单元检测五 平面向量与复数
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2023·南京模拟)已知复数z的共轭复数为，若zi＝2＋i(i为虚数单位)，则复数z的虚部为( )
A．－i B.i C．－ D.
2．(2023·重庆实验外国语学校模拟)已知复数z满足z(1＋i)＝|－i|(其中i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．在△ABC中，点M为边AB上一点，2＝，若3＝λ＋μ，则μ等于( )
A．3 B．2
C．1 D．－1
4．(2023·曲靖模拟)已知O为△ABC的重心，＝2，则等于( )
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
5．已知z∈C，且|z|＝1，则|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值是( )
A．2－1 B．2＋1
C. D．2
6．(2023·合肥联考)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB为其外接圆的直径，且AB＝2AD＝2，P为边BC的中点，则·等于( )
A．－ B．－2 C．－ D．－
7．(2024·南宁联考)已知△ABC的外心为M，且＝(＋)，||＝||，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B.
C. D．－
8．(2023·广东实验中学模拟)已知m，n为两个互相垂直的单位向量，|p|＝，则|2m＋n|＋|m＋4p|＋2|3m＋2n－p|的最小值为( )
A．3 B．5 C．6 D．7
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．(2023·江苏省镇江中学模拟)已知i是虚数单位，z为复数，则下列叙述正确的是( )
A．任意的z∈C，|z|＝||
B．若两个复数z1，z2满足|z1|＝|z2|，则z＝z
C．z－是纯虚数
D．满足＝－z的z有两个
10．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A．若＝＋，则点M是△ABC的重心
B．若＝2－，则点M在线段BC的延长线上
C．若2＝x＋y，且x＋y＝1，则△MBC的面积是△ABC面积的
D．已知平面向量·＝·，＝λ，则△ABC为等腰三角形
11．(2023·南京外国语学校模拟)半圆形量角器在第一象限内，且与x轴、y轴相切于D，E两点．设量角器直径AB＝4，圆心为C，点P为坐标系内一点．下列选项正确的有( )
A．C点坐标为(2,2)
B．|＋|＝2
C．cos∠AOB∈
D．若||2＋||2＋||2最小，则||＝
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．(2023·漯河模拟)向量a＝(1,2)，b＝(2＋m，3－m)，c＝(3m，1)，a∥(c－b)，则m＝________.
13．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为________．
14．(2024·武汉联考)已知矩形ABCD和一点E，AB＝4，AD＝9，且＝λ(λ>0且λ≠1)，连接AE交直线BC于点F，若△BEF的面积为6，则λ＝________.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(15分)已知a，b，c是同一平面内三个不同的向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且a∥c，求c；
(2)若|b|＝2，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)，求a·b的最小值，并求出此时a与b夹角的余弦值．
16．(15分)(2023·盐城市伍佑中学模拟)已知函数f(x)＝asin 2x＋cos 2x，且f(x)≤.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若O为坐标原点，复数z1＝－2－4i，z2＝－2＋f(t)i在复平面内对应的点分别为A，B，求△OAB面积的取值范围．
17．(15分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝1，AB＝AD＝3，E是BC的中点，设＝a，＝b.
(1)用a，b表示；
(2)若＝2，AE与CF交于点O，求cos∠AOF.
18．(17分)(2024·宝鸡模拟)如图，在△ABC中，点P满足＝2，O是线段AP的中点，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F.
(1)若＝，求的值；
(2)若＝λ(λ>0)，＝μ(μ>0)，求＋的最小值．
19．(17分)已知a＝，b＝，c＝，且x∈.
(1)求a·b，a·c及|a＋b|；
(2)求函数f(x)＝2a·c＋|a＋b|的单调递增区间；
(3)若函数g(x)＝a·b＋2k|a＋b|的最小值是－，求k的值．
单元检测五 平面向量与复数
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2023·南京模拟)已知复数z的共轭复数为，若zi＝2＋i(i为虚数单位)，则复数z的虚部为( )
A．－i B.i C．－ D.
答案 D
解析 设z＝a＋bi，a，b∈R，则＝a－bi，
∵zi＝2＋i，
∴(a＋bi)i＝2(a－bi)＋i，
即－b＋ai＝2a＋(1－2b)i，
即解得
∴z＝－＋i，
故复数z的虚部为.
2．(2023·重庆实验外国语学校模拟)已知复数z满足z(1＋i)＝|－i|(其中i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 因为z(1＋i)＝|－i|，所以z(1＋i)＝＝2，所以z＝＝1－i，
复数z在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)，位于第四象限．
3．在△ABC中，点M为边AB上一点，2＝，若3＝λ＋μ，则μ等于( )
A．3 B．2
C．1 D．－1
答案 C
解析 由2＝得＝，
所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
所以3＝2＋，即μ＝1.
4．(2023·曲靖模拟)已知O为△ABC的重心，＝2，则等于( )
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
答案 B
解析 因为＝2，所以＝，则＝，
取BC的中点E，连接AE，则＝，
又＝(＋)，
所以＝×(＋)＝(＋)＝＝＋.
5．已知z∈C，且|z|＝1，则|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值是( )
A．2－1 B．2＋1
C. D．2
答案 A
解析 ∵|z|＝1且z∈C，作图如图，
∵|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，
∴|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝2－1.
6．(2023·合肥联考)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB为其外接圆的直径，且AB＝2AD＝2，P为边BC的中点，则·等于( )
A．－ B．－2 C．－ D．－
答案 D
解析 由题意，∠BAD＝60°，四边形ABCD为等腰梯形，以A为原点建立平面直角坐标系如图，则A(0,0)，B(2,0)，C，D，所以P，所以＝，又＝，所以·＝－.
7．(2024·南宁联考)已知△ABC的外心为M，且＝(＋)，||＝||，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B.
C. D．－
答案 A
解析 在△ABC中，由＝(＋)，得点M为线段AC的中点，而M为△ABC的外心，
则MA＝MB＝MC，即有∠ABC＝90°，又||＝||，则△AMB为正三角形，因此∠A＝60°，∠C＝30°，
所以·＝||||cos C＝||2·cos 30°＝||2，
所以向量在向量上的投影向量为·＝·＝.
8．(2023·广东实验中学模拟)已知m，n为两个互相垂直的单位向量，|p|＝，则|2m＋n|＋|m＋4p|＋2|3m＋2n－p|的最小值为( )
A．3 B．5 C．6 D．7
答案 B
解析 因为m，n为两个互相垂直的单位向量，
所以不妨设m＝(1,0)，n＝(0,1)，因为|p|＝，可设p＝(x，y)，其中x2＋y2＝，
则2m＋n＝(2,1)，m＋4p＝(4x＋1,4y)，3m＋2n－p＝(3－x，2－y)，
所以|2m＋n|＝＝，|m＋4p|＝＝＝＝2，
2|3m＋2n－p|＝2，
设d1＝，d2＝，
则|2m＋n|＋|m＋4p|＋2|3m＋2n－p|＝＋2(d1＋d2)，
其中d1表示点(x，y)与点(－1,0)的距离，d2表示点(x，y)与点(3,2)的距离，
如图，设点(－1,0)与点(3,2)所在的直线为l，则其方程为＝，即y＝(x＋1)，
联立x2＋y2＝，
解得或
即当或时，d1＋d2取得最小值＝2，
此时|2m＋n|＋|m＋4p|＋2|3m＋2n－p|＝＋2(d1＋d2)＝5，即所求的最小值为5.
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．(2023·江苏省镇江中学模拟)已知i是虚数单位，z为复数，则下列叙述正确的是( )
A．任意的z∈C，|z|＝||
B．若两个复数z1，z2满足|z1|＝|z2|，则z＝z
C．z－是纯虚数
D．满足＝－z的z有两个
答案 AD
解析 选项A，令z＝a＋bi，a，b∈R，则＝a－bi，|z|＝＝||，A正确；
选项B，|z1|＝|z2|，如|3＋4i|＝|3－4i|，则z≠z，B错误；
选项C，z－＝a＋bi－(a－bi)＝2bi，当b＝0时，z－不是纯虚数，C错误；
选项D，＝－z，则z2＝－1，所以z＝±i，D正确．
10．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A．若＝＋，则点M是△ABC的重心
B．若＝2－，则点M在线段BC的延长线上
C．若2＝x＋y，且x＋y＝1，则△MBC的面积是△ABC面积的
D．已知平面向量·＝·，＝λ，则△ABC为等腰三角形
答案 ACD
解析 对于A，设BC的中点为D，若＝＋＝(＋)＝×2＝，
则点M是△ABC的重心，故A正确；
对于B，若＝2－，即有－＝－，即＝，
则点M在边CB的延长线上，故B错误；
对于C，延长AM交BC于点N，若2＝x＋y，且x＋y＝1，
由图可得M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的，故C正确；
对于D，因为·＝·，所以·(＋)＝·(＋)，
即·＝·，
所以||||cos(π－∠BAM)＝||||cos(π－∠CAM)，
即||||cos∠BAM＝||||cos∠CAM，
因为＝λ，所以点M在∠BAC的平分线上，
所以∠BAM＝∠CAM，所以cos∠BAM＝cos∠CAM，
所以||＝||，所以△ABC为等腰三角形，故D正确．
11．(2023·南京外国语学校模拟)半圆形量角器在第一象限内，且与x轴、y轴相切于D，E两点．设量角器直径AB＝4，圆心为C，点P为坐标系内一点．下列选项正确的有( )
A．C点坐标为(2,2)
B．|＋|＝2
C．cos∠AOB∈
D．若||2＋||2＋||2最小，则||＝
答案 ACD
解析 由题意得，量角器与x轴、y轴相切于D，E两点，且AB＝4，则C(2,2)，故A正确；
由A可知，C(2,2)，则||＝＝2，则|＋|＝|(＋)＋(＋)|
＝|2|＝2×2＝4，故B错误；
设A(x，y)，则＝(2,2)，＝(x－2，y－2)，
则·＝2x＋2y－8，记t＝2|·|，
则t＝2|2x＋2y－8|＝4|x＋y－4|，
又(x＋y)∈[2,6]，则(x＋y－4)∈[－2,2]，
即|x＋y－4|∈[0,2]，即t∈[0,8]，
则cos∠AOB＝
＝
＝
＝∈，故C正确；
设P(x，y)，因为＝＋，＝＋，
所以||2＋||2＋||2
＝2(||2＋||2)＋||2
＝2[(x－2)2＋(y－2)2＋4]＋x2＋y2
＝3(x2＋y2)－8(x＋y)＋24
≥－8(x＋y)＋24，
当且仅当x＝y时等号成立，令x＋y＝m，
则m2－8m＋24在m＝，即x＋y＝时取得最小值，
所以当x＝y＝时，||＝，故D正确．
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．(2023·漯河模拟)向量a＝(1,2)，b＝(2＋m，3－m)，c＝(3m，1)，a∥(c－b)，则m＝________.
答案
解析 由题意可得c－b＝(2m－2，m－2)，又a∥(c－b)，所以1×(m－2)＝2(2m－2)，解得m＝.
13．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为________．
答案 4
解析 ∵|z－4i|＝|z＋2|，
∴＝，
即x＋2y＝3，
则2x＋4y＝2x＋22y≥2＝4，
当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时，等号成立．
14．(2024·武汉联考)已知矩形ABCD和一点E，AB＝4，AD＝9，且＝λ(λ>0且λ≠1)，连接AE交直线BC于点F，若△BEF的面积为6，则λ＝________.
答案 或
解析 我们分以下两种情形来解决，情形一：如图1所示，
图1
当＝λ，0<λ<1时，有△FCE∽△ADE，DE＝4λ，EC＝4－4λ，
所以有＝，即＝，
解得CF＝9，
此时BF＝CF＋BC＝9＋9＝，
由题意，S△BEF＝EC·BF＝×(4－4λ)×＝6，
解得λ＝；
情形二：如图2所示，
图2
当＝λ，λ>1时，有△ABF∽△ECF，DE＝4λ，EC＝4λ－4，
所以有＝，BF＋CF＝BC＝9，即＝，
解得BF＝，由题意，S△BEF＝EC·BF＝×(4λ－4)×＝6，解得λ＝.
综上所述，若△BEF的面积为6，则λ＝或λ＝.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(15分)已知a，b，c是同一平面内三个不同的向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且a∥c，求c；
(2)若|b|＝2，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)，求a·b的最小值，并求出此时a与b夹角的余弦值．
解 (1)因为a＝(1,2)，且a∥c，所以设c＝λa＝(λ，2λ)，
所以|c|＝＝2，
解得λ＝±2，
所以c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)由|ka＋b|＝|a－kb|，得(ka＋b)2＝2(a－kb)2，
所以k2a2＋2ka·b＋b2＝2(a2－2ka·b＋k2b2)，
因为|a|＝，|b|＝2，可得6ka·b＝3k2＋6，
因为k>0，所以a·b＝＋≥2＝，
当且仅当＝，即k＝时等号成立．
所以(a·b)min＝.
设a与b的夹角为θ，则此时cos θ＝.
16．(15分)(2023·盐城市伍佑中学模拟)已知函数f(x)＝asin 2x＋cos 2x，且f(x)≤.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若O为坐标原点，复数z1＝－2－4i，z2＝－2＋f(t)i在复平面内对应的点分别为A，B，求△OAB面积的取值范围．
解 (1)∵f(x)≤，即当x＝－时函数f(x)取到最值，
又f(x)＝asin 2x＋cos 2x＝sin(2x＋φ)≤，
其中tan φ＝(a≠0)，
∴2＝a2＋1，
代入得2＝a2＋1，
即2＝a2＋1，∴(a＋)2＝0，
解得a＝－，
f(x)＝－sin 2x＋cos 2x＝－2sin.
(2)由(1)可得，f(x)＝－2sin，
由复数的几何意义知，
A(－2，－4)，B(－2，f(t))，
∴S△OAB＝×2×AB＝AB＝|f(t)＋4|＝－2sin＋4，
当2t－＝2kπ－，k∈Z，
即t＝kπ－，k∈Z时，S△OAB有最大值6；
当2t－＝2kπ＋，k∈Z，
即t＝kπ＋，k∈Z时，S△OAB有最小值2，
∴S△OAB∈[2,6]．
17．(15分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝1，AB＝AD＝3，E是BC的中点，设＝a，＝b.
(1)用a，b表示；
(2)若＝2，AE与CF交于点O，求cos∠AOF.
解 (1)由题意得，＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋＝＋(＋)
＝＋
＝＋＝a＋b.
所以＝a＋b.
(2)因为O，F，C三点共线，所以设＝λ(0<λ<1)，
所以＝＋＝＋λ
＝＋λ(－)
＝＋λ(＋－)
＝＋λ
＝＋λ＝a＋λb，
因为A，O，E三点共线，所以设＝t(0
所以解得
所以＝a＋b，＝－a－b，
＝－＝a－a－b＝a－b，
因为AB⊥AD，所以a·b＝0，
2＝2＝2
＝＝4，所以||＝2，
2＝2
＝2＝＝，
所以||＝，
所以cos∠AOF＝
＝
＝＝.
18．(17分)(2024·宝鸡模拟)如图，在△ABC中，点P满足＝2，O是线段AP的中点，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F.
(1)若＝，求的值；
(2)若＝λ(λ>0)，＝μ(μ>0)，求＋的最小值．
解 (1)因为＝2，
所以＝＋＝＋
＝＋(＋)＝＋，
因为O是线段AP的中点，
所以＝＝＋，
设＝x，则有＝＋，
因为C，O，E三点共线，所以＋＝1，
解得x＝，即AE＝AB，
所以EB＝AB，所以＝.
(2)因为＝＋
＝＋λ＝(1＋λ)，
同理可得＝(1＋μ)，
由(1)可知，＝＝＋，
所以＝＋，
因为E，O，F三点共线，所以＋＝1，
即2λ＋μ＝3，
所以＋＝(2λ＋μ)
＝≥＝，
当且仅当μ＝λ，即μ＝3－3，λ＝时等号成立，
所以＋的最小值为.
19．(17分)已知a＝，b＝，c＝，且x∈.
(1)求a·b，a·c及|a＋b|；
(2)求函数f(x)＝2a·c＋|a＋b|的单调递增区间；
(3)若函数g(x)＝a·b＋2k|a＋b|的最小值是－，求k的值．
解 (1)因为a＝，
b＝，c＝，
所以a·b
＝·
＝cos 2x.
a·c
＝·
＝sin＝sin x.
|a＋b|
＝
＝＝＝2|cos x|.
又因为x∈，所以|a＋b|＝2cos x.
(2)函数f(x)＝2a·c＋|a＋b|
＝2sin x＋2cos x＝2sin.
令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，因为x∈，所以－≤x≤，
即函数f(x)＝2a·c＋|a＋b|的单调递增区间是.
(3)由函数g(x)＝a·b＋2k|a＋b|
＝cos 2x＋4kcos x＝2cos2x＋4kcos x－1
＝2(cos2x＋2kcos x＋k2)－2k2－1
＝2(cos x＋k)2－2k2－1的最小值是－，
且0≤cos x≤1得，当k≤－1，cos x＝1时，g(x)有最小值，
即2(1＋k)2－2k2－1＝－，
解得k＝－，不符合题意；
当－1
当k≥0，cos x＝0时，g(x)有最小值，
即2k2－2k2－1＝－，此方程无解．
综上所述，当k＝－时，函数g(x)＝a·b＋2k·|a＋b|的最小值是－.
