广东省广州市执信中学2024届高三下学期教学情况检测（二）数学试题
1．（2024高三下·广州模拟）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三下·广州模拟）已知复数满足，则复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三下·广州模拟）在等比数列中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024高三下·广州模拟）我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且、、三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三下·广州模拟）已知方程，其中．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：
甲：可以是圆的方程； 乙：可以是抛物线的方程；
丙：可以是椭圆的标准方程； 丁：可以是双曲线的标准方程．
其中，真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2024高三下·广州模拟）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三下·广州模拟）已知函数的对称轴方程为，且函数在内恰有个零点，则满足条件的有序实数对（ ）
A．只有2对 B．只有3对 C．只有4对 D．有无数对
8．（2024高三下·广州模拟）已知实数a，b满足，且，e为自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高三下·广州模拟）百年大计，教育为本.十四五发展纲要中，教育作为一个专章被提出.近日，教育部发布2020年全国教育事业统计主要结果.其中关于高中阶段教育（含普通高中、中等职业学校及其他适龄教育机构）近六年的在校规模与毛入学率情况图表及2020年高中阶段教育在校生结构饼图如下，根据图中信息，下列论断正确的有（ ）（名词解释：高中阶段毛入学率≡在校生规模÷适龄青少年总人数×100%）
A．近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长
B．近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人
C．2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万
D．2020年，普通高中的在校生超过2470万人
10．（2024高三下·广州模拟）如图，过点的直线交抛物线于A，B两点，连接、，并延长，分别交直线于M，N两点，则下列结论中一定成立的有（ ）
A．
B．以为直径的圆与直线相切
C．
D．
11．（2024高三下·广州模拟）素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，如图是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为6的正四棱柱构成，则（ ）
A．一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直
B．该“十字贯穿体”的表面积是
C．该“十字贯穿体”的体积是
D．一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点出发，沿表面到达顶点的最短路线长为
12．（2024高三下·广州模拟）如图，是半径为3的圆的两条直径，，则 ．
13．（2024高三下·广州模拟）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混浊”的数学定义：由此发展的混浊理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用，在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于，令，若存在正整数k使得，且当时，，则称是的一个周期为k的周期点．若，写出一个周期为1的周期点 ．
14．（2024高三下·广州模拟）有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是 ，从第个盒子中取到白球的概率是 ．
15．（2024高三下·广州模拟）如图，在四棱锥中，，是棱上靠近点的三等分点．
（1）证明：平面；
（2）设平面与平面的交线为，若平面平面，，求与平面所成角的正弦值．
16．（2024高三下·广州模拟）为了调查居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会从A小区与B小区各随机抽取300名社区居民（分为18-40岁、41岁-70岁及其他人群各100名）参与问卷测试，按测试结果将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分），并将问卷得分不低于60分绘制频数分布表如下
分组 A小区频数 B小区频数
18-40岁人群 60 30
41-70岁人群 80 90
其他人群 30 50
假设用频率估计概率，所有居民的问卷测试结果互不影响．
（1）从A小区随机抽取一名居民参与问卷测试，估计其对垃圾分类比较了解的概率；
（2）从A、B小区41-70岁人群中各随机抽取一名居民，记其对垃圾分类比较了解的居民人数为随机变量，求的分布列和数学期望；
（3）设事件为“从A小区的三个年龄组随机抽取两组，且每个年龄组各随机抽取一名居民，则这两名居民均为对垃圾分类比较了解”，设事件为“从B小区的三个年龄组随机抽取两组，且每个年龄组各随机抽取一名居民，则这两名居民均为对垃圾分类比较了解”，试比较事件发生的概率与事件发生的概率的大小，并说明理由．
17．（2024高三下·广州模拟）双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形．
（1）求双曲线的方程；
（2）、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围．
18．（2024高三下·广州模拟）已知函数（为自然对数的底数）
（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；
（2）求函数的极值；
（3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.
19．（2024高三下·广州模拟）若无穷数列的各项均为整数．且对于，，都存在，使得，则称数列满足性质P．
（1）判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①，，2，3，…；
②，，2，3，…．
（2）若数列满足性质P，且，求证：集合为无限集；
（3）若周期数列满足性质P，求数列的通项公式．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】并集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，则集合；
因为集合，
所以.
故答案为：C.
【分析】先解不等式得出集合，再根据集合的并集运算求解即可.
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：由可得，则z=，即.
故答案为：C.
【分析】根据复数模长公式结合复数代数形式的除法运算求得复数，再根据共轭复数的概念求解即可.
3．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列的性质
【解析】【解答】设公比为q，
由，
由，
所以.
由，，可得：，
所以“”是“”的充要条件.
故答案为：C
【分析】由，由，即，结合，所以“”是“”的充要条件.
4．【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：当伞完全张开时，，
因为为的中点，所以；
当伞完全收拢时，，则，
在中，由余弦定理得推论可得，
则.
故答案为：A.
【分析】由题意，分伞完全张开、伞完全收拢求出、、的长，再利用余弦定理求出，最后利用二倍角的余弦公式求的值即可.
5．【答案】C
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】因为方程，其中，
所以当时，方程为，即是圆的方程，故方程可以是圆的方程；
当时，方程为，即是抛物线的方程，故方程可以是抛物线的方程；
当时，方程为，即是椭圆的标准方程，故方程可以是椭圆的标准方程；
若方程为双曲线的标准方程，则有，这与矛盾，故方程不可以是双曲线的标准方程；
所以真命题有3个.
故答案为：C.
【分析】根据圆、抛物线、椭圆及双曲线的方程特点，结合已知条件分析，可得答案.
6．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：因为双曲线的离心率为，所以，解得，
所以双曲线的渐近线为，
当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意；
当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离，
则弦长.
故答案为：D.
【分析】根据双曲线的离心率求得，从而求得双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径求弦长即可.
7．【答案】B
【知识点】正弦函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数，
因为函数图象的对称轴方程为，
当时，可得；当时，可得，
即两个相邻的最高点与最低点间的距离为，即，则，可得，
因为的图象关于直线对称，所以，
即，解得，
则函数，
函数的零点个数等价于方程实根的个数，
方程在内实根的个数，函数在区间的图象，如图所示：
由图可知：当或时，方程在内实根的个数为1；
当时，方程在内实根的个数为2；
当时，方程在内实根的个数为3，其中在内实根的个数为2，
因为是周期为的函数，所以当时，在，内方程实根的个数均为2，
因为在内恰有2023个零点，且2023为奇数，
所以，不合题意，
当时，；当时，；
故满足条件的有序实数对只有3对.
故答案为：B.
【分析】由据题意，结合辅助角公式化简求得函数，把函数的零点个数转化为方程实根的个数，结合方程在内实根的个数，分类讨论求解即可.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，两边取对数得，
令，函数的定义域为，求导可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
则，，又时，，时，，
，即，结合图像可知，，，故A错误；
易得，即，即，故，故D错误；
当时，，故，故C错误；
令，则，
又，由可得，故，
故在上单调递减，
故，即，即，又，
故，
又，由上知时，单调递增，故，
即，故B正确.
故答案为：B.
【分析】由取对数可得，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性及最值，得到，，即可判断A；由化简即可判断D；令即可判断C；构造函数由极值点偏移即可判断B.
9．【答案】B,D
【知识点】收集数据的方法；频率分布折线图、密度曲线
【解析】【解答】解：A、由图可知：在前四年高中阶段在校生有下降的过程，故A错误；
B、由图可知：六年的在校生总数为24037，平均值为4006以上，故B正确；
C、，未接受高中阶段教育的适龄青少年有468万人以上，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据图表，逐项分析判断即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，设直线，
联立，消可得，
则，，
，
则，
故，
同理，故A正确；
对于C，设与轴交于，，
则，，故C正确；
对于D，，
则
，
又因为，
所以，
故D正确；
对于B，中点，即
则到直线的距离，
以为直径的圆的半径，
所以，
当时相切，当时不相切，故B错误.
故答案为：ACD.
【分析】设直线，联立直线与抛物线方程结合判别式法和韦达定理以及代入法，从而由两点求斜率公式得出直线OA的斜率，再利用斜截式方程得出直线OA的方程，再根据代入法得出点M的坐标，则由两点求斜率公式得出直线BM的斜率和直线AN的斜率，再利用两直线平行斜率相等，则判断出选项A；设直线与轴交于，，再根据三角形面积的关系式，则判断出选项C；利用三角形面积公式得出，再利用和三角形的面积公式得出，则判断出选项D；利用中点坐标公式和韦达定理得出点再利用点到直线的距离公式得出点到直线的距离为，再根据弦长公式和直径与半径的关系，得出以为直径的圆的半径，从而得出，则得出当时相切和当时不相切，从而判断出选项B，进而找出结论一定成立的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线CE、DE，如图所示：
则在梯形BDEF中，，，
设，则，
根据立体图可得，，显然，即CE、DE不垂直，故A错误；
B、该“十字贯穿体”的表面积是由4个正方形和16个与梯形BDEF全等的梯形组成
则表面积，故B正确；
C、两个正四棱柱的重叠部分为多面体，取的中点I，如图所示：
则多面体可以分成8个全等三棱锥，则
该“十字贯穿体”的体积即为，故C正确；
D、若按路线，则路线长为
若在表面内移动，借助部分展开图，如图所示：
，即为钝角，过B作NE的垂线BH，垂足为H，则BH在展开图内，，
，
根据对称可知此时最短路径为
则从顶点出发，沿表面到达顶点的最短路径为，故D正确.
故答案为：BCD．
【分析】根据图形分别求出，，结合勾股定理判断垂直即可判断A；表面积是由4个正方形和16个与梯形BDEF全等的梯形组成，分别计算即可判断B；体积用两个柱体体积减去重叠部分体积即可判断C；分别计算按路线和在表面内移动最短的路径长即可判断D．
12．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：易知，，
，
故答案为：.
【分析】易知，，根据平面向量的加减法、数乘运算，以及数量积的运算律求解即可.
13．【答案】1
【知识点】函数的周期性；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于，令，
若存在正整数k使得，且当时，
则称是的一个周期为k的周期点，
若，，当时，，
因为直线与只有一个交点，所以是的一个周期为1的周期点.
故答案为：1.
【分析】根据新定义可知直线与存在交点，据此求解即可.
14．【答案】；
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】记事件表示从第个盒子里取出白球，则，，
所以，
，
，
进而可得，，
又，，，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
故答案为：；.
【分析】记事件表示从第个盒子里取出白球， 利用全概率公式可得，进而可得，然后构造等比数列，求通项公式能求出答案.
15．【答案】（1）证明：连接交于点，连接，如图所示：
因为，所以，
又因是棱上靠近点的三等分点，
所以，所以，
又平面平面，所以平面；
（2）解：延长，交于点，
所以为平面与平面的公共点，
所以直线就是平面与平面的交线；
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，又平面，所以，
以点A为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，所以，所以，
则，
则，
设平面的法向量为，则，即，
则，
即与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的判定定理证明平面即可；
（2）延长，交于点，则直线就是平面与平面的交线，以点A为原点建立空间直角坐标系，求出及面的法向量，利用空间向量法求与平面所成角的正弦值即可．
（1）连接交于点，连接，
因为，所以，
又因是棱上靠近点的三等分点，
所以，所以，
又平面平面，所以平面；
（2）延长，交于点，
所以为平面与平面的公共点，
所以直线就是平面与平面的交线；
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，又平面，所以，
如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，
因为，
所以，所以，
则，
则，
设平面的法向量为，
则有，可取，
则，
即与平面所成角的正弦值为
16．【答案】（1）解：根据频数分布表可知：抽取的A小区300人样本中，有人对垃圾分类比较了解，
则样本中对垃圾分类比较了解的概率为；
由样本估计总体的思想，用频率估计概率可知：
从A小区随机抽取一名居民，估计其对垃圾分类比较了解的概率为；
（2）解：根据频数分布表可知，A小区41-70岁人群中对垃圾分类比较了解的概率可估计为；
B小区41-70岁人群中对垃圾分类比较了解的概率可估计为；
易知随机变量的所有可能取值为；
易知，
；
；
所以的分布列如下：
0 1 2
期望值；
（3）解：，理由如下：
从三个年龄组随机抽取两组共有种，每一种组合出现的可能为；
易知A小区三个年龄组对垃圾分类比较了解的概率分别为，
所以可得，
同理，显然；
即.
【知识点】频率分布表；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；用频率估计概率
【解析】【分析】（1）由频数分布表计算出样本中的频率，估计其概率即可；
（2）分别估计出A、B小区41-70岁人群中对垃圾分类比较了解的概率，求出随机变量对应取值的概率，列分布列，求期望值即可；
（3）分别估计出A、B小区三个不同群体对垃圾分类比较了解的概率，根据题意由概率乘法公式分别计算可得，即可得出结论.
（1）根据频数分布表可知，
抽取的A小区300人样本中，有人对垃圾分类比较了解，
所以样本中对垃圾分类比较了解的概率为；
由样本估计总体的思想，用频率估计概率可知：
从A小区随机抽取一名居民，估计其对垃圾分类比较了解的概率为；
（2）根据频数分布表可知，A小区41-70岁人群中对垃圾分类比较了解的概率可估计为；
B小区41-70岁人群中对垃圾分类比较了解的概率可估计为；
易知随机变量的所有可能取值为；
易知，
；
；
所以的分布列如下：
0 1 2
期望值
（3），理由如下：
从三个年龄组随机抽取两组共有种，每一种组合出现的可能为；
易知A小区三个年龄组对垃圾分类比较了解的概率分别为，
所以可得，
同理，显然；
即.
17．【答案】（1）解：依题意，，焦半径，
由，得，得，
解得：（其中舍去），
所以，
故双曲线的方程为；
（2）解：显然直线不可能与轴平行，故可设直线的方程为，
联立，消去整理得，
在条件下，设，，
则，，
由，得，
即，
整理得，
代入韦达定理得，，
化简可消去所有的含的项，解得：或（舍去），
则直线的方程为，得，
又都在双曲线的右支上，故有，，
此时，，
所以点到直线的距离的取值范围为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意及椭圆的几何性质，建立方程，即可求解出双曲线的方程；
(2)根据题意设直线MN的方程为x=my+n，联立椭圆方程，根据根与系数及 ，建立方程，从而可求出n的值，进而可得d关于m的函数模型，再根据题意建立不等式，从而求出m2的范围，最后通过函数思想即可求解出点到直线的距离的取值范围．
18．【答案】解：（1）函数定义域为，求导可得，
因为曲线在点处的切线平行于轴，所以，即，解得；
（2）由（1）可得，
①当时，，为上的增函数，则函数无极值；
②当时，令，得，，
，；，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，且极小值为，无极大值，
综上，当时，函数无极小值，
当，在处取得极小值，无极大值；
（3）当时，，
直线：与曲线没有公共点，
等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程：（*）在上没有实数解，
①当时，方程（*）可化为，在上没有实数解；
②当时，方程（*）化为，
令，则有，
令，得，
当变化时，的变化情况如下表：
减 增
当时，，同时当趋于时，趋于，
从而的取值范围为，
所以当时，方程（*）无实数解， 解得的取值范围是，
综上，得的最大值为．
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求其导函数，由导数的几何意义，解方程即可；（2）解方程，注意分类讨论，以确定的符号，从而确定的单调性，得极大值或极小值（极值点多时，最好列表表示）；
（3）问题转化为关于的方程在上没有实数解，分类讨论，时，无实数解，时，方程变为，因此可通过求函数的值域来求得的范围即可．
19．【答案】（1）解：对①，取，对，则，
可得，
显然不存在，使得，
所以数列不满足性质P；
对②，对于，则，，
故
，因为，
则，且，
所以存在，，
使得，
故数列满足性质P；
（2）证明：若数列满足性质，且，则有：
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
故数列中存在，使得，即，
反证：假设为有限集，其元素由小到大依次为，
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
即这与假设相矛盾，故集合为无限集；
（3）解：设周期数列的周期为，则对，均有，
设周期数列的最大项为，最小项为，
即对，均有，
若数列满足性质：
反证：假设时，取，则，使得，
则，即，
这对，均有矛盾，假设不成立；则对，均有；
反证：假设时，取，则，使得，
这与对，均有矛盾，假设不成立，即对，均有；
综上所述：对，均有，
反证：假设1为数列中的项，由（2）可得：为数列中的项，
因为，即为数列中的项，
这与对，均有相矛盾，即对，均有，同理可证：，
因为，则，
当时，即数列为常数列时，设，故对，都存在，
使得，解得或，即或符合题意；
当时，即数列至少有两个不同项，则有：
①当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；
②当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；
③当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；
综上所述：或.
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性；反证法；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）根据题意分析判断即可；
（2）根据题意先证为数列中的项，再利用反证法证明集合为无限集即可；
（3）先根据题意证明，再分为常数列和非常数列两种情况，分析判断即可.
（1）对①，取，对，则，
可得，
显然不存在，使得，
所以数列不满足性质P；
对②，对于，则，，
故
，因为，
则，且，
所以存在，，
使得，
故数列满足性质P；
（2）若数列满足性质，且，则有：
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
故数列中存在，使得，即，
反证：假设为有限集，其元素由小到大依次为，
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
即这与假设相矛盾，故集合为无限集.
（3）设周期数列的周期为，则对，均有，
设周期数列的最大项为，最小项为，
即对，均有，
若数列满足性质：
反证：假设时，取，则，使得，
则，即，
这对，均有矛盾，假设不成立；则对，均有；
反证：假设时，取，则，使得，
这与对，均有矛盾，假设不成立，即对，均有；
综上所述：对，均有，
反证：假设1为数列中的项，由（2）可得：为数列中的项，
∵，即为数列中的项，
这与对，均有相矛盾，即对，均有，同理可证：，
∵，则，
当时，即数列为常数列时，设，故对，都存在，
使得，解得或，即或符合题意；
当时，即数列至少有两个不同项，则有：
①当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；
②当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；
③当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；
综上所述：或.
广东省广州市执信中学2024届高三下学期教学情况检测（二）数学试题
1．（2024高三下·广州模拟）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】并集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，则集合；
因为集合，
所以.
故答案为：C.
【分析】先解不等式得出集合，再根据集合的并集运算求解即可.
2．（2024高三下·广州模拟）已知复数满足，则复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：由可得，则z=，即.
故答案为：C.
【分析】根据复数模长公式结合复数代数形式的除法运算求得复数，再根据共轭复数的概念求解即可.
3．（2024高三下·广州模拟）在等比数列中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列的性质
【解析】【解答】设公比为q，
由，
由，
所以.
由，，可得：，
所以“”是“”的充要条件.
故答案为：C
【分析】由，由，即，结合，所以“”是“”的充要条件.
4．（2024高三下·广州模拟）我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且、、三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：当伞完全张开时，，
因为为的中点，所以；
当伞完全收拢时，，则，
在中，由余弦定理得推论可得，
则.
故答案为：A.
【分析】由题意，分伞完全张开、伞完全收拢求出、、的长，再利用余弦定理求出，最后利用二倍角的余弦公式求的值即可.
5．（2024高三下·广州模拟）已知方程，其中．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：
甲：可以是圆的方程； 乙：可以是抛物线的方程；
丙：可以是椭圆的标准方程； 丁：可以是双曲线的标准方程．
其中，真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】因为方程，其中，
所以当时，方程为，即是圆的方程，故方程可以是圆的方程；
当时，方程为，即是抛物线的方程，故方程可以是抛物线的方程；
当时，方程为，即是椭圆的标准方程，故方程可以是椭圆的标准方程；
若方程为双曲线的标准方程，则有，这与矛盾，故方程不可以是双曲线的标准方程；
所以真命题有3个.
故答案为：C.
【分析】根据圆、抛物线、椭圆及双曲线的方程特点，结合已知条件分析，可得答案.
6．（2024高三下·广州模拟）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：因为双曲线的离心率为，所以，解得，
所以双曲线的渐近线为，
当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意；
当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离，
则弦长.
故答案为：D.
【分析】根据双曲线的离心率求得，从而求得双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径求弦长即可.
7．（2024高三下·广州模拟）已知函数的对称轴方程为，且函数在内恰有个零点，则满足条件的有序实数对（ ）
A．只有2对 B．只有3对 C．只有4对 D．有无数对
【答案】B
【知识点】正弦函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数，
因为函数图象的对称轴方程为，
当时，可得；当时，可得，
即两个相邻的最高点与最低点间的距离为，即，则，可得，
因为的图象关于直线对称，所以，
即，解得，
则函数，
函数的零点个数等价于方程实根的个数，
方程在内实根的个数，函数在区间的图象，如图所示：
由图可知：当或时，方程在内实根的个数为1；
当时，方程在内实根的个数为2；
当时，方程在内实根的个数为3，其中在内实根的个数为2，
因为是周期为的函数，所以当时，在，内方程实根的个数均为2，
因为在内恰有2023个零点，且2023为奇数，
所以，不合题意，
当时，；当时，；
故满足条件的有序实数对只有3对.
故答案为：B.
【分析】由据题意，结合辅助角公式化简求得函数，把函数的零点个数转化为方程实根的个数，结合方程在内实根的个数，分类讨论求解即可.
8．（2024高三下·广州模拟）已知实数a，b满足，且，e为自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，两边取对数得，
令，函数的定义域为，求导可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
则，，又时，，时，，
，即，结合图像可知，，，故A错误；
易得，即，即，故，故D错误；
当时，，故，故C错误；
令，则，
又，由可得，故，
故在上单调递减，
故，即，即，又，
故，
又，由上知时，单调递增，故，
即，故B正确.
故答案为：B.
【分析】由取对数可得，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性及最值，得到，，即可判断A；由化简即可判断D；令即可判断C；构造函数由极值点偏移即可判断B.
9．（2024高三下·广州模拟）百年大计，教育为本.十四五发展纲要中，教育作为一个专章被提出.近日，教育部发布2020年全国教育事业统计主要结果.其中关于高中阶段教育（含普通高中、中等职业学校及其他适龄教育机构）近六年的在校规模与毛入学率情况图表及2020年高中阶段教育在校生结构饼图如下，根据图中信息，下列论断正确的有（ ）（名词解释：高中阶段毛入学率≡在校生规模÷适龄青少年总人数×100%）
A．近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长
B．近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人
C．2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万
D．2020年，普通高中的在校生超过2470万人
【答案】B,D
【知识点】收集数据的方法；频率分布折线图、密度曲线
【解析】【解答】解：A、由图可知：在前四年高中阶段在校生有下降的过程，故A错误；
B、由图可知：六年的在校生总数为24037，平均值为4006以上，故B正确；
C、，未接受高中阶段教育的适龄青少年有468万人以上，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据图表，逐项分析判断即可.
10．（2024高三下·广州模拟）如图，过点的直线交抛物线于A，B两点，连接、，并延长，分别交直线于M，N两点，则下列结论中一定成立的有（ ）
A．
B．以为直径的圆与直线相切
C．
D．
【答案】A,C,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，设直线，
联立，消可得，
则，，
，
则，
故，
同理，故A正确；
对于C，设与轴交于，，
则，，故C正确；
对于D，，
则
，
又因为，
所以，
故D正确；
对于B，中点，即
则到直线的距离，
以为直径的圆的半径，
所以，
当时相切，当时不相切，故B错误.
故答案为：ACD.
【分析】设直线，联立直线与抛物线方程结合判别式法和韦达定理以及代入法，从而由两点求斜率公式得出直线OA的斜率，再利用斜截式方程得出直线OA的方程，再根据代入法得出点M的坐标，则由两点求斜率公式得出直线BM的斜率和直线AN的斜率，再利用两直线平行斜率相等，则判断出选项A；设直线与轴交于，，再根据三角形面积的关系式，则判断出选项C；利用三角形面积公式得出，再利用和三角形的面积公式得出，则判断出选项D；利用中点坐标公式和韦达定理得出点再利用点到直线的距离公式得出点到直线的距离为，再根据弦长公式和直径与半径的关系，得出以为直径的圆的半径，从而得出，则得出当时相切和当时不相切，从而判断出选项B，进而找出结论一定成立的选项.
11．（2024高三下·广州模拟）素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，如图是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为6的正四棱柱构成，则（ ）
A．一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直
B．该“十字贯穿体”的表面积是
C．该“十字贯穿体”的体积是
D．一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点出发，沿表面到达顶点的最短路线长为
【答案】B,C,D
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线CE、DE，如图所示：
则在梯形BDEF中，，，
设，则，
根据立体图可得，，显然，即CE、DE不垂直，故A错误；
B、该“十字贯穿体”的表面积是由4个正方形和16个与梯形BDEF全等的梯形组成
则表面积，故B正确；
C、两个正四棱柱的重叠部分为多面体，取的中点I，如图所示：
则多面体可以分成8个全等三棱锥，则
该“十字贯穿体”的体积即为，故C正确；
D、若按路线，则路线长为
若在表面内移动，借助部分展开图，如图所示：
，即为钝角，过B作NE的垂线BH，垂足为H，则BH在展开图内，，
，
根据对称可知此时最短路径为
则从顶点出发，沿表面到达顶点的最短路径为，故D正确.
故答案为：BCD．
【分析】根据图形分别求出，，结合勾股定理判断垂直即可判断A；表面积是由4个正方形和16个与梯形BDEF全等的梯形组成，分别计算即可判断B；体积用两个柱体体积减去重叠部分体积即可判断C；分别计算按路线和在表面内移动最短的路径长即可判断D．
12．（2024高三下·广州模拟）如图，是半径为3的圆的两条直径，，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：易知，，
，
故答案为：.
【分析】易知，，根据平面向量的加减法、数乘运算，以及数量积的运算律求解即可.
13．（2024高三下·广州模拟）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混浊”的数学定义：由此发展的混浊理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用，在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于，令，若存在正整数k使得，且当时，，则称是的一个周期为k的周期点．若，写出一个周期为1的周期点 ．
【答案】1
【知识点】函数的周期性；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于，令，
若存在正整数k使得，且当时，
则称是的一个周期为k的周期点，
若，，当时，，
因为直线与只有一个交点，所以是的一个周期为1的周期点.
故答案为：1.
【分析】根据新定义可知直线与存在交点，据此求解即可.
14．（2024高三下·广州模拟）有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是 ，从第个盒子中取到白球的概率是 ．
【答案】；
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】记事件表示从第个盒子里取出白球，则，，
所以，
，
，
进而可得，，
又，，，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
故答案为：；.
【分析】记事件表示从第个盒子里取出白球， 利用全概率公式可得，进而可得，然后构造等比数列，求通项公式能求出答案.
15．（2024高三下·广州模拟）如图，在四棱锥中，，是棱上靠近点的三等分点．
（1）证明：平面；
（2）设平面与平面的交线为，若平面平面，，求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：连接交于点，连接，如图所示：
因为，所以，
又因是棱上靠近点的三等分点，
所以，所以，
又平面平面，所以平面；
（2）解：延长，交于点，
所以为平面与平面的公共点，
所以直线就是平面与平面的交线；
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，又平面，所以，
以点A为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，所以，所以，
则，
则，
设平面的法向量为，则，即，
则，
即与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的判定定理证明平面即可；
（2）延长，交于点，则直线就是平面与平面的交线，以点A为原点建立空间直角坐标系，求出及面的法向量，利用空间向量法求与平面所成角的正弦值即可．
（1）连接交于点，连接，
因为，所以，
又因是棱上靠近点的三等分点，
所以，所以，
又平面平面，所以平面；
（2）延长，交于点，
所以为平面与平面的公共点，
所以直线就是平面与平面的交线；
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，又平面，所以，
如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，
因为，
所以，所以，
则，
则，
设平面的法向量为，
则有，可取，
则，
即与平面所成角的正弦值为
16．（2024高三下·广州模拟）为了调查居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会从A小区与B小区各随机抽取300名社区居民（分为18-40岁、41岁-70岁及其他人群各100名）参与问卷测试，按测试结果将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分），并将问卷得分不低于60分绘制频数分布表如下
分组 A小区频数 B小区频数
18-40岁人群 60 30
41-70岁人群 80 90
其他人群 30 50
假设用频率估计概率，所有居民的问卷测试结果互不影响．
（1）从A小区随机抽取一名居民参与问卷测试，估计其对垃圾分类比较了解的概率；
（2）从A、B小区41-70岁人群中各随机抽取一名居民，记其对垃圾分类比较了解的居民人数为随机变量，求的分布列和数学期望；
（3）设事件为“从A小区的三个年龄组随机抽取两组，且每个年龄组各随机抽取一名居民，则这两名居民均为对垃圾分类比较了解”，设事件为“从B小区的三个年龄组随机抽取两组，且每个年龄组各随机抽取一名居民，则这两名居民均为对垃圾分类比较了解”，试比较事件发生的概率与事件发生的概率的大小，并说明理由．
【答案】（1）解：根据频数分布表可知：抽取的A小区300人样本中，有人对垃圾分类比较了解，
则样本中对垃圾分类比较了解的概率为；
由样本估计总体的思想，用频率估计概率可知：
从A小区随机抽取一名居民，估计其对垃圾分类比较了解的概率为；
（2）解：根据频数分布表可知，A小区41-70岁人群中对垃圾分类比较了解的概率可估计为；
B小区41-70岁人群中对垃圾分类比较了解的概率可估计为；
易知随机变量的所有可能取值为；
易知，
；
；
所以的分布列如下：
0 1 2
期望值；
（3）解：，理由如下：
从三个年龄组随机抽取两组共有种，每一种组合出现的可能为；
易知A小区三个年龄组对垃圾分类比较了解的概率分别为，
所以可得，
同理，显然；
即.
【知识点】频率分布表；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；用频率估计概率
【解析】【分析】（1）由频数分布表计算出样本中的频率，估计其概率即可；
（2）分别估计出A、B小区41-70岁人群中对垃圾分类比较了解的概率，求出随机变量对应取值的概率，列分布列，求期望值即可；
（3）分别估计出A、B小区三个不同群体对垃圾分类比较了解的概率，根据题意由概率乘法公式分别计算可得，即可得出结论.
（1）根据频数分布表可知，
抽取的A小区300人样本中，有人对垃圾分类比较了解，
所以样本中对垃圾分类比较了解的概率为；
由样本估计总体的思想，用频率估计概率可知：
从A小区随机抽取一名居民，估计其对垃圾分类比较了解的概率为；
（2）根据频数分布表可知，A小区41-70岁人群中对垃圾分类比较了解的概率可估计为；
B小区41-70岁人群中对垃圾分类比较了解的概率可估计为；
易知随机变量的所有可能取值为；
易知，
；
；
所以的分布列如下：
0 1 2
期望值
（3），理由如下：
从三个年龄组随机抽取两组共有种，每一种组合出现的可能为；
易知A小区三个年龄组对垃圾分类比较了解的概率分别为，
所以可得，
同理，显然；
即.
17．（2024高三下·广州模拟）双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形．
（1）求双曲线的方程；
（2）、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围．
【答案】（1）解：依题意，，焦半径，
由，得，得，
解得：（其中舍去），
所以，
故双曲线的方程为；
（2）解：显然直线不可能与轴平行，故可设直线的方程为，
联立，消去整理得，
在条件下，设，，
则，，
由，得，
即，
整理得，
代入韦达定理得，，
化简可消去所有的含的项，解得：或（舍去），
则直线的方程为，得，
又都在双曲线的右支上，故有，，
此时，，
所以点到直线的距离的取值范围为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意及椭圆的几何性质，建立方程，即可求解出双曲线的方程；
(2)根据题意设直线MN的方程为x=my+n，联立椭圆方程，根据根与系数及 ，建立方程，从而可求出n的值，进而可得d关于m的函数模型，再根据题意建立不等式，从而求出m2的范围，最后通过函数思想即可求解出点到直线的距离的取值范围．
18．（2024高三下·广州模拟）已知函数（为自然对数的底数）
（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；
（2）求函数的极值；
（3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.
【答案】解：（1）函数定义域为，求导可得，
因为曲线在点处的切线平行于轴，所以，即，解得；
（2）由（1）可得，
①当时，，为上的增函数，则函数无极值；
②当时，令，得，，
，；，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，且极小值为，无极大值，
综上，当时，函数无极小值，
当，在处取得极小值，无极大值；
（3）当时，，
直线：与曲线没有公共点，
等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程：（*）在上没有实数解，
①当时，方程（*）可化为，在上没有实数解；
②当时，方程（*）化为，
令，则有，
令，得，
当变化时，的变化情况如下表：
减 增
当时，，同时当趋于时，趋于，
从而的取值范围为，
所以当时，方程（*）无实数解， 解得的取值范围是，
综上，得的最大值为．
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求其导函数，由导数的几何意义，解方程即可；（2）解方程，注意分类讨论，以确定的符号，从而确定的单调性，得极大值或极小值（极值点多时，最好列表表示）；
（3）问题转化为关于的方程在上没有实数解，分类讨论，时，无实数解，时，方程变为，因此可通过求函数的值域来求得的范围即可．
19．（2024高三下·广州模拟）若无穷数列的各项均为整数．且对于，，都存在，使得，则称数列满足性质P．
（1）判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①，，2，3，…；
②，，2，3，…．
（2）若数列满足性质P，且，求证：集合为无限集；
（3）若周期数列满足性质P，求数列的通项公式．
【答案】（1）解：对①，取，对，则，
可得，
显然不存在，使得，
所以数列不满足性质P；
对②，对于，则，，
故
，因为，
则，且，
所以存在，，
使得，
故数列满足性质P；
（2）证明：若数列满足性质，且，则有：
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
故数列中存在，使得，即，
反证：假设为有限集，其元素由小到大依次为，
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
即这与假设相矛盾，故集合为无限集；
（3）解：设周期数列的周期为，则对，均有，
设周期数列的最大项为，最小项为，
即对，均有，
若数列满足性质：
反证：假设时，取，则，使得，
则，即，
这对，均有矛盾，假设不成立；则对，均有；
反证：假设时，取，则，使得，
这与对，均有矛盾，假设不成立，即对，均有；
综上所述：对，均有，
反证：假设1为数列中的项，由（2）可得：为数列中的项，
因为，即为数列中的项，
这与对，均有相矛盾，即对，均有，同理可证：，
因为，则，
当时，即数列为常数列时，设，故对，都存在，
使得，解得或，即或符合题意；
当时，即数列至少有两个不同项，则有：
①当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；
②当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；
③当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；
综上所述：或.
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性；反证法；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）根据题意分析判断即可；
（2）根据题意先证为数列中的项，再利用反证法证明集合为无限集即可；
（3）先根据题意证明，再分为常数列和非常数列两种情况，分析判断即可.
（1）对①，取，对，则，
可得，
显然不存在，使得，
所以数列不满足性质P；
对②，对于，则，，
故
，因为，
则，且，
所以存在，，
使得，
故数列满足性质P；
（2）若数列满足性质，且，则有：
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
故数列中存在，使得，即，
反证：假设为有限集，其元素由小到大依次为，
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
即这与假设相矛盾，故集合为无限集.
（3）设周期数列的周期为，则对，均有，
设周期数列的最大项为，最小项为，
即对，均有，
若数列满足性质：
反证：假设时，取，则，使得，
则，即，
这对，均有矛盾，假设不成立；则对，均有；
反证：假设时，取，则，使得，
这与对，均有矛盾，假设不成立，即对，均有；
综上所述：对，均有，
反证：假设1为数列中的项，由（2）可得：为数列中的项，
∵，即为数列中的项，
这与对，均有相矛盾，即对，均有，同理可证：，
∵，则，
当时，即数列为常数列时，设，故对，都存在，
使得，解得或，即或符合题意；
当时，即数列至少有两个不同项，则有：
①当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；
②当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；
③当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；
综上所述：或.
