湖南省怀化市五县六校联考2024-2025学年九年级上学期12月期末数学试题
1．（2024九上·怀化期末）若是反比例函数图象上一点，那么下列各点不在其图象上的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·怀化期末）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
3．（2024九上·怀化期末）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在二次函数y＝x2+2x﹣m的图象上，则下列有关y1和y2的大小关系的结论中正确的是（ ）
A．y1＝y2 B．y1＜y2 C．y1＞y2 D．与m的值有关
4．（2024九上·怀化期末）如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·怀化期末）已知直角三角形纸片的两直角边长分别是，，现将按如图所示那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·怀化期末）下列说法正确的是（ ）
A．了解某市学生的视力情况采用全面调查
B．试航前，对我国第一艘国产航母各系统进行检查，采用抽样调查
C．一组数据，，，，，的中位数是
D．甲、乙两个样本中，，，则甲的波动比乙大
7．（2024九上·怀化期末）设m，n是方程 的两个实数根，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·怀化期末）如图，已知，分别为正方形的边、上的点，且，、分别交对角线于点、，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③ D．①②③④
9．（2024九上·怀化期末）已知在中，，，点是延长线上任意一点，作于点，于点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九上·怀化期末）如图，已知抛物线过点与轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2024九上·怀化期末）若二次函数的对称轴是直线，则 ．
12．（2024九上·怀化期末）如果关于的方程是一元二次方程，则常数k的值是 ．
13．（2024九上·怀化期末）利用复印机的缩放功能放大一个三角形，将原图中边长为5，7，8的三角形的最长边放大到12，那么放大后的那个三角形的周长为 ．
14．（2024九上·怀化期末）我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于第一象限内的点，点在射线上，分别过点作轴、轴的垂线，交双曲线于点，将线段和函数的图像在之间的部分围成的区域（不含边界）记为区域．如果区域内恰有8个整点，那么点的横坐标的取值范围是 ．
15．（2024九上·怀化期末）如图，在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC于P、Q两点，则AP：PQ：QC= .
16．（2024九上·怀化期末）如图，要将一段坡角为的路面削为坡角为的斜坡，已知原来的坡长为，则自坡顶挖下的铅直高度x约为 m．（参考数据：，，结果精确到）
17．（2024九上·怀化期末）如图，平行四边形ABCD的一边AB在x轴上，长为5，且∠DAB＝60°，反比例函数y＝和y＝分别经过点C，D，则AD＝ ．
18．（2024九上·怀化期末）如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点，点在抛物线上，是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为 ．
19．（2024九上·怀化期末）计算：．
20．（2024九上·怀化期末）已知关于的一元二次方程，有一个根为2，求的值及方程的另一个根．
21．（2024九上·怀化期末）如图，已知A(n，-2)、B（-1，4）是一次函数和反比例函数的图象的两个交点．
（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）当一次函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围是
22．（2024九上·怀化期末）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为．
（1）画出关于y轴对称的；
（2）以点O为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为；
（3）与的相似比是____．
23．（2024九上·怀化期末）某中学开展“每天阅读一小时”活动，根据学校实际情况，有以下四类读物供学生选择（每位学生必选一项）：A：科普类，B：文艺类，C：文学类，D：其他类．为了了解学生最喜欢哪一类读物，随机抽取了部分学生调查，将调查结果绘制了如下不完整的统计图．请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为__________．
（2）补全条形统计图
（3）扇形统计图中，“文学类”所对应的扇形圆心角的度数为__________度．
（4）该学校计划订购册上述四类课外读物，根据学生爱好，为满足学生需求，学校大约订购__________本“文学类”课外读物．
24．（2024九上·怀化期末）如图，在中，
（1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作，使得是以为底的等腰三角形，且点D在延长线上．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，已知：，求的底边上的高及的值．
25．（2024九上·怀化期末）一元二次方程的根分别满足以下条件，求出实数的对应范围．
（1）两个根的平方和为12；
（2）两个根均大于；
（3）．
26．（2024九上·怀化期末）已知，如图①，在平行四边形中，，，，沿的方向匀速平移得到，速度为：同时，点Q从点C出发，沿方向速移动，速度为，当停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为，连接，解答下列问题：
（1）_______，_______，_______，_______．
（2）当t为何值时，．
（3）设的面积为y（），求y与t之间的函数关系式．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：将点代入反比例函数解析式，得：，
∴反比例函数解析式为：．
当时，，故选项A不符合题意；
当时，，故选项B不符合题意；
当时，，故选项C不符合题意；
当时，，故选项D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据待定系数法得到反比例函数解析式，然后代入逐项判断即可．
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
有两个不相等的实数根，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程的判别式的值确定方程根的情况解题．
3．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：y＝x2+2x﹣m＝（x+1）2﹣1﹣m，
∵点A（﹣2，y1）是二次函数y＝（x+1）2﹣1﹣m图象上的点，
∴y1＝（﹣2+1）2﹣1﹣m＝1﹣1﹣m＝﹣m；
∵点B（1，y2）是二次函数y＝（x+1）2﹣1﹣m图象上的点，
∴y2＝（1+1）2﹣1﹣m＝4﹣1﹣m＝3﹣m．
∵﹣m<3﹣m．
∴y1＜y2．
故答案为：B．
【分析】把A、B两点的x值代入二次函数，然后比较y1和y2即可解题．
4．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：A．，
，故本选项不符合题意；
B．，
，故本选项不符合题意；
C．，
，故本选项不符合题意；
D．，
，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平行线分线段成比例定理逐项判断解题．
5．【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：在直角中，
根据勾股定理得，
由折叠得，，
在直角中，
，
，
勾股定理得，
，
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理得到长，再根据，得到长，即可得到长，然后利用勾股定理得到长解题．
6．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；中位数；方差
【解析】【解答】解：A. 了解某市学生的视力情况采用抽样面调查，原选项说法错误；
B. 试航前，对我国第一艘国产航母各系统进行检查，采用全面调查，原选项说法错误；
C. 一组数据，，，，，的中位数是 ，原选项说法错误；
D. 甲、乙两个样本中，，，则甲的波动比乙大，原选项说法正确；
故答案为：D．
【分析】根据抽样调查、全面调查、中位数、方差逐项判断解题．
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】当 时，原方程 可转化为 ，
解得， ， （舍去）
当 时，原方程 可转化为 ，
解得， ， （舍去）
所以，方程 的两个实数根m，n的值分别是 ， ，
∴ .
故答案为：B.
【分析】先分 和 两种情况解方程，得到m，n的值，然后再代入 求出值即可.
8．【答案】D
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，把绕点顺时针旋转得到，
∴，，，，
∴H、B、C在同一直线上，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即，故结论①正确；
∵是正方形的对角线，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴，
又∵是正方形的对角线，
∴，
∴，故结论②正确；
如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故结论③正确；
如图，把按顺时针绕点旋转，连接，
∴，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即，故结论④正确，
综上可得：正确的结论有①②③④．
故答案为：D.
【分析】利用旋转的性质可得，，，利用SAS可得，然后根据全等三角形的性质的对应角相等可判断结论①；再利用正方形的性质可得，然后得到判断结论②；连接，可得，然后利用相似三角形的对应边成比例得出，判断结论③；把按顺时针绕点旋转，连接，即可得到是直角三角形，利用勾股定理可得，然后利用SAS可得，即可得到，判断结论④，解题即可．
9．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点作于点，设交于点，过点作于点，
，，，
，，，
则，
设，则，
则，
在中，，
则，
则，
故的最小值为，
故答案为：A.
【分析】设，则，即可得到BE长，在中，根据求出RH长，再根据得到二次函数求最值即可．
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：①由图象可得，当时，，故①正确；
②由图象可得，直线与抛物线有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，故②正确；
③∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线过点与轴交点的横坐标分别为，，
∴对称轴为直线，
∵，，
∴，
∴，则，
∴，
故③错误；
④抛物线过点，
∴，
∵当时，，即，
当时，，
∴，即，
解得，
故④正确；
综上所述，正确的结论有①②④共3个，
故答案为：C．
【分析】根据x=-1时的抛物线上点的位置判断①；借助图象可得y=-1时对应两个x值判断②；确定对称轴的位置即可判断③；根据抛物线过点C得到，再根据和时的函数值为正数得到，代入计算判断④解题即可．
11．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴是直线，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】利用二次函数的对称轴是直线，求出m值解题即可．
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】根据一元一次方程的定义得到k-1≠0且|k+1|=2，求出k的值即可．
13．【答案】30
【知识点】相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：∵利用复印机的缩放功能放大一个三角形，将原图中边长为5，7，8的三角形的最长边放大到12，
∴这两个三角形相似，且相似比是，
∴，
则放大后的那个三角形的周长为30，
故答案为：30．
【分析】利用相似三角形的周长比等于相似比解题即可．
14．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：依题意，如图所示：
则区域W内恰有8个整点，由图可知点P只能位于A的上方如图：
如图，当P的纵坐标为7时，横坐标为，即，
结合图象可知，当时，区域内有8个整数点．
结合图象可知，当P的纵坐标大于7时，则横坐标大于，
则区域W内的整点数大于，故不符合题意，舍去；
结合图象可知，当P的纵坐标小于或等于6时，则横坐标小于或等于2，
则区域W内的整点数小于，故不符合题意，舍去；
故答案为：．
【分析】根据题意得到点P不能在点A下方，则点P在点A上方，结合函数图象得到不等式组解题．
15．【答案】5：3：12
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，
∴△AMP∽△CDP，
∴AM：CD=AP：PC=AP：（PQ+QC），即：3AP=PQ+QC，①
∵AB∥DC，
∴△ANQ∽△CDQ，
∴AN：CD=AQ：QC=（AP+PQ）：QC，即2QC=3（AP+PQ），②
解①、②得：QC=4PQ，
∴AP=PQ，
∴AP：PQ：QC=：1：4=5：3：12，
故答案为：5：3：12．
【分析】根据 AB∥DC，得到△AMP∽△CDP和△ANQ∽△CDQ，即可得到3AP=PQ+QC，2QC=3（AP+PQ），然后求出比值即可．
16．【答案】7.4
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，，，，
设，
，
，
则
，
，
自坡顶挖下的铅直高度x约为，
故答案为：．
【分析】根据余弦求出，，再根据正切函数求出BD长，最后根据解题．
17．【答案】2
【知识点】反比例函数的图象；平行四边形的性质；解直角三角形—边角关系
18．【答案】或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
19．【答案】解：
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】代入特殊角的三角函数值，计算解题即可．
20．【答案】解：∵关于的一元二次方程，有一个根为2，
∴把代入，
得，
解得，
则，
∴，
即另一根是
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】将代入方程，求出，再根据解题求另一根即可．
21．【答案】（1）解：把B（ 1，4）代入反比例函数得，m＝ 4，∴反比例函数的关系式为，
把知A（n， 2）代入得，n＝2，
∴A（2， 2），
把A（2， 2），B（ 1，4）代入y＝kx＋b得 ，
解得，
∴一次函数的关系式为y＝ 2x＋2，
即反比例函数解析式为，一函数解析式为y＝ 2x＋2；
（2）解：设直线与y轴的交点为C，当x＝0时，y＝ 2×0＋2＝2，
∴点C的坐标是（0，2），
∴==×2×2＋×2×1＝3；
（3） 1＜x＜0或x＞2．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（3）解：当一次函数的值小于反比例函数的值，即kx＋b＜时，相应的x的取值范围为 1＜x＜0或x＞2．
故答案为： 1＜x＜0或x＞2．
【分析】
（1）运用待定系数法求函数解析式；
（2）设直线与y轴的交点为C，先求出点C的坐标，然后根据=解题；
（3）借助图象，得到自变量的取值范围即可．
22．【答案】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）如图所示：即为所求；
（3）
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】（3）解：，，
与的相似比，
故答案为：．
【分析】（1）根据轴对称的性质得到点A、B、C的对称点，然后依次连接即可；
（2）根据点和的坐标特征得到位似比，然后将B1、C1的横、纵坐标乘以-2得到、的坐标，然后描点连接即可；
（3）根据位似三角形的相似比等于位似比解题即可．
（1）解：如图所示：即为所求；
（2）如图所示：即为所求；
（3），，
与的相似比，
故答案为：．
23．【答案】（1）
（2）解：喜欢的人数：（人），
补全条形统计图如下：
（3）
（4）
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次调查的样本容量为：（人），
故答案为：．
（3）扇形统计中，“文学类”所对应的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：．
（4）学校大约订购“文学类”课外读物为：（本），
故答案为：．
【分析】（1）根据喜欢的人数除以它所占百分比求出总人数解题；
（2）根据总人数减去喜欢其它组的人数得到喜欢的人数，再补全条形统计图解题；
（3）根据乘以喜欢的人数所占比例解题即可；
（4）根据乘以样本中喜欢的学生所占比解题即可．
（1）解：本次调查的样本容量为：（人），
故答案为：．
（2）喜欢的人数：（人），
补全条形统计图如下：
（3）扇形统计中，“文学类”所对应的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：．
（4）学校大约订购“文学类”课外读物为：（本），
故答案为：．
24．【答案】（1）解：是以为底的等腰三角形，如图所示：
（2）解：∵是以为底的等腰三角形，，
设，
，
，，，
，
解得
即，
即，
则边上的高，
则边上的高，
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；求正弦值
【解析】【分析】（1）作线段的垂直平分线交的延长线于点D，连接解题；
（2）利用等腰三角形的性质即可得到，设，则，，，然后根据边长相等求出，再根据等积法求出边上的高，解题即可．
（1）解：是以为底的等腰三角形，如图所示：
；
（2）解：∵是以为底的等腰三角形，
，
设，
，
，，，
，
解得
即，
即，
则边上的高，
则边上的高，
，
故答案为：．
25．【答案】（1）解：∵一元二次方程的根的平方和为12，
∴，
∴，
解得或2
（2）解：∵一元二次方程，∴
∴方程总有两个不相等的实数根，
∵一元二次方程两个根均大于2，
∴且
即
而
且
解得：
综上
（3）解：，则
解得：
整理得：
∴
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据根于系数的关系得到，然后整理得到，整体代入解题即可．
（2）先根据根的判别式得到，再根据一元二次方程两个根均大于2，得到，解题即可．
（3）变形得出，代入，可得，然后解方程得到，解题即可．
（1）解：∵一元二次方程的根的平方和为12，
∴，
∴，
解得或2，
（2）解：∵一元二次方程，
∴
∴方程总有两个不相等的实数根，
∵一元二次方程两个根均大于2，
∴且
即
而
且
解得：
综上
（3）解：，
则
解得：
整理得：
∴．
26．【答案】（1）t；5-t；t；4-t
（2）如图所示，
∵，∴
∴，
∵，，.
∴，
即，
解得
（3）解：如图所示，作于点D，交的延长线于点，
∵，
则四边形为矩形，
，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
，
又∵，
∴的面积为：，
∴
【知识点】二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（1）解：，，
，
由题得：，，，.
故答案为：t；5-t；t；4-t.
【分析】（1）根据勾股定理得到，结合图形解题即可；
（2）先得到，即可得到，整理得到，即可解题；
（3）作于点D，交的延长线于点，可以得到，，进而得到，然后利用三角形的面积公式得到y关于t的函数关系式即可.
（1），，
，
由题得：，，，.
（2）如图所示，∵，
∴
∴，
∵，，.
∴，
即，
解得
（3）如图所示，作于点D，交的延长线于点，
∵，
则四边形为矩形，
，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
，
又∵，
∴的面积为：，
∴
湖南省怀化市五县六校联考2024-2025学年九年级上学期12月期末数学试题
1．（2024九上·怀化期末）若是反比例函数图象上一点，那么下列各点不在其图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：将点代入反比例函数解析式，得：，
∴反比例函数解析式为：．
当时，，故选项A不符合题意；
当时，，故选项B不符合题意；
当时，，故选项C不符合题意；
当时，，故选项D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据待定系数法得到反比例函数解析式，然后代入逐项判断即可．
2．（2024九上·怀化期末）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
有两个不相等的实数根，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程的判别式的值确定方程根的情况解题．
3．（2024九上·怀化期末）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在二次函数y＝x2+2x﹣m的图象上，则下列有关y1和y2的大小关系的结论中正确的是（ ）
A．y1＝y2 B．y1＜y2 C．y1＞y2 D．与m的值有关
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：y＝x2+2x﹣m＝（x+1）2﹣1﹣m，
∵点A（﹣2，y1）是二次函数y＝（x+1）2﹣1﹣m图象上的点，
∴y1＝（﹣2+1）2﹣1﹣m＝1﹣1﹣m＝﹣m；
∵点B（1，y2）是二次函数y＝（x+1）2﹣1﹣m图象上的点，
∴y2＝（1+1）2﹣1﹣m＝4﹣1﹣m＝3﹣m．
∵﹣m<3﹣m．
∴y1＜y2．
故答案为：B．
【分析】把A、B两点的x值代入二次函数，然后比较y1和y2即可解题．
4．（2024九上·怀化期末）如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：A．，
，故本选项不符合题意；
B．，
，故本选项不符合题意；
C．，
，故本选项不符合题意；
D．，
，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平行线分线段成比例定理逐项判断解题．
5．（2024九上·怀化期末）已知直角三角形纸片的两直角边长分别是，，现将按如图所示那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：在直角中，
根据勾股定理得，
由折叠得，，
在直角中，
，
，
勾股定理得，
，
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理得到长，再根据，得到长，即可得到长，然后利用勾股定理得到长解题．
6．（2024九上·怀化期末）下列说法正确的是（ ）
A．了解某市学生的视力情况采用全面调查
B．试航前，对我国第一艘国产航母各系统进行检查，采用抽样调查
C．一组数据，，，，，的中位数是
D．甲、乙两个样本中，，，则甲的波动比乙大
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；中位数；方差
【解析】【解答】解：A. 了解某市学生的视力情况采用抽样面调查，原选项说法错误；
B. 试航前，对我国第一艘国产航母各系统进行检查，采用全面调查，原选项说法错误；
C. 一组数据，，，，，的中位数是 ，原选项说法错误；
D. 甲、乙两个样本中，，，则甲的波动比乙大，原选项说法正确；
故答案为：D．
【分析】根据抽样调查、全面调查、中位数、方差逐项判断解题．
7．（2024九上·怀化期末）设m，n是方程 的两个实数根，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】当 时，原方程 可转化为 ，
解得， ， （舍去）
当 时，原方程 可转化为 ，
解得， ， （舍去）
所以，方程 的两个实数根m，n的值分别是 ， ，
∴ .
故答案为：B.
【分析】先分 和 两种情况解方程，得到m，n的值，然后再代入 求出值即可.
8．（2024九上·怀化期末）如图，已知，分别为正方形的边、上的点，且，、分别交对角线于点、，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③ D．①②③④
【答案】D
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，把绕点顺时针旋转得到，
∴，，，，
∴H、B、C在同一直线上，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即，故结论①正确；
∵是正方形的对角线，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴，
又∵是正方形的对角线，
∴，
∴，故结论②正确；
如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故结论③正确；
如图，把按顺时针绕点旋转，连接，
∴，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即，故结论④正确，
综上可得：正确的结论有①②③④．
故答案为：D.
【分析】利用旋转的性质可得，，，利用SAS可得，然后根据全等三角形的性质的对应角相等可判断结论①；再利用正方形的性质可得，然后得到判断结论②；连接，可得，然后利用相似三角形的对应边成比例得出，判断结论③；把按顺时针绕点旋转，连接，即可得到是直角三角形，利用勾股定理可得，然后利用SAS可得，即可得到，判断结论④，解题即可．
9．（2024九上·怀化期末）已知在中，，，点是延长线上任意一点，作于点，于点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点作于点，设交于点，过点作于点，
，，，
，，，
则，
设，则，
则，
在中，，
则，
则，
故的最小值为，
故答案为：A.
【分析】设，则，即可得到BE长，在中，根据求出RH长，再根据得到二次函数求最值即可．
10．（2024九上·怀化期末）如图，已知抛物线过点与轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：①由图象可得，当时，，故①正确；
②由图象可得，直线与抛物线有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，故②正确；
③∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线过点与轴交点的横坐标分别为，，
∴对称轴为直线，
∵，，
∴，
∴，则，
∴，
故③错误；
④抛物线过点，
∴，
∵当时，，即，
当时，，
∴，即，
解得，
故④正确；
综上所述，正确的结论有①②④共3个，
故答案为：C．
【分析】根据x=-1时的抛物线上点的位置判断①；借助图象可得y=-1时对应两个x值判断②；确定对称轴的位置即可判断③；根据抛物线过点C得到，再根据和时的函数值为正数得到，代入计算判断④解题即可．
11．（2024九上·怀化期末）若二次函数的对称轴是直线，则 ．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴是直线，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】利用二次函数的对称轴是直线，求出m值解题即可．
12．（2024九上·怀化期末）如果关于的方程是一元二次方程，则常数k的值是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】根据一元一次方程的定义得到k-1≠0且|k+1|=2，求出k的值即可．
13．（2024九上·怀化期末）利用复印机的缩放功能放大一个三角形，将原图中边长为5，7，8的三角形的最长边放大到12，那么放大后的那个三角形的周长为 ．
【答案】30
【知识点】相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：∵利用复印机的缩放功能放大一个三角形，将原图中边长为5，7，8的三角形的最长边放大到12，
∴这两个三角形相似，且相似比是，
∴，
则放大后的那个三角形的周长为30，
故答案为：30．
【分析】利用相似三角形的周长比等于相似比解题即可．
14．（2024九上·怀化期末）我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于第一象限内的点，点在射线上，分别过点作轴、轴的垂线，交双曲线于点，将线段和函数的图像在之间的部分围成的区域（不含边界）记为区域．如果区域内恰有8个整点，那么点的横坐标的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：依题意，如图所示：
则区域W内恰有8个整点，由图可知点P只能位于A的上方如图：
如图，当P的纵坐标为7时，横坐标为，即，
结合图象可知，当时，区域内有8个整数点．
结合图象可知，当P的纵坐标大于7时，则横坐标大于，
则区域W内的整点数大于，故不符合题意，舍去；
结合图象可知，当P的纵坐标小于或等于6时，则横坐标小于或等于2，
则区域W内的整点数小于，故不符合题意，舍去；
故答案为：．
【分析】根据题意得到点P不能在点A下方，则点P在点A上方，结合函数图象得到不等式组解题．
15．（2024九上·怀化期末）如图，在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC于P、Q两点，则AP：PQ：QC= .
【答案】5：3：12
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，
∴△AMP∽△CDP，
∴AM：CD=AP：PC=AP：（PQ+QC），即：3AP=PQ+QC，①
∵AB∥DC，
∴△ANQ∽△CDQ，
∴AN：CD=AQ：QC=（AP+PQ）：QC，即2QC=3（AP+PQ），②
解①、②得：QC=4PQ，
∴AP=PQ，
∴AP：PQ：QC=：1：4=5：3：12，
故答案为：5：3：12．
【分析】根据 AB∥DC，得到△AMP∽△CDP和△ANQ∽△CDQ，即可得到3AP=PQ+QC，2QC=3（AP+PQ），然后求出比值即可．
16．（2024九上·怀化期末）如图，要将一段坡角为的路面削为坡角为的斜坡，已知原来的坡长为，则自坡顶挖下的铅直高度x约为 m．（参考数据：，，结果精确到）
【答案】7.4
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，，，，
设，
，
，
则
，
，
自坡顶挖下的铅直高度x约为，
故答案为：．
【分析】根据余弦求出，，再根据正切函数求出BD长，最后根据解题．
17．（2024九上·怀化期末）如图，平行四边形ABCD的一边AB在x轴上，长为5，且∠DAB＝60°，反比例函数y＝和y＝分别经过点C，D，则AD＝ ．
【答案】2
【知识点】反比例函数的图象；平行四边形的性质；解直角三角形—边角关系
18．（2024九上·怀化期末）如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点，点在抛物线上，是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为 ．
【答案】或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
19．（2024九上·怀化期末）计算：．
【答案】解：
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】代入特殊角的三角函数值，计算解题即可．
20．（2024九上·怀化期末）已知关于的一元二次方程，有一个根为2，求的值及方程的另一个根．
【答案】解：∵关于的一元二次方程，有一个根为2，
∴把代入，
得，
解得，
则，
∴，
即另一根是
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】将代入方程，求出，再根据解题求另一根即可．
21．（2024九上·怀化期末）如图，已知A(n，-2)、B（-1，4）是一次函数和反比例函数的图象的两个交点．
（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）当一次函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围是
【答案】（1）解：把B（ 1，4）代入反比例函数得，m＝ 4，∴反比例函数的关系式为，
把知A（n， 2）代入得，n＝2，
∴A（2， 2），
把A（2， 2），B（ 1，4）代入y＝kx＋b得 ，
解得，
∴一次函数的关系式为y＝ 2x＋2，
即反比例函数解析式为，一函数解析式为y＝ 2x＋2；
（2）解：设直线与y轴的交点为C，当x＝0时，y＝ 2×0＋2＝2，
∴点C的坐标是（0，2），
∴==×2×2＋×2×1＝3；
（3） 1＜x＜0或x＞2．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（3）解：当一次函数的值小于反比例函数的值，即kx＋b＜时，相应的x的取值范围为 1＜x＜0或x＞2．
故答案为： 1＜x＜0或x＞2．
【分析】
（1）运用待定系数法求函数解析式；
（2）设直线与y轴的交点为C，先求出点C的坐标，然后根据=解题；
（3）借助图象，得到自变量的取值范围即可．
22．（2024九上·怀化期末）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为．
（1）画出关于y轴对称的；
（2）以点O为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为；
（3）与的相似比是____．
【答案】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）如图所示：即为所求；
（3）
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】（3）解：，，
与的相似比，
故答案为：．
【分析】（1）根据轴对称的性质得到点A、B、C的对称点，然后依次连接即可；
（2）根据点和的坐标特征得到位似比，然后将B1、C1的横、纵坐标乘以-2得到、的坐标，然后描点连接即可；
（3）根据位似三角形的相似比等于位似比解题即可．
（1）解：如图所示：即为所求；
（2）如图所示：即为所求；
（3），，
与的相似比，
故答案为：．
23．（2024九上·怀化期末）某中学开展“每天阅读一小时”活动，根据学校实际情况，有以下四类读物供学生选择（每位学生必选一项）：A：科普类，B：文艺类，C：文学类，D：其他类．为了了解学生最喜欢哪一类读物，随机抽取了部分学生调查，将调查结果绘制了如下不完整的统计图．请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为__________．
（2）补全条形统计图
（3）扇形统计图中，“文学类”所对应的扇形圆心角的度数为__________度．
（4）该学校计划订购册上述四类课外读物，根据学生爱好，为满足学生需求，学校大约订购__________本“文学类”课外读物．
【答案】（1）
（2）解：喜欢的人数：（人），
补全条形统计图如下：
（3）
（4）
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次调查的样本容量为：（人），
故答案为：．
（3）扇形统计中，“文学类”所对应的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：．
（4）学校大约订购“文学类”课外读物为：（本），
故答案为：．
【分析】（1）根据喜欢的人数除以它所占百分比求出总人数解题；
（2）根据总人数减去喜欢其它组的人数得到喜欢的人数，再补全条形统计图解题；
（3）根据乘以喜欢的人数所占比例解题即可；
（4）根据乘以样本中喜欢的学生所占比解题即可．
（1）解：本次调查的样本容量为：（人），
故答案为：．
（2）喜欢的人数：（人），
补全条形统计图如下：
（3）扇形统计中，“文学类”所对应的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：．
（4）学校大约订购“文学类”课外读物为：（本），
故答案为：．
24．（2024九上·怀化期末）如图，在中，
（1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作，使得是以为底的等腰三角形，且点D在延长线上．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，已知：，求的底边上的高及的值．
【答案】（1）解：是以为底的等腰三角形，如图所示：
（2）解：∵是以为底的等腰三角形，，
设，
，
，，，
，
解得
即，
即，
则边上的高，
则边上的高，
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；求正弦值
【解析】【分析】（1）作线段的垂直平分线交的延长线于点D，连接解题；
（2）利用等腰三角形的性质即可得到，设，则，，，然后根据边长相等求出，再根据等积法求出边上的高，解题即可．
（1）解：是以为底的等腰三角形，如图所示：
；
（2）解：∵是以为底的等腰三角形，
，
设，
，
，，，
，
解得
即，
即，
则边上的高，
则边上的高，
，
故答案为：．
25．（2024九上·怀化期末）一元二次方程的根分别满足以下条件，求出实数的对应范围．
（1）两个根的平方和为12；
（2）两个根均大于；
（3）．
【答案】（1）解：∵一元二次方程的根的平方和为12，
∴，
∴，
解得或2
（2）解：∵一元二次方程，∴
∴方程总有两个不相等的实数根，
∵一元二次方程两个根均大于2，
∴且
即
而
且
解得：
综上
（3）解：，则
解得：
整理得：
∴
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据根于系数的关系得到，然后整理得到，整体代入解题即可．
（2）先根据根的判别式得到，再根据一元二次方程两个根均大于2，得到，解题即可．
（3）变形得出，代入，可得，然后解方程得到，解题即可．
（1）解：∵一元二次方程的根的平方和为12，
∴，
∴，
解得或2，
（2）解：∵一元二次方程，
∴
∴方程总有两个不相等的实数根，
∵一元二次方程两个根均大于2，
∴且
即
而
且
解得：
综上
（3）解：，
则
解得：
整理得：
∴．
26．（2024九上·怀化期末）已知，如图①，在平行四边形中，，，，沿的方向匀速平移得到，速度为：同时，点Q从点C出发，沿方向速移动，速度为，当停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为，连接，解答下列问题：
（1）_______，_______，_______，_______．
（2）当t为何值时，．
（3）设的面积为y（），求y与t之间的函数关系式．
【答案】（1）t；5-t；t；4-t
（2）如图所示，
∵，∴
∴，
∵，，.
∴，
即，
解得
（3）解：如图所示，作于点D，交的延长线于点，
∵，
则四边形为矩形，
，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
，
又∵，
∴的面积为：，
∴
【知识点】二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（1）解：，，
，
由题得：，，，.
故答案为：t；5-t；t；4-t.
【分析】（1）根据勾股定理得到，结合图形解题即可；
（2）先得到，即可得到，整理得到，即可解题；
（3）作于点D，交的延长线于点，可以得到，，进而得到，然后利用三角形的面积公式得到y关于t的函数关系式即可.
（1），，
，
由题得：，，，.
（2）如图所示，∵，
∴
∴，
∵，，.
∴，
即，
解得
（3）如图所示，作于点D，交的延长线于点，
∵，
则四边形为矩形，
，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
，
又∵，
∴的面积为：，
∴
