2024-2025 学年福建省厦门三十中八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.下列式子中，表示 是 的正比例函数的是( )
A. = + 5 B. = 2 C. = 2 2 D. = 2
2.以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是( )
A. 1，1，1 B. 1,2, 5 C. 3，4，6 D. 2,3,2 3
3.下列计算中，正确的是( )
A. 2 + 5 = 7 B. 5 3 3 = 5
C. 18 ÷ 3 = 15 D. 12 × 3 = 6
4.将直线 = 12 1 向下平移 3 个单位长度得到直线 ，则直线 的解析式为( )
A. = 12 4 B. =
1
2 3 C. =
1
2 + 2 D. =
1
2 3
5.用配方法解方程 2 6 + 2 = 0，下列变形正确的是( )
A. ( 3)2 = 2 B. ( + 3)2 = 2 C. ( 3)2 = 7 D. ( + 3)2 = 7
6.某次演讲比赛中，小东同学在演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面的成绩(百分制)如表，若对演讲内
容、演讲能力、演讲效果分别赋权 5，3，2，则小东同学此次演讲比赛的平均成绩(百分制)是( )
演讲内容 演讲能力 演讲效果
分数 90 80 85
A. 80 B. 85 C. 86 D. 90
7.下列各命题的逆命题成立的是( )
A.菱形四条边相等
B.如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
C.等边三角形是锐角三角形
D.全等三角形的对应角相等
8.在平面直角坐标系 中，正比例函数 = 的图象经过点 1( 1, 1)， 2(2, 2)，且 1 > 2，则 的值
可能为( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. 1
第 1页，共 15页
9.如图所示的 4 × 4 正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段 的两个端点都在格点上.若线段
为 的一边， 的四个顶点都在 4 × 4 正方形网格的格点上，则这样的平行四边形的个数为( )
A. 3 个
B. 4 个
C. 8 个
D. 11 个
10.如图①，在正方形 中，点 是 的中点，点 是对角线 上一动点，设 = ， + = ，图
②是 关于 的函数图象，且图象上最低点 的坐标为( , 2 5)，则正方形 的边长为( )
A. 2 2 B. 2 5 C. 4 D. 5
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。
11.式子 2 4在实数范围内有意义，则 的取值范围是______．
12.已知正比例函数 = 的图象经过点(1,2)，则 的值为______．
13.如图，在 中，∠ = 70°，若 = ，则∠ 的大小为______．
14.一次函数 = + ( ≠ 0)中两个变量 ， 的部分对应值如下表所示：那么关于 的不等式 + ≥ 7
的解集是______．
… 4 3 2 1 0 …
… 9 7 5 3 1 …
15.为增强员工身体素质，营造“健康生活、快乐工作”的氛围，某公司开展了健步走计步打卡活动.以下统
计图反映的是某位员工 6 月 1 日——14 日连续两个星期健步走的步数.根据统计图提供的信息，有下列三个
结论：
①该员工这 14 天健步走的步数的众数和中位数都是 1.8 万步；
②该员工两个星期健步走的步数从高到低 2.0 排名，6 月 7 日所走步数在这 14 天中排名第三；
③若该员工 6 月 1 日——7 日健步走的步数的方差记作 21，6 月 8 日——14 日健步走的步数的方差记作 22，
则 21 > 22.其中所有正确结论的序号是______．
第 2页，共 15页
16.如图，正方形 的边长为 4，点 ， 分别在 ， 上，且 = ， 与
交于点 ，若四边形 的面积为 3，则 = ______．
三、解答题：本题共 9 小题，共 86 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 12 分)
(1) 1 1计算： 2 × 24 + 6 3 3；
(2)解方程： 2 5 + 2 = 0．
18.(本小题 8 分)
如图，在 中，点 ， 分别在 ， 上，且∠ = ∠ .求证： = ．
19.(本小题 8 分)
已知一次函数 = + 2 的图象经过点( 1,0)，求该函数解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图
象．
20.(本小题 8 分)
如图，在四边形 中，∠ = 90°， = = 2， = 3， = 1，求四边形 的面积．
第 3页，共 15页
21.(本小题 8 分)
为了从甲、乙两位同学中选出一人担任班长，全班同学都对甲、乙两人进行了无记名等级制投票.为了方便
统计，大家约定： 表示 95 分， 表示 90 分， 表示 85 分， 表示 80 分；综合平均得分高的同学当选为
班长.投票结果统计如下：
甲同学得票情况统计表
等级
人数 15 20
根据以上信息，解决下列问题：
(1) = ______， = ______；
(2)乙同学说自己 等级的票数比甲同学少，一定能当选为班长.你认为乙同学的说法是否正确？若正确，请
说明理由；若不正确，请举例说明．
22.(本小题 9 分)
如图，已知矩形 ，点 是 中点，连接 ．
(1)尺规作图：求作与△ 关于直线 对称的△ ，点 、 是对应点；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)条件下，连接 ， ，延长 交 于 ，当 恰为 中点时，试判断△ 的形状，并证明你的
结论．
第 4页，共 15页
23.(本小题 10 分)
【问题背景】
新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达
到保护环境的目的．
【实验操作】
为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计
两组实验．
实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量 (%)与时间 (分钟)的关系数据记录如表 1：
电池充电状态
时间 (分钟) 0 10 15 40
增加的电量 (%) 0 20 30 80
实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量 (%)与行驶里(千米)的关系，数据记录
如表 2：
汽车行驶过程
已行驶里程 (千米) 160 200 280
显示电量 (%) 100 60 50 30
【建立模型】
(1)观察表 1、表 2 发现都是一次函数模型请结合表 1、表 2 的数据，求出 关于 的函数表达式及 关于 的
函数表达式．
【解决问题】
(2)某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点 560 千米处的目的地，若电动汽车行驶 300 千米
后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为
10%，则电动汽车在服务区充电多长时间？
24.(本小题 11 分)
在平面直角坐标系 中，已知矩形 ，其中点 (5,0)， (5,4)， (0,4).给出如下定义：若点 关于直线
： = 的对称点 ′在矩形 的内部或边上，则称点 为矩形 关于直线 的“关联点”．
例如，图 1 中的点 ，点 都是矩形 关于直线 ： = 3 的“关联点”．
(1)如图 2，在点 1(4,1)， 2( 3,3)， 3( 2,0)， 4( 6, 2)中，是矩形 关于直线 ： = 1 的“关
联点”的为______；
(2)如图 2，点 ( + 1, 1)是矩形 关于直线 ： = 1 的“关联点”，求 的取值范围；
第 5页，共 15页
(3) 1 1如图 3，若在直线 = 2 + 上存在点 ，使得点 是矩形 关于直线 ： = 2的“关联点”，请直
接写出 的取值范围______. (不写过程)
25.(本小题 12 分)
在等边△ 中，点 、 、 分别为 、 、 中点．
(1)连接 、 ．
①如图 1，求证：四边形 为菱形；
②如图 2，若点 、 分别在边 、 上，且满足 = = 4，∠ = 2∠ .求 的长；
(2)如图 3，点 、 、 分别为线段 、 、 上的动点，且满足 = ，∠ = 120°，连接 、 ，
试探究 2、 2与 2之间的数量关系．
第 6页，共 15页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. ≥ 2
12.2
13.40°
14. ≤ 3
15.③
16.2
17.(1) 3原式= 12 + 6 × 3 3，
= 2 3 + 2 3 3，
= 3 3；
(2) ∵ = 1， = 5， = 2，
∴ = 2 4 = 25 8 = 17，
∵ = ± 2 ，
∴ = 5+ 17 5 171 2 ， 2 = 2 ．
18.证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ∠ = ∠ ， = ， = ．
在△ 和△ 中，
∠ = ∠
∠ = ∠ ，
=
第 7页，共 15页
∴△ ≌△ ( )；
∴ = ，
∵ = ，
∴ = ，
即 = ．
19.解：将( 1,0)代入 = + 2 得 0 = + 2，
解得 = 2，
∴一次函数的解析式为： = 2 + 2．
令 = 0，则 = 2
一次函数与 轴的交点为(0,2)
根据( 1,0)和(0,2)画出函数图象如下：
20.解：连结 ，
在△ 中，∠ = 90°， = = 2，
∴ 2 = 2 + 2 = 22 + 22 = 8，
∵ = 3， = 1，
∴ 2 2 = 32 12 = 8 = 2，
第 8页，共 15页
∴ ⊥ ，
∴ 1四边形 = △ + △ = 2 ( + ) =
1
2 (2 × 2 + 2 2 × 1) = 2 + 2．
答：四边形 的面积为 2 + 2．
21.(1)甲同学得票总数：20 ÷ 40% = 50(票)，
∴ = 50 × 10% = 5，
= 50 15 20 5 = 10，
故答案为：10，5；
(2)乙同学的说法不正确，
假设乙 等级的票数为 4 票，则乙 等级的票数为 50 20 15 4 = 11(票)，
∴ = 15×95+20×90+10×85+5×80甲 50 = 89.5，
11 × 95+ 20 × 90+ 15 × 85+ 4 × 80
乙 = 50 = 88.8
∵ 89.5 > 88.8，
∴甲当选为班长，
∴乙同学的说法不正确．
22.解：(1)如图，过点 作 的垂线，交 于点 ，以点 为圆心， 的长为半径画弧，交 的延长线于
点 ，连接 ， ，
则△ 即为所求．
(2) △ 为直角三角形．
理由：∵△ 与△ 关于直线 对称，
∴ ∠ = 90°， = ，
∴ ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 90°．
∵点 是 中点，
第 9页，共 15页
∴ = ，
∴ = ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ + ∠ = 90°．
∵四边形 为矩形，
∴ ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ = ．
∵点 为 中点，
∴ = ，
∴ = ，
∴ ∠ = ∠ ．
∵ ∠ + ∠ + ∠ = ∠ + ∠ + ∠ + ∠ = 2∠ + 2∠ = 2∠ = 180°，
∴ ∠ = 90°，
∴△ 为直角三角形．
23.解：(1)设 关于 的函数表达式为 = 1 ( 1为常数，且 1 ≠ 0)，
将 = 10， = 20 代入 = 1 ，
得 10 1 = 20，
解得 1 = 2，
∴ 关于 的函数表达式为 = 2 ．
设 关于 的函数表达式为 = 2 + ( 2、 为常数，且 2 ≠ 0)，
将 = 160， = 60 和 = 200， = 50 分别代入 = 2 + ，
160 2 + = 60得 200 2 + = 50
，
= 1
解得 2 4，
= 100
∴ 1关于 的函数表达式为 = 4 + 100．
(2)当 = 300 时， = 14 × 300 + 100 = 25，
∴行驶 300 千米后，电动汽车仪表盘显示电量为 25，
第 10页，共 15页
充电 分钟后，增加的电量为 = 2 ，
∴充电 分钟后，电动汽车仪表盘显示电量为(25 + 2 )，
1
若在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量为 4 × (560 300) + 100 = 35，
∴行驶完剩余的路程消耗的电量为 100 35 = 65，
∴ 25 + 2 10 = 65，
∴ = 25．
答：电动汽车在服务区充电 25 分钟．
24.(1)画出点 1(4,1)， 2( 3,3)， 3( 2,0)， 4( 6, 2)关于直线 ： = 1 的对称点，如图 2，
由图可知，只有点 2， 3的对称点在矩形 的边上或内部，
故答案为： 2， 3；
(2)设点 ( + 1, 1)关于直线 ： = 1 的对称点为 ′( , 1)，
∴ +1+ 2 = 1，
解得： = 3，
∴ ′( 3, 1)，
∵点 ( + 1, 1)是矩形 关于直线 ： = 1 的“关联点”，
∴ ′( 3, 1)在矩形 的边上或内部，
0 ≤ 3 ≤ 5
依题意得： 0 ≤ 1 ≤ 4，
解得：3 ≤ ≤ 5；
(3) 1的取值范围为2 ≤ ≤ 7；理由如下：
1
如图 3，画出矩形 关于直线 ： = 2的对称矩形 ′ ′ ′ ′，
第 11页，共 15页
∵在直线 = 12 + 上存在点 ，使得点 是矩形
1
关于直线 ： = 2的“关联点”，
∴ 1直线 = 2 + 与矩形 ′ ′ ′ ′必有交点，
= 1当 2 +
1
过点 ′( 1,0)时，得： 2 + = 0，
= 1解得： 2；
当 = 12 + 过点 ′( 6,4)时，得：
12 × 6 + = 4，
解得： = 7，
∴ 1的取值范围为2 ≤ ≤ 7，
25.(1)①证明：∵等边△ 中，点 、 、 分别为 、 、 中点，
∴ = 1 1，∠ = 60°， = 2 = 2 = ， 为△ 的中位线，
∴ // , = 12 = ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ = ，
∴平行四边形 为菱形；
②解：延长 ， 交于点 ，作 ⊥ 于点 ，如图 2，
第 12页，共 15页
∵四边形 为菱形， = = 4，
∴ = = = = + = 8， / / ，
∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ = 60°，∠ = ∠ ，
在△ 和△ 中，
∠ = ∠
∠ = ∠ ，
=
∴△ ≌△ ( )，
∴ = = 8，
∵ ∠ = ∠ = 2∠ ，
∴ 平分∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ = ，
设 = ，则： = = + = 8 + ， = = 8 ，
在 △ 中，∠ = 60°，
∴ ∠ = 30°，
∴ = 12 =
1
2 (8 )， = 3 =
3
2 (8 )，
∴ = + = 12 12 ，
在 △ 中，由勾股定理，得： 2 = 2 + 2，
∴ (12 1 )2 + [ 32 2 (8 )]
2 = (8 + )2，
解得： = 165，
∴ = 165；
第 13页，共 15页
(2)解： 2 2 = 2 2.理由如下：
∵△ 为等边三角形，
∴ ∠ = ∠ = 60°， = ，
∵ // ，
∴ ∠ + ∠ = 180°，∠ + ∠ = 180°，∠ = ∠ = 60°，
∴ ∠ = ∠ = 120°，
∴ ∠ + ∠ = 180° ∠ = 60°，
∵ ∠ = 120°，
∴ ∠ + ∠ = 180° ∠ = 60°，
∴ ∠ = ∠ ，
在△ 和△ 中，
∠ = ∠
∠ = ∠ ，
=
∴△ ≌△ ( )，
∴ = ， = ，
∴ ∠ = ∠ = 12 (180° ∠ ) = 30°，
设 = = ， = = ，则： = + ，
作 ⊥ 交 的延长线于点 ，作 ⊥ 于点 ，如图 3，
在 △ 中，∠ = ∠ = 60°，
∴ ∠ = 30°，
∴ = 12 =
1
2 ， = 3 =
3
2 ，
∴ = + = + 32 ， = + =
1
2 + ，
在 △ 中，由勾股定理，得： 2 = 2 + 2 = ( 32 )
2 + ( + 3 2 2 22 ) = + 3 + 3 ，
第 14页，共 15页
在 △ 3 1中，由勾股定理，得： 2 = 2 + 2 = 2 = ( 2 2 2 22 ) + ( + 2 ) = + + ，
∵ = ， ⊥ ，
∴ = 2 ，
∵ ∠ = 30°，
∴ = 12 , = 3 =
3
2 ，
∴ = 2 = 3 ，
∴ 2 = 3 2 = 3( 2 + + 2) = 3 2 + 3 + 3 2，
∴ 2 2 = 2 2 = 2 2；
故 2 2 = 2 2．
第 15页，共 15页
