2023届高考数学小题狂刷卷： 三角函数的图象变换
一、选择题（共21小题）
1. 函数 的最小正周期为
A. B. C. D.
2. 若把函数 的图象沿 轴向左平移 个单位，沿 轴向下平移 个单位，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标保持不变），得到函数 的图象，则 的解析式为
A. B.
C. D.
3. 函数 在区间 上的最大值为
A. B. C. D.
4. 若函数 的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的 倍，再将整个图象沿 轴向左平移 个单位，沿 轴向下平移 个单位，得到函数 的图象，则 是
A. B.
C. D.
5. 已知函数 的图象为 ．为了得到函数 的图象，只要把 上所有的点
A. 横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变
B. 横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的 倍，横坐标不变
D. 纵坐标缩短到原来的 ，横坐标不变
6. 函数 ， 的值域为
A. B. C. D.
7. 函数 （，，）的部分图象如图所示，则 的值为
A. B. C. D.
8. 函数 的一个单调递增区间是
A. B. C. D.
9. 已知函数 给出下列四个命题：
① 的最小正周期为 ；
② 的图象关于直线 对称；
③ 在区间 上单调递增；
④ 的值域为 ．
其中所有正确的编号是
A. ②④ B. ③④ C. ①③④ D. ②③
10. 已知点 ，， 是函数 ， 的图象和函数 ， 图象的连续三个交点，若 是锐角三角形，则 的取值范围为
A. B. C. D.
11. 将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，若对满足 的 ，，有 ，则
A. B. C. D.
12. 设函数 ，其中 ，，若 ，，且 的最小正周期大于 ，则
A. ， B. ，
C. ， D. ，
13. 设 时，函数 取得最大值，则
A. B. C. D.
14. 如图，曲线对应的函数是
A. B. C. D.
15. 设函数 ，给出下列结论：
① 的最小正周期是 ；
② 在区间 内单调递增；
③将函数 的图象向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象．
其中所有正确结论的序号是
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
16. 已知函数 ，若 在 上无零点，则 的取值范围是
A. B.
C. D.
17. 为了得到 的图象，只需把函数 的图象
A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度
C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度
18. 将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 的单调递减区间是
A. B.
C. D.
19. 函数 的图象可看成是把函数 的图象 后得到的．
A. 向右平移 B. 向左平移 C. 向右平移 D. 向左平移
20. 设 ，函数 的图象向右平移 个单位长度后与原图象重合，则 的最小值是
A. B. C. D.
21. 函数 的部分图象如图所示，下列说法正确的是
①函数 的图象关于点 对称
②函数 的图象关于直线 对称
③函数 在 单调递减
④该图象向右平移 个单位可得 的图象
A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②④
二、填空题（共9小题）
22. 将函数 的图象先向左平移 ，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为 ．
23. 设 ，则 的值域为 ．
24. 设函数 ．若 对任意的实数 都成立，则 的最小值为 ．
25. 结合图象，关于 的方程 有 个解．
26. 已知函数 ．若 的图象向左平移 个单位所得的图象与 的图象重合，则 的最小值为 ．
27. 设函数 ，其中 ．若函数 在 上恰有 个零点，则 的取值范围是 ．
28. 函数 的周期为 ，且图象过点 ，则函数的解析式为 ．
29. 已知函数 在同一周期内，当 时，取到最大值 ，当 时，取到最小值 ，则函数的解析式为 ．
30. 把函数 的图象向左平移 个单位，所得的图象关于 轴对称，则 的最小值为 ．
三、解答题（共7小题）
31. 怎样由函数 的图象变换得到 的图象，试叙述这一过程．
32. 已知函数 （， 是常数），且 ，．
（1）求 ， 的值；
（2）当 时，判断 的单调性并用定义证明．
33. 已知函数 （）．
（1）求 的最小正周期．
（2）求 的单调递减区间．
（3）求 在区间 上的取值范围．
34. 设函数 ，其中 ．
（1）求函数 的值域．
（2）若 ，讨论 在区间 上的单调性．
（3）若 在区间 上为增函数，求 的最大值．
35. 已知函数 ．
（1）求函数 的定义域及最小正周期；
（2）求函数 的单调增区间．
36. 某同学用“五点法”画函数 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 的解析式；
（2）将 图象上所有点向左平行移动 个单位长度，得到 的图象．求 的图象离原点 最近的对称中心．
37. 函数 的部分图象如图所示．
（1）求 ，， 的值．
（2）求图中 ， 的值及函数 的递增区间．
（3）若 ，且 ，求 的值．
答案
1. A
【解析】函数 的最小正周期为 ．
2. B
【解析】先将 的图像上每个点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），变成 ，然后沿 轴向上平移 个单位，变为 ，最后沿 轴向右平移 个单位，变为 ，它就是 ．
3. C
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 ，即 时，．
故选C．
4. B
【解析】根据 的图象变换规律可得，
把函数 的图象向上平移 个单位，可得函数 的图象；
再将整个图象沿 轴向右平移 个单位，可得 的图象；
再把图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的 倍，可得 的图象，
故函数 ．
5. C
6. B
【解析】因为 ，
所以 ，
所以当 即 时，，
当 ，即 时，，
所以 的值域为 ．
7. D
【解析】由图象可得 ，最小正周期 ，则 ．又 ，得 ，则 ，．
8. D
9. B
【解析】
则 的最小正周期不是 ，则排除C选项；
， 的图象不关于直线 对称，②错，排除AD选项；
在区间 时，，在 上单调递增，③对，排除A选项；
故选：B．
10. A
【解析】因为 为对称图形，
所以 ， 为 中点，
若 为锐角三角形，
所以 ，
，
，
，，
，
，（ 和 关于 对称），
， 代入 中，
，
所以根据对称性 ，
所以 ，即 ，
解得 ．
11. D
【解析】，
又 ， 的最大、最小值为 ，故 等价于 ， 一个取得 ，一个取得 ，
不妨设 ，，所以 ，
又 ，所以 ，即 ．
12. C
【解析】由 ，， 最小正周期 ，
得：，
，
得 ，即 ，
且 过 ，即 ，
，，
，且 ，
所以 ．
13. D
14. C
15. A
16. B
【解析】因为
若 ，
则 ，
所以 ，
则 ，又 ，解得 ，
又
解得 ，
因为
解得 ，
因为 ，
所以 ，
当 时，；
当 时，，
又 ，
所以 ，
所以 ．
17. D
18. B
19. B
20. C
21. A
【解析】由图知 ，
，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 的点为图象的最高点，
所以 ，
，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
① ，
所以①对；
② ，
所以 是对称轴，
所以②对；
③因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 在 先减后增，
所以③错误；
④ 右移 ，
得到 ，
即 ，
不是 ，
所以④错误；
所以①②对．
22.
23.
24.
25.
26.
【解析】函数 向左平移 个单位对应的解析式为 ，因为平移以后的图象与 的图象重合，所以 ， 得 ，所以 的最小值为 ．
27.
28.
29.
30.
31. 由 的图象通过变换得到函数 的图象有两种变化途径：
① ．
② ．
32. （1） 因为 ，．
所以
（2） 由（）知 ，
在 上单调递增，证明如下：
设 ，
因为 ，
所以 ，，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 在 上单调递增．
33. （1） 由已知，有：
所以 的最小正周期为 ．
（2） 令 ，
函数 的单调递减区间是 ，．
由 ，得 ，．
所以 的单调递减区间为 ，．
（3） 因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
即 在区间 上的取值范围是 ．
34. （1）
因为 ，
所以函数 的值域为 ．
（2） 由（）可知，，
若 ，则 ，
令 （）（），
当 时，，
当 时，，
则函数 在区间 上单调递增，在 上单调递减．
（3） 因为 在闭区间 （）上为增函数，
所以 （）在闭区间 （）上为增函数，
依题意，知 对某个 成立，
此时必有 ，于是
解得 ，故 的最大值为 ．
35. （1） 因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 的最小正周期为 ．
要使 有意义，则 ，，
所以 的定义域为 ．
（2） 令 ，，
得 ，，
所以 ，．
所以 单调递增区间是
36. （1） 根据表中已知数据，解得 ，，，数据补全如下表：
且函数解析式为 ．
（2） 由（1）知 ，因此
因为 图象的对称中心为 ，．
令 ，，解得 ，，即 图象的对称中心为 ，，其中离原点 最近的对称中心为 ．
37. （1） 由图可知：，
，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
所以 ，
因为函数 的图象过 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
综上所述，结论是：；；．
（2） 由（）知：，
因为函数 的图象过 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以令 ，得 ，
因为函数 的图象过 ，
所以 ，
令 ，
所以 ，
所以函数 的递增区间为 ，
综上所述，结论是：；；．
（3） 由（）知：，
因为 ，，
所以 ，
所以 ，
所以 或 ，
所以 或 ，
因为 ，
所以 ，
综上所述，结论是： 或 ．
第1页（共1 页）
