1.2矩形的性质与判定
第一课时
典型例题
1.如图,延长矩形ABCD的边 BC 至点 E,使CE=BD,连接AE。
(1)若∠ADB=40°,求∠E的度数;
(2)若AB=3,CE=5,求AE的长。
变式训练
2.如图,在矩形ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,AE 平分∠BAD 交 BC 于点 E,若
(1)求∠ACB的度数;
(2)求∠BOE 的度数。
3.如图,矩形 ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O，分别过C，D两点作BD，AC的平行线，相交于点 E，求证：四边形OCED是菱形。
夯实基础
1.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠BOC=120°,BO=4,则矩形的边 BC的长是( )
A.6
B.8
2.矩形具有而菱形不一定具有的性质是 ( )
A.对角线互相垂直 B.四条边相等
C.对角线互相平分 D.对角线相等
3.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OB,若AD=4,∠AOD=60°,则AB的长为( )
A. B.2 C.8 D.3
4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为点 D,点 E 是AB 的中点,CD=DE=a，则AB的长为 ( )
A.2a C.3a
5.如图,在矩形ABCD 中,对角线 BD的垂直平分线MN 与 AD 相交于点M,与 BD 相交于点O,与 BC 相交于点 N,连接 BM,DN。
(1)求证:四边形 BMDN是菱形;
(2)若AB=4,AD=8,求△BMD的面积。
拓展提升
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点P 为 AB 边上任一点，过P 分别作PE⊥AC,垂足为点E,PF⊥BC,垂足为点 F,则线段 EF 的最小值是 。
7.在矩形 ABCD 中,点 E 在 BC 上. DF⊥AE,垂足为点 F,DF=AB。
(1)求证:AE=BC;
(2)若∠FDC=30°,且AB=4,连接 DE,求∠DEF的大小和AD 的长。
8.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD 上的点,AE=CF,连接EF,BF,EF 与对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC。
(1)求证:OE=OF;
(2)若 求 AB的长。
第二课时
典型例题
如图,在□ABCD中，对角线 AC 与BD 相交于点 O,在不添加任何辅助线和字母的情况下，请添加一个条件，使得□ABCD变为矩形，需要添加的条件可以是 。(写出一个即可)
答案:答案不唯一,如 AC=BD 或∠ABC=90°等。
变式训练
2.如图,在四边形ABCD中,已知AB∥CD,AB=DC，在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形为矩形，只需加上一个条件是 (填上你认为正确的一个答案即可)。
3.如图,在四边 形 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AB∥CD,AB=CD,且∠OCB=∠ADO。求证：四边形ABCD是矩形。
4.如图,□ABCD的对角线AC 和BD 相交于点O,∠BOC=2∠OAB=120°,求证:□ABCD是矩形。
5.如图,BD,BE 分别是∠ABC 与它的邻补角∠ABP 的平分线,AE⊥BE,AD⊥BD，垂足分别为点E,D。求证:四边形AEBD是矩形。
6.如图，已知点M为平行四边形的边AD 的中点，且 。求证：四边形ABCD 是矩形。
夯实基础
1.给□ABCD添加下列条件后，仍不能使它成为矩形的是 ( )
A. AB⊥BC B. AC=BD
C.∠A=∠B D. BC=CD
2.工人师傅在制作门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，请根据所学知识，写出其中应用的矩形的判定定理： 。
3.如图,在 ABCD 中,BE 平分∠ABC,且与AD边交于点E,∠AEB=45°,求证:四边形ABCD 是矩形。
4.如图,在 ABCD中,对角线 AC,BD 相交于点O,且OA=OB。求证:四边形 ABCD 是矩形。
拓展提升
5.如图,在△ABC 中,点 D 是 AC 边的中点,过点 D作直线PQ∥BC,作∠BCA 的平分线交直线PQ 于点 E,点 G 是△ABC 的边 BC 延长线上一点，作∠ACG 的平分线交直线 PQ于点 F,连接AE,AF。求证:四边形 AECF是矩形。
6.如图,在□ABCD 中,E,F分别为边AB,DC 的中点,连接 ED,EC,EF,作CG∥DE,交 EF 的延长线于点G,连接 DG。
(1)求证：四边形 DECG是平行四边形；
(2)当 DE 平分∠ADC 时,求证:四边形DECG 是矩形。
第三课时
典型例题
1.在矩形 ABCD中，两条对角线 AC,BD 相交于点 O,若AB = OB = 4, 则 AD = 。
变式训练
2.如图,在矩形ABCD中,对角线 AC,BD 相交于点O,∠AOD=60°,AD=2,则矩形ABCD的面积是 。
3.如图,在矩形ABCD 中,E 为 AD 的中点。求证:∠EBC=∠ECB。
4.如图,矩形 ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,点E,F 在 BD 上,BE=DF。求证:AE=CF。
5.如图,在矩形ABCD中,DE∥CA,AE∥BD。
(1)求证:四边形 AODE 是菱形；
(2)若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是 ,请证明。
6.如图,△ABC是等腰三角形,AC=BC,点D,E分别是AB,AC的中点,延长 DE 至点 F,使 EF=DE,连接CD,CF和AF。
(1)求证:四边形ADCF是矩形;
(2)如果∠B=60°,AC=6,求矩形ADCF 的面积。
夯实基础
1.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD,∠OAD=55°,则∠OAB的度数为( )
A.35° B.40° C.45° D.50°
2.如图所示，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点 A 落在A'处，BC为折痕，然后再把 BE折过去，使之与BA'重合，折痕为BD,若∠ABC=56°,则∠E'BD 的度数是( )
A.29° B.32° C.34° D.56°
3.已知四边形 ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°，对角线AC，BD相交于点O。下列结论一定成立的是 ( )
A. AC⊥BD B. AC=BD
C. AB=BC D. AB=AC
4.如图,□ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,△OAB是等边三角形。
(1)求证:□ABCD 为矩形;
(2)若AB=4,求□ABCD的面积。
拓展提升
5.如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,且有一点 P 从点 B 沿着 BD 往点 D 移动,若过点 P作AB 的垂线交AB 于点E,过点 P 作AD 的垂线交 AD 于点F，则EF长度的最小值为多少 ( )
A. B. C.5 D.7
6.如图，在菱形ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点O,过点A作AE⊥BC,垂足为点 E,延长 BC到点 F,使CF=BE,连接DF。
(1)求证:四边形AEFD是矩形;
(2)若AD=10,EC=4,求AC和EO的长度。
