2023年中考九年级数学专题复习--二次函数与动态几何
一、综合题
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线，线段BC以及x轴于点P、D、E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得和相似的点P的坐标；
（3）作，垂足为F，当直线l运动时，求面积的最大值．
2．直线： 与抛物线 相交于点A，B，与y轴相交于点C，点 在L上且位于点A，B之间， 轴交l于点Q．
（1）小静得出结论：l与L有一个公共点在x轴上，请判断小静的结论是否正确，并说明理由．
（2）若 ，如图1．
①当 时，求点Q的坐标；
②当m为何值时， 的面积最大？并求出这个最大值．
（3）若n随m的增大而增大，直接写出a的取值范围．
3．已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．
4．如图，在平面直角坐标系中， 绕点 顺时针旋转 得到 ， ，抛物线 经过 ， ， 三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①点 是抛物线的顶点，试判定 的形状，并加以证明；
（3）如图②在第一象限的抛物线上，是否存在点 ，使 ？若存在，请求点 的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（﹣1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点；一次函数y=kx﹣4k（k≠0）的图象过点P交x轴于点Q．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当点P的坐标为（﹣4，m）时，求证：∠OPC=∠AQC；
（3）点M，N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M，N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．连接AN，当△AMN的面积最大时，
①求t的值；
②直线PQ能否垂直平分线段MN？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明你的理由．
6．如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=﹣ x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．
①求S关于m的函数表达式；
②当S最大时，在抛物线y=﹣ x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 经过点 和点 .
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）点 为该抛物线上一点（不与点 重合），直线 将 的面积分成2：1两部分，求点 的坐标；
（3）点 从点 出发，以每秒1个单位的速度沿 轴移动，运动时间为 秒，当 时，求 的值.
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的一动点，当△ABP的面积最大时，求出此时P的坐标及面积的最大值；
（3）若G为抛物线上的一动点，F为x轴上的一动点，点D坐标为（1，4），点E坐标为（1，0），当D、E、F、G构成平行四边形时，请直接写出点G的坐标．
9．在平面直角坐标系中，点A是y轴上一点，其坐标为（0，6），点B在x轴的正半轴上．点P，Q均在线段AB上，点P的横坐标为m，点Q的横坐标大于m，在△PQM中，若PM∥x轴，QM∥y轴，则称△PQM为点P，Q的“肩三角形．
（1）若点B坐标为（4，0），且m＝2，则点P，B的“肩三角形”的面积为 ；
（2）当点P，Q的“肩三角形”是等腰三角形时，求点B的坐标；
（3）在（2）的条件下，作过O，P，B三点的抛物线y＝ax2+bx+c
①若M点必为抛物线上一点，求点P，Q的“肩三角形”面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．
②当点P，Q的“肩三角形”面积为3，且抛物线y＝ax2+bx+c与点P，Q的“肩三角形”恰有两个交点时，直接写出m的取值范围．
10．有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，寓意是全世界和平共处，睦邻友好，共同发展.如菱形，正方形等都是“和睦四边形”.
（1）如图1，BD平分∠ABC，AD∥BC，求证:四边形ABCD为“和睦四边形”；
（2）如图2，直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q分别是线段OA、AB上的动点.点P从点A出发,以每秒4个单位长度的速度向点O运动.点Q从点A出发,以每秒5个单位长度的速度向点B运动.P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒.当四边形BOPQ为“和睦四边形”时，求t的值；
（3）如图3，抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．当四边形COBD为“和睦四边形”，且CD=OC．抛物线还满足：① ；②顶点D在以AB为直径的圆上. 点 是抛物线 上任意一点，且 .若 恒成立，求m的最小值.
11．如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点 的坐标值：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2） 是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求 的最小值；
（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作 轴，垂足为F， 的外接圆与 相交于点E.试问：线段 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.
12．综合与探究：如图，抛物线（）与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）若点是第三象限抛物线上一动点，连接，，，求面积的最大值，并求出此时点的坐标；
（3）若点在抛物线的对称轴上，线段绕点逆时针旋转90°后，点的对应点恰好也落在此抛物线上，请直接写出点的坐标．
13．如图1，已知在平面直角坐标系 中，四边形 是矩形，点 分别在 轴和 轴的正半轴上，连接 ，点 是 的中点.
（1） ；点 的坐标为 ；
（2）若在矩形边 上存在点 满足 ，如图2，动点 从点 出发，沿 以每秒1个单位长度匀速运动，到达点 后停止运动.点 在运动过程中，记点 关于直线 的对称点为点 ，求当 为何值时，点 落在矩形的一边上.
（3）过 三点的抛物线记为 ，点 为直线 上方的抛物线 上一点，已知点 ，点 ，过 两点的抛物线记为
①当 时，求点 的坐标；
②过点 作 交直线 于点 ，记 ，若直线 与抛物线 恰好有3个交点，请直接写出实数 的值.
14．如图，直线y＝﹣ x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣ x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．
（1）点A的坐标为 ，点C的坐标为
；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标．
15．如图1，已知二次函数y=ax2+ x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC.
（1）请直接写出二次函数y=ax2+ x+c的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；
（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标.
16．已知点A（－2，2），B（8，12）在抛物线y=ax2+bx上.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m>4），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H，设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求 之值（用含m的代数式表示）；
（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点，点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒 个单位长度，同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝3PM，求t的值.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：将点和代入，
得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵抛物线的表达式为
∴，
又∵，
∴，，
∵轴，
∴，
∵，
∴只有当时，，
此时，
即，
∴，
设点P的纵坐标为k，则，，
∴，
∴p点的坐标为，
将代入，得，
，
解得（舍去），，
当时，
∴p点的坐标为．
（3）解：在中，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴当最大时，最大，
由，可解得所在直线的表达式为．
设，则，
∴，
∴当时，有最大值4，
∴当时，
，
∴面积的最大值为．
2．【答案】（1）解：正确
理由：令y=0，对于函数 ，则x=4，
∴函数 经过点（4，0）；
令y=0，对于函数 ，则x=0或x=4，
∴函数 经过点（4，0）；
∴l与L有一个公共点（4，0）在x轴上，
∴小静的结论是正确的；
（2）解：若 ，则 ．
①当 时，即 ，解得 ．
当 时， ；
当 时， ．
∴点Q的坐标为 或 ．
②∵ ，
∴
．
∴当 时， 取得最大值 ．
（3）解：a的取值范围是 或 ．
3．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，∵A（1，0）B（0，3）C（﹣4，0），∴ ，解得：a=﹣ ，b=﹣ ，c=3，
∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=﹣ x2﹣ x+3
（2）解：在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：∵OB=3，OC=4，OA=1，∴BC=AC=5，当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，
∴BP=AC=5，且点P到x轴的距离等于OB，∴点P的坐标为（5，3），
当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，则当点P的坐标为（5，3）时，以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形
（3）解：设直线PA的解析式为y=kx+b（k≠0），∵A（1，0），P（5，3），∴ ，解得：k= ，b=﹣ ，∴直线PA的解析式为y= x﹣ ，
当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM﹣AM|＜PA，
当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|=PA，
∴当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，
解方程组 ，得 或 ，
∴点M的坐标为（1，0）或（﹣5，﹣ ）时，|PM﹣AM|的值最大，此时|PM﹣AM|的最大值为5．
4．【答案】（1）解： ，
， ，
抛物线 经过 、 两点，
，
解得： ，
抛物线的解析式为
（2）解： 是等腰直角三角形，理由如下：
过点 作 轴于点 ，
与 轴相交于 、B两点，顶点为 ，
， ，
， ，
，
， ，
， ，
，
，
是等腰直角三角形
（3）解：连接 ，
设点 的坐标为 ，
， ， ，
，
，
解得： ， （不合题意舍去）
，
即存在点 ，使
（方法有很多的，比如过点 作 轴交 于 等等，正确的请按步骤给分）
5．【答案】（1）解：∵二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（﹣1，0），
∴设二次函数的解析式为：y=a（x+3）（x+1）．
∵二次函数的图象经过点C（0，3），∴3=a×3×1，解得a=1．
∴二次函数的解析式为：y=（x+3）（x+1），即y =x2+4x+3．
（2）证明：在二次函数解析式y=x2+4x+3中，当x=﹣4时，y=3，
∴P（﹣4，3）．
∵P（﹣4，3），C（0，3），
∴PC=4，PC∥x轴．
∵一次函数y=kx﹣4k（k≠0）的图象交x轴于点Q，当y=0时，x=4，
∴Q（4，0），OQ=4．
∴PC=OQ．
又∵PC∥x轴，
∴四边形POQC是平行四边形．
∴∠OPC=∠AQC．
（3）解：①在Rt△COQ中，OC=3，OQ=4，由勾股定理得：CQ=5．
如图所示，过点N作ND⊥x轴于点D，则ND∥OC，
∴△QND∽△QCO．
∴ ，即 ，
解得： ．
设S=S△AMN，则：
．
又∵AQ=7，点M的速度是每秒3个单位长度，
∴点M到达终点的时间为t= ，
∴ （0＜t≤ ）．
∵ ＜0， ＜ ，且x＜ 时，y随x的增大而增大，
∴当t= 时，△AMN的面积最大．
②假设直线PQ能够垂直平分线段MN，则有QM=QN，且PQ⊥MN，PQ平分∠AQC．
由QM=QN，得：7﹣3t=5﹣t，解得t=1．
此时点M与点O重合，如图所示，
设PQ与OC交于点E，由（2）可知，四边形POQC是平行四边形，
∴OE=CE．
∵点E到CQ的距离小于CE，
∴点E到CQ的距离小于OE．
而OE⊥x轴，
∴PQ不是∠AQC的平分线，这与假设矛盾．
∴直线PQ不能垂直平分线段MN
6．【答案】（1）解：将A、C两点坐标代入抛物线，得
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+8
（2）解：①∵OA=8，OC=6，
∴AC= =10，
过点Q作QE⊥BC与E点，
则sin∠ACB= = = ，
∴ = ，
∴QE= （10﹣m），
∴S= CP QE= m× （10﹣m）=﹣ m2+3m；
②∵S= CP QE= m× （10﹣m）=﹣ m2+3m=﹣ （m﹣5）2+ ，
∴当m=5时，S取最大值；
在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，
∵抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+8的对称轴为x= ，
D的坐标为（3，8），Q（3，4），
当∠FDQ=90°时，F1（ ，8），
当∠FQD=90°时，则F2（ ，4），
当∠DFQ=90°时，设F（ ，n），
则FD2+FQ2=DQ2，
即 +（8﹣n）2+ +（n﹣4）2=16，
解得：n=6± ，
∴F3（ ，6+ ），F4（ ，6﹣ ），
满足条件的点F共有四个，坐标分别为
F1（ ，8），F2（ ，4），F3（ ，6+ ），F4（ ，6﹣ ）．
7．【答案】（1）解：由抛物线 经过点 和点 ，得：
，
解得：
即：条抛物线所对应的函数表达式为：
（2）解：由点A、B的坐标知，OB=2OA，
故CO将△ABC的面积分成2:1两部分，此时，点P不在抛物线上；
如图1，当BH=AB=2时，CH将△ABC将△ABC的面积分成2:1两部分，
即点H的坐标为（2,0），
则CH和抛物线的交点即为点P，
由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为y=-2x+4②，
联立①②并解得（不合题意的值已舍去），
故点P的坐标为（6，-8）
（3）解：如解（3）图取点A关于y轴对称点 ，连接 ，过点 作 ，垂足为H，
由轴对称性质可知： ， ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
点 从点 出发，以每秒1个单位的速度远动：
当沿 轴正方向移动时， ，则 秒，
当沿 轴CO方向移动时， ，则 秒，
综上所述：当点 从点 出发，以每秒1个单位的速度沿 轴正方向移动时， 秒；沿CO方向在 轴移动时， 秒
8．【答案】（1）解：将A，C点坐标代入函数解析式，得
，
解得 ，
抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4；
（2）解：作PE⊥x轴交AB于E点，如图1
，
当y=0时，﹣x2+3x+4=0，解得x1=﹣1（不符合题意，舍），x2=4，即B点坐标为（4，0），
AB的解析式为y=kx+b，将A，B点坐标代入函数解析式，得
y=﹣x+4．
设P点坐标为（m，﹣m2+3m+4），E（m，﹣m+4），
PE=﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）=﹣m2+4m，
S△ABP= AB xB= （﹣m2+4m）×4=﹣2（m﹣2）2+8，
当m=2时，S△ABP有最大值，最大值是8，
m=2，﹣m2+3m+4=﹣4+6+4=6，即P点坐标为（2，6）；
（3）解：如图2
，
由四边形DEFG是平行四边形，E，F在x轴上，得
GF=DE=4，
当y=4时，﹣x2+3x+4=4，解得x1=0，x2=3，即D点坐标为（0，4）或（3，4）．
当D、E、F、G构成平行四边形时，点G的坐标（0，4）或（3，4）．
9．【答案】（1）3
（2）解：如图2，根据题意，得MP＝MQ，∠PMQ＝90°，
∴∠MPQ＝45°，
∴∠ABO＝45°，
∴OB＝OA＝6，
∴点B的坐标为（6，0）；
（3）解：如图3，①因为M点必为抛物线上一点，所以自变量m取值范围为：0＜m＜3， 由（2）易得，直线AB的表达式为y＝6﹣x，
∴点P的坐标为（m，6﹣m），
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过O，B两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴点M的坐标为（6﹣m，6﹣m），
∴PM＝（6﹣m）﹣m＝6﹣2m，
S＝ PM2＝ ×（6﹣2m）2＝2m2﹣12m+18（0＜m＜3）；
②当点P在对称轴左侧，即0＜m＜3时，∵点P，Q的“肩三角形”面积为3，
由①得：2m2﹣12m+18＝3，解得：m＝3﹣ （已舍去不合题意的）；
当点P在对称轴上或对称轴右侧，即3≤m＜6时，由点P，Q的“肩三角形”面积为3可得PM＝ ，
∴M（m+ ，6﹣m），Q（m+ ，6﹣ ﹣m）
∵抛物线＝ax2+bx+c与点P，Q的“肩三角形”恰有两个交点，
∴ ，解得：3≤m≤6﹣ ，
综上所述，m的取值范围为：m＝3﹣ 或3≤m≤6﹣ ．
10．【答案】（1）证明：
，
，
，
，
，
四边形ABCD为“和睦四边形”；
（2）解：由题意得：AQ=5 t ，AP=4 t ，BQ=10 - 5 t ，OP=8 - 4 t ，OB=6，连接PQ ，
，
，
综上： ；
（3）解：由题意得： ，
由①②，且 ，得 ，
，
11．【答案】（1）解：由表格数据可知，顶点坐标为（1，4）
设抛物线解析式为： ，
将点（0，3）代入解析式得：3=a+4，
∴ ，
∴抛物线解析式为： ，顶点坐标 .
（2）解：由表格可知，抛物线经过点A（-1，0），C（0，3），
如图3，将A点向上平移一个单位，得到 ，
则
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
作 关于MQ的对称点E，则
∴ ，
∴ ，
当P、E、C三点共线时， 最短，
设直线CE的解析式为： ，
将C、E两点坐标代入解析式可得： ，
∴ ，
∴直线CE的解析式为： ，
令 ，则 ，
∴当 时，P、E、C三点共线，此时 最短，
∴ 的最小值为 .
（3）解：是；
理由：设 ，
因为A、B两点关于直线x=1对称，
所以圆心位于该直线上，
所以可设 的外接圆的圆心为 ，
作 ，垂足为点N，则 ，
由 轴，
∴ ，
∵ ，且由表格数据可知
∴ ，
化简得： ，
∵点D是第四象限内抛物线上一动点，且抛物线解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的长不变，为1.
12．【答案】（1）解：()与轴交于点和点两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为：
（2）解：令，
点的坐标为，又，
直线的解析式为：，
设点，，过点作轴的垂线，交于点，
则点，
，
，
，
当时，S有最大值为，此时，
（3）解：，
13．【答案】（1）；
（2）解：如图，当 在 上时，则 由 关于 对称，
则
解得： 或 （不合题意舍去），
如图，当 在 上时，则 由 关于 对称，
则 此时 重合，
同理可得：
而
综上：当 或 时，点 落在矩形的一边上.
（3）解：①设过 的抛物线为
解得：
所以抛物线的解析式为：
如图，作 的外接圆 ，过 作 与外接圆交于点 连接 与抛物线的交点为 外接圆与 交于 连接
当 则
满足条件，
设 为 则
设 为
为
设
由 可得，
当 时，
同理可得： 的解析式为：
解得： 或
②由 ，点 ，过 两点的抛物线记为
可得：
抛物线为
如图，延长 交 轴于 过 作 于 过 作 轴于
则
则 设
在第一象限，则 ＞
则
正比例函数为： 或
显然： 与抛物线 有两个交点，
所以： 与抛物线 只有一个交点，
有两个相等的实数根，
时，
14．【答案】（1）（0，2）；（4，0）
（2）解：把A、C两点代入y＝﹣ x2+bx+c得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：
（3）解：方法一：过M点作MH⊥x轴于H，与AC交于点N，如图1，
当y＝0时，﹣ ＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣2，
∴B（﹣2，0），
设M（a，﹣ a2+ a+2），则N（a，﹣ a+2），
∵S△ACM＝ MN OC＝ [（﹣ a2+ a+2）﹣（﹣ a+2）]×4＝﹣ a2+2a，
∴S四边形ABCM＝S△ACM+S△ABC＝﹣ a2+2a+ ×（2+4）×2＝﹣ a2+2a+6＝﹣ （a﹣2）2+8，
∵﹣ ＜0，
∴当a＝2时，四边形ABCM面积最大，其最大值为8，
此时M的坐标为（2，2）；
方法二：连接OM，如图2，
设M（a，﹣ a2+ a+2），
S四边形ABCM＝S△ABO+S△AOM+S△OCM
＝ ×2×2+ ×2a+ （﹣ a2+ a+2）
＝2+a+2（﹣ a2+ a+2）
＝﹣ a2+2a+6
＝﹣ （a﹣2）2+8，
∵﹣ ＜0，
∴当a＝2时，四边形ABCM面积最大，其最大值为8，
此时M的坐标为（2，2）．
15．【答案】（1）解：∵二次函数y=ax2+ x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），
∴ ，
解得 .
∴抛物线表达式：y=﹣ x2+ x+4；
（2）解：△ABC是直角三角形.
令y=0，则﹣ x2+ x+4=0，解得x1=8，x2=﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，0），
由已知可得，
在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，
在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，
又∵BC=OB+OC=2+8=10，
∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2
∴△ABC是直角三角形.
（3）解：∵A（0，4），C（8，0），
∴AC= =4 ，
①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），
②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4 ，0）或（8+4 ，0）
③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），
综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4 ，0）、（3，0）、（8+4 ，0）.
（4）解：如图
，
设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，
∴MD∥OA，
∴△BMD∽△BAO，
∴ = ，
∵MN∥AC
∴ = ，
∴ = ，
∵OA=4，BC=10，BN=n+2
∴MD= （n+2），
∵S△AMN=S△ABN﹣S△BMN
= BN OA﹣ BN MD
= （n+2）×4﹣ × （n+2）2
=﹣ （n﹣3）2+5，
当n=3时，△AMN面积最大是5，
∴N点坐标为（3，0）.
∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）.
16．【答案】（1）解：点A（－2，2），B（8，12）在抛物线y=ax2+bx上，∴∴ ，∴
（2）解：设直线AF的解析式为y=kx+m， ∵A（－2，2）在AF上，∴2＝－2k+m，k= (m－2)，
∴直线y=kx+m可化为 ， 则
∴x2－2(m－1)x－4m=0， ∴(x+2)(x－2m)＝0，∴x=－2或x=2m， ∴G的横坐标为2m，
∴OH＝2m，∵OF＝m，∴FH= ，过A作AN⊥x轴于点N，
则N(－2，0)，
令 ，∴x=0或x=2， ∴OE=2，NE=4 ∴AE= ，∴
（3）解：由题意A（－2，2），B（8，12），直线AB的解析式为：y=x+4，∠BCO＝45°，直线AB与x轴交点为C（－4，0），
设P（t－4，t），则Q（t，0），设M（ ， ）
由QM＝3PM可得，则｜t－ ｜=3｜ －t+4｜，
（ⅰ）当t－ =3（ -t+4）即 =t-3，直线PQ的解析式为tx+4y-t2=0，
∴ = ，∴M（t-3， ），代入 即 ，
∴t2－11t+15=0，∴ ，即： ， ；
（ⅱ）当 -t＝3( -t+4)即 =t－6，∴ ，∴ ，
代入 即 ，∴t2－20t+48=0，
∴ ， 即： ， ；
综上所述，所求t为： ， ， ， ．
