2022-2023学年人教五四新版八年级下册数学期中复习试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．
2．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的民间艺术之一．窗花的内容丰富、题材广泛，以其特有的概括和夸张手法将吉祥物、美好愿望表现得淋漓尽致．下列窗花的图案中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．以A、B、C三点为平行四边形的三个顶点，作形状不同的平行四边形，一共可以作（ ）
A．0个或3个 B．2个 C．3个 D．4个
4．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直且相等
C．对角线相等
D．对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角
5．如图，在一幅矩形风景画外面的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，整个挂图的长80cm，宽50cm如图所示，如果风景画的面积是3500cm2．设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．（80﹣x）（50﹣x）＝3500 B．（80﹣2x）（50﹣2x）＝3500
C．（80+x）（50+x）＝3500 D．（80+2x）（50+2x）＝3500
6．如图，D，E，F分别为△ABC的边AB，AC，BC的中点，则图中平行四边形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．一元二次方程x2+x+2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
8．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝12，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（ ）
A． B． C．6 D．8
9．平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC＝42°，∠CBD＝23°，则∠COD是（ ）
A．61° B．63° C．65° D．67°
10．如图，根据下列条件，能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．AB＝32，BC＝42，AC＝52 B．（AB﹣BC）（AB+BC）＝AC
C．AB＝1，BC＝，AC＝ D．∠B＝3∠A，∠C＝8∠A
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．若两个代数式x2+1，4x+1的值相等，则x为 ．
12．当m 时，关于x的方程mx2+4x＝2x2﹣mx+6是一元二次方程．
13．《九章算术》中有一道“引霞赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”题意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇AB，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）；水深和芦苇长各多少尺？如图，若设水深为x，则依题意可列正确的方程为 ．
14．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB、AC、BD的中点，若BC＝6，则△PMN的周长是 ．
15．如图，在△ABC中，BC＝40，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，F、G分别是BC、DE的中点，若DE＝24，则FG的长度为 ．
16．如图是一块矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为2米的正方形后剩下的部分做成一个容积为96立方米的无盖长方体箱子，已知长方体箱子底面的长比宽多2米，则矩形铁皮的面积为 平方米．
17．把一张宽为1cm的长方形纸片ABCD折叠成如图所示的阴影图案，顶点A，D互相重合，中间空白部分是以E为直角顶点，腰长为2cm的等腰直角三角形，则纸片的长AD（单位：cm）为 ．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别为AB，BC边上一点，将△ACD、△BDE分别沿CD、DE折叠，A、B的对应点分别为A'、B'，点B'恰好落在DA'上．
（1）∠CDE＝ °；
（2）若＝，且DA'⊥BC，BC＝2，则BE的值为 ．
19．从菱形钝角的顶点向对边作垂线，此垂线平分对边，若该菱形的边长为4，则这个菱形的面积为 ．
20．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D是AC的中点，已知OD＝3，则BC＝ ．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．（7分）解方程：
（1）2x2+1＝3x（配方法）；
（2）（x+3）（x﹣1）＝3（公式法）．
22．（7分）如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）使三角形的三边长分别为3，2，（在图①中画一个即可）；
（2）使三角形为钝角三角形，且面积为6（在图②中画一个即可）．
23．（8分）已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0．
（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）若方程x2+kx﹣2＝0的一个解与方程的解相同．
（①求k的值；②求方程x2+kx﹣2＝0的另一个解．
24．（8分）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF，∠F＝∠CDE．
（1）求证：AB＝CD；
（2）连接AE，若AE＝DE，求证：四边形ABCD是矩形．
25．（10分）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2007年底全市汽车拥有量为150万辆，而截止到2009年底，全市的汽车拥有量已达216万辆．
（1）求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2010年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%．假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆？
26．（10分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α°（0＜α＜360），得到矩形AEFG．
（1）如图1．当点E在BD上时，
①求证：∠BEA＝∠BDC；
②连接AF，判断四边形BAFD的形状，并说明理由；
（2）若AB＝4，AD＝，当GC＝GB时，求ED的长度（画出图形，直接写出结果）．
27．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，点F在线段CD上运动，AE平分∠BAF交BC边于点E．
（1）过A作AG⊥AF，交CB延长线于点G，求证：
①△AGB≌△AFD；
②AF＝DF+BE；
（2）连接GF，正方形的边长为4，DF＝1．求GH的长；
（3）延长AF交BC延长线于点Q，若AE＝EQ，求此时tan∠HGB的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：∵（m﹣3）x﹣x+3＝0是关于x的一元二次方程，
∴，
解得m＝﹣3．
故选：C．
2．解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、是轴对称图形；
故选：D．
3．解：①当A、B、C三点共线时，以A、B、C三点为平行四边形的三个顶点，不能作形状不同的平行四边形；
②已知三点为A、B、C，连接AB、BC、CA，
分别以AB、BC、CA为平行四边形的对角线，另外两边为边，
可构成的平行四边形有三个： ACBD， ACEB， ABCF．
综上所述，可以作0个或3个平行四边形．
故选：A．
4．解：A、菱形和平行四边形的对角线都互相平分，故A选项不符合题意；
B、菱形和平行四边形的对角线都不相等，故B选项不符合题意；
C、菱形的对角线不相等，故C选项不符合题意；
D、菱形的对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角，平行四边形的对角线不互相垂直，每一条对角线不平分一组对角，故D选项符合题意．
故选：D．
5．解：由题意得：
（80﹣2x）（50﹣2x）＝3500，
故选：B．
6．解：已知点D、E、F分别是△ABC的边AB，AC，BC的中点，
∴EF∥AB且EF＝AD，EF＝DB，DE∥BC且DF＝CF＝BF，
∴四边形ADFE、四边形BDEF和四边形CFDE为平行四边形，
故选：C．
7．解：∵x2+x+2＝0，
∴Δ＝12﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴方程没有实数根．
故选：D．
8．解：如图，设AC与BD的交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC＝6，BO＝DO，AC⊥BD，
∴BO＝＝＝8，
∴BD＝16，
∵S菱形ABCD＝AB DE＝AC BD，
∴DE＝＝，
故选：B．
9．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BCA＝∠DAC＝42°，
∴∠COD＝∠CBD+∠BCA＝42°+23°＝65°．
故选：C．
10．解：A．∵AB＝32＝9，BC＝42＝16，AC＝52＝25，
∴AB2+BC2＝92+162＝337，AC2＝252＝625，
∴AB2+BC2≠AC2，
即△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵（AB﹣BC）（AB+BC）＝AC，
∴AB2﹣BC2＝AC，
即△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵AB＝1，BC＝，AC＝，
∴AB2+BC2＝12+（）2＝1+＝，AC2＝（）2＝，
∴AB2+BC2＝AC2，
即△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵∠B＝3∠A，∠C＝8∠A，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴12∠A＝180°，
∴∠A＝15°，
∴最大角∠C＝8∠A＝120°＞90°，
即△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．解：根据题意得x2+1＝4x+1，
∴x2﹣4x＝0，
则x（x﹣4）＝0，
∴x＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝0，x2＝4，
故答案为：0或4．
12．解：mx2+4x＝2x2﹣mx+6，
mx2+4x﹣2x2+mx﹣6＝0，
（m﹣2）x2+（m+4）x﹣6＝0，
∵关于x的方程mx2+4x＝2x2﹣mx+6是一元二次方程，
∴m﹣2≠0，
解得m≠2．
故答案为：≠2．
13．解：设水深x尺，则芦苇长为（x+1）尺，由题意得：
x2+52＝（x+1）2，
故答案为：x2+52＝（x+1）2．
14．解：∵P、M分别是AB、AC的中点，
∴PM∥BC，PM＝BC＝3，
∴∠APM＝∠CBA＝70°，
同理可得：PN∥AD，PN＝AD＝3，
∴∠BPN＝∠DAB＝50°，
∴PM＝PN＝3，∠MPN＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∴△PMN为等边三角形，
∴△PMN的周长为9，
故答案为：9．
15．解：连接DF，EF，
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°，
∵点F是BC的中点，BC＝40，
∴DF＝BC＝20，EF＝BC＝20，
∴DF＝EF＝20，
∵点G是DE的中点，
∴DG＝DE＝12，FG⊥DE，
在Rt△DGF中，FG＝＝＝16，
故答案为：16．
16．解：设矩形铁皮的宽为x米，则长为（x+2）米，
依题意得：（x+2﹣2×2）（x﹣2×2）×2＝96，
整理得：x2﹣6x﹣40＝0，
解得：x1＝﹣4（不合题意，舍去），x2＝10，
∴（x+2）x＝（10+2）×10＝120（平方米）．
故答案为：120．
17．解：如图，过点M作MH⊥A′R于H，过点N作NJ⊥A′W于J．
由题意△EMN是等腰直角三角形，EM＝EN＝2cm，MN＝2cm，
∵四边形EMHK是矩形，
∴EK＝A′K＝MH＝1cm，KH＝EM＝2cm，
∵△RMH是等腰直角三角形，
∴RH＝MH＝1cm，RM＝cm，同法可证NW＝cm，
由题意AR＝RA′＝A′W＝WD＝4cm，
∴AD＝AR+RM+MN+NW+DW＝4++2++4＝（8+4）（cm），
故答案为：（8+4）cm．
18．解：（1）由折叠性质可得∠ADC＝∠A′DC，∠BDE＝∠B′DE，
∴∠A′DC＝∠ADA′，∠B′DE＝∠BDB′，
∴∠CDE＝∠A′DC+∠B′DE＝（∠ADA′+∠BDB′）＝90°，
故答案为：90；
（2）如图，令A′D与BC交于点F，
∵DA'⊥BC，△ABC为直角三角形，BC＝2，
∴＝，
∵∠B′CD+∠B′DC＝90°，∠B′DC+∠B′DE＝90°，
∴∠B′CD＝∠B′DE，
∴△CDF∽△DEF，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴BF＝DF，
∴∠B＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AC＝BC＝2，
由勾股定理可得：
AB＝＝2，
∵∠B＝45°，
∴∠BDF＝45°，
∴∠ADA′＝180°﹣∠BDF＝135°，
由折叠性质可得∠ADC＝∠A′DC＝∠ADA′＝67.5°，
∵∠A＝∠B＝45°，
∴∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠ADC＝67.5°，
∴AD＝AC＝2，
∴BD＝AB﹣AD＝2﹣2，
在等腰Rt△BB′D中，
BF＝DF＝BD＝2﹣，
∴CF＝BC﹣BF＝，
由折叠性质可得：
∠DB′E＝∠B＝45°，B′D＝BD＝2﹣2，
∴B′F＝B′D﹣DF＝3﹣4，
在等腰Rt△B′EF中，
EF＝B′F＝3﹣4，
∴BE＝BC﹣CF﹣EF＝2﹣﹣（3﹣4）＝6﹣4，
故答案为：6﹣4．
19．解：连接BD，如图所示：
∵BE⊥CD，CE＝DE，
∴BC＝BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝BC＝4，CE＝DE＝2，
∴BC＝BD＝CD＝4，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∴∠CBE＝90°﹣60°＝30°，
∴BE＝CE＝2，
∴菱形ABCD的面积＝CD×BE＝4×2＝8，
故答案为：8．
20．解：∵AB是⊙O的直径，
∴OA＝OB，
∵D是AC的中点，
∴AD＝DC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD＝BC，
∵OD＝3，
∴BC＝2OD＝6，
故答案为：6．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．解：（1）∵2x2+1＝3x，
∴2x2﹣3x＝﹣1，
∴x2﹣x＝﹣，
∴x2﹣x+＝﹣+，即（x﹣）2＝，
∴x﹣＝±，
∴x1＝1，x2＝；
（2）整理成一般式，得：x2+2x﹣6＝0，
∵a＝1，b＝2，c＝﹣6，
∴Δ＝22+4×1×6＝28＞0，
∴x＝＝＝﹣1±，
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
22．解：（1）如图①中，△ABC即为所求；
（2）如图②中，△ABC即为所求（答案不唯一）．
23．解：（1）Δ＝k2﹣4×（﹣2）＝k2+8，
∵k2≥0，
∴Δ＞0．
所以不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）方程两边同乘以x﹣1得，x+1＝3（x﹣1），解得x＝2，经检验是原方程的解，所以x＝2．
把x＝2代入方程x2+kx﹣2＝0，得4+2k﹣2＝0，所以k＝﹣1．
而方程两根之积为﹣2，所以另一个解为﹣1．
因此k＝﹣1，另一个解为﹣1．
24．（1）证明：∵E是BC的中点，
∴BE＝CE．
在△BEF和△CED中
∵，
∴△BEF≌△CED（AAS）．（1分）
∴BF＝CD．（2分）
∵AB＝BF，
∴AB＝CD．
（2）证明：∵∠F＝∠CDE，
∴AB∥CD．
由（1）知AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．（4分）
由△BEF≌△CED，得EF＝DE．
∵AE＝DE，
∴AE＝EF．
∵AB＝BF，
∴EB⊥AF．（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）
∴∠ABE＝90°．（6分）
∴ ABCD是矩形．（7分）
25．解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x．
根据题意，得150（1+x）2＝216，
则1+x＝±1.2，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%．
（2）设全市每年新增汽车数量为y万辆，则2010年底全市的汽车拥有量为（216×90%+y）万辆，2011年底全市的汽车拥有量为[（216×90%+y）×90%+y]万辆．
根据题意得（216×90%+y）×90%+y≤231.96，
解得y≤30．
答：该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆．
26．证明：（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥BA，
∴∠CDB＝∠DBA，
∵将矩形ABCD绕点顺A时针旋转α°（0＜α＜360），得到矩形AEFG，
∴AE＝AB，
∴∠DBA＝∠AEB，
∴∠BEA＝∠BDC；
②四边形BAFD是平行四边形，理由如下：
由旋转可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，AF＝BD，
∴∠AEB＝∠ABE，
又∵∠ABE+∠EDA＝90°＝∠AEB+∠DEF，
∴∠EDA＝∠DEF，
又∵DE＝ED，
∴△AED≌△FDE（SAS），
∴DF＝AE，
又∵AE＝AB＝CD，
∴DF＝AB，
又∵AF＝BD，
∴四边形BAFD是平行四边形；
（2）如图1，当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，连接DE，过点E作EK⊥AD于K，
∵GC＝GB，
∴GH⊥BC，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM＝BH＝AD＝AG，
∴GM垂直平分AD，
∴GD＝GA＝DA，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴∠EAD＝30°，
∵EK⊥AD，
∴EK＝AE＝AB＝2，
∴AK＝＝＝2，
∴DK＝AD﹣AK＝，
∴DE＝＝＝；
②如图2，当点G在AD左侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，连接DE，过点E作EK⊥AD，交DA的延长线于K，
同理可得△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴∠EAK＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∵EK⊥AD，
∴EK＝AE＝AB＝2，
∴AK＝＝＝2，
∴DK＝AD+AK＝5，
∴DE＝＝＝；
综上所述：DE＝或．
27．（1）证明：如图1，①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，
∴∠ABG＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴∠ABG＝∠D，
∵AG⊥AF，
∴∠GAF＝90°，
∴∠BAG＝∠DAF＝90°﹣∠BAF，
在△AGB和△AFD中，
，
∴△AGB≌△AFD（ASA）．
②∵∠BAG＝∠DAF，∠BAE＝∠FAE，
∴∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠FAE，
∴∠GAE＝∠DAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠GEA，
∴∠GAE＝∠GEA，
∴AF＝AG＝EG＝BG+BE＝DF+BE．
（2）如图2，作HK⊥AG于点K，则∠AKH＝∠GKH＝90°，
由①得△AGB≌△AFD，
∴AG＝AF，BG＝DF＝1，
∴∠AGF＝∠AFG＝45°，
∴∠KGH＝∠KHG＝45°，
∴KG＝KH，
∴GH＝＝＝KG，
∵∠AKH＝∠ABG＝90°，∠KAH＝∠BAG，
∴△AKH∽△ABG，
∴＝，
∵AB＝4，
∴AG＝＝＝，AK＝ KH＝4KH＝4KG，
∴KG+4KG＝，
∴KG＝，
∴GH＝×＝．
（3）如图3，在BG上取一点L，连接HL，使GL＝HL，则∠LHG＝∠LGH，
∵AE＝EQ，
∴∠EAQ＝∠Q，
∵∠EAG+∠EAQ＝90°，∠EGA+∠Q＝90°，
∴∠EAG＝∠EGA，
∴EA＝EG，
由（1）得AG＝EG，
∴AG＝EA＝EG，
∴∠AGE＝60°，
∵∠AGF＝45°，
∴∠LHG＝∠LGH＝∠AGE﹣∠AGF＝60°﹣45°＝15°，
∴∠BLH＝∠LHG+∠LGH＝30°，
设BH＝m，则GL＝HL＝2BH＝2m，
∴BL＝＝＝m，
∴tan∠HGB＝＝＝2﹣．
