2022—2023 学年度高一下学期期初考试卷（数学）
时间：120 分钟 满分：150 分
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
一、选择题（（每小题 5 分,共 40 分））
1. 设全集 = ,集合 = { |1 < < 4},集合 = { |0 < < 2},则集合 ∩ ( ) = ( )
A. (1,2) B. (1,2] C. (2,4) D. [2,4)
2. 已知函数 ( )的图像是连续的,根据如下对应值表:
函数在区间[1,6]上的零点至少有( )
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
3. 下列函数既是奇函数又是周期为 的函数是( )
3
A. = 2 B. = (2 + ) C. = | | D. = ( 2 )
2 2
0.8
4. 设 = 30.7
1
, = ( ) , = 0.70.8,则 , , 的大小关系为( ) 3
A. < < B. < < C. < < D. < <
5. 已知函数 ( ) = 2 + √3 , ∈ [ , ),则函数 = ( )的值域为( ) 6 3
A. [1,3] B. [1,3) C. [2,3] D. [2,3)
6. 素数也叫质数,部分素数可写成“2 1”的形式( 是素数),法国数学家马丁 梅森就是研
究素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“2 1”形式( 是素数)的素数称为梅森素
数.2018 年底发现的第51个梅森素数是 = 282589933 1,它是目前最大的梅森素数.已知第8
个梅森素数为 = 231 1,第9个梅森素数为 = 261 1,则 约等于(参考数据: 2 ≈ 0.3)( )
A. 107 B. 108 C. 109 D. 1010
7. 设 :关于 的方程4 2 +1 = 0有解; :函数 ( ) = 2( + 1)在区间(0, + ∞)
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上恒为正值,则 是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
, 0
8. 已知函数 ( ) = { ,若 , , 互不相等,且 ( ) = ( ) = ( ),则
log2022( + 1), >
+ + 2 的取值范围是( )
A. (0,2021) B. (0,2022) C. (1,2022) D. [0,2022]
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.
9. 下列运算中正确的是( )
38 1 1
A. = 85 B.
8 3
( ) 3 = C. √(3 )2 = 3 D. ( ) 27 + ( ) = 7 35 27 2 2
10. 在下列四个命题中,正确的是( )
A. 命题“ ∈ ,使得 2 + + 1 < 0”的否定是“ ∈ ,都有 2 + + 1 0”
4
B. 当 > 1时, + 的最小值是5
1
C. 若不等式 2 + 2 + > 0的解集为{ | 1 < < 2},则 + = 2
1
D. “ > 1”是“ < 1”的充要条件
11. 下列命题中正确的是( )
A. 在ΔABC中, ( + ) = B. 若角 是第三象限角,则 可能在第三象限
3
2
C. 若 = 2,则 2 2 2 =
5
D. 锐角 终边上一点坐标为 ( 2, 2),则 = 2
12. 已知定义在 上的函数 ( )的图象是连续不断的,且满足以下条件:① ∈ , ( )
( 2) ( 1)
= ( ); ② 1, 2 ∈ (0, + ∞),当 1 ≠ 2时, > 0; 2 1
③ ( 1) = 0.则下列选项成立的是( )
A. ( 3) < ( 4) B. 若 ( 1) < (2),则 ∈ ( ∞, 3)
( )
C. 若 > 0,则 ∈ ( 1,0) ∪ (1, + ∞) D. ∈ , ∈ ,使得 ( )
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三、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,其中有这样一个问题:“今有宛田,
下周三十步,径十六步.问为田几何 ”其意思为:“有一块扇形的田,弧长为 30 步,其所在圆的
直径为 16 步,问这块田的面积是多少平方步 ”该问题的答案为__________平方步.
14. 若函数 ( ) = 2 + 2 1在区间( ∞, 6)上单调递增,则实数 的取值范围是_____.
15. 若函数 ( )是定义在 上的奇函数,且满足 ( + ) = ( ),当 ∈ [0, )时, ( ) = 2 ,
2
13 9
则 ( ) + ( ) = __________.
3 4
16. 已知函数 ( ) = ( 3)的图象经过点(2,0),若 为正整数,那么使得不等式2 ( ) >
( 2)在区间[3,4]上有解的 的最大值是__________.
四、解答题（第 17 题 10 分，第 18—22 题每题 12 分，共 6 小题 70 分）
17.已知幂函数 ( ) = ( 2 3 + 3) 的图象关于 轴对称 ,集合 = { |1 < 3
+ 1}.
(1)求 的值;
(2)当 √2 ∈ [ , 2]时, ( )的值域为集合 ,若 ∈ 是 ∈ 成立的充分不必要条件,求实数 的取
2
值范围.
(2π ) (π+ ) 3π( )
18. 已知 ( ) = 2 .
( π) (3π )
2
(1)若 ∈ (0,2π),且 1 ( ) = ,求 的值. 2
3π 1 π 3π
(2)若 ( ) ( + ) = ,且2 ∈5 ( 2
, 2 )
,求 的值.
19. 已知函数 ( ) = √ , ( ) = | 2|.
(1)求方程 ( ) = ( )的解集;
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,
(2)定义: { , } = { .已知定义在[0, + ∞)上的函数 ( ) = { ( ), ( )},求函数
, <
( )的解析式;
(3)在(2)的条件下,在平面直角坐标系中,画出函数 ( )的简图,并根据图象写出函数 ( )的单
调区间和最小值.
20. 已知函数 ( ) = ( + ) + ( > 0, > 0, | | < )的部分图象如图所示. 2
(1)求 ( )的解析式及对称中心坐标:
(2)先把 ( )的图象向左平移 个单位,再向上平移1 个单位,得到函数 ( )的图象,若当 ∈ [ , ]时,
6 4 6
求 ( )的值域.
21. 上海市某地铁项目正在紧张建设中,通车后将给更多市民出行带来便利,已知该线路通
车后,地铁的发车时间间隔 t(单位:分钟)满足2 20, ∈ ,经测算,在某一时段,地铁载客
量与发车时间间隔 t 相关,当10 20时地铁可达到满载状态,载客量为 1200 人,当2 <
10时,载客量会减少,减少的人数与(10 )的平方成正比,且发车时间间隔为 2 分钟时载客量
为 560 人,记地铁载客量为 ( ).
(1)求 ( )的解析式;
6 ( ) 3360
(2)若该时段这条线路每分钟的净收益为 = 360(元),问当发车时间间隔为
多少时,该时段这条线路每分钟的净收益最大
22. 已知 ( )为奇函数, ( )为偶函数,且 ( ) + ( ) = 2 2(1 ).
(1)求 ( )及 ( )的解析式及定义域;
(2)如果函数 ( ) = 2 ( ),若函数 = (|2 1|) 3 |2 1| + 2 有两个零点,求实数
的取值范围.
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2022—2023 学年度高一下学期期初考试卷（数学）
答案和解析
一、单选题：DCDD BCBA
二、多选题：9. BD 10. ABC 11.BCD 12. ACD
1
三、填空题：13. 120 14. [ , 0] 15. √3 + √2 16. 1 6
第 8 题：
【解析】
不妨设 < < ,画出 ( )的图像, ( ) = ( ) = ( )即 = ( )与 = 有3个交点,由
图像可知, , 关于 = 对称,即 + = ,令 2022( + 1) = 1,解得 = 2021 + ,所以2
< < 2021 + ,故2 < + + < 2021 + 2 ,0 < + + 2 < 2021.
第 11 题：【解析】选项 A. 在ΔABC中, ( + ) = ( ) = ,故选项 A 不正确.
3
选项 B. 若角 是第三象限角,即2 + < < 2 + , ∈
2
2 2
所以 + < < + , ∈
3 3 3 3 2
当 = 3 , ∈ 时, 为第一象限角.
3
当 = 3 + 1, ∈ 时, 第三象限角.
3
当 = 3 + 2, ∈ 时, 为第四象限角,所以选项 B 正确.
3
2 2 2 2 2 4 2 2
选项 C. 由 = 2, 所以 2 2 2 = 2 2 = 2 = = , 故 C 正确. + +1 4+1 5
2
选项 D. 锐角 终边上一点坐标为 ( 2, 2), 则 = = 2 = ( 2),
2
又 2, 均为锐角,所以 = 2,故选项 D 正确.
第 12 题： 【解析】由 ∈ , ( ) = ( )得:函数 ( )是 上的偶函数,
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( ) ( )
由 1, 2 ∈ (0, + ∞), ≠ ,
2 1
1 2 > 0得: ( )在(0, + ∞)上单调递增, 2 1
对于 A, ( 3) = (3) < (4) = ( 4),A 正确;
对于 B, ( 1) < (2) (| 1|) < (2),又函数 ( )的图象是连续不断的,
则有| 1| < 2,解得 1 < < 3,B 不正确;
对于 C,由 ( ) > 0及 ( 1) = 0得, (| |) > (1) | | > 1,解得 < 1或 > 1,
由 ( ) < 0得: (| |) < (1) | | < 1,解得 1 < < 1,
( ) ( ) > 0 ( ) < 0
> 0化为:{ 或{ ,解得 > 1或 1 < < 0,
> 0 < 0
即 ∈ ( 1,0) ∪ (1, + ∞),C 正确;
对于 D,因 上的偶函数 ( )的图象连续不断,且 ( )在(0, + ∞)上单调递增,
因此, ∈ , ( ) (0),取实数 ,使得 (0),则 ∈ R , ( ) ,D 正确.
第 16 题：【解析】由已知可得 (2) = (2 3) = 0,则2 3 = 1,解得 = 2,故 ( ) = (2
3),
由2 ( ) > ( 2)得 (2 3)2 > ( 2),
9 12
因为 ∈ [3,4],则 2 < 4 2 12 + 9,可得 < 2 + 4,
1 1 1 1 1
令 = ∈ [ , ], ( ) = 9 2 12 + 4,则函数 ( )在[ , ]上单调递减,
4 3 4 3
1 25 25
所以, ( ) = ( ) = ,∴ < . 4 16 16
因此,正整数 的最大值为1.
第 17 题：解：(1)由幂函数定义,知 2 3 + 3 = 1,解得 = 1或 = 2,
当 = 1时, ( ) = 的图象不关于 轴对称,舍去,
当 = 2时, ( ) = 2的图象关于 轴对称,
因此 = 2.
√2 1 1
(2)当 ∈ [ , 2]时, ( )的值域为[ , 4],则集合 = [ , 4],
2 2 2
1 < 3 + 1
1
由题意知 ,得{ 1 < ,解得 1.
2
3 + 1 4
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3π
(2π ) (π + ) ( ) ( )
第 18 题： 解： ( ) = 2 = = π
( ) ( )
= ,
( ) 3π
2
1
所以f(α) = sinα = ,
2
7π 11π
因为α ∈ (0,2π ),则α = ,或α = .
6 6
(2)由(1)知: ( ) = ,
3π 3π 1
所以 ( ) ( + ) = ( + ) = + = ,
2 2 5
1 1 1 2
即 + = , 所 以 = , 所 以 2 + ( ) = 1 , 即
5 5 5
4 3
(5 4)(10 + 6) = 0,可得 = 或 = .
5 5
π 3π 3 1 1 3 4
因为 ∈ ( , ),则 = ,所以 = = ( ) = .
2 2 5 5 5 5 5
4 5 4 4
所以 = = × ( ) = ,故 = .
5 3 3 3
第 19 题：解：(1)由√ = | 2|,得 2 5 + 4 = 0且 0,解得 1 = 1, 2 = 4;
所以方程 ( ) = ( )的解集为{1,4.
2 , 0 < 1
√ , √ | 2|
(2)由已知得 ( ) = { = { √ , 1 4 .
| 2|, √ < | 2| 2, > 4
(3)函数 ( )的图象如图实线所示: 函数 ( )的单调递减区间是[0,1],
单调递增区间是(1, + ∞),其最小值为1.
A + B = 1
第 20 题：解：(1)由图象可知:{ ,解得: ,
A + B = 3
T 7π π 2π
又由于 = ,可得:T = π,所以ω = = 2
2 12 12 T
π π π π 2π
由图像知f( ) = 1,sin(2 × + φ) = 1,又因为 < + φ <
12 12 3 6 3
π π π π
所以2 × + φ = ,φ = .所以f(x) = 2sin(2x + ) 1
12 2 3 3
π kπ π
令2x + = kπ(k ∈ Z),得:x = (k ∈ Z)
3 2 6
kπ π
所以f(x)的对称中心的坐标为( , 1)(k ∈ Z)
2 6
π 2π π π
(2)依题可得g(x) = f (x + ) + 1 = 2sin (2x + ),因为x ∈ [ , ],
6 3 4 6
2π π
令2x + = t ∈ [ , π],所以sint ∈ [0,1],即g(x)的值域为[0,2].
3 6
1200 (10 )2, 2 < 10
第 21 题： 解：(1)由题意知 ( ) = { ( ∈ ),(k 为常数),
1200,10 20
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因 (2) = 1200 (10 2)2 = 1200 64 = 560,则 = 10,
10 2 + 200 + 200,2 < 10
所以 ( ) = { ( ∈ );
1200,10 20
6( 10 2+200 +200) 3360
6 ( ) 3360 360,2 < 10
(2)由 = 360得 = { ,
3840 360,10 20
36
840 60( + ),2 < 10
即 = { 3840 ( ∈ ),
360,10 20
36
①当2 < 10时, = 840 60( + ) 840 60 × 12 = 120,当且仅当 = 6等号成
3840
立;②当10 20时, = 360在[10,20]上递减,当 = 10时 Q 取最大值 24,由①②可
知,当发车时间间隔为 = 6分钟时,该时段这条线路每分钟的净收益最大,最大为 120 元.
第 22 题： 【解析】(1)因为 ( )是奇函数, ( )是偶函数,
所以 ( ) = ( ), ( ) = ( ),
∵ ( ) + ( ) = 2 2(1 )①,
∴令 取 代入上式得 ( ) + ( ) = 2 2(1 + ),
即 ( ) + ( ) = 2 2(1 + ),②,
1
联立①②可得, ( ) = 2(1 ) 2(1 + ) = 2 ( 1 < < 1), 1+
( ) = 2(1 ) + 2(1 + ) = 2(1
2)( 1 < < 1).
(2) ( ) = 1 2, ∈ ( 1,1),∴ 1 < |2 1| < 1,可得 ∈ ( ∞, 1),
∴ = 1 |2 1|2 3 |2 1| + 2 , ∈ ( ∞, 1).
设 = |2 1| ∈ [0,1), ∴ = 2 3 + 2 + 1, ∈ [0,1),
∵当 ∈ [0,1)时, = 与 = |2 1|有两个交点,
要使函数 = (|2 1|) 3 |2 1| + 2 有两个零点,
即使得函数 = 2 3 + 2 + 1,在 ∈ (0,1)有一个零点,( = 0时 = 0, 只有一个零点)
即方程 2 + 3 2 1 = 0在(0,1)内只有一个实根,∵Δ > 0,
1
令 ( ) = 2 + 3 2 1,则使 (0) (1) < 0即可,∴ < 或 > 0.
2
1
∴ 的取值范围 ∈ ( ∞, ) ∪ (0, + ∞).
2
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