05：四边形--备战2023年中考数学之易错题集训
1．一块多边形木板截去一个三角形（截线不经过顶点），得到的新多边形内角和为，则原多边形的边数为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
2．一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（ ）
A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18
3．一个多边形截去一角后，变成一个八边形则这个多边形原来的边数是（ ）
A．8或9 B．2或8 C．7或8或9 D．8或9或10
4．如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点，添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3、BC=4、P、Q两点分别在AC和AB上．且CP=BQ=1，在平面上找一点M．以A、P、Q、M为顶点画平行四边形，这个平行四边形的周长的最大值为（ ）
A．12 B． C． D．
7．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥ CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：① AP＝EF；② AP⊥ EF；③∠PFE＝∠BAP；④ PD＝EC；⑤ PB2+PD2＝2PA2，正确结论是（ ）
A．① ③ B．① ② ③ C．① ③ ⑤ D．① ② ③ ⑤
8．如图，⊙O的半径为2，AB，CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A，B，C，D不重合），过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，在点P运动的过程中，OQ的长度为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．不能确定
9．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AC=AF+2，CF=6，则四边形BDFG的周长为（ ）
A．19 B．20 C．25 D．26
10．如图，过矩形ABCD的对角线AC的中点O作，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE，CF．若，，则EF的长是（ ）
A．2 B． C． D．3
11．现有一张纸片，∠BAF＝∠B＝∠C＝∠D＝∠FED＝∠F＝90°，AB＝AF＝2，EF＝ED＝1．有甲、乙两种剪拼方案，如图1，2所示将它们沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ）
A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以
C．甲不可以、乙可以 D．甲可以、乙不可以
12．过某个多边形的一个顶点可以引出8条对角线，这些对角线将这个多边形分成_________个三角形．
13．已知：从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成6个三角形；正t边形的边长为7，周长为63，则的值为________．
14．已知从六边形的一个顶点出发，可以引条对角线，这些对角线可以把这个六边形分成个三角形，则______.
15．如图，在平行四边形中，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：①；②；③；④．其中一定能判定四边形是平行四边形的是______．
16．过对角线交点O作直线m，分别交直线于点E，交直线于点F，若，则的长是_________．
17．如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为2：3的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”．当“协调边”为5时，这个平行四边形的周长为_____．
18．平行四边形的一个内角的平分线与一边相交，且把这一边分成和两段，那么这个平行四边形的周长为_______________．
19．如图，△中沿将四边形翻折，使点、点分别落在点和点处，再将△AEF沿AF翻折，使点落在点处，若，，则的度数为_____________．
20．如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为________
21．如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为______．
22．如图四边形ABCD中，AD=DC，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DF⊥AC，垂足为F．DF与AB相交于E．设AB=15，BC=9，P是射线DF上的动点．当△BCP的周长最小时，DP的长为__．
23．如图，P为正方形对角线上一动点，若，则的最小值为_______
24．如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：画出图形，把截去的部分打上阴影
新多边形内角和比原多边形的内角和增加了．
新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．
新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了．
将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，求原多边形的边数．
25．如图，在六边形ABCDEF中，AFBECD，EDAB，∠A=110°，∠ABC=100°．
(1)求六边形ABCDEF的各内角和的度数；
(2)求∠C、∠D的度数；
(3)若一只蚂蚁从A点出发沿A-B-C-D-E-F-A运动到A点停止，蚂蚁一共转过了多少度？
26．如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．
（1）若ED⊥EF，求证：ED＝EF；
（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；
（3）若ED＝EF，求证：ED⊥EF．
27．如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠B=90°，AD=9cm，BC=13cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向终点B运动，当其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为ts．
(1)若AB=3cm，求CD的长；
(2)当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
(3)探究：当线段AB的长为多少时，第（2）小题中的四边形PDCQ是菱形？
28．如图，两个全等的等边三角形与，拼成的四边形中，，点、分别为、边上的动点，满足，连接交于点，连接与、、分别交于点、、，且.
(1)求证：；
(2)求证：是等边三角形.
(3)当点，点运动到什么地方时，的周长最小？请求出的周长最小值.
29．如图，在矩形ABCD中，P是AD上一个动点，O为BD的中点，连接PO并延长交BC于点Q．
(1)求证：四边形PBQD是平行四边形；
(2)若AD=6cm，AB=4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动（不与点D重合），设点P的运动时间为t秒，求当t为何值时，四边形PBQD是菱形
30．如图，四边形ABCD中，，，．
(1)求∠ABC的度数；
(2)把BCD沿BC翻折得到BCE，过点A作，垂足为F，求证：；
(3)在（2）的条件下，连接DE，若四边形ABCD的面积为45，，求DE的长．
31．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
(1)求证：；
(2)①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
(3)当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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05：四边形--备战2023年中考数学之易错题集训
1．一块多边形木板截去一个三角形（截线不经过顶点），得到的新多边形内角和为，则原多边形的边数为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【分析】首先求出内角和为2340°的多边形的边数，而根据题意可得原多边形比新多边形的边数少1，据此进一步求解即可.
【详解】设内角和为2340°的多边形边数为，
则：，
解得：，
则原多边形边数=，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了多边形内角和公式的运用，熟练掌握相关公式是解题关键.
2．一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（ ）
A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18
【答案】A
【分析】分三种情况讨论，当截线不经过多边形的顶点时，当截线经过多边形的一个顶点时，当截线经过多边形的两个顶点时，再利用数形结合的方法可得答案.
【详解】解：如图，当截线不经过多边形的顶点时，被截后的多边形比原多边形增加一条边，
所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为15边形，
如图，当截线经过多边形的一个顶点时，被截后的多边形与原多边形边数相同，
所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为16边形，
如图，当截线经过多边形的两个顶点时，被截后的多边形比原多边形少一条边，
所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为17边形，
故选：
【点睛】本题考查的是用直线截多边形的一个角后，被截后的多边形的边数与原多边形的边数之间的关系，解题的关键是清晰的分类讨论.
3．一个多边形截去一角后，变成一个八边形则这个多边形原来的边数是（ ）
A．8或9 B．2或8 C．7或8或9 D．8或9或10
【答案】C
【分析】画出所有可能的情况，即可作答.
【详解】如图所示
∴这个多边形原来是7边形或8边形或9边形
故答案为C.
【点睛】本题考查的知识点是多边形内角与外角，解题关键是注意分情况作答.
4．如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定定理推理判断即可．
【详解】因为，
所以∠ABD=∠CDB，
因为∠AOB=∠COD，
所以△AOB≌△COD，
所以OB=OD，
所以四边形ABCD是平行四边形，
故A可以，不符合题意；
因为，
所以∠DAC=∠BCA，
因为AC=CA，
所以△ACD≌△CAB，
所以AD=BC，
所以四边形ABCD是平行四边形，
故B可以，不符合题意；
因为，
无法判定四边形ABCD是平行四边形，
故C不可以，符合题意；
因为，
所以四边形ABCD是平行四边形，
故D可以，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理，灵活选择方法完善条件是解题的关键．
5．如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点，添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质得到∠AEB=∠CBF，求得∠CBF=∠BCD，求得CF=BF，同理，EF=DF，不能判定四边形BCED为平行四边形；故A错误；根据平行线的性质得到∠DEF=∠CBF，根据全等三角形的性质得到DF=CF，于是得到四边形BCED为平行四边形，故B正确；根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB∥CD，求得DE∥BC，∠ABD=∠CDB，推出BD∥CE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故C正确；根据平行线的性质得到∠DEC+∠BCE=∠EDB+∠DBC=180°，推出∠BDE=∠BCE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故D正确．
【详解】解：A、∵AE∥BC，
∴∠AEB=∠CBF，
∵∠AEB=∠BCD，
∴∠CBF=∠BCD，
∴CF=BF，
同理，EF=DF，
∴不能判定四边形BCED为平行四边形；故A错误；
∵ DE∥BC，
∴∠DEF=∠CBF，
∠DEF=∠CBF
在△DEF与△CBF中,
∴△DEF△CBF(ASA),
∴DF=CF
∵EF=BF
∴四边形BCED为平行四边形，故B正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ .AD∥BC，AB∥CD,
∴DE∥CE，∠ABD=∠CDB,
∠ABD=∠DCE，
∴∠DCE=∠CDB，
∴BD∥CE，
∴四边形BCED为平行四边形，故C正确；
∵AEB∥C,
∴∠DEC+∠BCE=∠EDB+∠DBC=180°
∵∠AEC=∠CBD，
∴∠BDE=∠BCE，
∴四边形BCED为平行四边形，故D正确．
故选:A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3、BC=4、P、Q两点分别在AC和AB上．且CP=BQ=1，在平面上找一点M．以A、P、Q、M为顶点画平行四边形，这个平行四边形的周长的最大值为（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】D
【分析】先依据勾股定理以及相似三角形的性质，即可得到的长，再分三种情况，即可得到以、、、为顶点的平行四边形的周长，进而得出周长的最大值．
【详解】解：由勾股定定理得：，则；
过点作，垂足为，则，
则，
则，
，
由，得，
再由勾股定理得：；
如图1：周长；
如图2：周长；
如图3：周长为最长．
∵，并且
即，
故周长的最大值是
故选：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理计算得到的长．
7．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥ CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：① AP＝EF；② AP⊥ EF；③∠PFE＝∠BAP；④ PD＝EC；⑤ PB2+PD2＝2PA2，正确结论是（ ）
A．① ③ B．① ② ③ C．① ③ ⑤ D．① ② ③ ⑤
【答案】D
【分析】① 先证，由全等的性质可得；② 由全等及矩形的性质可得；③ 由全等及矩形的性质可得；④ 由PF=EC且可判断错误 ⑤ 由勾股定理得、、，再相加后等量代换可得
【详解】① 解：过点P作于G，连接PC
易证
又PE⊥BC，PF⊥ CD，
∴ 四边形PECF是矩形
∴
故 ① 正确；
② 解：延长AP交BC于H,连接PC交EF于O，如图
由① 知：
故② 正确；
③ 解：由①② 知：
故③正确；
④解：∵四边形PECF是矩形
∴ PF=EC
在中
故④错误；
⑤ 解：过点P作于G，连接PC
易知四边形ABEG、PECF、GPFD为矩形
∴
故⑤ 正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形性质，矩形的判定及性质，勾股定理，灵活运用知识及作出辅助线是解题关键．
8．如图，⊙O的半径为2，AB，CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A，B，C，D不重合），过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，在点P运动的过程中，OQ的长度为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．不能确定
【答案】A
【分析】连接OP，根据矩形的判定得出四边形PMON是矩形，根据矩形的性质得出MN＝OP＝2，根据Q为MN中点可知Q为OP中点，据此求出答案即可．
【详解】解：连接OP，则OP＝2，
∵AB⊥CD，PM⊥OA，PN⊥OD，
∴∠MON＝∠PMO＝∠PNO＝90°，
∴四边形PMON是矩形，
∴MN＝OP＝2，
∵Q为MN中点，
∴Q为OP中点，
∴OQ＝OP＝×2＝1，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，能根据矩形的性质得出MN＝OP＝2是解此题的关键．
9．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AC=AF+2，CF=6，则四边形BDFG的周长为（ ）
A．19 B．20 C．25 D．26
【答案】B
【分析】首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可判断四边形BGFD是菱形，设AF=x，则AC=x+2，FC=6，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值，进而得出答案．
【详解】解：∵AGBD，BD=FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴BD=DF=AC，
∴四边形BGFD是菱形，
设AF=x，则AC=x+2，FC=6，
在Rt△ACF中，∠CFA=90°，
∴，即，
解得：x=8，
故AC=10，
∴BD=5，
故四边形BDFG的周长=4BD=4×5=20．
故选∶B．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、菱形的性质与判定、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形BGFD是菱形．
10．如图，过矩形ABCD的对角线AC的中点O作，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE，CF．若，，则EF的长是（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【分析】先利用“ASA”证明△AOF≌△COE，根据全等三角形对应边相等可得OE＝OF，再根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”得到四边形AECF是菱形，再求出∠ECF＝60°，然后判断出△CEF是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得EF＝CF，根据矩形的对边相等可得CD＝AB，然后求出CF，从而得解．
【详解】解：∵矩形对边AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC，
∵O是AC的中点，
∴AO＝CO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE＝OF，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形，
∵∠DCF＝30°，
∴∠ECF＝90°﹣30°＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF＝CF，
∵AB＝，
∴CD＝AB＝，
∵∠DCF＝30°，
∴DF=。
∴CF＝2DF=2，
∴EF＝2．
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键在于判断出△CEF是等边三角形，并能熟练运用相应性质和判断．
11．现有一张纸片，∠BAF＝∠B＝∠C＝∠D＝∠FED＝∠F＝90°，AB＝AF＝2，EF＝ED＝1．有甲、乙两种剪拼方案，如图1，2所示将它们沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ）
A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以
C．甲不可以、乙可以 D．甲可以、乙不可以
【答案】A
【分析】如图1，将△AEF移至①处，△DEH移至②处，四边形GCHE移至③处，即可得到一个与原来面积相等的正方形；如图2，将△ABG，△AHG，△HGF分别移至①②③处，即可得到一个与原来面积相等的正方形．
【详解】解：如图1，将△AEF移至①处，△DEH移至②处，四边形GCHE移至③处，即可得到一个与原来面积相等的正方形；
如图2，将ΔABG，△AHG，△HGF分别移至①②③处，即可得到一个与原来面积相等的正方形；
∴甲、乙方案都可以．
故选：A
【点睛】本题考查了图形的剪拼以及正方形的性质，解答本题的关键是根据题意作出图形．
12．过某个多边形的一个顶点可以引出8条对角线，这些对角线将这个多边形分成_________个三角形．
【答案】9
【分析】根据过n边形的一个顶点，可以引出（n-3）条对角线，这些对角线把该多边形分成（n-2）个三角形，即可求解．
【详解】解：∵某个多边形的一个顶点可以引出8条对角线，
∴该多边形的边数为8+3=11，
∴这些对角线将这个多边形分成11-2=9个三角形．
故答案为：9
【点睛】本题主要考查了多边形的对角线问题，熟练掌握过n边形的一个顶点，可以引出（n-3）条对角线，这些对角线把该多边形分成（n-2）个三角形是解题的关键．
13．已知：从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成6个三角形；正t边形的边长为7，周长为63，则的值为________．
【答案】
【分析】根据题意，由多边形的性质：从n边形的一个顶点出发能引出条对角线；能分成个三角形．分别求出的值，再由正多边形的性质求出，然后代入式子即可求解．
【详解】解：从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，
即；
从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成6个三角形，
即；
正t边形的边长为7，周长为63，
；
；
故答案为：．
【点睛】此题考查了多边形的性质，熟练掌握多边形的性质列式计算是解答此题的关键．
14．已知从六边形的一个顶点出发，可以引条对角线，这些对角线可以把这个六边形分成个三角形，则______.
【答案】﹣1
【分析】多边形的任意一点连其他各点得到的对角线条数为（n﹣3）；组成的三角形的个数为（n﹣2），分别求出m、n的值即可得出.
【详解】根据题意，画出图形：
总结规律“多边形的任意一点连其他各点得到的对角线条数为（n﹣3）；组成的三角形的个数为（n﹣2）”可知，
对角线共有6﹣3=3条，分成6﹣2=4个三角形，
则
所以
故答案为﹣1
【点睛】本题主要考查了多边形的任意一点连其他各点得到的对角线条数为（n﹣3）及组成的三角形的个数为（n﹣2），掌握规律能轻松快速解答本题.
15．如图，在平行四边形中，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：①；②；③；④．其中一定能判定四边形是平行四边形的是______．
【答案】①④
【分析】根据全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质分别推理论证，即可得到结论．
【详解】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，OB=OD，OA=OC，
∵BF=DE，
∴BF-OB=DE-OD，
即OF=OE，
∴四边形AECF是平行四边形；
②∵AE=CF，不能判定△ABE≌△CDF，
∴不能判定四边形AECF是平行四边形；
③∠EAB=∠FCO不能判定四边形AECF是平行四边形；
④∵AF∥CE，
∴∠AFB=∠CED，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴BF=DE，
∴BF-OB=DE-OD，
即OF=OE，
又∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形；
故答案为：①④．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
16．过对角线交点O作直线m，分别交直线于点E，交直线于点F，若，则的长是_________．
【答案】10或2
【分析】由题意易得E在CD的延长线上或E在DC的延长线上，所以DF的长不唯一，根据平行四边形的性质和全等三角形的性质分别求解即可．
【详解】当F在DC的反向延长线上时，如图1所示，
四边形ABCD是平行四边形，
在和中，
当F在DC的延长线上时，如图2所示，
BE = 4 + 6= 10，
DF = 10．
故答案为：10或2．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定以及性质，解题时要注意F点的位置不唯一，要分别讨论，这是解题关键．
17．如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为2：3的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”．当“协调边”为5时，这个平行四边形的周长为_____．
【答案】14或16
【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义得出AB=AE；分两种情况：①当AE=2，DE=3时；②当AE=3，DE=2时；即可求出平行四边形ABCD的周长．
【详解】解：∵一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为2：3的两部分，这边为5，
∴分成的两边为2和3，
如图所示：
①当AE=2，DE=3时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=5，AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=2，
∴平行四边形ABCD的周长=2（AB+AD）=14；
②当AE=3，DE=2时，
同理得：AB=AE=3，
∴平行四边形ABCD的周长=2（AB+AD）=16；
故答案为：14或16．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键；注意分类讨论思想的运用，避免漏解．
18．平行四边形的一个内角的平分线与一边相交，且把这一边分成和两段，那么这个平行四边形的周长为_______________．
【答案】或
【分析】根据题意画出图形，由平行四边形得出对边平行，又由角平分线可以得出为等腰三角形，然后分别讨论，或，，继而求得答案．
【详解】解：如图，四边形为平行四边形，
，
，
为角平分线，
，
，
，
①当，时，
则周长为；
②当时，，
则周长为．
故答案为：10或8．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意分类讨论思想的应用．
19．如图，△中沿将四边形翻折，使点、点分别落在点和点处，再将△AEF沿AF翻折，使点落在点处，若，，则的度数为_____________．
【答案】85°##85度
【分析】由折叠的性质，先求出，然后利用，求出，再利用三角形的外角性质，即可求出的度数．
【详解】解：根据题意，在中，，
∴，
∴，
由折叠的性质，则
，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：85°
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，折叠的性质，四边形的内角和，三角形的外角性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出角的度数．
20．如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为________
【答案】
【分析】作DMAC，使得DM=EF=1，连接BM交AC于F，由四边形DEFM是平行四边形，推出DE=FM，推出DE+BF=FM+FB=BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，由四边形ABCD是菱形，在Rt△BDM中，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，作DMAC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于F，
∵DM＝EF，DMEF，
∴四边形DEFM是平行四边形，
∴DE＝FM，
∴DE+BF＝FM+FB＝BM，
根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∠BAD＝60°
∴AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝3，
∵BD⊥AC，DM∥AC，
∴BD⊥DM，
在Rt△BDM中，BM＝＝
∴DE+BF的最小值为．
故答案为．
【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把问题转化为两点之间线段最短解决，属于中考填空题中的压轴题．
21．如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为______．
【答案】9
【详解】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=6cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=6cm．
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD=6cm．
∴S△OCD=
在等边三角形OCD中，S△OMN=S△OCD=
S△PMN=S△PCD=
∴S四边形PMON= S△OMN+ S△PMN=+=9．
故答案为：9．
22．如图四边形ABCD中，AD=DC，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DF⊥AC，垂足为F．DF与AB相交于E．设AB=15，BC=9，P是射线DF上的动点．当△BCP的周长最小时，DP的长为__．
【答案】12.5
【详解】解：∵∠ACB=90°，AB=15，BC=9，
∴AC=，
∵AD=DC，DF⊥AC，
∴AF=CF=AC=6，
∴点C关于DE的对称点是A，故E点与P点重合时△BCP的周长最小，
∴DP=DE，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，即，解得AE=，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ABC，
∵∠DAB=∠ACB=90°，
∴Rt△AED∽Rt△CBA，
∴，即
解得DE==12.5，即DP=12.5．
23．如图，P为正方形对角线上一动点，若，则的最小值为_______
【答案】
【分析】将绕点A顺时针旋转得到，由旋转的性质及等边三角形的性质得出，，当E F P C共线时，最小，然后利用直角三角形和勾股定理求解即可．
【详解】如解图，将绕点A顺时针旋转得到，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴当E F P C共线时，最小，
作交的延长线于M，的延长线交的延长线于N，则四边形是矩形，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定及性质，解直角三角形和勾股定理，掌握这些性质是解题的关键．
24．如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：画出图形，把截去的部分打上阴影
新多边形内角和比原多边形的内角和增加了．
新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．
新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了．
将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，求原多边形的边数．
【答案】（1）作图见解析；（2）15，16或17．
【分析】（1）①过相邻两边上的点作出直线即可求解；
②过一个顶点和相邻边上的点作出直线即可求解；
③过相邻两边非公共顶点作出直线即可求解；
（2）根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论．
【详解】如图所示：
设新多边形的边数为n，
则，
解得，
若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，
若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，
若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，
故原多边形的边数可以为15，16或17．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解．
25．如图，在六边形ABCDEF中，AFBECD，EDAB，∠A=110°，∠ABC=100°．
(1)求六边形ABCDEF的各内角和的度数；
(2)求∠C、∠D的度数；
(3)若一只蚂蚁从A点出发沿A-B-C-D-E-F-A运动到A点停止，蚂蚁一共转过了多少度？
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，得出，，，，全部相加即为六边形ABCDEF的内角和；
（2）根据平行线的性质，得出，，，，再利用角之间的换算，则可计算出答案；
（3）利用多边形的外角和为的性质即可．
【详解】（1）∵AFBECD，
∴，，，，
∴六边形ABCDEF的各内角和
；
（2）∵AFBECD，
∴，，，
∴，
∵EDAB，
∴，
∴，
；
（3）由于蚂蚁从A点出发沿A-B-C-D-E-F-A运动到A点停止，
即绕了多边形一周，转过的角度多边形为外角和，
∴蚂蚁一共转过了．
【点睛】本题考查了平行线的性质，多边形外角和定理，解题关键是灵活运用平行线的性质进行角之间的换算．
26．如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．
（1）若ED⊥EF，求证：ED＝EF；
（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；
（3）若ED＝EF，求证：ED⊥EF．
【答案】（1）见解析；（2）四边形ACPE为平行四边形，理由见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD＝BC，ADBC，结合已知条件可得AC＝BC，AC⊥BC，连接CE，根据E是AB的中点以及等腰三角形的三线合一，直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得AE＝EC，CE⊥AB，∠ACE＝∠BCE＝45°，进而根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到CF＝AD，等量代换得到AC＝CF，于是得到CP＝AB＝AE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形；
（3）过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，证明Rt△DME≌Rt△FNE，即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图，连接CE，
∵在 ABCD中，
∴AD＝BC，ADBC，
∵AD＝AC，AD⊥AC，
∴AC＝BC，AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，∠CAE＝∠CBE＝45°，
又∵E是AB的中点，
∴AE＝EC＝AB，CE⊥AB，∠ACE＝∠BCE＝45°，
∴∠ECF＝∠EAD＝135°，
∵ED⊥EF，
∴∠CEF＝∠AED＝90°﹣∠CED，
在△CEF和△AED中，
，
∴△CEF≌△AED（ASA），
∴ED＝EF；
（2）解：补全图形如下图，
四边形ACPE是平行四边形，理由如下：
由（1）知△CEF≌△AED，
∴CF＝AD，
∵AD＝AC＝BC，
∴AC＝CF＝BC，
∵DPAB，
∴∠FCP＝∠CAB＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCP＝180°－∠ACB－∠FCP＝45°＝∠FCP，
∴CP平分∠BCF，
又∵CF＝BC，
∴FP＝PB，
∴CP＝AB＝AE，
∴四边形ACPE为平行四边形；
（3）解：过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，
∵∠NAE＝∠EAM＝45°，
∴EM＝EN，
在Rt△DME与Rt△FNE中，
，
∴Rt△DME≌Rt△FNE，
∴∠ADE＝∠CFE，
∵∠AOD＝∠FOE，
∴∠DAF＝∠DEF，
∵∠DAF＝90°，
∴∠DEF＝90°，
∴ED⊥EF．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
27．如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠B=90°，AD=9cm，BC=13cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向终点B运动，当其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为ts．
(1)若AB=3cm，求CD的长；
(2)当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
(3)探究：当线段AB的长为多少时，第（2）小题中的四边形PDCQ是菱形？
【答案】(1)5cm
(2)当t为3s时，四边形PDCQ是平行四边形
(3)当AB=cm时， 第（2）小题中的四边形PDCQ是菱形
【分析】（1）根据矩形的性质，可得DE=AB，BE=AD，根据勾股定理，可得CD的长；
（2）根据PDCQ，PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得DC的长，根据勾股定理，可得DE的长，根据矩形的性质，可得答案．
【详解】（1）过点D作DE⊥BC于点E．则∠DEB=90°，
∵ ADBC，∠B=90°，
∴∠A=∠B=90°，即∠A=∠B=∠DEB=90°
∴四边形ABED是矩形，
∴AB=DE=3，BE=139=4，
在Rt△DEC中，（cm）
（2）由题意得，，，
∵ADBC，
∴当PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形，
即，解得．
∴当t为3s时，四边形PDCQ是平行四边形．
（3）当时，，当DP=DC=6时，平行四边形PDCQ是菱形，
又∵CE=4cm,
∴DE=AB=
即当AB=cm时， 第（2）小题中的四边形PDCQ是菱形．
【点睛】本题考查了菱形的判定，矩形的性质，勾股定理；平行四边形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
28．如图，两个全等的等边三角形与，拼成的四边形中，，点、分别为、边上的动点，满足，连接交于点，连接与、、分别交于点、、，且.
(1)求证：；
(2)求证：是等边三角形.
(3)当点，点运动到什么地方时，的周长最小？请求出的周长最小值.
【答案】(1)答案见详解；
(2)答案见详解；
(3)点E、F分别运动到AB、AD中点； ．
【分析】（1）根据三角形全等的判定定理进行证明；
（2）根据等边三角形的判定方法：有一个内角为的等腰三角形是等边三角形；
（3）求的周长最小值，转化为“求线段CE的最小值”，再化归为“点C到直线AB的距离”，得，从而得解．
【详解】（1）如图，是全等的等边三角形，
，，
又，在和中，
，
（）．
（2）如图，，
，
，
，
是等边三角形．
（3）如图，是等边三角形，
，又AF=BE，
的周长=AE+AF+EF=AE+BE+CE=AB+CE=6+CE，
当时，CE的值最小，
此时点E为AB中点，，
又，
F为AD的中点，
当点E、F分别运动到AB、AD中点时，的周长的最小，最小值为．
【点睛】此题考查了两个三角形全等的判定、等边三角形的判定和求三角形周长的最小值问题．熟练运用三角形全等判定定理、等边三角形的判定定理以及“化归思想”是解此题的关键．
29．如图，在矩形ABCD中，P是AD上一个动点，O为BD的中点，连接PO并延长交BC于点Q．
(1)求证：四边形PBQD是平行四边形；
(2)若AD=6cm，AB=4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动（不与点D重合），设点P的运动时间为t秒，求当t为何值时，四边形PBQD是菱形
【答案】(1)见解析；
(2)运动时间为时，四边形是菱形．
【分析】（1）先证明，从而得，再由即可证得结论；
（2）根据，则，即可用t表示PD的长．由四边形PBQD是菱形，可得PB=PD，即可得，即，解此方程即可求得答案．
【详解】（1）证明：在矩形中，，即，
∴，
∵O为的中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由题意：，则，当四边形是菱形时，有，
∵四边形是矩形，∴，
在中，，
∴
解得，
∴运动时间为时，四边形是菱形．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
30．如图，四边形ABCD中，，，．
(1)求∠ABC的度数；
(2)把BCD沿BC翻折得到BCE，过点A作，垂足为F，求证：；
(3)在（2）的条件下，连接DE，若四边形ABCD的面积为45，，求DE的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)12
【分析】（1）以点A为圆心，AC为半径作圆A，根据题意得，即可得点B在圆A上，根据圆的性质得，则是等腰直角三角形，即可得；
（2）过点A作交BD于点G，则，由等腰直角三角形的性质得
，，由折叠的性质得，，，，设，则，，根据得，即可得，利用AAS可证，即，即可得；
（3）作交于点M，交于点N，延长BC交DE于点H，则，根据题意运用勾股定理即可得，即可得三角形ABC的面积，即可得CN的长度，在中，根据勾股定理即可得AN的长度，用AAS证明，即可得，即可得三角形BCD的面积为，可得，即可得．
【详解】（1）解：如图所示，以点A为圆心，AC为半径作圆A，
∵，，
∴，
∴点B在圆A上，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（2）证明：如图所示，过点A作交BD于点G，
则，
由（1）得，，，
∴，，
由折叠的性质得，，，，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和，
∴（AAS），
∴，
∴；
（3）解：如图所示，作交于点M，交于点N，延长BC交DE于点H，
则，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴
，
∴，
∵四边形ABCD的面积为45，
∴
在中，根据勾股定理得，
，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴（AAS），
∴，
∴，
∴，
即，
，
即．
【点睛】本题考查了翻折的性质，圆的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积问题，勾股定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质和翻折的性质，本题综合性强．
31．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
(1)求证：；
(2)①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
(3)当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长．
【答案】(1)见解析
(2)①BD的中点，②BD与CE的交点处，见解析
(3)
【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出∠BMA=∠NBE，然后即可证明，
（2）①根据两点之间线段最短可知当M点落在BD的中点时，根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM=EC最短，
②连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，
（3）过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F, 设正方形的边长为x，，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，得出BF=x，EF=，在Rt△EFC中，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵△ABE是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，
∴．
即∠BMA=∠NBE．
又∵MB=NB，
∴（SAS）
（2）①∵，
∴当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM＋BM＋CM的值最小
理由如下：连接MN．由（1）知，，
∴AM=EN．
∵∠MBN=60°，MB=NB，
∴△BMN是等边三角形．
∴BM=MN．
∴AM＋BM＋CM=EN＋MN＋CM
根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长
（3）过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴．
设正方形的边长为x，则BF=x，EF=．
在Rt△EFC中，
∵，
∴，
解得， （舍去负值）．
∴正方形的边长为，
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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