数列-广西南宁高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编
一、单选题
1．（2023·广西南宁·统考一模）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……在2015年世乒赛期间，苏州某景点就用乒乓球堆成“三角垛”型的装饰品，假设一个“三角垛”装饰品共有n层，记使用的乒乓球数量为，则（ ）
（参考公式：）
A． B．
C． D．
2．（2023·广西南宁·统考一模）已知数列满足，则数列的前5项和为（ ）
A．25 B．26 C．32 D．
3．（2023·广西南宁·统考一模）2022年10月16日中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂召开，某校全体党员在报告厅集中观看大会盛况．该报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位．若第10排有41个座位，则该报告厅座位的总数是（ ）
A．800 B．820 C．840 D．880
4．（2022·广西南宁·统考二模）《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何 ”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是
A．15 B．16 C．18 D．21
5．（2021·广西南宁·统考模拟预测）设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·广西南宁·统考一模）记为等差数列的前项和，若，，则数列的通项公式（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2022·广西南宁·统考二模）已知数列的前n项和为，满足，，则______．
8．（2021·广西南宁·统考模拟预测）已知数列的前n项和为，若，则数列的前n项和为_______．
9．（2021·广西南宁·统考模拟预测）已知各项均为正项的等比数列，公比，则_______．
10．（2021·广西南宁·统考一模）记为等比数列的前项和，若，，则的值为__________.
三、解答题
11．（2023·广西南宁·统考二模）记为各项均为正数的等比数列的前n项和，且成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，求的前n项和.
12．（2022·广西南宁·统考模拟预测）已知等差数列{}的前n项和为，且
(1)求{}的通项公式：
(2)若数列满足，求的前10项和．
13．（2022·广西南宁·统考一模）已知数列的前n项和为，满足.
(1)求的通项公式；
(2)设的前n项和为.若对于任意恒成立，求n的取值范围.
14．（2022·广西南宁·统考一模）已知函数.
（1）当时，讨论函数的单调性，并证明：；
（2）若函数与的图象恰有三个不同的交点，求实数的取值范围.
参考答案：
1．D
【分析】通过观察发现每一层的乒乓球数为，从而求转化成数列的前项和，利用等差数列前项和公式和即可求出结果.
【详解】
故选：D
2．A
【分析】根据题中条件，得到，可得数列是以3为首项，1为公差的等差数列，结合等差数列的求和公式，即可求出结果.
【详解】数列满足，整理得：（定值），
故数列是以首项，1为公差的等差数列，
所以.
故选：A.
3．C
【分析】根据题意将问题转化为等差数列问题，应用等差数列的通项公式和前项和公式，基本量运算即可求解.
【详解】设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，
其前项和为．根据题意，数列是一个公差为的等差数列，且，
故．由，
因此，则该报告厅总有座位数为840个座位．
故选：C．
4．C
【详解】分析：首先根据题意，先确定其为一个等差数列的问题，已知公差、项数与和，求某项的问题，在求解的过程中，经分析，先确定首项，之后根据其和建立等量关系式，最后再利用通项公式求得第五项，从而求得结果.
详解：设第一个人分到的橘子个数为，
由题意得，解得，
则，故选C.
点睛：该题所考查的是有关等差数列的有关问题，在求解的过程中，注意分析题的条件，已知的量为公差、项数与和、而对于等差数列中，这五个量是知三求二的，所以应用相应的公式求得对应的量即可.
5．A
【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到结果.
【详解】由已知可得，
解得：所以通项公式为，
故选：A．
6．B
【分析】由等差数列前n项和公式求出公差，即可得出通项公式.
【详解】设等差数列的公差为，
则，解得，
.
故选：B.
7．160
【分析】先通过递推式证明是等比数列，再按照等比数列的求和公式求解即可.
【详解】因为，
当时，，，解得．
当时，两式相减得，
化简得：，又，故是以4为首项，3为公比的等比数列，
则．
故答案为：160.
8．
【分析】根据，利用数列与前n项和关系，得到是等比数列，进而得到是等比数列求解.
【详解】当时，，
当时，，
所以是首项为2，公比为3的等比数列，
所以是首项为4，公比为9的等比数列，
所以其前n项和．
故答案为：
9．20
【分析】由条件结合等比下标性质可得，再利用通项公式可得结果.
【详解】由是等比数列，得，
解得或（舍），
所以．
故答案为：20
10．63
【分析】由已知求出首先和公比即可得出.
【详解】设等比数列的公比为,
则，解得，
.
故答案为：63.
11．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件列出等比数列基本量的方程组，即可求解；
（2）由（1）可知，利用错位相减法求和.
【详解】（1）设数列的首项为，公比为q，则①，
因为，，成等差数列，则，即②，
因为，所以由②式可得，解得或（舍），
代入①式可得，
（2）由得，
则③，
所以④
③④得
12．(1)；
(2).
【分析】（1）设出等差数列{}的公差，再根据已知列出方程组，求出公差及首项即可.
（2）由（1）求出，利用并项求和计算作答.
（1）
设等差数列{}的公差为d，由得，，解得，
由得，，则有，，
所以{}的通项公式是.
（2）
由（1）知，，则
所以数列的前10项和为.
13．(1)
(2)且
【分析】（1）利用求得的通项公式.
（2）利用裂项求和法求得，进而求得题目所求的取值范围.
(1)
依题意，
当时，，.
①，当时， ②，
①-②并化简得，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以.
(2)
，
所以.
且.
14．（1）在上是单调递减函数，证明见解析；（2）.
【分析】（1）将代入函数得．利用导数与函数单调性的关系即可求得函数的单调区间，证明见解答过程；
（2）将两函数作差后构造新函数，在求导对分情况讨论，结合单调性，极值和函数零点存在性定理即可得到的范围．
【详解】解：（1）当时，.
所以，
所以在上是单调递减函数.
又，
所以当时，，即.
令，则
，……
从而
，
所以.
（2）令，
所以.
设，则.
①当，即时，，所以在单调递减，
所以不可能有三个不同的零点；
②当，即时，有两个零点，，
所以.
又因为开口向下，
所以当时，，即，所以在上单调递减；
当时，，即，所以在上单调递增；
当时，，即，所以在上单调递减.
因为，且，所以，
所以.
因为，
所以令，
则.
所以在单调递增，
所以，
即.
又，
所以，
所以由零点存在性定理知，在区间上有唯一的一个零点.
因为，且，所以.
又，
所以，
所以在区间上有唯一的一个零点，
故当时，存在三个不同的零点.
故实数的取值范围是.
【点睛】本题考查函数的单调性问题、利用导数研究函数零点的问题.解决零点个数问题的关键是能够选取合适的区间，利用零点存在性定理证得在区间内存在零点，从而使得零点个数满足题目要求；难点在于零点所在区间的选择上，属于难题.
试卷第1页，共3页
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