2023年天津市中考数学复习——二次函数
一．选择题（共17小题）
1．（2023 河东区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论其中正确的结论有（ ）
（1）4a+b＝0；
（2）9a+c＞﹣3b；
（3）若点A（﹣3，y1）、点、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；
（4）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2023 河西区模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（1，0），（0，4），其对称轴在y轴左侧．有下列结论：
①abc＞0；
②方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根；
③﹣4＜a＜0．
其中，正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2023 和平区一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … ﹣3 x1 ﹣1 x2 x3 1 …
y … m 0 k 0 n m …
其中﹣3＜x1＜﹣1＜0＜x2＜x3＜1，n＜m．有下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③；④当t≤x≤1时，y有最大值为m，最小值为k，此时t的取值范围是﹣3≤t≤﹣1．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023 红桥区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②当m≠1时，a+b＞am2+bm；③若bx1bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2；④a﹣b+c＞0．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2023 武清区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若，是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤（其中）其中正确的结论有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2023 河东区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）b2﹣4ac＝0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．（2023 滨海新区模拟）将抛物线y＝x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x﹣3）2
8．（2023 武清区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的对称轴是直线x＝1，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，其中点A在点（3，0）的右侧，直线yx+c经过A、B两点，有下列结论：
①c；
②2a+2b+c＞0；
③a＜0．
其中正确的结论是（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
9．（2023 南开区模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞1）经过点（2，0），其对称轴是直线x．有下列结论：
①abc＞0；
②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；
③a．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（2023 西青区校级模拟）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②ac＝0；③ac+b+1＝0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2022 滨海新区一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴的交点B在（0，3）与（0，4）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②；③；④若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝m（m＜0）的两个根，则有x1＜﹣1＜3＜x2．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2022 河西区二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（1，0），（0，3），其对称轴在y轴左侧．有下列结论：
①abc＜0；
②抛物线经过点（，0）；
③方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根；
④﹣3＜a＜0．
其中，正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
13．（2022 滨海新区二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．有下列结论：
①abc＜0；
②c﹣a＞0；
③当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c．
其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
14．（2022 红桥区三模）已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的顶点为P，有下列结论：
①当a＜0时，抛物线与直线y＝2x+2没有交点；
②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；
③若点P在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则a≥1．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
15．（2022 河东区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴负半轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②c﹣a＞0；③当x＝﹣k2﹣2（k为任意实数）时，y≥c；④若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，则方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根m，n（m＜n）满足m＜x1且n＞x2；其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（2022 和平区三模）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象开口向下，与x轴交于（1，0）和（m，0），且﹣2＜m＜﹣1．有下列结论：
①abc＞0；
②2a+c＜0；
③若方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有两个不相等的实数根，则4ac﹣b2＜4a
④当m时，若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣1．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
17．（2022 红桥区一模）下表中列出的是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的自变量x与函数值y的几组对应值：
x … ﹣2 0 1 3 …
y … 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 …
有下列结论：
①c＝﹣4a；
②当﹣2≤x≤3时，y的取值范围是﹣6≤y≤6；
③9a+2b+c＜0；
④关于x的方程ax2+bx＝m2﹣2有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共3小题）
18．（2023 武清区校级模拟）如图，将二次函数y＝﹣x2+x+6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象，当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是 ．
19．（2023 红桥区模拟）若抛物线y＝x2﹣2x+k（k为常数）与x轴有两个交点，则k的值为 ．
20．（2023 河东区校级模拟）将抛物线y＝3x2向下平移3个单位，再向右平移2个单位，得到抛物线解析式为 ．
三．解答题（共11小题）
21．（2023 武清区校级模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）抛物线上是否存在点Q，且满足AB平分∠CAQ，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由；
（3）点N为x轴上一动点，在抛物线上是否存在点M，使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
22．（2023 河西区模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），顶点为D．
（Ⅰ）当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）当a＞0时，点E（0，1+a），若DEDC，求该抛物线的解析式；
（Ⅲ）当a＜﹣1时，点F（0，1﹣a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴上的点，N（m+2，﹣1）是直线l上的动点．当a为何值时，FM+DN的最小值为5？
23．（2023 和平区一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的顶点坐标为（1，4），与x轴交于点A（3，0）和B，与y轴交于点C．
（Ⅰ）求二次函数解析式和点C的坐标；
（Ⅱ）一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为 ；
（Ⅲ）当0≤x≤3时，y的取值范围是 ．
24．（2023 武清区校级模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y的正半轴交于点C．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式．
（2）点Q（m，0）是线段OB上一点，过点Q作y轴的平行线，与BC交于点M，与抛物线交于点N，连接CN，探究：是否存在点Q，使得MN＝MC？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点E在二次函数图象上，且以E为圆心的圆与直线BC相切于点F，且EF，请求出点E的坐标．
25．（2023 和平区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+bx+c过点A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移抛物线，平移后的顶点为P（m，n）（m＞0）．
ⅰ．如果S△OBP＝3，设直线x＝k，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求k的取值范围；
ⅱ．点P在原抛物线上，新抛物线交y轴于点Q，且∠BPQ＝120°，求点P的坐标．
26．（2023 河东区校级模拟）如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的图象上，且x2﹣x1＝3．
（1）若二次函数的图象经过点（3，1）．
①求这个二次函数的表达式；
②若y1＝y2，求顶点到MN的距离；
（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．
27．（2023 西青区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线yx2+bx+c（b，c为常数）经过点A（﹣4，0）和点B（0，﹣2）．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，直接写出2MN+ON的最小值．
28．（2023 河东区校级模拟）如图1，直线yx+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线yx2+bx+c经过B、C两点，点P是抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线yx+2于点D．设点P的横坐标为m．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；
（3）如图2，当点P位于直线BC上方的抛物线上时，过点P作PE⊥BC于点E，求当PE取得最大值时点P的坐标，并求PE的最大值．
29．（2023 红桥区模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+kx﹣2k的顶点为N．
（1）若此抛物线过点A（﹣3，1），求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，连接AB，C为抛物线上一点，且位于线段AB的上方，过C作CD垂直x轴于点D，CD交AB于点E，若CE＝ED，求点C坐标；
（3）已知点M（2，0），且无论k取何值，抛物线都经过定点H，当∠MHN＝60°时，求抛物线的解析式．
30．（2022 河北区二模）已知抛物线yx2+bx+c（b，c为常数）的图象与x轴交于A（1，0），B两点（点A在点B左侧）．与y轴相交于点C，顶点为D．
（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若点P是y轴上一点，连接BP，当PB＝PC，OP＝2时，求b的值；
（Ⅲ）若抛物线与x轴另一个交点B的坐标为（4，0），对称轴交x轴于点E，点Q是线段DE上一点，点N为线段AB上一点，且AN＝2BN，连接NQ，求DQNQ的最小值．
31．（2022 天津二模）已知抛物线y＝x2+6x+5与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为D，且过点C（﹣4，m）．
（Ⅰ）求点A，B，C，D的坐标；
（Ⅱ）点P在该抛物线上（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；
②连接BD，当∠PCB＝∠CBD时，求点P的坐标．
2023年天津市中考数学复习—二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共17小题）
1．（2023 河东区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论其中正确的结论有（ ）
（1）4a+b＝0；
（2）9a+c＞﹣3b；
（3）若点A（﹣3，y1）、点、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；
（4）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x2，
∴b＝﹣4a，
∴4a+b＝0，所以（1）正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（5，0），
∴当x＝3时，y＞0，
即9a+3b+c＞0，
即9a+c＞﹣3b，所以（2）正确；
∵抛物线的对称轴为x＝2，抛物线开口向下，
而C（7，y3）和A（﹣3，y1）到对称轴的距离相等，点B（，y3）到对称轴的距离最小，
∴y1＝y3＜y2，所以（3）错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（5，0），
∴抛物线解析式可表示为y＝a（x+1）（x﹣5），
∴方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，可看作抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与直线y＝﹣3两交点的横坐标，如图，
由函数图象得x1＜﹣1＜5＜x2，所以（4）正确．
故选：B．
2．（2023 河西区模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（1，0），（0，4），其对称轴在y轴左侧．有下列结论：
①abc＞0；
②方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根；
③﹣4＜a＜0．
其中，正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：∵抛物线的对称轴在y轴左侧，
∴a、b同号，
∵抛物线经过（0，4），
∴c＝4＞0，
∴abc＞0，所以①正确；
∵抛物线经过点（1，0），（0，4），
∴a+b+c＝0，c＝4，
∴a+b＝﹣4，
而a、b同号，
∴a＜0，b＜0，
∴抛物线开口向下，顶点的纵坐标大于4，
∴抛物线ax2+bx+c＝0与直线y＝﹣5一定有两个交点
∴方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根，所以②正确；
∵b＝﹣a﹣4＜0，
∴﹣4＜a＜0，所以③正确．
故选：D．
3．（2023 和平区一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … ﹣3 x1 ﹣1 x2 x3 1 …
y … m 0 k 0 n m …
其中﹣3＜x1＜﹣1＜0＜x2＜x3＜1，n＜m．有下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③；④当t≤x≤1时，y有最大值为m，最小值为k，此时t的取值范围是﹣3≤t≤﹣1．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵当x＝﹣3时，y＝m，当x＝1时，y＝m，
∴1，
∴b＝2a，顶点为（1，k），
∵﹣3＜x1＜﹣1＜0＜x2＜x3＜1，n＜m，
∴a＞0，c＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，且﹣1＜0＜x2＜x3＜1，
∴0＜n＜m，
∴x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，即a+2a+c＞0，
∴3a+c＞0，故②正确；
∵抛物线经过（1，m），
∴a+b+c＝m，
∴3a+c＝m，
∴，故③正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∴函数有最小值k，
∵当t≤x≤1时，y有最大值为m，最小值为k，
∴t的取值范围是﹣3≤t≤﹣1，故④正确；
故选：D．
4．（2023 红桥区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②当m≠1时，a+b＞am2+bm；③若bx1bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2；④a﹣b+c＞0．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：①抛物线开口方向向下，则a＜0，
抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0，
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为：a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
∴当m≠1时，a+b＞am2+bm，故②正确；
③∵bx1bx2，
∴bx1bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1+x2）（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，
∴x1+x2，
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴1，即b＝﹣2a，
∴x1+x22，故③正确；
④∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴x＝3与x＝﹣1时，函数值相等，
由图象可知，x＝3时，函数值为负数，
∴x＝﹣1时，函数值a﹣b+c为负数，即a﹣b+c＜0，故④错误；
综上所述，正确的有②③，共2个，
故选：C．
5．（2023 武清区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若，是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤（其中）其中正确的结论有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点位于y轴正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴为，
∴b＝﹣a＞0，
∴abc＜0，则结论①正确；
将点（2，0）代入二次函数的解析式得：4a+2b+c＝0，则结论③错误；
将a＝﹣b代入4a+2b+c＝0得：﹣2b+c＝0，则结论②正确；
∵抛物线的对称轴为，
∴和时的函数值相等，即都为y1，
又∵当时，y随x的增大而减小，且，
∴y1＞y2，则结论④错误；
由函数图像可知，当时，y取得最大值，最大值为，
∵，
∴，即，结论⑤正确；
综上，正确的结论有①②⑤，共3个．
故选：B．
6．（2023 河东区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）b2﹣4ac＝0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：∵x2，
∴4a+b＝0，故①正确．
由函数图象可知：函数图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故③错误．
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，
∴另一个交点为（5，0），
∴当x＝3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，
∴9a+c＞﹣3b，
故②正确；
∵抛物线的对称轴为x＝2，C（7，y3），
∴（﹣3，y3）．
∵﹣3，在对称轴的左侧，
∴y随x的增大而增大，
∴y1＝y3＜y2，故④错误．
方程a（x+1）（x﹣5）＝0的两根为x＝﹣1或x＝5，
过y＝﹣3作x轴的平行线，直线y＝﹣3与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，
依据函数图象可知：x1＜﹣1＜5＜x2，故⑤正确．
故选：B．
7．（2023 滨海新区模拟）将抛物线y＝x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x﹣3）2
【解答】解：∵抛物线y＝x2向上平移3个单位，
∴平移后的解析式为：y＝x2+3．
故选：A．
8．（2023 武清区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的对称轴是直线x＝1，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，其中点A在点（3，0）的右侧，直线yx+c经过A、B两点，有下列结论：
①c；
②2a+2b+c＞0；
③a＜0．
其中正确的结论是（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
【解答】解：∵直线yx+c经过点A，点A在点（3，0）的右侧，
∴c＞0，
∴c，故①正确；
∵1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+2b+c＝2a﹣4a+c＝﹣2a+c＞0，故②正确；
由题意可知，抛物线开口向下，a＜0，
∴当x＝3时，9a+3b+cc，
∴9a+3b，
∴3a，
∴a，
∴a＜0，故③正确；
故选：D．
9．（2023 南开区模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞1）经过点（2，0），其对称轴是直线x．有下列结论：
①abc＞0；
②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；
③a．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x，
∴点（2，0）关于直线x的对称点的坐标为（﹣1，0），
∵c＞1，
∴抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x，
∴ab＜0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点，
∴顶点在x轴的上方，
∵a＜0，
∴抛物线与直线y＝a有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；故②正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，0），
∴4a+2b+c＝0，
∵b＝﹣a，
∴4a﹣2a+c＝0，即2a+c＝0，
∴﹣2a＝c，
∵c＞1，
∴﹣2a＞1，
∴a，故③正确，
故选：C．
10．（2023 西青区校级模拟）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②ac＝0；③ac+b+1＝0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵ac＝0，
∴两边同时乘以4 得到4a+2b+c＝0，即将x＝2代入y＝ax2+bx+c得到的
根据图象与对称轴x＝1可知 当x＝2时 y＞0，所以②错误；
∵C（0，c），OA＝OC，
∴A（﹣c，0），
把A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c得ac2﹣bc+c＝0，
∴ac﹣b+1＝0，所以③错误；
∵A（﹣c，0），对称轴为直线x＝1，
∴B（2+c，0），
∴2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，所以④正确；
故选：B．
11．（2022 滨海新区一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴的交点B在（0，3）与（0，4）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②；③；④若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝m（m＜0）的两个根，则有x1＜﹣1＜3＜x2．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵0，
∴b＞0，
∴ab＜0，
∵c＞0，
∴abc＜0，
故结论①正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点 A（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴9a+3b+c＝0，，
∴3a+c＝0，，
故结论②正确；
∵3a+c＝0，且，
∴，
解得，
故结论③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点 A．（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴，
解得x0＝﹣1，
故抛物线与x轴另一个交点为（﹣1，0），
∴方程ax2+bx+c＝m（m＜0）的两个根是抛物线y＝ax2+bx+c与y＝m的交点的横坐标，画图如下，数形结合思想判断，得x1＜﹣1＜3＜x2．
故结论④正确．
故选：D．
12．（2022 河西区二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（1，0），（0，3），其对称轴在y轴左侧．有下列结论：
①abc＜0；
②抛物线经过点（，0）；
③方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根；
④﹣3＜a＜0．
其中，正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：由题意可知：x＝1时，y＝a+b+c＝0，
x＝0时，y＝c＝3，
∴a+b＝﹣3，
∵对称轴在y轴左侧，
∴0，
∴0，
①∵c＝3，0，
∴abc＞0，故①不符合题意．
②当抛物线过（，0）时，此时对称轴为x，不符合题意，故②不符合题意．
③∵a+b＜0，0，
∴a＜0，b＜0，
∴抛物线的开口向下，且该二次函数的最大值必定大于3，
∴直线y＝2与该抛物线有两个交点，
即ax2+bx+c＝2有两个不相同的实数根，故③符合题意．
④由于a+b＝﹣3，b＜0，
b＝﹣3﹣a＜0，
∴a＞﹣3，
∴﹣3＜a＜0，故④符合题意．
故选：C．
13．（2022 滨海新区二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．有下列结论：
①abc＜0；
②c﹣a＞0；
③当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c．
其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：由于抛物线开口向上，所以a＞0，对称轴为x1，因此a、b同号，即b＞0，
抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，因此c＞0，
所以abc＞0，
因此①不正确；
由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，而对称轴x1，即b＝2a，
所以a﹣2a+c＜0，
即c﹣a＜0，
因此②不正确；
由抛物线的对称性可知，在x轴上点A在表示﹣2的点的右边，即点A所表示的数在﹣1与﹣2之间，
因为x＝﹣n2﹣2＝﹣（n2+2），而n2≥0，
所以x＝﹣n2﹣2＝﹣（n2+2）≤﹣2，
由图象的对称性可知，当x＝﹣n2﹣2时，即当x≤﹣2时，y≥c，
因此③正确；
综上所述，③正确，
故选：B．
14．（2022 红桥区三模）已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的顶点为P，有下列结论：
①当a＜0时，抛物线与直线y＝2x+2没有交点；
②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；
③若点P在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则a≥1．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：由，消去y得到，ax2﹣4x﹣1＝0，
∵Δ＝16+4a，a＜0，
∴Δ的值可能大于0，
∴抛物线与直线y＝2x+2可能有交点，故①错误．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝4﹣4a＞0，
∴a＜1，
∵抛物线经过（0，1），且x＝1时，y＝a﹣1＜0，
∴抛物线与x轴一定有一个交点在（0，0）与（1，0）之间．故②正确，
∵抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），
∴20且20，
解得，a≥1，故③正确，
故选：C．
15．（2022 河东区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴负半轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②c﹣a＞0；③当x＝﹣k2﹣2（k为任意实数）时，y≥c；④若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，则方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根m，n（m＜n）满足m＜x1且n＞x2；其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵抛物线与y轴交与正半轴，
∴c＞0，
∵抛物线对称轴为直线x1，
∴b＝2a＞0，
∴abc＞0，①错误．
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∴a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，即a+c＜2a，
∴c＜a，
∴c﹣a＜0，②错误．
∵抛物线经过（0，c），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线经过（﹣2，c），
∵x＜﹣1时，y随x增大而减小，﹣k2﹣2≤﹣2，
∴x＝﹣k2﹣2时，y≥c．③正确．
∵x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交点横坐标为x1，x2，
∵抛物线开口向上，
∴抛物线与直线y＝1的交点在x轴上方，
∴m＜x1＜x2＜n，④正确．
故选：B．
16．（2022 和平区三模）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象开口向下，与x轴交于（1，0）和（m，0），且﹣2＜m＜﹣1．有下列结论：
①abc＞0；
②2a+c＜0；
③若方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有两个不相等的实数根，则4ac﹣b2＜4a
④当m时，若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣1．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵﹣2＜m＜﹣1，
∴0，
∴0，
∴b＜0，
∵（m，0），（1，0），在y轴左右两侧，
∴抛物线与y轴交点在x轴上方，即c＞0，
∴abc＞0，①正确．
∵0，a＜0，b＜0，
∴b＞a，
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴2a+c＜0，②正确．
∵抛物线开口下，
∴抛物线与直线y＝1有两个交点时，抛物线顶点纵坐标大于1，
即1，
∴4ac﹣b2＜4a，
∴方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有两个不相等的实数根时4ac﹣b2＜4a，③正确．
∵m，
∴抛物线对称轴为直线x，
方程|ax2+bx+c|＝1的根为函数y＝|ax2+bx+c|与直线y＝1的交点横坐标，
由函数的对称性可得x1+x2+x3+x4＝2×（）+2×（）＝﹣1．
∴④正确．
故选：D．
17．（2022 红桥区一模）下表中列出的是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的自变量x与函数值y的几组对应值：
x … ﹣2 0 1 3 …
y … 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 …
有下列结论：
①c＝﹣4a；
②当﹣2≤x≤3时，y的取值范围是﹣6≤y≤6；
③9a+2b+c＜0；
④关于x的方程ax2+bx＝m2﹣2有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：将表格中的三对对应值代入得：
，
解得：．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4．
∴c＝﹣4a．
∴①的结论正确；
∵y＝x2﹣3x﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x．
∴当x时，y有最小值．
∴当﹣2≤x≤3时，y的取值范围是﹣6y≤6．
∴②的结论不正确；
∵，
∴9a+2b+c＝﹣1＜0．
∴③的结论正确；
关于x的方程ax2+bx＝m2﹣2就是x2﹣3x﹣m2+2＝0，
∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣m2+2）＝4m2+1＞0，
∴关于x的方程ax2+bx＝m2﹣2有两个不相等的实数根．
∴④的结论正确．
综上，正确的结论有：①③④，
故选：D．
二．填空题（共3小题）
18．（2023 武清区校级模拟）如图，将二次函数y＝﹣x2+x+6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象，当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是 ﹣6＜m＜﹣2 ．
【解答】解：如图，当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，解得x1＝﹣2，x2＝3，则A（﹣2，0），B（3，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+2）（x﹣3），
即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），
当直线y＝﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m＝0，解得m＝﹣2；
当直线y＝﹣x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6＝﹣x+m有相等的实数解，解得m＝﹣6，
所以当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2．
故答案为：﹣6＜m＜﹣2．
19．（2023 红桥区模拟）若抛物线y＝x2﹣2x+k（k为常数）与x轴有两个交点，则k的值为 k＜1 ．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×k＝4﹣4k＞0，
解得：k＜1，
故答案为：k＜1．
20．（2023 河东区校级模拟）将抛物线y＝3x2向下平移3个单位，再向右平移2个单位，得到抛物线解析式为 y＝3（x﹣2）2﹣3 ．
【解答】解：将抛物线y＝3x2向下平移3个单位，再向右平移2个单位，得到抛物线解析式为：y＝3（x﹣2）2﹣3，
故答案为：y＝3（x﹣2）2﹣3．
三．解答题（共11小题）
21．（2023 武清区校级模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）抛物线上是否存在点Q，且满足AB平分∠CAQ，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由；
（3）点N为x轴上一动点，在抛物线上是否存在点M，使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）将点A（﹣4，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx+3中，
∴，
解得．
∴yx2x+3；
（2）作点C关于x轴的对称点E，连接AE交抛物线于Q，
∵yx2x+3，令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
∴E（0，﹣3），
设直线AE的解析式为y＝kx+p，
∴，
解得，
∴直线AE的解析式为yx﹣3，
联立yx2x+3得，
解得x＝4或﹣4（舍去），
∴存在，Q点坐标为（4，﹣6）；
（3）①如图2，当BN∥CM，BN为边时，
∵yC＝3，
∴yM＝3，
在yx2x+3中，
当y＝3时，x2x+3＝3，解得x1＝0，x2＝﹣2，
∴M（﹣2，3）；
②当MN∥BC，BN为对角线时，
∵yC﹣yB＝3，
∴yN﹣yM＝3，
∴yM＝﹣3，
在yx2x+3中，
当y＝﹣3时，x2x+3＝﹣3，解得x1＝﹣1，x2＝﹣1，
∴点M的坐标为（﹣1，﹣3）或（﹣1，﹣3），
综上所述，点M的坐标为（﹣2，3）或（﹣1，﹣3）或（﹣1，﹣3）．
22．（2023 河西区模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），顶点为D．
（Ⅰ）当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）当a＞0时，点E（0，1+a），若DEDC，求该抛物线的解析式；
（Ⅲ）当a＜﹣1时，点F（0，1﹣a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴上的点，N（m+2，﹣1）是直线l上的动点．当a为何值时，FM+DN的最小值为5？
【解答】解：（I）当a＝1时，因为抛物线y＝ax2﹣2ax+c （a，c 为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），
∴c＝﹣1，抛物线y＝x2﹣2x﹣1，该抛物线的顶点坐标（1，﹣1）；
（II）当a＞0时，
∵点E（0，1+a），DEDC，D（1，﹣a﹣1），
∴，
∵（a＞0），
解得a＝0（舍去）或a＝8．
∴该抛物线的解析式y＝8（x﹣1）2﹣9．
（Ⅲ）将点D向左平移3个单位，向上平移1个单位得到点D′（﹣2，﹣a），
作点F关于x轴的对称点F′，则点F′的坐标为（0，a﹣1），
当满足条件的点M落在F′D′上时，由图象的平移知DN＝D′M，故此时FM+ND最小，理由：
∵FM+ND＝F′M+D′M＝F′D′为最小，即F′D′＝5，
所以F′D′2＝F′H2+D′H2＝（1﹣2a）2+4＝（5）2，
解得，（舍去）．
23．（2023 和平区一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的顶点坐标为（1，4），与x轴交于点A（3，0）和B，与y轴交于点C．
（Ⅰ）求二次函数解析式和点C的坐标；
（Ⅱ）一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为 x1＝3，x2＝﹣1 ；
（Ⅲ）当0≤x≤3时，y的取值范围是 0≤y≤4 ．
【解答】解：（Ⅰ）∵二次函数图象的顶点是（1，4），
∴设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
∵二次函数图象与x轴交于点A（3，0），
∴a（3﹣1）2+4＝0，
解得a＝﹣1，
∴二次函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，
令x＝0，则y＝3，
∴点C的坐标为（0，3）；
（Ⅱ）令y＝0，则﹣（x﹣1）2+4＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝3，x2＝﹣1，
故答案为：x1＝3，x2＝﹣1；
（Ⅲ）∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，4），
∴当0≤x≤3时，y的取值范围是0≤y≤4，
故答案为：0≤y≤4．
24．（2023 武清区校级模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y的正半轴交于点C．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式．
（2）点Q（m，0）是线段OB上一点，过点Q作y轴的平行线，与BC交于点M，与抛物线交于点N，连接CN，探究：是否存在点Q，使得MN＝MC？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点E在二次函数图象上，且以E为圆心的圆与直线BC相切于点F，且EF，请求出点E的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+3，得：
，
解得：，
∴二次函数的表达式为yx2x+3；
（2）存在，理由如下：
如图1，
当x＝0时，yx2x+3＝3，
∴点C的坐标为（0，3），
设直线BC的函数表达式为y＝kx+c（k≠0），
将B（4，0），C（0，3）代入y＝kx+c，得：
，
解得：，
∴直线BC的函数表达式为yx+3，
∵点Q的坐标为（m，0），
∴点M的坐标为（m，m+3），点N的坐标为（m，m2m+3），
∴NMm2m+3﹣（m+3）m2+3m．
∵点C的坐标为（0，3），
∴CMm，
∵MN＝MC，
∴m2+3mm，
解得：m1＝0（舍去），m2，
∴点Q的坐标为（，0），
∴存在点Q（，0），使MN＝MC；
（3）过点E作EP∥直线BC，交y轴于点P，这样的点P有两个，记为P1，P2，如图2所示．
∵OB＝4，OC＝3，
∴BC5，
∵S△OBCBC 点O到直线BC的距离OB OC，
∴点O到直线BC的距离为，
∵以E为圆心的圆与直线BC相切于点F，且EF，
∴点E到直线BC的距离为，
∴点P1为线段OC的中点，
∴点P1的坐标为（0，），
∵CP1＝CP2，
∴点P2的坐标为（0，），
∵直线BC的函数表达式为yx+3，
∴直线EP的函数表达式为yx或yx，
联立直线EP和抛物线的函数表达式成方程组，得：或，
解得：，，，，
∴点E的坐标为（2，）或（2，）或（2，3）或（2，3）．
25．（2023 和平区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+bx+c过点A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移抛物线，平移后的顶点为P（m，n）（m＞0）．
ⅰ．如果S△OBP＝3，设直线x＝k，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求k的取值范围；
ⅱ．点P在原抛物线上，新抛物线交y轴于点Q，且∠BPQ＝120°，求点P的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）代入yx2+bx+c，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为yx2﹣3．
（2）i．∵yx2﹣3，
∴抛物线的顶点坐标为（0，﹣3），
即点B是原抛物线的顶点，
∵平移后的抛物线顶点为P（m，n），
∴抛物线平移了|m|个单位，
∴S△OPB3|m|＝3，
∵m＞0，
∴m＝2，
即平移后的抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵在x＝k的右侧，两抛物线都上升，原抛物线的对称轴为y轴，开口向上，
∴k≥2；
ii．把P（m，n）代入yx2﹣3，
∴n3，
∴P（m，3），
由题意得，新抛物线的解析式为yn3，
∴Q（0，m2﹣3），
∵B（0，﹣3），
∴BQ＝m2，，PQ2，
∴BP＝PQ，
如图，过点P作PC⊥y轴于C，则PC＝|m|，
∵PB＝PQ，PC⊥BQ，
∴BCBQm2，∠BPC∠BPQ120°＝60°，
∴tan∠BPC＝tan60°，
∴m＝2或m＝﹣2（舍），
∴n3＝3，
∴P点的坐标为（2，3）．
26．（2023 河东区校级模拟）如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的图象上，且x2﹣x1＝3．
（1）若二次函数的图象经过点（3，1）．
①求这个二次函数的表达式；
②若y1＝y2，求顶点到MN的距离；
（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．
【解答】解：（1）①∵二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）经过（3，1），
∴1＝a﹣1，
∴a＝2，
∴二次函数的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣1；
②∵y1＝y2，
∴M，N关于抛物线的对称轴对称，
∵对称轴是直线x＝2，且x2﹣x1＝3，
∴x1，x2，
当x时，y1＝2×（2）2﹣1，
∴当y1＝y2时，顶点到MN的距离1；
（2）若M，N在对称轴的异侧，y1≥y2，
∴x1+3＞2，
∴x1＞﹣1，
∵x2﹣x1＝3，
∴x1，
∴﹣1＜x1，
∵函数的最大值为y1＝a（x1﹣2）2﹣1，最小值为﹣1，
∴y1﹣（﹣1）＝1，
∴a，
∴（x1﹣2）2＜9，
∴a．
若M，N在对称轴的异侧，y1≤y2，x1＜2，
∵x1，
∴x1＜2，
∵函数的最大值为y2＝a（x2﹣2）2﹣1，最小值为﹣1，
∴y2﹣（﹣1）＝1，
∴a，
∵x1＜2，
∴x1+1＜3，
∴（x1+1）2＜9，
∴a．
综上所述，a．
27．（2023 西青区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线yx2+bx+c（b，c为常数）经过点A（﹣4，0）和点B（0，﹣2）．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，直接写出2MN+ON的最小值．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为yx2x﹣2①；
（2）存在，理由：
过点O作直线m∥AB，在直线AB下方和直线m等间隔作直线n，则直线m、n和抛物线的交点即为点P，
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为yx﹣2，
则直线m的表达式为yx②，直线n的表达式为yx﹣4③，
联立①②、①③并解得：x＝﹣2±2或x＝﹣2，
故点P的坐标为（﹣2﹣2，1）或（﹣2+2，1）或（﹣2，﹣3）；
（3）过点M作MK∥y轴交AB于点K，
设点M的坐标为（x，x2x﹣2），点K（x，x﹣2），
则△MAB的面积MK×OA＝2（x﹣2x2x+2）＝﹣x2﹣4x，
∵﹣1＜0，故△MAB的面积存在最大值，
此时x＝﹣2，则点M的坐标为（﹣2，﹣3），
过点O作直线l使直线l与y轴负半轴的夹角为30°，过点M作MH⊥l，交y轴于点N，
则点N为所求点，此时2MN+ON最小，
理由：HN＝ONsin30°ON，
则2MN+ON＝2（MNON）＝2MH为最小，
过点M作MT⊥y轴于点T，则∠NMT＝∠NOH＝30°，
则设MH的表达式为yx+t，
直线MH过点M（﹣2，﹣3），代入上式得：y（x+2）﹣3，
令x＝0，则y3，则点N的坐标为（0，3），
则ON＝3，则NH，
由点M、N的坐标得，MN，
则2MN+ON的最小值为：33+2．
28．（2023 河东区校级模拟）如图1，直线yx+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线yx2+bx+c经过B、C两点，点P是抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线yx+2于点D．设点P的横坐标为m．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；
（3）如图2，当点P位于直线BC上方的抛物线上时，过点P作PE⊥BC于点E，求当PE取得最大值时点P的坐标，并求PE的最大值．
【解答】解：（1）∵直线yx+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，
∴点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，2）．
抛物线yx2+bx+c经过B、C两点，
∴，
解得，
∴二次函数表达式为yx2x+2；
（2）∵P点在抛物线上，横坐标为m，
∴P点坐标为（m，m2m+2），
∵PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线yx+2于点D．
∴Q坐标为（m，0），D点坐标为（m，m+2），
当P、D、O、C为顶点的四边形为平行四边形时，则有PD＝OC＝2，
即|m2m+2﹣（m+2）|＝2，即|m2+2m|＝2，
当m2+2m＝2时，解得m＝2，则Q坐标为（2，0），
当m2+2m＝﹣2时，解得m＝2±2，则Q坐标为（2+2，0）或（2﹣2，0），
综上可知，Q点坐标为（2，0）或（2+2，0）或（2﹣2，0）；
（3）由（2）可知P点坐标为（m，m2m+2），Q坐标为（m，0），
D点坐标为（m，m+2），
∴PDm2+2m．
在Rt△OBC中，OC＝2，OB＝4，由勾股定理可求得BC＝2，
∵OQ∥OC，
∴∠OCB＝∠BDQ．
∵∠PDE＝∠BDQ，
∴∠OCB＝∠PDE．
∵PE⊥BC，
∴∠PED＝∠COB＝90°．
∴△PED∽△BOC．
∴，
即，
解得：PE，
∵P在直线BC上方，
∴0＜m＜4，
∴当m＝2时，PE有最大值，
此时P点坐标为（2，3）．
29．（2023 红桥区模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+kx﹣2k的顶点为N．
（1）若此抛物线过点A（﹣3，1），求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，连接AB，C为抛物线上一点，且位于线段AB的上方，过C作CD垂直x轴于点D，CD交AB于点E，若CE＝ED，求点C坐标；
（3）已知点M（2，0），且无论k取何值，抛物线都经过定点H，当∠MHN＝60°时，求抛物线的解析式．
【解答】解：（1）把A（﹣3.1）代入y＝﹣x2+kx﹣2k，
得﹣9﹣3k﹣2k＝1．
解得k＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4；
（2）如图1，设C（t，﹣t2﹣2t+4），则E（t，t+2），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（﹣3，1），（0，4）代入得到，
，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+4，
∵E（t，t+2）在直线AB上，
∴t+2＝t+4，
解得t1＝t2＝﹣2，
∴C（﹣2，4）．
（3）由y＝﹣x2+kx﹣2k＝k（x﹣2）﹣x2，
当x﹣2＝0时，x＝2，y＝﹣4，
∴无论k取何值，抛物线都经过定点H（2，﹣4），
二次函数的顶点N（，2k），
①如图2中，过点H作HI⊥x轴于I，分别过H，N作y轴，x轴的垂线交于点G，若2时，则k＞4，
∵M（2，0），H（2，﹣4），
∴MI，HI＝4，
∴tan∠MHI，
∴∠MHI＝30°，
∵∠MHN＝60°，
∴∠NHI＝30°，
即∠GNH＝30°，
由图可知，tan∠GNH，
解得k＝4+2或4（不合题意舍弃）．
②若2，则N，H重合，不符合题意舍弃，
综上所述，抛物线的解析式为y＝﹣x2+（4+2）x﹣（8+4）．
30．（2022 河北区二模）已知抛物线yx2+bx+c（b，c为常数）的图象与x轴交于A（1，0），B两点（点A在点B左侧）．与y轴相交于点C，顶点为D．
（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若点P是y轴上一点，连接BP，当PB＝PC，OP＝2时，求b的值；
（Ⅲ）若抛物线与x轴另一个交点B的坐标为（4，0），对称轴交x轴于点E，点Q是线段DE上一点，点N为线段AB上一点，且AN＝2BN，连接NQ，求DQNQ的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）当b＝2时，yx2+2x+c，
将点A（1，0）代入yx2+2x+c，
∴c，
∴yx2+2x（x﹣2）2，
∴抛物线的顶点为（2，）；
（Ⅱ）∵点P是y轴上一点，OP＝2，
∴P（0，2）或（0，﹣2），
将A代入yx2+bx+c，
∴b+c＝0，
∴cb，
∵x2+bxb＝0，
∴1+x1＝2b，
∴x1＝2b﹣1，
∴B（2b﹣1，0），
令x＝0，则y＝2b﹣1，
∴C（0，b），
∵PB＝PC，
∴（2b﹣1）2+4＝|b﹣2|2或（2b﹣1）2+4＝|b+2|2，
解得b或b或b或b，
∵A点在B点左侧，
∴2b﹣1＞1，
∴b＞1，
∴b；
（Ⅲ）将点A、B代入yx2+bx+c，
∴，
，
∴yx2x﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x，
∴E（，0），
∵yx2x﹣2（x）2，
∴顶点D（，），
∵A（1，0），B（4，0），
∴AB＝3，
∵AN＝2BN，
∴AN＝2，BN＝1，
∴N（3，0），
设Q（，t），
过点N作AD的垂线交于点M，交对称轴于点Q，
∵AE，DE，
∴tan∠DAE，
∴∠EQN＝∠DAE，
∴∠DAN＝∠MQD，
∴tan∠MQD，
∴sin∠MQD，
∴MQDQ，
∵DQNQ（DQ+NQ）（MQ+NQ），
∴当M、Q、N三点共线时，DQNQ有最小值MN，
在Rt△AMN中，AN＝2，
∴sin∠MAN，
∴MN2，
∴DQNQMN，
∴DQNQ的最小值为．
31．（2022 天津二模）已知抛物线y＝x2+6x+5与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为D，且过点C（﹣4，m）．
（Ⅰ）求点A，B，C，D的坐标；
（Ⅱ）点P在该抛物线上（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；
②连接BD，当∠PCB＝∠CBD时，求点P的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）取y＝0，即x2+6x+5＝0，
解得，x1＝﹣5，x2＝﹣1，
则点A（﹣5，0），点B（﹣1，0）；
又y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，
则点D（﹣3，﹣4），
由点C（﹣4，m）在y＝x2+6x+5上，可得m＝﹣3，
则点C（﹣4，﹣3）；
（Ⅱ）∵点P在该抛物线上，且点P的横坐标为t，则点P坐标为（t，t2+6t+5），
①如图，过点P作PH⊥x轴于点H，交直线BC于点E，
①如图，设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（﹣1，0），点C（﹣4，﹣3）代入，
得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x+1，
∵点P的坐标为（t，t2+6t+5），由题意可知﹣4＜t＜﹣1，
∴点E的坐标为（t，t+1），
∴EP＝（t+1）﹣（t2+6t+5）＝﹣t2﹣5t﹣4，
∴S△PBC＝S△EPB+S△EPC
3EP
（﹣t2﹣5t﹣4）
（t2+5t+4）
（t）2，
∵0，
∴当t时，△PBC的面积的最大值为；
②存在．
如图，当点P在直线BC的上方，且∠PCB＝∠CBD时，则PC∥BD，
设直线DB的解析式为y＝k1x+b1（k1≠0），将B（﹣1，0），点D（﹣3，﹣4）代入，
得，
解，
∴直线BD的解析式为y＝2x+2，
∵PC∥BD，
∴设直线PC的解析式为y＝2x+n，
∵C（﹣4，﹣3），
∴﹣3＝﹣8+n，
∴n＝5，
∴直线PC的解析式为y＝2x+5，
由x2+6x+5＝2x+5，解得x1＝0，x2＝﹣4（舍），
当x＝0时，y＝2x+5＝5，
∴点P的坐标为（0，5）；
如图，当点P在直线BC的下方时，设直线PC与BD交于点M，若∠PCB＝∠CBD，则MB＝MC，
过点C作CN⊥x轴于点N，则点N（﹣4，0），
∴NB＝NC＝3，
∴MN垂直平分线段BC．
设直线MN与BC交于点G，则线段BC的中点G为（，），
由点N（﹣4，0）和点G（，），可得直线NG的解析式为y＝﹣x﹣4．
∵直线BD和直线NG交于点M，
∴令2x+2＝﹣x﹣4，解得x＝﹣2，
∴点M的坐标为（﹣2，﹣2）．
由点C（﹣4，﹣3）和点M（﹣2，﹣2）可得直线CM的解析式为yx﹣1，
由x2+6x+5x﹣1，解得x1，x2＝﹣4（舍），
所以点P（，）；
综上，点P的坐标为P（，）或（0，5）．
