2024-2025 学年江苏省无锡第六高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个小球从 5 米的高处自由下落，其运动方程为 ( ) = 4.9 2，则 = 1 秒时小球的瞬时速度为( )
A. 9.8 米/秒 B. 4.9 米/秒 C. 9.8 米/秒 D. 4.9 米/秒
2.函数 ( ) = 3 3 + 1 在闭区间[ 2, 32 ]上的最大值是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3.某单位要邀请 10 位教师中的 6 人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则不同的邀请方
法有( )
A. 84 种 B. 98 种 C. 112 种 D. 140 种
4.在 8 件同一型号的产品中，有 3 件次品，5 件合格品，现不放回的从中依次抽取 2 件，在第一次抽到次
品的条件下，第二次抽到次品的概率是( )
A. 1 B. 128 10 C.
1 2
9 D. 7
5.若 3 3 6 2 = 4 1 +1，则 =( )
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
6.已知函数 = ( )的导函数 = ′( )的图象如图所示，则下列说法一定正确的是( )
A. ∈ [0, ]时， ( )的值为常数
B. ∈ [ , ]时， ( )单调递减
C. = 时， ( )取得极小值
D. = 时， ( )取得最小值
7.( + 2 9 2 ) 的展开式中常数项为( )
A. 672 B. 684 C. 84 D. 72
8.已知 ( )定义域为(0, + ∞)， ′( )为 ( )的导函数，且满足 ( ) < ′( )，则不等式 ( + 1) > (
1) ( 2 1)的解集是( )
A. (0,1) B. (1, + ∞) C. (1,2) D. (2, + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导正确的是( )
A. [(3 + 5)3]′ = 9(3 + 5)2 B. ( 3 )′ = 3 2 + 2
C. ( 2 ) = 2 +4 2 ′ 3 D. (2
+ )′ = 2 2
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10.若(2 + 1)10 = + 2 3 100 1( + 1) + 2( + 1) + 3( + 1) + … + 10( + 1) ， ∈ ，则( )
A. 0 = 1
B. = 210 10 ( 1) ， = 0，1，2， ，10
C. 1 + 2 + + 10 = 1
D. ( 0 + 2 + + 2 210) ( 1 + 3 + + 9) = 310
11.已知函数 ( ) = 2 6 ，则 ( )在(2,4)上不单调的一个充分不必要条件有( )
A. ∈ ( ∞, 14 ) B. ∈ ( ∞,
1
3 ) C. ∈ (
1
6 , + ∞) D. ∈ (
1 , 13 3 )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若函数的导数为 ′( )，且 ( ) = 2 ′(2) + 3，则 ( ) = ______．
13.学校有 ， 两个餐厅，小明同学的早餐和午餐一定在其中某个餐厅用餐．如果小明同学早餐在 餐厅用
3
餐，那么他午餐也在 餐厅用餐的概率是4；如果小明同学早餐在 餐厅用餐，那么他午餐在 餐厅用餐的概
1 3
率是4 .若小明同学早餐在 餐厅用餐的概率是4，那么他午餐在 餐厅用餐的概率是______．
14.设离散型随机变量 的分布列为
0 1 2 3 4
0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
若离散型随机变量 满足 = 2 + 1，则 ( ) = ； ( ) = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某旅行团要从 8 个景点中选 2 个景点作为当天的旅游地，满足下列条件的选法各有多少种？
(1)甲、乙 2 个景点至少选 1 个；
(2)甲、乙 2 个景点至多选 1 个；
(3)甲、乙 2 个景点必须选 1 个且只能选 1 个．
16.(本小题 15 分)
设函数 ( ) = 3 + 2 2．
(1)求 ( )在 = 2 处的切线方程；
(2)求 ( )的单调增区间；
(3)求 ( )的极值．
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17.(本小题 15 分)
已知( 2 + 2 ) 73 的展开式中，第 5 项的二项式系数与第 3 项的系数之比为 6．
(1)求 的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项；
(3)将展开式中的各项重新随机排列，求有理项互不相邻的概率．
18.(本小题 17 分)
随着五一黄金周的到来，各大旅游景点热闹非凡，为了解 、 两个旅游景点游客的满意度，某研究性学习
小组采用随机抽样的方法，获得关于 旅游景点的问卷 100 份，关于 旅游景点的问卷 80 份.问卷中，对景
点的满意度等级为：非常满意、满意、一般、差评，对应分数分别为：4 分、3 分、2 分、1 分，数据统计
如表：
非常满意满意一般差评
景点 50 30 5 15
景点 35 30 7 8
假设用频率估计概率，且游客对 ， 两个旅游景点的满意度评价相互独立．
(1)从所有(人数足够多)在 旅游景点的游客中随机抽取 2 人，从所有(人数足够多)在 旅游景点的游客中随
机抽取 2 人，估计这 4 人中恰有 2 人给出“非常满意”的概率；
(2)根据上述数据，你若旅游，你会选择 、 哪个旅游景点？说明理由．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ( + ) ．
(1)若 ( )在( ∞,1]上是减函数，求实数 的取值范围；
(2)当 = 0 时，若对任意的 ≥ 0，不等式 ( ) ≤ 2 恒成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 24 + 3
13.58
14.5.8；8.96
15.解：(1)甲、乙 2 个景点都不去有 26，则甲乙 2 个景点至少选 1 个的选法有 2 28 6 = 28 15 = 13 种；
(2)若甲、乙 2 个景点都不去有 26 = 15 种，甲、乙 2 个景点只去一个有 1 12 6 = 12 种，
则甲、乙 2 个景点至多选 1 个有 15 + 12 = 27 种；
(3)甲、乙 2 个景点必须选 1 个且只能选 1 个，有 12 16 = 12 种．
16.(1)函数 ( ) = 3 + 2 2，函数的导数为 ′( ) = 3 2 + 2 1，
′( 2) = 12 4 1 = 7， ( 2) = 8 + 4 + 2 2 = 4，
( )在 = 2 处的切线方程： + 4 = 7( + 2)，即 7 + 10 = 0；
(2)令 ′( ) = 0，3 2 + 2 1 = 0 1，解得 1 = 3， 2 = 1，
1
当 1 < < 3时，可得 ( ) < 0，所以 ( )
1
的单调递减区间( 1, 3 )，
< 1 或 > 13，可得 ′( ) > 0，所以函数 ( )单调递增区间是( ∞, 1)
1
，( 3 , + ∞)，
综上， ( ) 1 1的单调递减区间( 1, 3 )单调递增区间是( ∞, 1)，( 3 , + ∞)；
(3)由(2)可知当 < 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 1 < < 13时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
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> 1当 3时， ′( ) > 0， ( )单调递增．
令 ′( ) = 0 1，解得 1 = 3， 2 = 1，
代入 ( )可得 ( )的极大值为 1(在 = 1 处取得)，
59 1
极小值为 27 (在 = 3处取得)．
1 7
17.(1)( 2 + 23 ) 展开式的通项为 2( ) 2 +1 = 2 3 = 2 3 ．
7
因为第 5 项的二项式系数与第 3 项的系数之比为6，
4
所以
7
2 22 = 6，即( 2)( 3) = 56，解得 = 10；
7
(2)由(1)知： = 10，所以 = +1 102
20 3 ，
25 25
所以展开式中二项式系数最大的项为 = 5 256 10 3 = 8064 3 ；
(3)由于 0 ≤ ≤ 10，且 ∈ = 0 3 6 9 20 7，所以当 ， ， ， 时， 3 ∈ ，
即展开式中有理项共有 4 项，无理项有 7 项，
设“将展开式中的各项重新随机排列，有理项互不相邻”为事件 ，
将 11 项全排列基本事件有 11 711个，将无理项有 7 项全排列有 7，
将 4 个有理项插空有 48种，
所以事件 包含的基本事件有 7 47 8种，
7 4 7
由古典概率公式可得： ( ) = 7 811 = ． 11 33
18.解：(1)设“这 4 人中恰有 2 人给出“非常满意”的评价”为事件 ，
50 1
由表中数据可知，游客在 景点给出“非常满意”评价的概率为100 = 2，
35 = 7游客在 景点给出“非常满意”评价的概率为80 16，
则 ( ) = ( 1 22 ) (1
7 2
16 ) +
1 1
2 2 (1
1 1 7 7
2 ) 2 16 (1 16 ) + (1
1 )2( 7 )2 = 1912 16 512；
(2)设一位游客对 景点的满意度评分为 ，一位游客对 景点的满意度评分为 ，
由数表中数据得 的分布为：
1 2 3 4
3 1 3 1
20 20 10 2
的分布为：
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1 2 3 4
1 7 3 7
10 80 8 16
则 ( ) = 4 × 0.5 + 3 × 0.3 + 2 × 0.05 + 1 × 0.15 = 3.15，
( ) = 0.852 × 0.5 + ( 0.15)2 × 0.3 + ( 1.15)2 × 0.05 + ( 2.15)2 × 0.15 = 1.1275，
( ) = 4 × 7 + 3 × 316 8 + 2 ×
7 1
80 + 1 × 10 = 3.15，
( ) = 0.852 × 716 + ( 0.15)
2 × 38 + ( 1.15)
2 × 780 + ( 2.15)
2 × 110 = 0.9025，
显然 ( ) = ( )， ( ) > ( )，所以选择 景点．
19.解：(1)因为 ( ) = ( + ) ，所以 ′( ) = ( + + 1) ，
令 ′( ) ≤ 0，得 ≤ 1，则 ( )的单调递减区间为( ∞, 1]，
因为 ( )在( ∞,1]上是减函数，所以 1 ≥ 1，即 ≤ 2，
故 的取值范围是( ∞, 2]；
(2)由题知： ( ) = ，则 ≥ 0， 2 ≤ 2 ，即 2 ≤ ，
①当 = 0 时，0 ≤ 1 恒成立，则 ∈ ，
> 0 ≤
2
②当 时， 2，令 ( ) = 2，则 ′( ) =
2
4 =
( 2)
3 ，
则当 0 < < 2 时， ′( ) < 0， ( )递减；当 > 2 时， ′( ) > 0， ( )递增，
2 2
故 ( ) = (2) = 4，则 ≤ 4，
2
综上所述，实数 的取值范围是( ∞, 4 ]．
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