浙江省金华市浦江县2024-2025学年七年级上学期期末数学试题
1．（2025七上·浦江期末）某地区某日最高气温是零上，记作，最低气温是零下，应该记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵零上，记作，
∴最低气温是零下，应该记作，
故答案为：A
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量结合题意即可求解。
2．（2025七上·浦江期末）据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5784亿元.数据“5784亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 5784亿=578400000000=.
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.小技巧备注：“亿”后有8位，即5784亿为12位数.
3．（2025七上·浦江期末）计算过程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】利用加法运算法则解答．
4．（2025七上·浦江期末）在四个数中，最小的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵正数大于，负数小于，
∴最小的数在和中，
∵，两个负数绝对值大的反而小，
∴，
∴最小的数是，
故答案为：．
【分析】根据根据正数大于，负数小于，两个负数比较大小绝对值大的反而小解题即可．
5．（2025七上·浦江期末）一个长方形花圃的形状如图所示，则花圃中空白部分的面积可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：空白部分合并以后是一个边长为的正方形，则花圃中空白部分的面积可以表示为，
故答案为：D．
【分析】利用割补后得到空白部分是一个边长为的正方形解题即可．
6．（2025七上·浦江期末）一副三角板按图中的位置摆放，则其中和之间一定成立的数量关系是（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．不能确定
【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：，和互余，
故答案为：B．
【分析】利用余角的定义解题即可．
7．（2025七上·浦江期末）如图，某日晷基座的底面呈正方形，在其四周铺上花岗岩，形成一个边宽为米的正方形框．已知铺这个框恰好用了144块边长为米的正方形花岗岩，设日晷基座的底面边长为x米，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设日晷基座的底面边长为米，
依题意，得：．
故答案为：A．
【分析】设日晷基座的底面边长为米，利用“阴影部分的面积=4个长方形的面积”列一元一次方程解题．
8．（2025七上·浦江期末）如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线；②在射线上顺次截取；③在射线上截取；④在线段上截取，发现点B在线段上．由操作可知，线段（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：由图和题意，得：，
∴；
故答案为：C．
【分析】根据尺规作图，利用线段的和差计算解题．
9．（2025七上·浦江期末）小马同学在解关于x的方程时，在去分母过程中等号右边漏乘“6”，解得，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【知识点】一元一次方程-错解复原问题
【解析】【解答】解：按照小马同学去分母的过程得：，
把代入，得：，
解得：；
故答案为：B．
【分析】将代入去分母后的错误方程，解出k值即可．
10．（2025七上·浦江期末）把一列数：、、、、、……放置在如图所示的小圆圈内，则从上到下第行，且从左到右第个小圆圈内的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：∵第一行有个数，第行有个数，第行有个数第行有个数，
∴第行有个数，
∴第行的第个数为：，
∴第行的第个数为：，
故答案为：B．
【分析】先根据题意得到每一行的第一个数的规律，然后计算解题．
11．（2025七上·浦江期末） 的相反数是 ．
【答案】﹣
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解： +（﹣ ）=0，
故 的相反数是﹣ ，
故答案为﹣ ．
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可．
12．（2025七上·浦江期末）如图，在下午时整，时针和分针构成的角度是 度．
【答案】150
【知识点】钟面角
【解析】【解答】解：由题意，可知：下午时整，时针和分针构成的角度是；
故答案为：150．
【分析】利用钟面上每一格的度数为，解题即可．
13．（2025七上·浦江期末）如图，在中，于点D，点E在上．若，那么线段的长可以是 ．（写出一个即可）
【答案】3（答案不唯一）
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据垂线段最短可得，，
∵点E在上，
∴，
∴，
故答案为：3（答案不唯一）
【分析】根据垂线段最短得到BE的取值范围，然后解题即可．
14．（2025七上·浦江期末）如图，数轴上有一个边长为的正方形，其中点、表示的数分别为、，以为圆心，对角线为半径画弧交数轴上点左边于点，则表示的数为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：∵为正方形，边长为，
∴，，
∴在中，，
∵点所在的数为：，
∴点所在的数为：，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理求出长，即可得到点表示的数．
15．（2025七上·浦江期末）如图，，则结论：①；②；③；④中，正确的结论为 ．（填序号）．
【答案】①②③
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，则结论③正确；
∴，则结论①正确；
如图，过点作，
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，则结论②正确；
假设，
∵，
∴，
∴，
由①②可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，但根据已知条件不能得出，
∴假设不成立，即结论④错误；
综上，正确的结论为①②③，
故答案为：①②③．
【分析】利用平行线的判定定理得到，判断③；然后利用平行线的性质判断①；过点作，则，利用平行线的性质得到，然后利用垂直定义得到，，判断②；假设，即有，然后利用平行线的性质得到，即可得到，判断④解题即可．
16．（2025七上·浦江期末）某班同学外出研学，途中班长在队伍中数了一下他前后的人数，发现前面人数是后面的三倍，他往前超了11位同学，发现前面的人数和后面的人数一样，则这个班级共有学生 人．
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设这列队伍前面人，后面则有人，
根据题意得出：，
解得：，
这个班级共有学生．
故答案为：．
【分析】设这列队伍前面人，后面则有人，利用“ 往前超了11位同学，发现前面的人数和后面的人数一样 ”列一元一次方程解题．
17．（2025七上·浦江期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】有理数的乘法运算律；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据乘法分配律解题；
（2）先运算乘方，算术平方根，立方根和化简绝对值，然后运算乘除，再运算加减解题．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2025七上·浦江期末）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
．
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程即可；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程．
（1）解：，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
．
19．（2025七上·浦江期末）已知
（1）化简：；
（2）若，求（1）中代数式的值．
【答案】（1）解：∵，∴
；
（2）解：，∴，，
，
原式．
【知识点】绝对值的非负性；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】（1）先把A、B代入求出即可；
（2）先利用非负数的性质得到，然后代入解题即可．
（1）解：∵，
∴
；
（2）解：，
∴，，
，
原式．
20．（2025七上·浦江期末）如图是一个长方形休闲区，长，宽．其中：两个半圆形为休息区，直径为，长方形内有一块小长方形娱乐区，长，宽，其他的地方都是绿化草地．
（1）用代数式表示绿化草地的面积（结果保留）；
（2）当时，求绿化草地的面积（取3）．
【答案】（1）解： ；
（2）解： 当时，．
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）根据大长方形的面积休息区面积娱乐区面积解题即可；
（2）将x的值代入代数式计算解题．
（1）；
（2）当时，．
21．（2025七上·浦江期末）定义一种新运算“*”，规则如下：当时，；当时，；当时，．
（1）求值；
（2）已知，求x的值．
【答案】（1）解： ，
；
（2）解：情况一：当时，，
，
，
，
，
，
∴舍去，
情况二：当时，
，
，
，
，
，
∴舍去，
情况三：当时，
，
，
，
，
，
，
综上所述：．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解含分数系数的一元一次方程；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据新定义的运算法则，进行计算即可求解；
（2）分三种情况，根据新定义运算法则，列一元一次方程解题即可．
（1） ，
；
（2）情况一：当时，
，
，
，
，
，
，
∴舍去，
情况二：当时，
，
，
，
，
，
∴舍去，
情况三：当时，
，
，
，
，
，
，
综上所述：．
22．（2025七上·浦江期末）如图，四条直线交于点A、B、C、D，解答下列问题．
（1）若，，那么吗？说明理由．
（2）若，，那么吗？说明理由．
【答案】（1）解：，理由如下：如图，
∵，
（两直线平行，内错角相等），
∵，
（两直线平行，同位角相等），
（等量代换）；
（2）解：，理由如下：∵，
（两直线平行，内错角相等），
，
（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据可得，然后根据可得，即可得到结论；
（2）根据可得，再根据即可得到，证明结论．
（1）解：，理由如下：
如图，
∵，
（两直线平行，内错角相等），
∵，
（两直线平行，同位角相等），
（等量代换）；
（2）解：，理由如下：
∵，
（两直线平行，内错角相等），
，
（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
23．（2025七上·浦江期末）2024年11月5日至10日，第七届中国国际进口博览会（进博会）在上海举行．某工艺品厂接到生产一批水晶工艺品的任务，为按时完成任务，厂家做了相关的准备，请帮工艺品厂解决问题．
问题内容
素材1 工艺品厂原有熟练技术工5人，助理技术工8人，因生产需要，现要从其他厂家借用11名技术工，使得工艺品厂的熟练技术工和助理技术工的人数之比为．
素材2 假设每个包装箱里面装的水晶工艺品个数都相同，每种技术工的工作效率也相同．经测试，在一天时间内，5名熟练技术工可以生产8箱还少40个工艺品；8名助理技术工可以生产9箱还少15个工艺品；已知每名熟练技术工比助理技术工每天多生产20个工艺品．
问题解决
任务1 请计算从其他厂家借用的技术工中，熟练技术工和助理技术工各有几人？
任务2 请计算每名熟练技术工和助理技术工每天各能生产多少个工艺品？
【答案】解：任务1：设借用的技术工中，熟练技术工为x人，则助理技术工为人，
，
，
答：借用的技术工中，熟练技术工为1人，则助理技术工为10人．
任务2：设每箱工艺品个数为y个，
，
（个），
（个），
答：每名熟练技术工每天能生产80个工艺品，每名助理技术工每天能生产60个工艺品．
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】任务1：设借用的技术工中，熟练技术工为x人，根据题意列一元一次方程解题即可；
任务2：设每箱工艺品个数为y个，根据题意列一元一次方程解题即可．
24．（2025七上·浦江期末）问题研究：
如图1，已知点、（点在左边）在线段（点在左边）上，点、分别是线段的中点．若，求线段的长．
拓展学习：
如图2，直线l上有线段（点在左边）和线段（点在左边），且线段在线段外移动，点、分别是线段的中点．若，那么在线段移动过程中，线段的长是否会发生变化，若不变化，请用含、的代数式表示的长．若发生变化请说明理由．
类比学习
如图3，已知（度）在（度）左侧，若射线分别满足，求的值（用含、的代数式表示）．
【答案】解：（1）∵点、分别是线段的中点，，
，
，
，
；
（2）∵点、分别是线段的中点，
，
，
，
的长不会发生变化；
（3）设（度），则度，度；
，
则度，度，
则度．
【知识点】角的运算；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）先根据线段的中点得到的长，然后根据解题即可；
（2）先根据线段的中点得到的长，然后根据解题即可；
（3）设（度），即可得到，然后根据解题即可．
浙江省金华市浦江县2024-2025学年七年级上学期期末数学试题
1．（2025七上·浦江期末）某地区某日最高气温是零上，记作，最低气温是零下，应该记作（ ）
A． B． C． D．
2．（2025七上·浦江期末）据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5784亿元.数据“5784亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025七上·浦江期末）计算过程正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025七上·浦江期末）在四个数中，最小的数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025七上·浦江期末）一个长方形花圃的形状如图所示，则花圃中空白部分的面积可以表示为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025七上·浦江期末）一副三角板按图中的位置摆放，则其中和之间一定成立的数量关系是（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．不能确定
7．（2025七上·浦江期末）如图，某日晷基座的底面呈正方形，在其四周铺上花岗岩，形成一个边宽为米的正方形框．已知铺这个框恰好用了144块边长为米的正方形花岗岩，设日晷基座的底面边长为x米，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025七上·浦江期末）如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线；②在射线上顺次截取；③在射线上截取；④在线段上截取，发现点B在线段上．由操作可知，线段（ ）
A． B． C． D．
9．（2025七上·浦江期末）小马同学在解关于x的方程时，在去分母过程中等号右边漏乘“6”，解得，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
10．（2025七上·浦江期末）把一列数：、、、、、……放置在如图所示的小圆圈内，则从上到下第行，且从左到右第个小圆圈内的数是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025七上·浦江期末） 的相反数是 ．
12．（2025七上·浦江期末）如图，在下午时整，时针和分针构成的角度是 度．
13．（2025七上·浦江期末）如图，在中，于点D，点E在上．若，那么线段的长可以是 ．（写出一个即可）
14．（2025七上·浦江期末）如图，数轴上有一个边长为的正方形，其中点、表示的数分别为、，以为圆心，对角线为半径画弧交数轴上点左边于点，则表示的数为 ．
15．（2025七上·浦江期末）如图，，则结论：①；②；③；④中，正确的结论为 ．（填序号）．
16．（2025七上·浦江期末）某班同学外出研学，途中班长在队伍中数了一下他前后的人数，发现前面人数是后面的三倍，他往前超了11位同学，发现前面的人数和后面的人数一样，则这个班级共有学生 人．
17．（2025七上·浦江期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（2025七上·浦江期末）解方程：
（1）；
（2）．
19．（2025七上·浦江期末）已知
（1）化简：；
（2）若，求（1）中代数式的值．
20．（2025七上·浦江期末）如图是一个长方形休闲区，长，宽．其中：两个半圆形为休息区，直径为，长方形内有一块小长方形娱乐区，长，宽，其他的地方都是绿化草地．
（1）用代数式表示绿化草地的面积（结果保留）；
（2）当时，求绿化草地的面积（取3）．
21．（2025七上·浦江期末）定义一种新运算“*”，规则如下：当时，；当时，；当时，．
（1）求值；
（2）已知，求x的值．
22．（2025七上·浦江期末）如图，四条直线交于点A、B、C、D，解答下列问题．
（1）若，，那么吗？说明理由．
（2）若，，那么吗？说明理由．
23．（2025七上·浦江期末）2024年11月5日至10日，第七届中国国际进口博览会（进博会）在上海举行．某工艺品厂接到生产一批水晶工艺品的任务，为按时完成任务，厂家做了相关的准备，请帮工艺品厂解决问题．
问题内容
素材1 工艺品厂原有熟练技术工5人，助理技术工8人，因生产需要，现要从其他厂家借用11名技术工，使得工艺品厂的熟练技术工和助理技术工的人数之比为．
素材2 假设每个包装箱里面装的水晶工艺品个数都相同，每种技术工的工作效率也相同．经测试，在一天时间内，5名熟练技术工可以生产8箱还少40个工艺品；8名助理技术工可以生产9箱还少15个工艺品；已知每名熟练技术工比助理技术工每天多生产20个工艺品．
问题解决
任务1 请计算从其他厂家借用的技术工中，熟练技术工和助理技术工各有几人？
任务2 请计算每名熟练技术工和助理技术工每天各能生产多少个工艺品？
24．（2025七上·浦江期末）问题研究：
如图1，已知点、（点在左边）在线段（点在左边）上，点、分别是线段的中点．若，求线段的长．
拓展学习：
如图2，直线l上有线段（点在左边）和线段（点在左边），且线段在线段外移动，点、分别是线段的中点．若，那么在线段移动过程中，线段的长是否会发生变化，若不变化，请用含、的代数式表示的长．若发生变化请说明理由．
类比学习
如图3，已知（度）在（度）左侧，若射线分别满足，求的值（用含、的代数式表示）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵零上，记作，
∴最低气温是零下，应该记作，
故答案为：A
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量结合题意即可求解。
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 5784亿=578400000000=.
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.小技巧备注：“亿”后有8位，即5784亿为12位数.
3．【答案】D
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】利用加法运算法则解答．
4．【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵正数大于，负数小于，
∴最小的数在和中，
∵，两个负数绝对值大的反而小，
∴，
∴最小的数是，
故答案为：．
【分析】根据根据正数大于，负数小于，两个负数比较大小绝对值大的反而小解题即可．
5．【答案】D
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：空白部分合并以后是一个边长为的正方形，则花圃中空白部分的面积可以表示为，
故答案为：D．
【分析】利用割补后得到空白部分是一个边长为的正方形解题即可．
6．【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：，和互余，
故答案为：B．
【分析】利用余角的定义解题即可．
7．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设日晷基座的底面边长为米，
依题意，得：．
故答案为：A．
【分析】设日晷基座的底面边长为米，利用“阴影部分的面积=4个长方形的面积”列一元一次方程解题．
8．【答案】C
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：由图和题意，得：，
∴；
故答案为：C．
【分析】根据尺规作图，利用线段的和差计算解题．
9．【答案】B
【知识点】一元一次方程-错解复原问题
【解析】【解答】解：按照小马同学去分母的过程得：，
把代入，得：，
解得：；
故答案为：B．
【分析】将代入去分母后的错误方程，解出k值即可．
10．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：∵第一行有个数，第行有个数，第行有个数第行有个数，
∴第行有个数，
∴第行的第个数为：，
∴第行的第个数为：，
故答案为：B．
【分析】先根据题意得到每一行的第一个数的规律，然后计算解题．
11．【答案】﹣
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解： +（﹣ ）=0，
故 的相反数是﹣ ，
故答案为﹣ ．
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可．
12．【答案】150
【知识点】钟面角
【解析】【解答】解：由题意，可知：下午时整，时针和分针构成的角度是；
故答案为：150．
【分析】利用钟面上每一格的度数为，解题即可．
13．【答案】3（答案不唯一）
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据垂线段最短可得，，
∵点E在上，
∴，
∴，
故答案为：3（答案不唯一）
【分析】根据垂线段最短得到BE的取值范围，然后解题即可．
14．【答案】
【知识点】勾股定理；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：∵为正方形，边长为，
∴，，
∴在中，，
∵点所在的数为：，
∴点所在的数为：，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理求出长，即可得到点表示的数．
15．【答案】①②③
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，则结论③正确；
∴，则结论①正确；
如图，过点作，
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，则结论②正确；
假设，
∵，
∴，
∴，
由①②可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，但根据已知条件不能得出，
∴假设不成立，即结论④错误；
综上，正确的结论为①②③，
故答案为：①②③．
【分析】利用平行线的判定定理得到，判断③；然后利用平行线的性质判断①；过点作，则，利用平行线的性质得到，然后利用垂直定义得到，，判断②；假设，即有，然后利用平行线的性质得到，即可得到，判断④解题即可．
16．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设这列队伍前面人，后面则有人，
根据题意得出：，
解得：，
这个班级共有学生．
故答案为：．
【分析】设这列队伍前面人，后面则有人，利用“ 往前超了11位同学，发现前面的人数和后面的人数一样 ”列一元一次方程解题．
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】有理数的乘法运算律；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据乘法分配律解题；
（2）先运算乘方，算术平方根，立方根和化简绝对值，然后运算乘除，再运算加减解题．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
．
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程即可；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程．
（1）解：，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
．
19．【答案】（1）解：∵，∴
；
（2）解：，∴，，
，
原式．
【知识点】绝对值的非负性；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】（1）先把A、B代入求出即可；
（2）先利用非负数的性质得到，然后代入解题即可．
（1）解：∵，
∴
；
（2）解：，
∴，，
，
原式．
20．【答案】（1）解： ；
（2）解： 当时，．
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）根据大长方形的面积休息区面积娱乐区面积解题即可；
（2）将x的值代入代数式计算解题．
（1）；
（2）当时，．
21．【答案】（1）解： ，
；
（2）解：情况一：当时，，
，
，
，
，
，
∴舍去，
情况二：当时，
，
，
，
，
，
∴舍去，
情况三：当时，
，
，
，
，
，
，
综上所述：．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解含分数系数的一元一次方程；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据新定义的运算法则，进行计算即可求解；
（2）分三种情况，根据新定义运算法则，列一元一次方程解题即可．
（1） ，
；
（2）情况一：当时，
，
，
，
，
，
，
∴舍去，
情况二：当时，
，
，
，
，
，
∴舍去，
情况三：当时，
，
，
，
，
，
，
综上所述：．
22．【答案】（1）解：，理由如下：如图，
∵，
（两直线平行，内错角相等），
∵，
（两直线平行，同位角相等），
（等量代换）；
（2）解：，理由如下：∵，
（两直线平行，内错角相等），
，
（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据可得，然后根据可得，即可得到结论；
（2）根据可得，再根据即可得到，证明结论．
（1）解：，理由如下：
如图，
∵，
（两直线平行，内错角相等），
∵，
（两直线平行，同位角相等），
（等量代换）；
（2）解：，理由如下：
∵，
（两直线平行，内错角相等），
，
（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
23．【答案】解：任务1：设借用的技术工中，熟练技术工为x人，则助理技术工为人，
，
，
答：借用的技术工中，熟练技术工为1人，则助理技术工为10人．
任务2：设每箱工艺品个数为y个，
，
（个），
（个），
答：每名熟练技术工每天能生产80个工艺品，每名助理技术工每天能生产60个工艺品．
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】任务1：设借用的技术工中，熟练技术工为x人，根据题意列一元一次方程解题即可；
任务2：设每箱工艺品个数为y个，根据题意列一元一次方程解题即可．
24．【答案】解：（1）∵点、分别是线段的中点，，
，
，
，
；
（2）∵点、分别是线段的中点，
，
，
，
的长不会发生变化；
（3）设（度），则度，度；
，
则度，度，
则度．
【知识点】角的运算；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）先根据线段的中点得到的长，然后根据解题即可；
（2）先根据线段的中点得到的长，然后根据解题即可；
（3）设（度），即可得到，然后根据解题即可．
