南通市如东县2022-2023学年度第一学期高三数学期末试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知复数，是方程的两个根，则( )
A. B. C. D.
3. 甲、乙、丙、丁四人商量去看电影甲说：乙去我才去乙说：丙去我才去丙说：甲不去我就不去丁说：乙不去我就不去最后有人去看电影，有人没去看电影，则不去的人是：( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
4. 在九章算术商功中将正四面形棱台体棱台的上、下底面均为正方形称为方亭在方亭中，，方亭的体积为，则侧面的面积为( )
A. B. C. D.
5. 已知锐角，满足，则的最大值是( )
A. B. C. D.
6. 已知的展开式中所有项的系数之和为，则展开式中含的项的系数为( )
A. B. C. D.
7. 已知正项数列是公差不为的等差数列，，，成等比数列若，则( )
A. B. C. D.
8. 已知函数的导函数为，且若，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列结论中正确的是( )
A. 运用最小二乘法求得的回归直线必经过点
B. 若相关系数的值越接近于，表示回归模型的拟合效果越好
C. 已知随机变量服从二项分布，则
D. 已知随机变量服从超几何分布，则
10. 斐波那契数列是数学中的一个有趣的问题，它满足：，，人们在研究它的过程中获得了许多漂亮的结果某同学据此改编，研究如下问题：在数列中，，，数列的前项和为，则( )
A. B. C. D.
11. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，圆是以双曲线的实轴为直径的圆，过作圆的切线与交于、两点若，则( )
A. B. C. D.
12. 已知点是圆锥的顶点，四边形内接于的底面圆，，，，，均在球的表面上，若，，，，球的表面积是，则( )
A. B. 平面
C. 与的夹角的余弦值是 D. 四棱锥的体积是
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知随机变量，若，则 ．
14. 经过坐标原点的圆与圆相外切，则圆的标准方程可以是 写出一个满足题意的方程即可
15. 声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数若一个声音的数学模型是函数，则的最小正周期是 ，的最大值是 ．
16. 已知三棱锥的顶点均在球上，且，，若三棱锥体积的最大值是，则球的体积是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯卫生习惯分为良好和不够良好两类的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了例称为病例组，同时在未患该疾病的人群中随机调查了人称为对照组，得到如下数据：
卫生
习惯 不够良好 良好
病例组
对照组
能否有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异
为了进一步研究已患该疾病人群的情况，该医疗团队在该地已患该疾病的病例中随机抽取人进行调查根据上表数据估计，要保证抽取的人中至少含有一个卫生习惯不够良好的居民的概率超过，则至少抽取多少人
附，
18. 本小题分
中，内角，，所对应的边分别为，，，且满足，B.
判断的形状
若点在上且，点与点在直线同侧，且，，求．
19. 本小题分
已知是数列的前项和，且，数列是公差为的等差数列．
求数列的通项公式
记数列的前项和为，是否存在实数使得数列成等差数列，若存在，求出实数的值若不存在，说明理由．
20. 本小题分
如图，已知四边形为直角梯形，其中，，现将四边形沿着旋转至，使得平面平面．
证明：，，，四点共面
若，点在线段上，且，求平面与平面所成角的正弦值．
21. 本小题分
在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，连接并延长交椭圆于点椭圆．
若，，求椭圆的方程
若直线与直线的斜率之比是，求与的面积之比．
22. 本小题分
已知函数，且
求实数的值
若关于的方程有个不同的实数根，，求证：．南通市如东县2022-2023学年度第一学期高三数学期末试卷解析
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了集合的交集及其运算，属于基础题．
由集合化简，结合集合，即可得到其交集的结果．
【解答】
解：，
，
．
故选B．
2. 已知复数，是方程的两个根，则( )
A. B. C. D.
【答案】
C
【解析】
【分析】
本题考查复数的四则运算 ，属于基础题．
根据题意，可得：，，进行求解即可．
【解答】
解：因为复数，是方程的两个根，
所以，，
所以
．
3. 甲、乙、丙、丁四人商量去看电影甲说：乙去我才去乙说：丙去我才去丙说：甲不去我就不去丁说：乙不去我就不去最后有人去看电影，有人没去看电影，则不去的人是：( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】
D
【解析】
【分析】
本题考查进行简单的合情推理，属于基础题．
通过三个人的叙述，通过推理，得到结果．
【解答】
解：由题意，若甲不去，则丙不去，丙不去，则乙不去，则丁也不去，不合题意
若乙不去，则甲不去，甲不去丙也不去，则丁也不去，不合题意，
若丙不去，则乙不去，乙不去，则甲不去，且丁也不去，不合题意，
若甲乙丙去，丁不去，完全符合题意
4. 在九章算术商功中将正四面形棱台体棱台的上、下底面均为正方形称为方亭在方亭中，，方亭的体积为，则侧面的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】
A
【解析】
【分析】
本题考查棱台的体积、侧面积的计算，属于中档题．
由棱台的体积求出棱台的高，过作，垂足为，连接，，过作，垂足为，易知四边形为等腰梯形，且，，则，求出，再求出，利用梯形的面积公式，即可求出结果．
【解答】
解：设方亭的高为，
因为，方亭的体积为，
所以，解得，
如图，
过作，垂足为，
连接，，过作，垂足为，易知四边形为等腰梯形，
且，，则，
，
因为侧面为等腰梯形，
所以，
所以侧面的面积为．
故选A．
5. 已知锐角，满足，则的最大值是( )
A. B. C. D.
【答案】
D
【解析】
【分析】
本题考查三角函数恒等变形公式，考查基本不等式，属于中档题．
首先利用二倍角公式以及同角关系化简已知条件，得到，的关系，代入两角差的正切公式，结合基本不等式即可求解．
【解答】
解：因为，
所以，
因为锐角，，所以，
所以，
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值是．
故选D．
6. 已知的展开式中所有项的系数之和为，则展开式中含的项的系数为( )
A. B. C. D.
【答案】
C
【解析】
【分析】本题考查二项展开式的特定项的系数，属于基础题．
求出，利用展开式的通项公式即可求解．
【解答】解：令可得展开式中所有项的系数之和为，故，
又，即展开式的通项为，
则展开式中含有的系数为．
故选C．
7. 已知正项数列是公差不为的等差数列，，，成等比数列若，则( )
A. B. C. D.
【答案】
A
【解析】
【分析】
本题考查等差数列的通项公式，裂项相消求和，以及等比中项，属于中档题．
设正项等差数列的公差为，且，由等比中项得，即，得，，即，求得．
【解答】
解：设正项等差数列的公差为，且，
，，成等比数列，
，即，
整理得，，
，
，
，
即，即，
，
．
故选：．
8. 已知函数的导函数为，且若，，，则( )
A. B. C. D.
【答案】
B
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性、利用单调性比较大小，属于中档题．
设，利用导数得出在单调递增，且，，，设，利用导数得出当时，，单调递减，比较出，即可求出结果．
【解答】
解：设
则，
因为恒成立，
所以，
所以在单调递增，
则，，，
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，即，
所以，
即．
故选B．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列结论中正确的是( )
A. 运用最小二乘法求得的回归直线必经过点
B. 若相关系数的值越接近于，表示回归模型的拟合效果越好
C. 已知随机变量服从二项分布，则
D. 已知随机变量服从超几何分布，则
【答案】
ACD
【解析】
【分析】
本题主要考查回归直线，考查相关系数，二项分布，超几何分布，属于中档题．
根据回归直线必经过样本点的中心，可判断；根据相关系数的定义可判断；由二项分布的期望公式可判断；根据超几何分布的概率公式可判断．
【解答】
解：回归直线必经过样本点的中心，A正确
B.若相关系数的值越接近，表示回归模型的拟合效果越好，B错误；
C.若随机变量服从二项分布，则，，故C正确；
D.随机变量服从超几何分布，则，故D正确．
10. 斐波那契数列是数学中的一个有趣的问题，它满足：，，人们在研究它的过程中获得了许多漂亮的结果某同学据此改编，研究如下问题：在数列中，，，数列的前项和为，则( )
A. B. C. D.
【答案】
BC
【解析】
【分析】
本题考查数列的递推公式、数列的周期性，属于中档题．
根据数列的递推公式求出数列的前项，得出数列为从第四项起为周期数列，且周期为，再对各选项逐项判定，即可求出结果．
【解答】
解：因为，
所以，
，
，
，
，
所以数列从第四项起为周期数列，且周期为，
所以，故A错误，BC正确；
因为，
所以，故D错误．
故选BC．
11. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，圆是以双曲线的实轴为直径的圆，过作圆的切线与交于、两点若，则( )
A. B. C. D.
【答案】
AD
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的几何性质，属于中档题．
由题意可得，圆方程为，分情况讨论：当直线与双曲线交于两支时，设过的切线与圆相切于点，可求得；过点作于点，由中位线的性质求得，，在中，可求得，则利用双曲线的定义可得即可求解当直线与双曲线交于同一支时，同理可求得．
【解答】
解：双曲线，则，
圆是以双曲线的实轴为直径的圆，则圆方程为，
当直线与双曲线交于两支时，
设过的切线与圆相切于点，
则，，
因为，所以，
过点作于点，
所以，
因为为的中点，
所以，，
因为为锐角，
所以，
所以，
所以．
当直线与双曲线交于一支时，记切点为，
连接，则，，
过作于，则，
所以，
因为，
所以为锐角，
所以，
所以，
，
所以，
所以，解得，
所以．
综上，或．
故选：．
12. 已知点是圆锥的顶点，四边形内接于的底面圆，，，，，均在球的表面上，若，，，，球的表面积是，则( )
A. B. 平面
C. 与的夹角的余弦值是 D. 四棱锥的体积是
【答案】
ACD
【解析】
【分析】
本题考查棱锥的的体积，线面平行的判定，正弦定理，余弦定理，球的外接问题，属于中档题．
根据球的表面积公式，易得球的半径对于，因为，所以，结合余弦定理及已知条件可求得；对于，利用反证法即可判定；对于，由正弦定理可求得底面圆的直径，进而可求棱锥的高，从而可求，，再利用余弦定理求出与的夹角的余弦值；利用棱锥的体积公式即可求出四棱锥的体积，从而判断．
【解答】
解：设底面圆的半径为，球的半径为，
已知球的表面积是，则，则，
四边形内接于的底面圆，
设，则，
在中，由余弦定理可得，
，
在中，由余弦定理可得，
，
由可得，即，
所以，代入可得，所以A正确；
，
在中，由正弦定理可得，则，
设棱锥的高为，则，
所以，即与重合，
则，所以，
则中，，，
由余弦定理，，
所以与的夹角的余弦值是，所以C正确；
，所以D正确；
对于选项B，假设平面，
又有平面，平面平面，
则，而四边形中，，，，
显然不成立，故矛盾，
所以平面不成立，
所以B错误．
故选：．
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知随机变量，若，则 ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正态分布曲线的特点，属于基础题．
根据随机变量 服从正态分布 ，看出这组数据对应的正态曲线的对称轴 ，根据正态曲线的特点，即可得到结果．
【解答】解： 随机变量 服从正态分布 ，
对称轴是 ，
，
．
故答案为 ．
14. 经过坐标原点的圆与圆相外切，则圆的标准方程可以是 写出一个满足题意的方程即可
【答案】
．
【解析】
【分析】
本题考查圆与圆的位置关系及判断，考查圆的标准方程，属于基础题．
根据题意易知圆过坐标原点，圆与圆的切点即为坐标原点，则圆的圆心在直线上，且其圆心在第一象限，可设圆的圆心坐标为，则可求得圆的半径，再根据圆的标准方程，即可求得结果．
【解答】
解：设经过坐标原点的圆圆心为，半径为，则圆方程：，
圆经过原点，则，即，
圆：可化为，
则圆圆心为，半径，
显然圆经过坐标原点，
由题意，圆与圆相外切，
则圆与圆的切点即为坐标原点，则圆的圆心在直线上，且圆心在第一象限，
所以，可令，
则圆的圆心为，
则点到圆圆心的距离，
即，
则，
则圆方程：，
故答案为：．
15. 声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数若一个声音的数学模型是函数，则的最小正周期是 ，的最大值是 ．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的周期性，三角函数知识，利用导数研究单调性，属于中档题．
空一：利用三角函数的周期求解即可；
空二：利用二倍角公式化简以后再求导，在一个周期内研究函数单调性即可求解．
【解答】
解：空一：的周期为，的周期为，的周期为
空二：由函数，
得，
令，解得或，
在函数的一个周期内，当时，，此时，单调递增
当时，，此时，单调递减
当时，，此时，单调递增，
所以当或时，取到最大值，
则．
16. 已知三棱锥的顶点均在球上，且，，若三棱锥体积的最大值是，则球的体积是 ．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了球的切接问题，棱锥的体积，球的体积，考查空间想象能力，属于较难题．
取中点为，中点为，连接，，，，设球的半径为，固定平面，可知点在以为球心，为半径的球上运动，得到面积的最大值，以及点到平面的距离的最大值，结合棱锥体积公式，可求得，再利用球的体积公式求解即可．
【解答】
解：如图：
取中点为，中点为，连接，，，，
设球的半径为，
则，，
设点到平面的距离为，则点到平面的距离也为，
可知，
固定平面，可知点在以为球心，为半径的球上运动，
则点到直线的距离的最大值为，
则，
则，
则，解得，
则球的体积为．
故答案为．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯卫生习惯分为良好和不够良好两类的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了例称为病例组，同时在未患该疾病的人群中随机调查了人称为对照组，得到如下数据：
卫生
习惯 不够良好 良好
病例组
对照组
能否有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异
为了进一步研究已患该疾病人群的情况，该医疗团队在该地已患该疾病的病例中随机抽取人进行调查根据上表数据估计，要保证抽取的人中至少含有一个卫生习惯不够良好的居民的概率超过，则至少抽取多少人
附，
【答案】
解：因为
，
又因为，，
所以有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．
根据表中数据可估计，病例组中卫生习惯不够良好的居民的概率是，
卫生习惯良好的居民的概率是．
记抽取的人中至少含有一个卫生习惯不够良好的居民为事件，
则，
因为，所以，
所以，所以至少抽取人．
答：有的把握
至少抽取人．
【解析】本题考查独立性检验与概率的应用，属于中档题．
完善列联表，求出与临界值表进行对比即可；
记抽取的人中至少含有一个卫生习惯不够良好的居民为事件，则，因为，计算即可．
18. 本小题分
中，内角，，所对应的边分别为，，，且满足，B.
判断的形状
若点在上且，点与点在直线同侧，且，，求．
【答案】
解：因为，
所以，
所以．
又因为，所以．
在中，由正弦定理得，，
又因为，所以，
所以．
又因为，所以，
所以C.
因为，所以，，
所以的形状是等腰直角三角形．
因为的形状是等腰直角三角形，
所以不妨设，．
因为，，所以，．
在直角中，，
所以．
因为，，
所以．
【解析】本题考查了正弦定理及三角恒等变换，属于中档题．
由，可得角，利用正弦定理及两角和的正弦公式可得，即可判断的形状；
不妨设，，可得，，再利用两角和差的正切公式计算即可．
19. 本小题分
已知是数列的前项和，且，数列是公差为的等差数列．
求数列的通项公式
记数列的前项和为，是否存在实数使得数列成等差数列，若存在，求出实数的值若不存在，说明理由．
【答案】
解：因为，数列是公差为的等差数列，
所以，所以．
方法一：当时，因为，
所以，所以，
所以，
又因为，所以，所以．
又因为，所以．
方法二：当时，因为，
所以，
所以，所以，
又因为，所以，所以．
因为，
所以，
所以，
两式相减得：
，
所以．
因为，，，
若数列成等差数列，则，
解得．
当时，因为，
所以，
所以数列成等差数列．
综上可知：存在，使得数列成等差数列．
【解析】本题考查了数列的通项公式、数列的递推关系、错位相减以及等差数列的通项公式，是中档题．
由等差数列通项公式得出，再由与的关系可得数列的通项公式；
易得，由错位相减得出，先得出的前三项，由等差数列的性质得出方程解出，再检验即可．
20. 本小题分
如图，已知四边形为直角梯形，其中，，现将四边形沿着旋转至，使得平面平面．
证明：，，，四点共面
若，点在线段上，且，求平面与平面所成角的正弦值．
【答案】
证明：因为，
平面平面，
平面平面，
平面，
所以平面．
以为坐标原点，以为基底建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，，，，
所以，，
所以，即，，，四点共面．
解：因为，点在线段上，且，
所以．
设平面的法向量为，
因为，，所以，，
令，则，，所以平面的一个法向量．
设平面的一个法向量，
因为，，所以，，
令，则，，所以平面的一个法向量．
设平面与平面所成夹角为，
则，，
所以，
即平面与平面所成角的正弦值为．
【解析】本题考查利用空间向量证明四点共面问题及面面的夹角，属于中档题．
由条件可得平面，以为坐标原点，以为基底建立空间直角坐标系，利用空间向量知识即可证明，，，四点共面；
设平面的法向量为，设平面的一个法向量，求出向量、，计算即可求得平面与平面所成角的正弦值．
21. 本小题分
在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，连接并延长交椭圆于点椭圆．
若，，求椭圆的方程
若直线与直线的斜率之比是，求与的面积之比．
【答案】
解：因为，，，
所以，所以．
因为，所以，
所以，解得，
所以椭圆的方程为．
因为直线，
由解得．
因为，，
所以，所以，
所以，
所以，所以，
因为所以的面积为．
因为的面积为，
所以与的面积之比是．
【解析】本题考查椭圆的方程及其何性质，直线与椭圆位置关系，以及圆锥曲线中的面积问题，属于中档题．
由和在椭圆上求出，即可；
由题意，得直线，与椭圆方程联立求得点坐标，由斜率计算公式得，结合面积公式求解即可．
22. 本小题分
已知函数，且
求实数的值
若关于的方程有个不同的实数根，，求证：．
【答案】
解：因为，所以
设，则．
当时，，所以单调递增，
所以，不满足题意．
当时，在区间上单调递增，
所以，不满足题意．
当时，在区间上单调递减，
所以，不满足题意．
当时，在区间上单调递减，
在区间上单调递增，所以，
所以，所以
综上可知：．
因为，所以，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以．
要证，即证．
因为，，所以即证，
因为，所以即证
设，
则，
所以在区间上单调递减，所以．
综上可知，原命题得证．
【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、导数中的零点问题和导数中的函数不等式，是较难题．
因为，所以设，对进行分类讨论，利用导数研究的单调性、最小值，可得实数的值
研究的单调性得要证，即证，即证，即证，设，利用导数研究单调性，即可得证．
