广东省深圳市福田区深圳市高级中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题
1．（2024八上·福田期末）实数的相反数是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：实数的相反数是．
故选：B．
【分析】 根据相反数的定义，互为相反数的两个数和为 0，或者一个数的相反数就是在这个数前面加上 “-” 号（0 除外），本题直接对取相反数即可.
2．（2024八上·福田期末）的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：
故选：B．
【分析】 根据立方根的定义，；
3．（2024八上·福田期末）已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
4．（2024八上·福田期末）下列命题中真命题是（ ）
A．三内角之比为的三角形是直角三角形
B．三角形的外角等于两个内角的和
C．若有意义，则
D．
【答案】A
【知识点】无理数的估值；二次根式有意义的条件；三角形的外角性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A．三内角之比为的三角形中最大内角为，即三角形是直角三角形，A符合题意；
B．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，故选项错误，B不符合题意；
C．若有意义，则，则不一定成立，故选项错误，C不符合题意；
D． ，3.87<4，所以， 所以 D不符合题意．
故选：A．
【分析】对于三角形内角问题，可通过设未知数结合内角和定理求解；对于三角形外角，直接利用其性质判断；对于二次根式有意义的问题，根据被开方数的取值范围分析；对于数的大小比较，可通过估算等方法进行；
5．（2024八上·福田期末）学校篮球场上初三（1）班5名同学正在比赛，将场上五名队员的身高绘制成如图所示的统计图，其中“△”是换人前五名队员的身高，“●”是换人后五名队员的身高，与换人前相比，换人后场上队员的身高( )
A．平均数不变，方差变小 B．平均数不变，方差变大
C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：换人前平均身高为：，
换人后平均身高为：，
换人前的方差为：
，
换人前的方差为：
，
∵，，
∴平均数不变，方差变大，故B正确．
故选：B．
【分析】根据公式分别计算换人前后的平均数和方差，然后进行比较，一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差，分别求出换人前后的平均数和方差进行比较．
6．（2024八上·福田期末）《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的 ，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的 ，则乙也有50钱.问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设甲、乙的持钱数分别为x，y，
根据题意可得： ，
故答案为：B.
【分析】设甲、乙的持钱数分别为x，y，根据甲若得到乙所有钱的 ，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的 ，则乙也有50钱，分别列出方程，联立求解即可.
7．（2024八上·福田期末）某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如图所示（收支差额车票收入支出费 用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变支出费用，提高车票价格；建议(Ⅱ)不改变车票价格，减少支出费用.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则下列说法正确的是：
A．①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）
B．②反映了建议（Ⅰ)，④反映了建议（Ⅱ）
C．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）
D．②反映了建议（Ⅱ），④反映了建议（Ⅰ）
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】∵建议（Ⅰ）是不改变支出费用，提高车票价格；也就是也就是图形增大倾斜度，提高价格，∴③反映了建议（Ⅰ），
∵建议（Ⅱ）是不改变车票价格，减少支出费用，也就是y增大，车票价格不变，即平行于原图象，
∴①反映了建议（Ⅱ）．
故选C．
【分析】首先要理解收支差额y与载客量x的函数关系：y=车票收入-支出费用，其中车票收入与单价和载客量有关(车票收入=单价×载客量)；建议(Ⅰ)提高车票价格，在函数图象上体现为斜率增大(因为单价提高)，而支出费用不变体现为截距不变；建议(Ⅱ)减少支出费用，在函数图象上体现为截距变小，而车票价格不变体现为斜率不变.
8．（2024八上·福田期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线，交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作法得平分，
∴
设
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴，解得
∴
故选：C．
【分析】主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质和三角形内角和定理；首先根据等腰三角形的性质设出角的度数，然后利用角平分线的性质和等腰三角形的性质找出角之间的关系，最后通过列方程求解；
9．（2024八上·福田期末）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，C为线段（端点除外）上一动点，点D与点C关于x轴对称，过点C作x轴的平行线交的延长线于点F，则线段的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图所示，连接交x轴于点G，作轴，交x轴于点E．
根据题意可知，．
∵，，
∴≌，
∴，
∴．
当时，最小，即最小．
当时，；当时，，
∴点，点，
∴，，
根据勾股定理，得．
∴，
即，
解得，
则，
∴线段的最小值是．
故选：B．
【分析】这道题主要考查了一次函数与坐标轴的交点、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及三角形面积公式的应用；首先求出直线y=2x+4与x轴、y轴的交点A、B的坐标；根据题意得出CG=DG=EF，CO=DO，证明，得到DO=FO，从而得出DF=2DO=2CO；因为当CO⊥AB时，CO最小，此时DF最小；通过求出A、B坐标，利用勾股定理求出AB的长度，再根据三角形面积公式求出CO的长度，进而得到DF的最小值；
10．（2024八上·福田期末）如图，四边形中，，且，若，则（ ）
A．6 B．9 C．12 D．16
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：记交于点，如图所示：
，
，，
，
，
，
即，
，
，
，
，
即，
．
故选：D．
【分析】这道题主要考查了勾股定理和三角形面积公式的应用；依据勾股定理，在直角三角形ABO和BCO中，得出AB2-AO2=BO2和BC2-CO2=BO2，所以得到AB2-AO2=BC2-CO2；已知AB=8，且AC=BC=BD，得出CO=AC-AO=BD-AO，进而得出BD·AO=32；最后根据三角形面积公式，代入得出.
11．（2024八上·福田期末）点关于轴对称的点坐标为 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：点坐标为
点关于轴对称的点坐标为
故答案为：．
【分析】这道题主要考查了关于轴对称的点的坐标变化规律； 因为关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，所以直接将-2变为2，横坐标3不变.
12．（2024八上·福田期末）某市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1 是某共享单车放在水平地面上的实物图，其示意图如图2所示，都与地面l平行，与平行．已知，则 ．
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵与平行
∴
∵
∴
∵都与地面l平行
∴
∴
故答案为：．
【分析】这道题主要考查平行线的性质；通过两直线平行，内错角相等得出∠ACB = 72°，再算出∠ACD = 130°，又因 AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAC = 50°.
13．（2024八上·福田期末）如图，已知函数和图象交于点P，点P的纵坐标为，则关于x、y的方程组的解是 ．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：把代入
解得
函数和的图象交于点
即，同时满足两个一次函数的解析式
所以关于，的方程组的解是
故答案为：．
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，已知点P的纵坐标为1.5，且点P在函数y=-x+1上，根据代入计算可得x=-0.5，则两个一次函数的交点； 而关于x、y的方程组的解就是交点坐标，所以可得.
14．（2024八上·福田期末）如图，直线：与坐标轴交于A、B两点，点D为第一象限内一点，连接且轴，过点且平行于x轴的直线l交于点C，交于点F，连接，，将沿着直线翻折，得到，点E正好落在直线l上，若，则的长为 ．
【答案】5
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；轴对称的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
由题意得：，
∵，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
解得：
故答案为：
【分析】本题考查了翻折的性质以及勾股定理的应用，通过面积公式求出 CE 的长度，利用勾股定理求出 AD 的长度，进而得出 CD 的长度，再根据直角三角形 CDF 中的勾股定理列出关于 EF 的方程求解.
15．（2024八上·福田期末）如图，在中，，，D为边上一点，，垂足为E，F在上，且，若，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点作，交延长线于点，
∵，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；过点B作BG⊥AF，交AF延长线于点G；先根据垂直关系和角度关系得出∠BAG=∠CBE，进而证明，由全等三角形性质可得BG=CE，AG=BE；再结合等腰三角形两腰相等的性质得出FG=BG，利用勾股定理算出BF，最后通过线段的加减运算得出EF的长度.
16．（2024八上·福田期末）计算：．
【答案】【解答】解：原式
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的混合运算；幂的乘方运算；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】分别对式子中的每一项进行计算，利用二次根式乘法法则，根据负数奇次幂为负，根据绝对值性质计算，最后将结果相加减.
17．（2024八上·福田期末）（1）解方程组：．
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）解：
由，得
由，得
把代入①得，解得
∴原方程组的解是
（2）解：
去分母得：
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
化系数为1得：
原不等式的解集为
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）通过消元法来求解；先从一个方程中用含一个未知数的式子表示另一个未知数，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个未知数的值，再将求得的值代回求出另一个未知数的值；
（2）通过通分去掉分母，再进行去括号、移项、合并同类项等操作，最后求出不等式的解集.
18．（2024八上·福田期末）“感受数学魅力，提升数学素养”，某校在其举办的数学文化节上开展了趣味数学知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，90分及90分以上为优秀），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：
A：，B：，C：．下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩为：74，75，84，84，84，86，86，95，95，97；
八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：81，82，84，88，88．
两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
学生 平均数 中位数 众数
七年级 86 85 b
八年级 86 a 88
抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若八年级共有500名学生参赛，估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数．
【答案】（1）86；84；30%
（2）解：八年级的成绩更好，因为两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均高于七年级，所以八年级的成绩更好.
（3）（名）
答：估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数约150名．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意知八年级10名学生的竞赛成绩中，A等级有（名），C等级有（名），处于中间的两个成绩是84和88，故； 七年级10名学生的竞赛成绩中，众数；八年级10名学生的竞赛成绩中，等级C有3名，．
故答案为：，，．
【分析】（1）将数据从小到大排序后，中间位置的数就是中位数，对于八年级数据排序后中间数是84；对于众数，出现次数最多的数就是众数，七年级中84出现次数最多；根据扇形图中B等级的比例求出人数，进而确定m的值；
（2）通过比较平均数、众数等统计量来分析两个年级的成绩情况；
（3）先算出抽取样本中优秀人数的比例，再用总人数乘以该比例得到估计的优秀人数．
19．（2024八上·福田期末）刻漏是人类最早制造的不完全依赖天象、相对独立运行的计时仪器．刻漏以水等液体（也有少数例外，如水银或沙等）为工作物质，根据流水的量与流逝时间的对应关系，通过漏壶中的水量变化来度量时间的．我国使用刻漏的时间非常早，最早可追溯到中国历史上第一个王朝—夏朝（大约公元前2070年），约在汉武帝时期发明了浮箭漏．如图所示为单级浮箭漏示意图．某兴趣小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：
【实验观察】实验小组通过观察，每1小时记录一次箭尺读数，得到如表：
供水时间x（小时） 0 1 2 3 4
箭尺读数y（厘米） 6 12 18 24 30
【探索发现】
（1）在所给的平面直角坐标系中，描出以供水时间x为横坐标，箭尺读数y为纵坐标的各点．
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
（3）供水时间达到10小时时，箭尺的读数为多少厘米？
（4）如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）
【答案】解：（1）根据题意，画出图形，如图
（2）观察上述各点的分布规律，得它们在同一条直线上
设这条直线所对应的函数表达式为
根据题意得：
解得：
∴这条直线所对应的函数表达式为
（3）当时，
∴供水时间达到10小时时，箭尺的读数为66厘米
（4）当时，，解得：
∴供水时间为15小时
∵本次实验记录的开始时间是上午，
∴当箭尺读数为96厘米时是．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）依据表格中的供水时间和箭尺读数数据，在平面直角坐标系中准确找到对应的坐标点进行描点操作即可；
（2）利用直线函数的一般形式，通过选取两个已知点代入方程来确定k和b的值，进而得到函数表达式，并据此判断这些点是否在同一直线上；
（3）把供水时间值代入已求得的函数表达式中，计算出对应的箭尺读数；
（4）把将给定的箭尺读数代入函数表达式，反求出对应的供水时间，再结合初始时间计算出具体时刻．
20．（2024八上·福田期末）我校举办艺术节活动，对表现优秀的同学进行表彰奖励，计划购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知3本甲型笔记本和5本乙型笔记本共需50元，2本甲型笔记本和3本乙型笔记本共需31元．
（1）求1本甲型笔记本和1本乙型笔记本的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种类型的笔记本共200本，要求甲型笔记本的本数不超过乙型笔记本的本数的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并求出花费最低的钱数．
【答案】（1）解：设1本甲型笔记本的售价是x元，1本乙型笔记本的售价是y元，
，
解得，
答：1本甲型笔记本的售价是5元，1本乙型笔记本的售价是7元；
（2）解：设购买甲型笔记本a本，则购买乙型笔记本本，费用为w元，，
∵要求甲型笔记本的本数不超过乙型笔记本的本数的3倍，
∴，
解得，，
∵，
∴W随x的增大而减小，
∴当时，w取得最小值，此时，，
答：当购买甲型笔记本150本，乙型笔记本50本时最省钱，最低费用为1100元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】这道题主要考查了二元一次方程组的解法、不等式的应用和一次函数的性质；（1）设出甲型和乙型笔记本的单价，根据给出的两种购买组合的总价列出方程组，然后通过代入消元法求解方程组得到单价；
（2）根据甲型笔记本数量不超过乙型笔记本数量的3倍列出不等式，确定甲型笔记本数量的取值范围；再根据总花费列出函数表达式，根据函数的单调性求出最小花费及对应的购买方案.
21．（2024八上·福田期末）[综合实践]请阅读下面材料完成相应的任务．
借助“鲁班尺”三等分角
如图1，“鲁班尺”也称为“木工尺”．木工师傅中有人找到了利用“鲁班尺”三等分任一角的方法．
如图2，在与尺边垂直的尺边上取一点C，使等于尺宽．如图3，任意画一个角，先用班尺画一条到的距离等于尺宽且与平行的直线l，如图4，将鲁班尺绕点O旋转并反复调整，使点A落在直线l上，点C落在上，且尺边经过点O，则沿尺边画出的直线和三等分．
[任务1]在图4中，过点A作，垂足为G．
①比较大小：______（填“＞、＝或＜”）．
②证明：和三等分．
[任务2]爱动脑筋的某同学受到阅读材料中借助“鲁班尺”三等分角方法的启发，想到了通过折叠长方形纸片三等分一个已知角的方法，他的前2个操作步骤如下：
步骤1：如图5，在长方形纸片上折出任意角．将长方形对折，折痕记为，再将长方形对折，折痕记为，展开长方形；
步骤2：如图6，将长方形沿着折叠，点B的对应点恰好落在上，再移动位置并调整使点E的对应点恰好落在上，若，请根据这位同学的操作过程求的度数．
【答案】解：[任务1]①
②证明：∵，
∴
在与中
∴
∴
在与中
∴
∴
∴
∴和OA三等分．
[任务2]如下图，连接，过点作，
∵，
∴
由翻折可知：，
∴
又∵
∴，
又∵
∴
又在长方形中
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；直角三角形全等的判定-HL；全等三角形的应用；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：[任务1]①由，是尺宽，
∴；
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，全等三角形的实际应用，熟练的构建几何模型并作出辅助线是解本题的关键；
（1）①由，是尺宽，从而可得答案；②通过证明多个三角形全等，逐步推导出I和OA三等分∠EOF；根据SAS(边角边)定理，可得，所以∠BOC=∠BOA，结合前面∠AOB=∠AOG（根据HL证明得出），所以和OA三等分．
（2）利用折叠性质得到BE=BE'且BE=B'E'=2BG，进而推出BJ=BG；在长方形GBK'B'中，根据HL定理证明，得出∠JBB'=∠B'BK；已知∠CBM=48°，根据折叠和全等关系得和，所以可算出∠BE'F=74°.
22．（2024八上·福田期末）如图，中，，E点为射线上一动点，连接，作且．
（1）如图1，过F点作交于D点，求证：；
（2）如图2，连接交于G点，若，求证：E点为中点；
（3）当E点在射线上，连接与直线交于G点，若，则 （直接写出结果）．
【答案】（1）解：
在和中
∴
（2）解：如图2，过F点作交AC于D点
在和中，
，
∴点为中点；
（3）6
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；比例的性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（3）过F作的延长线交于点D，如
，
由(1)(2)知∶，
【分析】（1）先证明△ADF是等腰直角三角形，得出AD=FD，再通过角的关系证明，从而得到EC=AD，CD=DF，进而得出EC+CD=DF；
（2）通过作辅助线过F点作交于D点，再结合（1）中结论，利用 AAS 即可证明，进而得出边的相等关系，再结合已知的比例关系推导出所求点为中点；
（3）过F作的延长线交于点D，由，，， ，由（1）（2）可知，，可得，所以即可求得的值．
广东省深圳市福田区深圳市高级中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题
1．（2024八上·福田期末）实数的相反数是（ ）
A．3 B． C． D．
2．（2024八上·福田期末）的值为（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2024八上·福田期末）已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·福田期末）下列命题中真命题是（ ）
A．三内角之比为的三角形是直角三角形
B．三角形的外角等于两个内角的和
C．若有意义，则
D．
5．（2024八上·福田期末）学校篮球场上初三（1）班5名同学正在比赛，将场上五名队员的身高绘制成如图所示的统计图，其中“△”是换人前五名队员的身高，“●”是换人后五名队员的身高，与换人前相比，换人后场上队员的身高( )
A．平均数不变，方差变小 B．平均数不变，方差变大
C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大
6．（2024八上·福田期末）《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的 ，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的 ，则乙也有50钱.问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024八上·福田期末）某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如图所示（收支差额车票收入支出费 用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变支出费用，提高车票价格；建议(Ⅱ)不改变车票价格，减少支出费用.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则下列说法正确的是：
A．①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）
B．②反映了建议（Ⅰ)，④反映了建议（Ⅱ）
C．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）
D．②反映了建议（Ⅱ），④反映了建议（Ⅰ）
8．（2024八上·福田期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线，交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八上·福田期末）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，C为线段（端点除外）上一动点，点D与点C关于x轴对称，过点C作x轴的平行线交的延长线于点F，则线段的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024八上·福田期末）如图，四边形中，，且，若，则（ ）
A．6 B．9 C．12 D．16
11．（2024八上·福田期末）点关于轴对称的点坐标为 ．
12．（2024八上·福田期末）某市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1 是某共享单车放在水平地面上的实物图，其示意图如图2所示，都与地面l平行，与平行．已知，则 ．
13．（2024八上·福田期末）如图，已知函数和图象交于点P，点P的纵坐标为，则关于x、y的方程组的解是 ．
14．（2024八上·福田期末）如图，直线：与坐标轴交于A、B两点，点D为第一象限内一点，连接且轴，过点且平行于x轴的直线l交于点C，交于点F，连接，，将沿着直线翻折，得到，点E正好落在直线l上，若，则的长为 ．
15．（2024八上·福田期末）如图，在中，，，D为边上一点，，垂足为E，F在上，且，若，，则的长为 ．
16．（2024八上·福田期末）计算：．
17．（2024八上·福田期末）（1）解方程组：．
（2）求不等式的解集．
18．（2024八上·福田期末）“感受数学魅力，提升数学素养”，某校在其举办的数学文化节上开展了趣味数学知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，90分及90分以上为优秀），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：
A：，B：，C：．下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩为：74，75，84，84，84，86，86，95，95，97；
八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：81，82，84，88，88．
两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
学生 平均数 中位数 众数
七年级 86 85 b
八年级 86 a 88
抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若八年级共有500名学生参赛，估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数．
19．（2024八上·福田期末）刻漏是人类最早制造的不完全依赖天象、相对独立运行的计时仪器．刻漏以水等液体（也有少数例外，如水银或沙等）为工作物质，根据流水的量与流逝时间的对应关系，通过漏壶中的水量变化来度量时间的．我国使用刻漏的时间非常早，最早可追溯到中国历史上第一个王朝—夏朝（大约公元前2070年），约在汉武帝时期发明了浮箭漏．如图所示为单级浮箭漏示意图．某兴趣小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：
【实验观察】实验小组通过观察，每1小时记录一次箭尺读数，得到如表：
供水时间x（小时） 0 1 2 3 4
箭尺读数y（厘米） 6 12 18 24 30
【探索发现】
（1）在所给的平面直角坐标系中，描出以供水时间x为横坐标，箭尺读数y为纵坐标的各点．
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
（3）供水时间达到10小时时，箭尺的读数为多少厘米？
（4）如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）
20．（2024八上·福田期末）我校举办艺术节活动，对表现优秀的同学进行表彰奖励，计划购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知3本甲型笔记本和5本乙型笔记本共需50元，2本甲型笔记本和3本乙型笔记本共需31元．
（1）求1本甲型笔记本和1本乙型笔记本的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种类型的笔记本共200本，要求甲型笔记本的本数不超过乙型笔记本的本数的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并求出花费最低的钱数．
21．（2024八上·福田期末）[综合实践]请阅读下面材料完成相应的任务．
借助“鲁班尺”三等分角
如图1，“鲁班尺”也称为“木工尺”．木工师傅中有人找到了利用“鲁班尺”三等分任一角的方法．
如图2，在与尺边垂直的尺边上取一点C，使等于尺宽．如图3，任意画一个角，先用班尺画一条到的距离等于尺宽且与平行的直线l，如图4，将鲁班尺绕点O旋转并反复调整，使点A落在直线l上，点C落在上，且尺边经过点O，则沿尺边画出的直线和三等分．
[任务1]在图4中，过点A作，垂足为G．
①比较大小：______（填“＞、＝或＜”）．
②证明：和三等分．
[任务2]爱动脑筋的某同学受到阅读材料中借助“鲁班尺”三等分角方法的启发，想到了通过折叠长方形纸片三等分一个已知角的方法，他的前2个操作步骤如下：
步骤1：如图5，在长方形纸片上折出任意角．将长方形对折，折痕记为，再将长方形对折，折痕记为，展开长方形；
步骤2：如图6，将长方形沿着折叠，点B的对应点恰好落在上，再移动位置并调整使点E的对应点恰好落在上，若，请根据这位同学的操作过程求的度数．
22．（2024八上·福田期末）如图，中，，E点为射线上一动点，连接，作且．
（1）如图1，过F点作交于D点，求证：；
（2）如图2，连接交于G点，若，求证：E点为中点；
（3）当E点在射线上，连接与直线交于G点，若，则 （直接写出结果）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：实数的相反数是．
故选：B．
【分析】 根据相反数的定义，互为相反数的两个数和为 0，或者一个数的相反数就是在这个数前面加上 “-” 号（0 除外），本题直接对取相反数即可.
2．【答案】B
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：
故选：B．
【分析】 根据立方根的定义，；
3．【答案】C
【知识点】不等式的性质
4．【答案】A
【知识点】无理数的估值；二次根式有意义的条件；三角形的外角性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A．三内角之比为的三角形中最大内角为，即三角形是直角三角形，A符合题意；
B．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，故选项错误，B不符合题意；
C．若有意义，则，则不一定成立，故选项错误，C不符合题意；
D． ，3.87<4，所以， 所以 D不符合题意．
故选：A．
【分析】对于三角形内角问题，可通过设未知数结合内角和定理求解；对于三角形外角，直接利用其性质判断；对于二次根式有意义的问题，根据被开方数的取值范围分析；对于数的大小比较，可通过估算等方法进行；
5．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：换人前平均身高为：，
换人后平均身高为：，
换人前的方差为：
，
换人前的方差为：
，
∵，，
∴平均数不变，方差变大，故B正确．
故选：B．
【分析】根据公式分别计算换人前后的平均数和方差，然后进行比较，一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差，分别求出换人前后的平均数和方差进行比较．
6．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设甲、乙的持钱数分别为x，y，
根据题意可得： ，
故答案为：B.
【分析】设甲、乙的持钱数分别为x，y，根据甲若得到乙所有钱的 ，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的 ，则乙也有50钱，分别列出方程，联立求解即可.
7．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】∵建议（Ⅰ）是不改变支出费用，提高车票价格；也就是也就是图形增大倾斜度，提高价格，∴③反映了建议（Ⅰ），
∵建议（Ⅱ）是不改变车票价格，减少支出费用，也就是y增大，车票价格不变，即平行于原图象，
∴①反映了建议（Ⅱ）．
故选C．
【分析】首先要理解收支差额y与载客量x的函数关系：y=车票收入-支出费用，其中车票收入与单价和载客量有关(车票收入=单价×载客量)；建议(Ⅰ)提高车票价格，在函数图象上体现为斜率增大(因为单价提高)，而支出费用不变体现为截距不变；建议(Ⅱ)减少支出费用，在函数图象上体现为截距变小，而车票价格不变体现为斜率不变.
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作法得平分，
∴
设
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴，解得
∴
故选：C．
【分析】主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质和三角形内角和定理；首先根据等腰三角形的性质设出角的度数，然后利用角平分线的性质和等腰三角形的性质找出角之间的关系，最后通过列方程求解；
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图所示，连接交x轴于点G，作轴，交x轴于点E．
根据题意可知，．
∵，，
∴≌，
∴，
∴．
当时，最小，即最小．
当时，；当时，，
∴点，点，
∴，，
根据勾股定理，得．
∴，
即，
解得，
则，
∴线段的最小值是．
故选：B．
【分析】这道题主要考查了一次函数与坐标轴的交点、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及三角形面积公式的应用；首先求出直线y=2x+4与x轴、y轴的交点A、B的坐标；根据题意得出CG=DG=EF，CO=DO，证明，得到DO=FO，从而得出DF=2DO=2CO；因为当CO⊥AB时，CO最小，此时DF最小；通过求出A、B坐标，利用勾股定理求出AB的长度，再根据三角形面积公式求出CO的长度，进而得到DF的最小值；
10．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：记交于点，如图所示：
，
，，
，
，
，
即，
，
，
，
，
即，
．
故选：D．
【分析】这道题主要考查了勾股定理和三角形面积公式的应用；依据勾股定理，在直角三角形ABO和BCO中，得出AB2-AO2=BO2和BC2-CO2=BO2，所以得到AB2-AO2=BC2-CO2；已知AB=8，且AC=BC=BD，得出CO=AC-AO=BD-AO，进而得出BD·AO=32；最后根据三角形面积公式，代入得出.
11．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：点坐标为
点关于轴对称的点坐标为
故答案为：．
【分析】这道题主要考查了关于轴对称的点的坐标变化规律； 因为关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，所以直接将-2变为2，横坐标3不变.
12．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵与平行
∴
∵
∴
∵都与地面l平行
∴
∴
故答案为：．
【分析】这道题主要考查平行线的性质；通过两直线平行，内错角相等得出∠ACB = 72°，再算出∠ACD = 130°，又因 AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAC = 50°.
13．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：把代入
解得
函数和的图象交于点
即，同时满足两个一次函数的解析式
所以关于，的方程组的解是
故答案为：．
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，已知点P的纵坐标为1.5，且点P在函数y=-x+1上，根据代入计算可得x=-0.5，则两个一次函数的交点； 而关于x、y的方程组的解就是交点坐标，所以可得.
14．【答案】5
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；轴对称的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
由题意得：，
∵，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
解得：
故答案为：
【分析】本题考查了翻折的性质以及勾股定理的应用，通过面积公式求出 CE 的长度，利用勾股定理求出 AD 的长度，进而得出 CD 的长度，再根据直角三角形 CDF 中的勾股定理列出关于 EF 的方程求解.
15．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点作，交延长线于点，
∵，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；过点B作BG⊥AF，交AF延长线于点G；先根据垂直关系和角度关系得出∠BAG=∠CBE，进而证明，由全等三角形性质可得BG=CE，AG=BE；再结合等腰三角形两腰相等的性质得出FG=BG，利用勾股定理算出BF，最后通过线段的加减运算得出EF的长度.
16．【答案】【解答】解：原式
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的混合运算；幂的乘方运算；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】分别对式子中的每一项进行计算，利用二次根式乘法法则，根据负数奇次幂为负，根据绝对值性质计算，最后将结果相加减.
17．【答案】（1）解：
由，得
由，得
把代入①得，解得
∴原方程组的解是
（2）解：
去分母得：
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
化系数为1得：
原不等式的解集为
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）通过消元法来求解；先从一个方程中用含一个未知数的式子表示另一个未知数，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个未知数的值，再将求得的值代回求出另一个未知数的值；
（2）通过通分去掉分母，再进行去括号、移项、合并同类项等操作，最后求出不等式的解集.
18．【答案】（1）86；84；30%
（2）解：八年级的成绩更好，因为两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均高于七年级，所以八年级的成绩更好.
（3）（名）
答：估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数约150名．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意知八年级10名学生的竞赛成绩中，A等级有（名），C等级有（名），处于中间的两个成绩是84和88，故； 七年级10名学生的竞赛成绩中，众数；八年级10名学生的竞赛成绩中，等级C有3名，．
故答案为：，，．
【分析】（1）将数据从小到大排序后，中间位置的数就是中位数，对于八年级数据排序后中间数是84；对于众数，出现次数最多的数就是众数，七年级中84出现次数最多；根据扇形图中B等级的比例求出人数，进而确定m的值；
（2）通过比较平均数、众数等统计量来分析两个年级的成绩情况；
（3）先算出抽取样本中优秀人数的比例，再用总人数乘以该比例得到估计的优秀人数．
19．【答案】解：（1）根据题意，画出图形，如图
（2）观察上述各点的分布规律，得它们在同一条直线上
设这条直线所对应的函数表达式为
根据题意得：
解得：
∴这条直线所对应的函数表达式为
（3）当时，
∴供水时间达到10小时时，箭尺的读数为66厘米
（4）当时，，解得：
∴供水时间为15小时
∵本次实验记录的开始时间是上午，
∴当箭尺读数为96厘米时是．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）依据表格中的供水时间和箭尺读数数据，在平面直角坐标系中准确找到对应的坐标点进行描点操作即可；
（2）利用直线函数的一般形式，通过选取两个已知点代入方程来确定k和b的值，进而得到函数表达式，并据此判断这些点是否在同一直线上；
（3）把供水时间值代入已求得的函数表达式中，计算出对应的箭尺读数；
（4）把将给定的箭尺读数代入函数表达式，反求出对应的供水时间，再结合初始时间计算出具体时刻．
20．【答案】（1）解：设1本甲型笔记本的售价是x元，1本乙型笔记本的售价是y元，
，
解得，
答：1本甲型笔记本的售价是5元，1本乙型笔记本的售价是7元；
（2）解：设购买甲型笔记本a本，则购买乙型笔记本本，费用为w元，，
∵要求甲型笔记本的本数不超过乙型笔记本的本数的3倍，
∴，
解得，，
∵，
∴W随x的增大而减小，
∴当时，w取得最小值，此时，，
答：当购买甲型笔记本150本，乙型笔记本50本时最省钱，最低费用为1100元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】这道题主要考查了二元一次方程组的解法、不等式的应用和一次函数的性质；（1）设出甲型和乙型笔记本的单价，根据给出的两种购买组合的总价列出方程组，然后通过代入消元法求解方程组得到单价；
（2）根据甲型笔记本数量不超过乙型笔记本数量的3倍列出不等式，确定甲型笔记本数量的取值范围；再根据总花费列出函数表达式，根据函数的单调性求出最小花费及对应的购买方案.
21．【答案】解：[任务1]①
②证明：∵，
∴
在与中
∴
∴
在与中
∴
∴
∴
∴和OA三等分．
[任务2]如下图，连接，过点作，
∵，
∴
由翻折可知：，
∴
又∵
∴，
又∵
∴
又在长方形中
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；直角三角形全等的判定-HL；全等三角形的应用；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：[任务1]①由，是尺宽，
∴；
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，全等三角形的实际应用，熟练的构建几何模型并作出辅助线是解本题的关键；
（1）①由，是尺宽，从而可得答案；②通过证明多个三角形全等，逐步推导出I和OA三等分∠EOF；根据SAS(边角边)定理，可得，所以∠BOC=∠BOA，结合前面∠AOB=∠AOG（根据HL证明得出），所以和OA三等分．
（2）利用折叠性质得到BE=BE'且BE=B'E'=2BG，进而推出BJ=BG；在长方形GBK'B'中，根据HL定理证明，得出∠JBB'=∠B'BK；已知∠CBM=48°，根据折叠和全等关系得和，所以可算出∠BE'F=74°.
22．【答案】（1）解：
在和中
∴
（2）解：如图2，过F点作交AC于D点
在和中，
，
∴点为中点；
（3）6
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；比例的性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（3）过F作的延长线交于点D，如
，
由(1)(2)知∶，
【分析】（1）先证明△ADF是等腰直角三角形，得出AD=FD，再通过角的关系证明，从而得到EC=AD，CD=DF，进而得出EC+CD=DF；
（2）通过作辅助线过F点作交于D点，再结合（1）中结论，利用 AAS 即可证明，进而得出边的相等关系，再结合已知的比例关系推导出所求点为中点；
（3）过F作的延长线交于点D，由，，， ，由（1）（2）可知，，可得，所以即可求得的值．
