高中数学 高二 人教A版（2019） 选择性必修 第二册
5.2导数的运算 课时练习
一、单选题
1．函数y＝x2cos 2x的导数为（ ）
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x
B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x
D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x
2．下列求导运算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．若函数，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．点P在函数的图像上，若满足到直线的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值为（ ）
A．5或 B．1或3 C．1 D．5
7．曲线在处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
8．函数的导函数在区间上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．下列求导计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，则（ ）
A．2018 B． C．2019 D．
11．已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“严格凸函数”．在下列函数中，在上为“严格凸函数”的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．设函数，，则实数a＝______．
14．设函数．若，则a=_________．
15．曲线在点处的切线方程为___________．
16．丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义：函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上的“严格凸函数”，称区间为函数的“严格凸区间”.则下列正确命题的序号为______.①函数在上为“严格凸函数”；②函数的“严格凸区间”为；③函数在为“严格凸函数”，则的取值范围为.
17．若曲线在点处的切线的斜率为2，则______．
三、解答题
18．求下列函数的导数，其中：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)；
(9)；
(10)．
19．在①是三次函数，且，，，，②是二次函数，且这两个条件中任选一个作为已知条件，并回答下列问题.
（1）求函数的解析式；
（2）求的图象在处的切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
20．已知函数.
（1）求这个函数的导数；
（2）求这个函数的图象在点处的切线方程.
21．已知函数.
（1）若，求a的值；
（2）若，求证：当时，，其中e为自然对数的底数.
22．已知函数．
（1）求；
（2）求曲线过点的切线的方程．
23．已知函数.
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线的切线.
答案：
1．B
【分析】利用复合函数的导数运算法则计算即可．
【详解】y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
故选：B
2．C
【分析】根据基本初等函数的导数以及求导运算法则判断即可.
【详解】由基本初等函数导数可知：，，故AB正确；
由复合函数求导法则可知：，故C错误；
又幂函数的导数可知：，故D正确；
故选：C.
3．B
【分析】根据导数公式依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，，故A选项错误；
对于B选项，，故B选项正确；
对于C选项，，故C选项错误；
对于D选项，，故D选项错误.
故选：B
4．C
【分析】求出切点坐标以及切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程.
【详解】对函数求导得，则所求切线斜率为，且，
因此，曲线在点处的切线方程为，即.
故选：C.
5．B
【分析】求导函数，解不等式，结合定义域即可．
【详解】函数的定义域为，由，得．
故选：B．
6．D
【分析】在曲线的点作切线，使得此切线与直线平行，得，进而根据题意得点到直线的距离为时满足条件，根据点到直线的距离公式得或，再结合图形分析即可得答案.
【详解】过函数的图象上点作切线，使得此切线与直线平行，
因为，于是，所以，∴，
于是当点到直线的距离为时，则满足到直线的距离为的点P有且仅有3个，
∴ ，解得或，
又当时，函数的图象与直线不相交（如图），从而只有一个点到直线距离为，所以不满足；
当时，函数的图象与直线相交，满足条件.
故选：D．
7．C
【分析】求出函数的导数，再由导数的几何意义即可得切线斜率，进而得解.
【详解】因，则，当时，，
由导数的几何意义知，曲线在处的切线斜率为1，其倾斜角为，
所以切线的倾斜角为.
故选：C
8．C
【分析】求导，由导函数的奇偶性可判断
【详解】∵，∴，
∴，∴为奇函数，
故选：C.
9．B
【分析】利用导数的四则运算和复合函数的导数，即得解
【详解】，A错误；
，B正确；
，C错误；
，D错误．
故选：B．
10．B
【分析】求出，令，即得.
【详解】，
，
令，
.
故选：.
11．B
【解析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法求出函数的导数，再代入计算即可；
【详解】因为
所以
所以
故选：B
12．D
【分析】根据基本初等函数的导数公式求出函数的导函数，一一判断即可；
【详解】解：对于A：，则，恒成立，故A错误；
对于B：，则，，所以当时恒成立，故B错误；
对于C：，则，则，所以当时，当时，故C错误；
对于D：则，，所以当时恒成立，故D正确；
故选：D
13．2；
【分析】先对求导，再利用即可求解.
【详解】，所以，解得，
故答案为：.
14．1
【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值
【详解】由函数的解析式可得：，
则：，据此可得：，
整理可得：，解得：.
故答案为：.
15．.
【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程
【详解】详解：
所以，
所以，曲线在点处的切线方程为，即．
16．①②
【分析】根据题干中给出的定义逐项检验后可得正确的选项.
【详解】的导函数，，
故在上恒成立，
所以函数在上为“严格凸函数”，所以①正确；
的导函数，，
由可得，解得，
所以函数的“严格凸区间”为，所以②正确；
的导函数，，
因为为上的“严格凸函数”，故在上恒成立，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
故，所以③不正确.
所以正确命题为：①②.
故答案为：①②.
17．
【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案.
【详解】由题意可得，
故 ，
故答案为：
18．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
【分析】（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）、（9）、（10）结合导数运算和复合函数导数求得函数的导数.
（1）
因为，所以；
（2）
因为，
所以；
（3）
因为，所以；
（4）
因为，
所以；
（5）
因为，
所以；
（6）
因为，
所以；
（7）
因为，
所以；
（8）
因为，
所以；
（9）
因为，
所以；
（10）
因为，
所以．
19．（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】(1)根据所选条件，设出函数解析式，借助待定系数法求解即得；
(2)利用(1)中函数，借助导数的几何意义求出切线l的方程即可计算作答.
【详解】选①，
（1）依题意，设，则，
由已知得，解得，，，，
所以函数的解析式是；
（2）由(1)知，，，则有切线l的方程为，
当时，，当时，，
所以切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
选②，
（1）依题意，设，则，
于是得：，化简得，
因为上式对任意x都成立，所以，解得，，，
所以函数的解析式为；
（2）由(1)知，，则，又，则有切线l的方程为，
当时，，当时，，
所以切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
20．（1）；（2）.
【分析】（1）利用导数的运算法则可求得原函数的导数；
（2）求出切点坐标与切线斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程.
【详解】（1）因为，则；
（2）所求切线斜率为，当时，，切点坐标为，
因此，函数的图象在点处的切线方程为.
21．（1）1；（2）证明见解析.
【分析】（1）求出,根据题意可得，解方程即可求出结果；
（2）求出，根据不等式的性质即可证出结论.
【详解】（1）因为，，
所以，解得.
（2）函数的定义域是，
，
所以，
当，时，，，
可得.
22．（1）；（2）或．
【分析】（1）利用函数的求导法则可求得；
（2）设所求切点的坐标为，利用导数求出所求切线的方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，可得出切点的坐标，进而可求得所求切线的方程.
【详解】（1），则；
（2）设切点为，
，所以，切线的斜率为，
所求切线方程为．
将，代入切线方程，得．
整理得，解得或.
当时，， 切线方程为，化简得；
当时，，切线方程为，化简得．
综上所述，曲线过点的切线的方程为或．
23．（1）函数在和上是单调增函数，证明见解析；
（2）证明见解析.
【分析】（1）对函数求导，结合定义域，判断函数的单调性；
（2）先求出曲线在处的切线，然后求出当曲线切线的斜率与斜率相等时，证明曲线切线在纵轴上的截距与在纵轴的截距相等即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
，因为函数的定义域为，所以，因此函数在和上是单调增函数；
当，时，，而，显然当，函数有零点，而函数在上单调递增，故当时，函数有唯一的零点；
当时，，
因为，所以函数在必有一零点，而函数在上是单调递增，故当时，函数有唯一的零点
综上所述，函数的定义域内有2个零点；
（2）[方法一]【最优解：分别求得两条方程，比较常数项说明切线重合】
设在点处的斜率为．
切线的方程为，即．
由，得．
所以曲线上斜率为的切线的切点为．
切线的方程为，即．
由于，故曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线的切线.
[方法二]【利用切线的斜率相等进行证明】
由题设知，即，曲线在点处的切线l的方程为．
设在曲线上取一点，若其在点B处的斜率与直线l的斜率相等，
则有，即，故．
将点B的坐标代入直线l的方程中，
，整理得，上式显然成立．
则直线l过点B，即曲线在点处的切线也是曲线的切线．
[方法三]【利用不同的方法计算斜率证明切线重合】
因为，所以由，设切点坐标为，解得．
因此，曲线在点处切线的斜率也是．
因为，所以，
因此，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
[方法四]【构造函数讨论单调性证明切线重合】
因为，
所以曲线在点处的切线方程是．
构造函数，由得．
因为当时，；
当时，，所以．
因此，函数只有一个零点．
所以曲线与曲线在点处的切线只有一个交点．
又，因此，曲线与直线相切于，
即曲线在点处的切线也是曲线的切线．
【整体点评】(2)方法一：分别求得两条切线方程比较切线方程的形式是最直接思路；
方法二：考查切线斜率相等时证明切线重合的必要思路；
方法三：利用不同的方法计算切线方程是证明切线重合的有效方法；
方法四：构造函数进行证明体现了等价转化的数学思想.
