江西省2025届九年级阶段评估（一）
数 学
说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟．
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内． 错选、多选或未选均不得分．
1．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若函数的图象是一条抛物线，且开口向上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若是关于的一元二次方程的解，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
4．在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．开学第一节班会课，九（1）班全体学生每两人之间互赠“祝福卡”，祝福学业进步，身心健康．已知共赠“祝福卡”1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，那么可列方程（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向的平面直角坐标系中标记了5个格点，已知网格的单位长度为1，若二次函数的图象经过其中3个格点，则最多可画出二次函数图象的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．抛物线的对称轴为______________.
8．若方程是关于的一元二次方程，则的值为______________.
9．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得到的抛物线的解析式为______________.
10．已知一元二次方程的两根分别为，，若，则的值为______________.
11．如图，一个小球在并不光滑但均匀的水平地面上滚动，下表是小球s内滚动的路程（单位：m）的一些数据：
时间1/s 0 1 2 3 5
路程s/m 0 3.6 6.4 8.4 10
已知是关于的二次函数，则当时，的值为______________.
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的负半轴交于点，点在轴正半轴上，，为直线上一点，过点作直线轴，直线交抛物线于点，当的长为时，点的坐标为______________.
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）解方程：.
（2）已知函数，求当时，函数的值．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧，与轴交于点．连接，，求的面积．
15．下面是某老师讲解一元二次方程的解法时，在黑板上的板书过程．
（1）请将该老师的解题过程补充完整．
（2）该老师说，解一元二次方程的方法不止一种，请你用另一种方法解该方程．
解方程：
16．已知点在二次函数的图象上．
（1）求的值．
（2）若点，，都在二次函数的图象上，请将，，直接用“<”连接起来．
17．在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线如图所示．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）。
（1）在图1中作一菱形．
（2）在图2中作一矩形．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．已知直角三角形的两边长分别是方程的两个根．
（1）若这两边是该直角三角形的直角边，求这个直角三角形的周长．
（2）求这个直角三角形的面积．
19．在平面直角坐标系中，抛物线上有不重合的两点，，它们的坐标分别为，．
（1）若该抛物线与轴交于点，求该抛物线的解析式。
（2）当时，求的值.
20．追本溯源
题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，并利用类似方法完成题（2）．
（1）无论取何值，方程总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由．
变式拓展
（2）无论取何值，方程总有两个不等的实数根吗？给出答案 并说明理由．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．当前，南昌市正在全力推进城市水环境治理攻坚行动，通过建设雨水、污水独立的管网及其附属设施，改善城市水环境、水生态．如图，这是施工的某工程队在工地利用互相垂直的两面墙、，另两边用铁栅栏围成一个矩形场地，中间再用铁栅栏分割成四个小矩形，已知铁栅栏总长180米，墙的长为100米，墙的长为60米．设米．
（1）的长为____________米，矩形的面积为____________平方米．
（2）矩形的面积能等于1800平方米吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由。
（3）矩形的面积能等于2100平方米吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
22．在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分。
（1）求该抛物线的解析式．
（2）求该抛物线的顶点坐标．
（3）斜坡上点处有一棵树，是的中点，小球恰好越过树的顶端，直线轴，横、纵坐标的每个单位长度均为1米．求这棵树的高度．
六、解答题（本大题共12分）
23．综合与实践
如图1，是以为斜边的等腰直角三角形，四边形是矩形，点，，，在同一条直线上，，将沿射线向左平移，得到，点，，的对应点分别为点，，．平移的速度为1个单位长度/秒．
设平移的时间为秒，与矩形重叠部分的面积为．
特例感知
当时，的值恰好变为0．
（1）的长为______________.
规律探究
（2）①求出与之间的函数解析式，并直接写出的取值范围；
②在如图2所示的平面直角坐标系中，画出①中所求得函数（含自变量取值范围）的图象．
数学思考
（3）请直接写出满足的所有的值．
江西省2025届九年级阶段评估（一）数学参考答案
1．C 2．D 3．A 4．B 5．C
6．D
提示：如图，二次函数的图象可以经过格点，，或，，或，，或，，或，，或，，，共6种，故最多可画出二次函数图象的个数为6．
7．直线 8．1 9．（或写成）
10． 11．9.6
12．或或
13．（1）（解法不唯一，正确即可）解：，
或，
， 3分
（2）解：当时，．
……………………………………………………………………3分
14．解：当时，，
∴点的坐标为， 2分
当时，，
解得，，
， 4分
6分
15．解：（1），
，
，. 3分
（2），，，
，
，. 6分
16．解：（1）将点代入，得，
解得. 3分
（2） 6分
17．解：（1）如图1，菱形即所求． ……………………………3分
（1）如图2，矩形即所求．……………………………6分
18．解：（1）解方程， 得， 2分
由题意可得该直角三角形的斜边长为， ………3分
∴这个直角三角形的周长为．………4分
（2）分类讨论：①若这两边是该直角三角形的直角边，则这个直角三角形的面积为；
②若该直角三角形的斜边长为6，则这个直角三角形的另一直角边长为
∴这个直角三角形的面积为.
综上所述，这个直角三角形的面积为12或……………………8 分
19．解：（1）将点代入，得
解得
∴该抛物线的解析式为. 4分
（2）由题意得当时，，
解得.…………………………………………………………8分
20．解：（1）方程总有两个不等的实数根…………………………………1分
理由：原方程整理，得，
……………………2分
∵无论取何值，，
∴，
，即原方程总有两个不等的实数根． ………………………4分
（2）方程总有两个不等的实数根．……………………………………5分
理由：原方程整理，得，
，
，
………………………………………… 6 分
设，∴原方程可化为，
，
∴原方程总有两个不等的实数根……………………………………8 分
21．解：（1）；． ………………………………… 2分
（2）能．由题意，得，
整理，得，
解得或． 4分
当时，，不符合题意，舍去； 5分
当时，，符合题意．
答：若矩形的面积等于1800平方米，的长为30米． 6分
（3）不能．理由：由题意，得，
整理，得，
， 8分
∴原方程无实数根．
答：矩形的面积不能等于2100平方米． 9分
22．解：（1）将点代入抛物线，得，
解得
∴该抛物线的解析式为 2分
（2）∵抛物线，
∴该抛物线的顶点坐标为 5分
（3）如图，过点作轴的垂线，垂足为，取的中点，连接，．
∵点的坐标为，，．
是的中点，是的中点，
是的一条中位线，，
∴点的坐标为． 6分
将代入，得
∴点的坐标为， 8分
答：这棵树的高度是米． 9分
23．解：（1）4． 2分
（2）①根据题意，分类讨论：当时，与矩形并未重叠，；
当时，如图1，与矩形的重叠部分是以为直角边的等腰直角三角形．
∵，；……………………………………3分
当时，如图2，与矩形的重叠部分是以为直角边的等腰直角三角形，
4分
当时，如图3，与矩形的重叠部分是四边形．
是以为直角边的等腰直角三角形，，
6分
综上所述， 7分
②画出①中所求得函数（含自变量取值范围）的图象如图4所示． 10分
（3）或． 12分
