2022-2023学年北京市名校高一（上）期末数学试卷
一、单选题（本大题共6小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是( )
A. B. C. D.
4. 已知，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
5. 函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
6. 已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）
7. 函数的最小正周期为，，下列说法正确的是( )
A. 的一个零点为 B. 是偶函数
C. 在区间上单调递增 D. 的一条对称轴为
8. 定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，下列四个结论中正确有( )
A. 方程有且仅有三个解 B. 方程有且仅有三个解
C. 方程有且仅有八个解 D. 方程有且仅有一个解
三、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
9. 函数的定义域是______ ．
10. 把函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半纵坐标不变，然后把图象向左平移个单位，则所得图象对应的函数解析式为______．
11. 若的终边过点，则 ______ ． ______ ．
12. 设函数，若，则实数 ， ．
13. 已知函数，方程有两个实数解，则的范围是 ．
四、解答题（本大题共3小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14. 本小题分
已知集合，集合．
Ⅰ当时，求和；
Ⅱ若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
15. 本小题分
已知，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的值；
Ⅲ求的值．
16. 本小题分
函数是上的奇函数，，是常数．
求，的值；
若不等式对任意实数恒成立，求实数范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
可求出集合，然后进行交集的运算即可．
本题考查了描述法的定义，对数函数的单调性，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由已知得，命题“，”的否定是：
，．
故选：．
全称量词命题的否定，一是量词变成存在量词，二是否定结论，据此解决问题．
本题考查全称量词命题的否定方法，属于基础题．
3.【答案】
【解析】
【分析】
结合基本初等函数的单调性和奇偶性分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础试题．
【解答】
解：根据反比例函数的性质可知，在定义域内不单调，不符合题意；
由于为奇函数且在上单调递增，符合题意；
根据正切函数的性质可知，在定义域内不单调，不符合题意；
根据幂函数的性质可知，定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，不符合题意．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：，，，
．
故选：．
根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出，，的取值范围，从而可得结果．
本题主要考查指数函数与对数函数的关系，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：函数在上递减，在上递增，故排除；
因为，，所以，所以函数不是偶函数，图象不关于轴对称，故排除．
故选：．
根据函数的单调性排除 ；根据排除．
本题主要考查函数的图象与图象的变换，属于基础题．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数函数、二次函数的单调性，分段函数单调性的判断，以及减函数的定义，属于基础题．
根据题意可讨论：时，可看出在上单调递增，而在上不是增函数，显然不合题意；时，可看出在上单调递减，从而得出，解出的范围即可．
【解答】
解：时，在上是增函数；
在上是增函数；
显然在上不是增函数；
的情况不存在；
时，在上是减函数；
在上是减函数；
；
解得；
综上得，实数的取值范围为．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：因为函数的周期为，则，
又，则，所以，解得，
所以，
选项A：因为，故A正确；
选项B：因为，而，故B正确；
选项C：当时，，此时函数不单调，故C错误；
选项D：因为，故D正确，
故选：．
由函数的周期求出的值，再由为可得为函数的最大值，由此求出的值，进而可以求出函数的解析式，然后对应各个选项逐个判断即可求解．
本题考查了三角函数的周期性以及最值问题，考查了正弦函数的性质以及学生的运算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，设，则由，即，当时，则有三个不同值，由于是减函数，所有三个解，A正确；
对于，设，若，即，则，所以，因为，所以对应的解有个，B正确；
对于，设，若，即，或或，则，或，或，
因为，所以每个方程对应着三个解，所以共个解，C错误；
对于，设，若，即，所以，则，因为是减函数，所以方程只有解，D正确；
故选：．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查根的存在性及根的个数判断，涉及复合函数单调性的判断，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：要使原函数有意义，需要解得：且．
所以原函数的定义域为．
故答案为．
函数解析式含有对数式和分式，由对数式的真数大于和分式的分母不等于取交集．
本题考查对数函数的定义域，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半纵坐标不变，得到，
把图象向左平移个单位，得到
故答案为：
函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半纵坐标不变的系数变为原来的倍，然后根据平移求出函数的解析式．
本题考查函数的图象变换．准确理解变换规则是关键．
11.【答案】
【解析】解：的终边过点，；
则．
故答案为：；．
由已知利用正切函数的定义求得，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式求．
本题考查任意角的三角函数的定义，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：函数，若，
可得，解得；
．
．
故答案为：；．
利用分段函数的解析式通过，求解的值，利用分段函数逐步求解即可．
本题考查分段函数的应用，函数值的求法函数解析式的求法，考查计算能力．
13.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查分段函数的图象及应用，方程的解的个数问题，考查数形结合的思想方法，属于基础题．
画出函数的图象，作出直线，观察图象，即可得解．
【解答】
解：函数的图象如图，
作出直线，观察图象，或时，直线与函数有两个交点，即方程有两个实数解，
故实数的取值范围是或．
故答案为：或．
14.【答案】解：
Ⅰ集合，
整理得：或，，
集合．
当时，．
所以．
Ⅱ若是的必要不充分条件，
所以，
当时，，解得；
当时，或，
整理得或；
综上所述：的取值范围为或．
【解析】本题主要考查集合的交、并，补集的混合运算，必要不充分条件，以及利用集合关系求参数范围，属于中档题．
Ⅰ首先求出集合，再求出集合，根据补集和并集的定义即可求出；
Ⅱ由是的必要不充分条件，可得，分和讨论即可得解．
15.【答案】解：Ⅰ，，
．
Ⅱ由，可得．
Ⅲ，，
．
【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和差的三角公式，属于基础题．
Ⅰ由题意利用倍角公式，求得的值
Ⅱ由题意利用同角三角函数的基本关系，求得的值
Ⅲ先求得、的值，再利用两角差的正弦公式，求出的值．
16.【答案】解：因为函数是上的奇函数，
所以，即，解得；
由知，
设，，且，
则，
因为，
所以，
又，
所以，即，
所以是上的增函数，
因为不等式对任意实数恒成立，
所以不等式对任意实数恒成立，
所以不等式对任意实数恒成立，
所以不等式对任意实数恒成立，
令，
令 ，
则由对勾函数的性质得：，
即的最小值为，
所以．
所以实数的范围是．
【解析】根据函数是上的奇函数，即可求解；
由知，先利用单调性的定义证明是上的增函数，再结合奇偶性，将不等式对任意实数恒成立，转化为不等式对任意实数恒成立求解．
本题主要考查不等式恒成立问题，考查转化能力，属于中档题．
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