绝密★启用前
2024-2025学年湖北省武汉市洪山区八年级（下）期末数学试卷
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知在实数范围内有意义，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
2.下列计算中，正确的是( )
A. B.
C. D.
3.下列四个图象中，能表示是的函数关系的是( )
A. B. C. D.
4.为了在武汉市中小学生田径运动会中获得更加优异的成绩，教练要从甲、乙、丙、丁四名运动员中选择一人参加米的比赛，四名运动员平时训练米的平均成绩均为秒，方差如下表所示，教练应该选择哪名运动员参赛( )
甲 乙 丙 丁
方差秒
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
5.已知 中，、是对角线，则下列条件中不能判断 是菱形的是( )
A. B. 平分 C. D.
6.将直线向下平移个单位长度后所得直线的解析式是( )
A. B. C. D.
7.一次函数的图象不经过第象限
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
8.如图，点在边上，将 沿翻折，使点的对应点落在边上若，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
9.在某一马拉松比赛中，小明和小王报名参加了相同赛程的比赛如图，开赛若干分钟后，小明跑了公里，小王跑了公里，又跑了分钟两人相遇，相遇后小王再跑分钟到达终点，小明再跑分钟到达终点，请问小明和小王参加的是公里赛程的比赛．
A.
B.
C.
D.
10.对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义：线段上各点到轴距离的最大值，叫做线段的“轴距”，记作如图，点，点，则线段的“轴距”为，记作已知点，点，若，则的值为( )
A. B. 或 C. 或 D. 或
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算的结果是 ．
12.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的名运动员的成绩如下表所示．
成绩
人数
则这些运动员成绩的众数是______．
13.已知一次函数的图象与直线平行，且经过点，则该一次函数的解析式为______．
14.如图，点为正方形边上一点，若，，则该正方形的对角线长为______．
15.如图，将直线的图象位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，位于轴上方的图象保持不变，所得的折线是函数的图象对于函数为常数的图象，下列命题：
当时，直线为常数与轴交点为；
若函数图象经过点，则或；
函数图象与轴交点为；
若当时，随的增大而增大，则．
其中是真命题的有______填序号
16.如图，已知中，，，点为平面内一点，满足，分别以，为边作 ，连接，则的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
；
．
18.本小题分
如图，已知四边形中，、、、分别是四条边、、、的中点，、是对角线，连接、、、．
证明：四边形为平行四边形；
若______，则四边形是菱形请从；这两个选项中选择一个作为条件，使结论成立填序号
19.本小题分
为了解学生体育中考选项测试的整体情况，以方便对学生进行针对性的指导训练，某校对八年级学生的各类项目进行了统一测试，以下是抽取的部分学生“长跑”项目测试成绩统计图测试成绩满分是分，不及格是分：
根据图中信息，解答下列问题：
样本中共抽取了______名学生；
补全条形统计图；
抽取的这部分学生测试成绩的中位数是______；
体育老师建议成绩分及以下的学生选择“分钟跳绳”项目已知该学校八年级共有人，在听从老师建议的情况下，请估计选择“分钟跳绳”项目的学生约有多少人？
20.本小题分
如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点直线与轴交于点，与轴交于点，且与一次函数的图象交于点．
直接写出的值______；
求一次函数的解析式；
已知点是线段上一点，且，求的坐标．
21.本小题分
如图，在的网格线中，已知、、、是格点，是与网格线的交点仅用无刻度的直尺完成下列作图画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示每个任务的画线不得超过三条
在图中，先画 ，再在上画点，使；
在图中，作点关于的对称点；
在图中，分别在、上找点、，连接、，使得最小．
22.本小题分
年月日时分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售该店先花费元购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型，很快销售一空；后又花费元以同样的价格购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型已知每个“神舟”模型的售价为元，每个“天宫”模型的售价为元．
求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价；
该店计划继续购进这两种模型共个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，且航模店购进总金额不超过元设购进“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是多少？
实际进货时，模型厂家对“神舟”模型出厂价下调了元，且限定航模店最多购“神舟”模型台在的条件下，为让航模店最终获得的最大利润是元，直接写出的值为______．
23.本小题分
正方形中，是边上的点，且，连接．
如图，直接写出______；
如图，连接，证明：；
如图，连接、交于点，连，证明：．
24.本小题分
如图，平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴分别交于、两点，直线：经过点，且与轴交于点．
直接写出、的坐标及直线的解析式；
已知点在直线上，若，求点的坐标；
如图，将绕点顺时针旋转，分别交线段、于、两点，若四边形内部恰好有个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出点的坐标．
答案和解析
1.
解：在实数范围内有意义，
，
．
故选：．
2.
解：不能合并，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C正确，符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
3.
解：，，中的图象，对于的每一个确定的值，不一定有唯一的值与其对应，那么不是的函数，不符合题意，
中的图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，符合题意，
故选：．
4.
解：，
选择丁参赛，
故选：．
5.
解：、对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，故A选项不符合题意；
B、对角线平分对角的平行四边形是菱形，故B选项不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定能够判断这个平行四边形是菱形，故C选项符合题意；
D、邻边相等的平行四边形是菱形，故D选项不符合题意．
故选：．
6.
解：将直线向下平移个单位，平移后的直线解析式为，即，
故选：．
7.
解：，，
一次函数图象经过第二、三、四象限，
图象不经过第一象限．
故选：．
8.
解：四边形是平行四边形，，，
，，
点在边上，将 沿翻折，使点的对应点落在边上，
，，
，
，
，
，
故选：．
9.
解：设小明的速度为公里分钟，则小王的速度为公里分钟，
根据题意得：，
解得：，
公里，
小明和小王参加的是公里赛程的比赛．
故选：．
10.
解：由题知，
因为，且点，点，
则时，，
时，点，点，符合题意；
时，点，点，符合题意；
时，或，
时，点，点，符合题意；
时，点，点，不符合题意，
综上所述，的值为或．
故选：．
11.
解：因为，
所以．
故答案为．
12.
解：根据统计表可知出现的次数最多，
这些运动员成绩的众数是．
故答案为：．
13.
解：一次函数的图象与直线平行，
，
经过点，
，
这个一次函数的解析式为．
故答案为：．
14.
解：连接，如图所示：
四边形是正方形，
，，
在中，，，
由勾股定理得：，
在中，
由勾股定理得：．
该正方形的对角线长为．
故答案为：．
15.
解：将代入直线方程，得，
令，即，解得，
所以当时，直线为常数与轴交点为，
故是真命题；
将代入，得，
解得或；
故是真命题；
令，解得，
所以函数图象与轴交点为，
故是假命题；
函数的顶点坐标为，
当时，随的增大而增大，
当时，随的增大而增大，则，解得，
故是真命题．
所以其中是真命题的有．
故答案为：．
16.
解：在延长线上截取，连接，，
四边形是平行四边形，，
，
，
四边形是平行四边形，
且，
，，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
17.； ．
；
．
18.证明见解析；
．
证明：、、、分别是四条边、、、的中点，
、分别为、的中位线，
，，，，
，，
四边形为平行四边形；
解：、分别是四条边、的中点，
为的中位线，
，
当时，，则平行四边形是菱形，
故答案为：．
19.；
见解析；
；
人．
样本中共抽取了名；
故答案为：；
测试成绩为分的人数为名，
补全条形统计图如下：
抽取的这部分学生测试成绩的中位数是；
故答案为：；
人，
答：估计选择“分钟跳绳”项目的学生约有人．
20.；
；
点在直线上，
，
故答案为：；
把点和点的坐标代入得，
解得，
一次函数的解析式为；
令，则，解得，
，解得，
，，
，
，
设，
则，
，
，
21.见解答．
见解答．
见解答．
如图， 即为所求．
连接，相交于点，连接并延长交于点，
则点即为所求．
如图，取点关于的对称点，连接，取与网格线的交点，
则点即为所求．
如图，在点下方取格点，过点作的平行线，取与网格线的交点，连接并延长，交于点，交于点，
此时，为最小值，
则点，即为所求．
22.元，元；
购进“神舟”模型个、“天宫”模型个，元；
．
设每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元．
根据题意，得，
解得．
答：每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元．
购进“天宫”模型个，
根据题意，得，
解得，
，
，
随的减小而增大，
，
当时值最大，，
个．
答：购进“神舟”模型个、“天宫”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元．
，
，
若，则，即，
随的增大而增大，
当时值最大，得，解得，
为让航模店最终获得的最大利润是元，的值为．
故答案为：．
23.； 证明见解析； 证明见解析．
解：在上取点，使，如图，
四边形为正方形，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
的大小为．
故答案为：；
证明：在上取一点，使，连接，如图，
由知：，
为等腰直角三角形，
，
．
，
．
；
证明：连接，如图，
四边形为正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，，
由知：，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
24.，，直线解析式为；
点坐标为；
点坐标为．
在直线中，
当时，，
解得，
．
当时，，
．
因为直线：经过点和，
将代入得把和代入，
得到，
解得．
故直线的解析式为；
在中，在轴上，在轴上，
由勾股定理得
设的坐标为，
过作轴于，则横坐标绝对值，．
由，
∽．
，
，解得代入，
故H；
旋转前后对应边相等：，，且．
四边形是菱形邻边相等，内部整数点需满足：横、纵坐标为整数，且在四边形内部不包括边界．
设在直线：上，坐标为，
由旋转性质：若绕顺时针旋转，
坐标为，
四边形内部整数点需满足：
在、、、四条边围成的区域内，且横纵坐标，．
当时：坐标为；
旋转后坐标为不符合，舍去；
若逆时针旋转，坐标为，
当时，不符合．
当在第一象限时，
设，满足，，且，
结合整数点分布：内部整数点为、、、、共个，此时坐标需使边界不覆盖这些点．
当时，四边形内部恰好包含个整数点，且满足旋转性质．
点的坐标为．
