毕节市2023届高三年级诊断性考试（二）
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. {x|或} B. {x|或}
C. D. {x
2. 已知复数，则（ ）
A. B. C. 1 D.
3. 已知为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4. 古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中，记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的办法．如图，已知圆锥的高与底面半径均为2，过轴的截面为平面OAB，平行于平面OAB的平面与圆锥侧面的交线为双曲线C的一部分．若双曲线C的两条渐近线分别平行于，则建立恰当的坐标系后，双曲线C的方程可以为（ ）
A. B.
C. D.
5. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．安排甲、乙、丙、丁4名航天员到空间站开展工作，每个舱至少安排1人，若甲、乙两人不能在同一个舱开展工作，则不同的安排方案共有（ ）
A. 36种 B. 18种 C. 24种 D. 30种
6. 将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的对称轴中与y轴距离最近的是（ ）
A. B. C. D.
7. 有诗云：“芍药承春宠，何曾羡牡丹”，芍药不仅观赏性强，且具有药用价值，某地以芍药为主打造了一个如图的花海大世界，其中大圆半径为8，大圆内部的同心小圆半径为3，两圆之间的图案是对称的．若在其中阴影部分种植红芍．倘若你置身此花海大世界之中，则恰好处在红芍中的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知函数，则的图象大致为（ ）
A B.
C. D.
10. 等腰三角形内接于半径为2的圆O中，，且M为圆O上一点，则的最大值为（ ）
A 2 B. 5 C. 14 D. 16
11. 已知曲线，曲线，直线与曲线的交点记为，与曲线的交点记为．执行如图的程序框图，当取遍[－1，]上所有实数时，输出的点构成曲线C，则曲线C围成的区域面积为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知，，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 不确定
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知，，则__________．
14. 已知点P为抛物线C：上一点，若点P到y轴和到直线的距离之和的最小值为2，则抛物线C的准线方程为___．
15. 已知函数若方程有3个互不相等的实数根，，，则的范围为__________．
16. 已知四棱锥的各个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，M是线段AB上一点，且．过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为，则＝___．
三、解答题：本大题共7小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知数列{}的前n项和为，且．
（1）求数列{}通项公式；
（2）求数列的前n项和．
18. 某中学组织学生进行地理知识竞赛，随机抽取500名学生的成绩进行统计，将这500名学生成绩分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．若a，b，c成等差数列，且成绩在区间内的人数为120．
（1）求a，b，c的值；
（2）估计这500名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（3）若用频率估计概率，从该中学学生中抽取5人，成绩在区间内的学生人数为X，求X的数学期望．
19. 正方体中，与交于点O，点E为的中点，点F在上，且平面平面．
（1）求的值；
（2）求二面角的余弦值．
20. 在圆上任取一点P，过点P作y轴的垂线，垂足为D，点Q满足．当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C方程；
（2）设曲线C与y轴正半轴交点为A，不过点A的直线l与曲线C交于M，N两点，若，试探究直线l是否过定点．若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．
21. 已知函数．
（1）求证：函数在上单调递增；
（2）当时，恒成立，求实数k的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑．
选修4-4：坐标系与参数方程
22. 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（t为参数，）．
（1）求曲线的极坐标方程与曲线的普通方程；
（2）点，若曲线与曲线有且只有一个交点M，求|PM|的值．
选修4-5：不等式选讲
23. 已知a，b，c都是正数，且1. 证明：
（1）；
（2）．
答案解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. {x|或} B. {x|或}
C. D. {x
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用补集、并集的定义求解作答.
【详解】全集，集合，则或，而，
所以或.
故选：A
2. 已知复数，则（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】由复数的四则运算结合模长公式求解即可.
【详解】，.
故选：C
3. 已知为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据线面平行的判定定理和性质，结合面面平行、垂直的判定定理逐一判断即可．
【详解】对于A，若，则或，故A错误；
对于B，若，则或，
若，因为，则，
若，如图所示，则在平面一定存在一条直线，
因为，所以，
又，所以，
综上若，则，故B正确；
对于C，若，则直线相交或平行或异面，故C错误；
对于D，若，则直线相交或平行或异面，故D错误.
故选：B
4. 古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中，记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的办法．如图，已知圆锥的高与底面半径均为2，过轴的截面为平面OAB，平行于平面OAB的平面与圆锥侧面的交线为双曲线C的一部分．若双曲线C的两条渐近线分别平行于，则建立恰当的坐标系后，双曲线C的方程可以为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立坐标系，由得出，进而作出判断.
【详解】设双曲线OC的方程为.
将题设中双曲线C的一部分平移到平面OAB内，以点为坐标原点，建立如下图所示的坐标系：
因为圆锥的高与底面半径均为2，所以，则.
即渐近线的方程为，即，故.
选项ABCD中满足的只有选项C.
故选：C
5. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．安排甲、乙、丙、丁4名航天员到空间站开展工作，每个舱至少安排1人，若甲、乙两人不能在同一个舱开展工作，则不同的安排方案共有（ ）
A. 36种 B. 18种 C. 24种 D. 30种
【答案】D
【解析】
【分析】先将甲乙两人分别安排到两个不同舱中，后分两种方法安排丙、丁.
第一种安排丙、丁到第三个舱中；第二种先安排丙、丁中的一人到第三个舱中，再安排剩下一人到甲乙二人所在的舱中.
【详解】先将甲乙两人分别安排到两个不同舱中，有种安排方法.
后分两种方法安排丙、丁，第一种安排丙、丁到第三个舱中，有1种方法；第二种先安排丙、丁中的一人到第三个舱中，再安排剩下一人到甲乙二人所在的舱中，有种方法.则不同的安排方案共有种.
故选：D
6. 将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的对称轴中与y轴距离最近的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平移变换得出平移后的解析式，再由正弦函数的性质求解.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象.
由可得，函数对称轴为.
其中y轴距离最近的是.
故选：D
7. 有诗云：“芍药承春宠，何曾羡牡丹”，芍药不仅观赏性强，且具有药用价值，某地以芍药为主打造了一个如图的花海大世界，其中大圆半径为8，大圆内部的同心小圆半径为3，两圆之间的图案是对称的．若在其中阴影部分种植红芍．倘若你置身此花海大世界之中，则恰好处在红芍中的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由圆的面积公式结合几何概型的概率公式求解.
【详解】由已知得：大圆的面积为，小圆的面积为.
所以阴影部分的面积为.
设“恰好处在红芍中”为事件，则
故选：C
8. 已知，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数，幂函数，对数函数的单调性即可解出的范围.
【详解】，根据指数函数在上单调递减得，
，根据幂函数在上单调递增知，则，
，根据对数函数在上单调递减得，
综上.
故选：D.
9. 已知函数，则的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定的函数，由时的单调性排除两个选项，当时，利用导数探讨函数的单调性、极值判断作答.
【详解】函数的定义域为，
当时，，因为函数在上递增，函数在上递减，
因此函数在上递增，BD错误；
当时，，求导得：在上递增，
，，而，即有，
则存在，使得，当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，C选项不满足，A选项符合要求.
故选：A
10. 等腰三角形内接于半径为2的圆O中，，且M为圆O上一点，则的最大值为（ ）
A. 2 B. 5 C. 14 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】由图可将化为，即可得答案吗.
【详解】连接，因，则四边形为菱形，三角形，三角形为等边三角形.设OA与BC交于点D，则
，，.
则
.
则当三点共线时，最大，为，则的最大值为14.
故选：C
11. 已知曲线，曲线，直线与曲线的交点记为，与曲线的交点记为．执行如图的程序框图，当取遍[－1，]上所有实数时，输出的点构成曲线C，则曲线C围成的区域面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由程序框图结合圆的方程得出曲线C的轨迹，进而得出面积.
【详解】当时，曲线，即.
当时，曲线，即.
由程序框图可知，点在上，
点在上，则曲线C的轨迹如下图所示：
则曲线C围成的区域面积为.
故选：A
12. 已知，，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意构造函数求解出，根据选项构造函数，判断其单调性从而得出选项.
【详解】，又，则，
设，显然为增函数，因为，所以
又，，则
令，设，则，当时单调递增，
则在上单调递增，故，解得.
故选：B
【点睛】思路点睛：①选择题中判断不等式关系：思路一：遇到解析式不相近，可考虑通过作差法进行大小比较；思路二：遇到解析式相近，可考虑构造函数，利用函数单调性与内外函数关系进行大小比较.②选择题中构造函数思路：可根据选项提示，将含同一类字母的的式子写在一般，观察不等号两边式子共性进行构造函数；若原式复杂，在不等式问题中可适当放缩后构造新函数.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据题意得到，，再利用正弦二倍角公式求解即可.
【详解】因为，，
所以，
所以.
故答案为：
14. 已知点P为抛物线C：上一点，若点P到y轴和到直线的距离之和的最小值为2，则抛物线C的准线方程为___．
【答案】
【解析】
【分析】由抛物线的定义结合距离公式得出，进而得出抛物线C的准线方程.
【详解】过点分别作直线，和y轴的垂线，垂足分别为，，设焦点为.
点到直线的距离为.
由定义可知，，则，
当且仅当三点共线时，取等号，
所以，解得，
则抛物线C的准线方程为
故答案为：
15. 已知函数若方程有3个互不相等的实数根，，，则的范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由题可得，又因方程有3个互不相等的实数根，则.
注意到总有两根，，后结合图像可得答案.
【详解】由题可得，又因方程有3个互不相等的实数根，则.
由，可得，，则.
则问题等价于当方程在时有唯一实根时，实根的范围.
即求直线与函数有唯一交点时，横坐标的范围.
如下图可知，当时满足题意，则.
故答案为：.
16. 已知四棱锥的各个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，M是线段AB上一点，且．过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为，则＝___．
【答案】或
【解析】
【分析】根据给定的几何体，确定球心O的位置并求出球半径，再利用球的截面圆性质及余弦定理求解作答.
【详解】在等腰梯形中，连接，如图，
因为，，，则，，
于是，取中点，连接，则，得均为正三角形，
即有，即是梯形外接圆圆心，
而O为四棱锥的外接球球心，因此平面，又PA⊥平面ABCD，
则，而为球O的弦，则过点O垂直于的平面必过的中点E，连接，
于是，而，即有，四边形为矩形，，
因此球O的半径，过点M的球O的最小截面圆所在平面必垂直于，
而此截面圆半径为，则，连接，在中，，
在中，，，
即有，解得或，
所以或.
故答案为：或
【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.
三、解答题：本大题共7小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知数列{}的前n项和为，且．
（1）求数列{}的通项公式；
（2）求数列前n项和．
【答案】（1）
（2）（）．
【解析】
【分析】（1）由与的关系得出数列{}的通项公式；
（2）由错位相减法得出前n项和．
【小问1详解】
由得，
当时，
，
当时，满足，
所以数列{}通项公式为
【小问2详解】
由，
∴
，两式错位相减得
所以（）．
18. 某中学组织学生进行地理知识竞赛，随机抽取500名学生的成绩进行统计，将这500名学生成绩分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．若a，b，c成等差数列，且成绩在区间内的人数为120．
（1）求a，b，c的值；
（2）估计这500名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（3）若用频率估计概率，从该中学学生中抽取5人，成绩在区间内的学生人数为X，求X的数学期望．
【答案】（1），，
（2）中位数估计为73，平均数为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据直方图性质总面积为1和题意列式计算；
（2）直方图平均数估算为各区间中点乘对应区间频率之和；以中位数为界，直方图左半部分面积等于右半部分面积；
（3）根据二项分布性质计算即可.
【小问1详解】
依题意可得：
又a，b，c成等差数列，
且，
解得：，．
【小问2详解】
设估计中位数为t，则，
，
解得：，即中位数估计为73，
估计平均数为：．
【小问3详解】
由题意可知：成绩在区间内概率为，
X的取值为0，1，2，3，4，5
根据条件可知，，
．
19. 正方体中，与交于点O，点E为的中点，点F在上，且平面平面．
（1）求的值；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）连接交于M，连接，，通过平面平面可证明，由此得出，即可得出的值.
（2）以A坐标原点，为x轴，以为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，根据平面法向量与二面角关系进行求解.
【小问1详解】
证明：连接交于M，连接，，
该几何体是正方体，为的中点，
为的中点，，
平面平面，平面平面，平面平面，
，，
是的中点，是的中点，．
【小问2详解】
以A为坐标原点，为x轴，以为y轴，以为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，，，，
，，，
平面的一个法向量，
平面的一个法向量，
设二面角的大小为，则为锐角，
，
二面角的余弦值为．
20. 在圆上任取一点P，过点P作y轴的垂线，垂足为D，点Q满足．当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设曲线C与y轴正半轴交点为A，不过点A的直线l与曲线C交于M，N两点，若，试探究直线l是否过定点．若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】（1）
（2）恒过点，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设点，由得出，继而由圆的方程得出曲线的方程；
（2）讨论斜率存在和不存在两种情况，由得出，结合韦达定理以及数量积公式得出，进而得出定点.
【小问1详解】
设点
∵，∴
∵，，则曲线的方程为
【小问2详解】
，设，由
∴
当直线轴时，△MAN为钝角三角形，且，不满足题意．
∴直线l的斜率存在．设直线l的方程为：
由，化简得：
∴
∴
整理得，∵，∴
∴直线l的方程为：，恒过点．
【点睛】关键点睛：对于第（2）问，关键是联立直线和椭圆的方程，由韦达定理结合数量积公式得出，进而由斜截式方程得出定点.
21. 已知函数．
（1）求证：函数在上单调递增；
（2）当时，恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，判断导数在的取值范围，从而证明的单调性；
（2）先判断或时不等式成立条件，再分离参数得到 ，求出导数，判断其单调区间，找出最小值即可.
【小问1详解】
，
当时，，，，
，即，
当时，恒成立，
当时，恒成立，
函数在上单调递增．
【小问2详解】
当或时，不等式显然成立．
当时，，所以．
令，，
令，
在上成立，
在上为单调递增函数，且，
当时，，即；
当时，，即；
在上单调递减，在上单调递增；
，．
【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题
在定义域内，若恒成立，即；
在定义域内，若恒成立，即.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑．
选修4-4：坐标系与参数方程
22. 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（t为参数，）．
（1）求曲线的极坐标方程与曲线的普通方程；
（2）点，若曲线与曲线有且只有一个交点M，求|PM|的值．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由平方关系消元得出的普通方程，进而化为极坐标方程；讨论，，消参得出的普通方程；
（2）联立与的方程，由以及求根公式得出，进而由直线参数方程的几何意义求解.
【小问1详解】
由两式相加得，的普通方程为
∵，∴的极坐标方程为
由（t为参数，
当时，的普通方程为：
当时，的普通方程为：.
【小问2详解】
点P在直线上，将代入方程：，
得：
由曲线与只有一个交点，得：
整理得出，解得：，.
∴
选修4-5：不等式选讲
23. 已知a，b，c都正数，且1. 证明：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用三元均值不等式推理作答.
（2）利用均值不等式，结合不等式的性质推理作答.
【小问1详解】
因为a，b，c都是正数，则有，当且仅当时取等号，
所以.
【小问2详解】
因为c都是正数，于是，当且仅当时取等号，
因此，当且仅当时取等号，
同理，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
则，当且仅当时取等号，
所以.
