2023届高考数学小题狂刷卷： 数列通项的求法
一、选择题（共15小题）
1. 已知数列 的前 项和 ，则
A. B. C. D.
2. 设 ，数列 满足：，，则
A. B. C. D.
3. 一个蜂巢里有 只蜜蜂，第 天，它飞出去找回了 个伙伴；第 天， 只蜜蜂飞出去，各自找回了 个伙伴，……，如果这个找伙伴的过程继续下去，第 天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有 只蜜蜂．
A. B. C. D.
4. 已知数列 满足 ，，那么 的值为
A. B. C. D.
5. 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的 个月内累积的需求量 （万件）近似地满足 ，按此预测，在本年度内，需求量超过 万件的月份是
A. 月、 月 B. 月、 月 C. 月、 月 D. 月、 月
6. 如图在直角坐标平面内有一个边长为 、中心在原点 的正六边形 ，．直线 ：（ 为常数）与正六边形交于 ， 两点，记 的面积为 ，则函数 的奇偶性为
A. 偶函数 B. 奇函数
C. 非奇非偶函数 D. 奇偶性与 有关
7. 如果数列 的前 项和为 ，且 ，那么这个数列是
A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数数列 D. 摆动数列
8. 已知数列 满足 ，则
A. B. C. D.
9. 数列 的通项 等于
A. B. C. D.
10. 数列 满足 ，对任意的 都有 ，则 等于
A. B. C. D.
11. 由 ， 给出数列 的第 项是
A. B. C. D.
12. 已知数列 中，前 项和为 ，且 ，则 的最大值为
A. B. C. D.
13. 在数列 中，，，则
A. B. C. D.
14. 已知数列 的各项均为正数，且 ，则数列 的前 项和
A. B. C. D.
15. 如图，点 ，，，， 和 ，，，， 分别在角 的两条边上，所有 相互平行，且所有梯形 的面积均相等．设 ．若 ，，则数列 的通项公式是
A. B. C. D.
二、填空题（共8小题）
16. 已知数列 的前 项和 ，则通项
17. 已知数列 ，，，，，则 是该数列的第 项．
18. 已知数列 的前 项和 ，那么它的通项公式为 ．
19. 记 为数列 的前 项和，若 ，则 ．
20. 方程 的根称为 的不动点，若函数 有唯一不动点，且 ，，则 ．
21. 数列 中， 且 ，则 的通项公式为 ．
22. 设数列 的前 项和 ，若 ，，则 的通项公式为 ．
23. 在数列 中，，，则数列 的通项公式
三、解答题（共9小题）
24. 已知 是数列 的前 项和，且 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，试证明数列 为等比数列．
25. 已知数列 的前 项和 ．
（1）请利用定义证明数列 是等差数列．
（2）判断 是不是数列 中的项 如果是，是第几项
（3）数列 的前 项和 是否存在最大值 若存在，求 的最大值及取得最大值时 的值；若不存在，请说明理由．
26. 请解答下列问题．
（1）已知 ，， 与 ，， 都是等差数列，试求 ，， 之比．
（2）已知 的三边成等差数列，且最大角与最小角之差为 ，求证：其三边之比为 ．
（3）在 中，已知 ，， 依次成等差数列，求 的取值范围．
27. 设数列 的前 项和为 ，，，首项 ．
（1）当 ，，且 时，求数列 的通项公式；
（2）设 的各项均为负实数，当 时，求实数 的取值范围．
28. 已知各项都为正数的数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求 ，；
（2）求证：数列 是等差数列．
29. 设 为数列 的前 项和，且 ，．
（1）求 ，，并证明：数列 为等差数列；
（2）若不等式 对任意正整数 恒成立，求实数 的取值范围．
30. 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．
（1），，，，；
（2），，，；
（3），，，，，，．
31. 正项数列 的前 项和 满足：．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，数列 的前 项和为 ，证明：对于任意的 ，都有 ．
32. 已知数列 满足 ，前 项和 ，．
（1）求实数 的值及数列 的通项公式；
（2）在等比数列 中，，．若 的前 项和为 ，求证：数列 为等比数列．
答案
1. A
2. B
【解析】提示：由已知得 ，两边取倒数得 ．所以可得 ．
3. B
4. C
5. C
【解析】因为当 时，，所以可解出 ．令 ，解得 ，所以 ．
6. A
7. C
【解析】 ， ， ，即数列 为常数数列．
8. D
【解析】因为 ，当 时，，则 ① ② 得，，故 ．当 时， 也符合 ，故选D．
9. C
10. B
【解析】因为 ，
所以 ，
即 ，，，，
等式两边同时相加得 ，即
则 ，
所以
故选B．
11. A
【解析】由 ，，
得 ，
，
，
，
，，
由此可知，各项分子为 ，分母构成等差数列 ，
首项 ，公差为 ，
所以 ，
所以 ，故选A．
12. C
13. A
【解析】由 ，得 ，
又因为 ，
所以数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
则 ，
所以 ．
所以 ．
14. B
【解析】因为
所以当 时，，
当 时，
① ②得 ，此式对 也适用，
所以 时，，，
所以 ，故 是首项为 ，公差为 的等差数列，它的前 项和 ．
15. A
【解析】设 ，，由题意可得，，得 ，所以 ，所以 ，所以 ．
16.
【解析】 ， ，当 ，， 数列 的通项公式为 ．
17.
【解析】因为 ，，，，，
所以 ．由 得 ，解得 ，
所以 是该数列的第 项．
18.
19.
20.
【解析】由 得 ．
因为 有唯一不动点，所以 ，即 ．
所以 ．所以 ．
所以 ．
21.
22.
【解析】 时，，化为 ；
时，，解得 ，不满足上式．
所以数列 在 时成等比数列．
所以 时，．
所以 ．
23.
24. （1） 因为 ，
所以令 ，
得 ，
解得 ．
（2） 因为 ，
所以当 时，
，
即 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
又 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．
25. （1） 当 时，，
当 时，
① ②得 ，
，
所以 ，
，
所以 是首项为 ，公差为 的等差数列．
（2） ，，，
所以 ，
所以 是 中的项，是第 项．
（3） 因为 ，
因为 ，所以 ，
所以存在最大值，当 或 时，取得最大值 ．
26. （1） ．
（2） 不妨设 ，
则由 ，
得 ，
由此得 ，，
于是 ，
，．
（3） ．
27. （1） 当 ， 时，，
所以当 时，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
当 时，，显然满足该式．
则 ，．
（2） 当 时，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 的各项均为负实数，且 ，
所以只需
所以 ，
故实数 的取值范围为 ．
28. （1） 由已知条件得 ，
所以 ．
又 ，
所以 ，
解得 （舍去）或 ．
（2） 由 得，当 时，，
所以
，
即 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，即 （），
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列．
29. （1） 因为 ，，得 ，
进而得 ．
由已知 ，
则 ，
两式相减得 ，
即 ，
于是 ，
再两式相减得 ，
整理得 ，
所以数列 为等差数列．
（2） 由（）可得 ，则 ．
由 ，得 对任意正整数 恒成立，于是 ．
令 ，
由 ，可得 ，
于是 ，
所以 ．
30. （1） 数列中各项的符号可通过 表示，从第 项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大 ，
故通项公式为 ．
（2） 数列变为 ，，，，
故 ．
（3） 各项的分母分别为 ，，，，，易看出第 ，， 项的绝对值的分子分别比分母小 ．
因此把第 项变为 ，原数列化为 ，，，，，
故 ．
31. （1） 由 ，得 ，
由于 是正项数列，所以 ，，
于是 ， 时，，
综上，数列 的通项 ．
（2） 由于 ，，
则 ，
32. （1） 依题意 ，
所以 ，
所以 ．
当 时，
当 时，
也成立，
所以 ．
（2） 设等比数列 的公比为 ，
由 ，得
由 ，得
联立①②解得 ，，
所以 ，
所以 ．
当 时，，
又 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．
第1页（共1 页）
