行车位共投入资金不少于234万元，则至少建A类自行车位多少组？
【答案】（1）CD＝7cm
（2）至少建A类自行车位18组．
27．（10分）已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：
①BD⊥CF．
②CF＝BC﹣CD．
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变，若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．
【答案】（1）①②证明详见解析；
（2）CF＝BC+CD，理由详见解析；
（3）△AOC是等腰三角形，理由详见解析．
