2022-2023学年湖南省长沙市雅礼洋湖实验中学七年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）.
1．下列大学校徽中哪一个可以看成是由图案自身的一部分经平移后得到的（ ）
A． B． C． D．
2．2022年11月20日晚，卡塔尔世界杯正式开幕，仅两天时间，抖音“世界杯”总话题播放量高达21480000000次，其中数21480000000用科学记数法表示为（ ）
A．214.8×108 B．21.48×108 C．2.148×109 D．2.148×1010
3．运用等式性质进行的变形，不正确的是（ ）
A．如果a＝b，那么a﹣c＝b﹣c B．如果a＝b，那么a+c＝b+c
C．如果＝，那么a＝b D．如果ac＝bc，那么a＝b
4．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣3）2＝﹣9 B． C． D．
5．体育课上老师按照如图所示的方式测量同学的跳远成绩，这里面蕴含的数学原理是（ ）
A．垂线段最短
B．两点之间，线段最短
C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．两点确定一条直线
6．如图，有A，B，C三个地点，且AB⊥BC，从A地测得B地在A地的北偏东43°的方向上，那么从B地测得C地在B地的（ ）
A．北偏西47° B．南偏东47° C．北偏东43° D．南偏西43°
7．《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”题目大意是：今有人合伙购物，每人出八钱，余三钱；每人出七钱，差四钱，问：人数、物价各多少？设有x人，则可列方程为（ ）
A．8x﹣3＝7x+4 B．x+3＝7x﹣4 C． D．
8．在实数，0，，3.1415926，4.，，1.353353335…中，无理数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，a∥b，∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．40° B．60° C．50° D．30°
10．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；
③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
④面积相等的正方形和圆，正方形的周长较大；
⑤若，则a≤0．
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．4的相反数是 ．
12．若3xm+1y2与2x2yn+4是同类项，则（m+n）2022＝ ．
13．若，则＝ ．
14．如图，在∠AOB内部作OC⊥OB，OD平分∠AOB，若∠AOB＝130°，则∠COD＝ ．
15．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D与点C分别落在点D'和点C'的位置上，ED'与BC的交点为G，若∠EFG＝55°，则∠1为 度．
16．一副三角尺按如图1所示摆放，AC边重合，固定含45°的三角尺ABC不动，将含30°三角尺ACD绕着点C顺时针旋转α°（0＜α＜180），当α＝ 时，两块三角尺至少有一组边互相平行．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
18．先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣3（ab2+5a2b），其中a＝，b＝﹣．
19．填空并完成以下证明：
如图，BD⊥AC于点D，EF⊥AC于点F，DM∥BC，∠1＝∠2，求证：DM∥GF．
证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC（已知）
∴∠BDF＝∠EFC＝90°（ ）
∴BD∥EF（ ）
∴∠1＝ （两直线平行，同位角相等）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠2＝∠HFE（ ）
∴GF∥ （内错角相等，两直线平行）
∵ ∥BC（已知）
∴DM∥GF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
20．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，利用网格点和三角板画图或计算：
（1）在给定方格纸中，将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，若点B的对应点为B′，请画出平移后的△A′B′C′；
（2）图中AC与A′C′的数量关系和位置关系是 ；
（3）画出△A′B′C′的边B′C′上的高A'D，并求△A′B′C′的面积．
21．已知一个正数的平方根是a﹣2和7﹣2a，3b+1的立方根是﹣2，c是的整数部分，d的平方根是它本身．
（1）求a，b，c，d的值；
（2）求5a+2b﹣c﹣11d的算术平方根．
22．三八妇女节到来之际，我校准备购进一批贺卡送给女教师们，贺卡原价8元/张，甲、乙两家商店优惠方式如下：
甲商店：所有贺卡按原价的九折出售；
乙商店：一次性购买不超过20张不优惠，超过部分打八折．
设我校准备购买a（a＞20）张贺卡．
（1）用含a的式子分别表示到甲、乙两家商店购买贺卡的费用；
（2）当我校购买多少张贺卡时，两家商店的费用相同？
（3）已知贺卡是一张面积为144 cm2的正方形，另有一个长宽比为5：3的长方形信封，面积为165cm2，请问能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？（放入时贺卡与信封的边平行）请通过计算说明你的判断．
23．如图，已知∠BAD＝∠C，AB∥CD，E为射线CB上一点，DE平分∠ADC．
（1）如图1，当点E在线段CB上时，求证：AD∥BC；
（2）如图2，当点E在线段CB延长线上时，求证：∠DEC＝∠EDC；
（3）如图2，当点E在线段CB延长线上时，若∠DAE＝5∠BAE，∠AED＝45°，求∠DEC的度数．
24．已知一个关于x的一元一次方程ax+b＝0（a≠0，b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“阳光方程”．例如：2x+4＝0的解为x＝﹣2，而2﹣4＝﹣2，则方程2x+4＝0是“阳光方程”．
（1）下列方程是“阳光方程”的为 ；（填序号）
①3x+＝0
②
③﹣3x+1＝
（2）求关于x的方程|2x﹣1|﹣m＝3是“阳光方程”，求m的值；
（3）已知关于x的方程ax+b＝0是“阳光方程”，求关于y的方程a（b﹣a）y+5＝（b+）y的解．
25．为认真贯彻《渔业法》，做好湘江禁渔期制度，政府在浏阳河两侧（河岸两侧是平行的）安置了可旋转红外线探测仪，检测非法捕捞情况．如图：直线l与两条平行直线AB，CD分别相交于为点F、点E红外射线ED'以速度a°/秒，自ED顺时针旋转至EC便立即返回、红外线FA'以速度b°/秒，自FA顺时针旋转至FB便立即返回，两条红外线交叉探测．
已知a、b满足|2b﹣2|+＝0，且∠DEF：∠BFE＝1：2．
（1）请填空：a＝ ，b＝ ，∠DEF＝ ；
（2）若红外线FA'先转动20秒，红外线ED'才开始转动，在红外线FA'第一次旋转到FB之前，红外线ED'转动多少秒，两条红外线互相平行？
（3）如图2，若检修时关闭红外线探测仪F，红外线ED'交直线AB于点P，射线EQ平分∠DEF，过点P作PM⊥EQ，垂足为点M，作∠EPF的角平分线PN交CD于点N，当红外线ED'从ED第一次旋转到EC的过程中，求∠MPN与∠PEF的数量关系．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列大学校徽中哪一个可以看成是由图案自身的一部分经平移后得到的（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，结合图案，对选项一一分析，排除错误答案．
解：A、是一个对称图形，不能由平移得到，故错误；
B、是一个对称图形，不能由平移得到，故错误；
C、图案自身的一部分沿着直线运动而得到，是平移，故正确；
D、图案自身的一部分经旋转而得到，故错误．
故选：C．
【点评】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致选错．
2．2022年11月20日晚，卡塔尔世界杯正式开幕，仅两天时间，抖音“世界杯”总话题播放量高达21480000000次，其中数21480000000用科学记数法表示为（ ）
A．214.8×108 B．21.48×108 C．2.148×109 D．2.148×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：21480000000＝2.148×1010．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法，关键是掌握n的值的确定方法，当原数大于等于10时，n等于原数的整数数位减1．
3．运用等式性质进行的变形，不正确的是（ ）
A．如果a＝b，那么a﹣c＝b﹣c B．如果a＝b，那么a+c＝b+c
C．如果＝，那么a＝b D．如果ac＝bc，那么a＝b
【分析】根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．
解：A．根据等式性质1，a＝b两边都减c，即可得到a﹣c＝b﹣c，故本选项不合题意；
B．根据等式性质1，a＝b两边都加c，即可得到a+c＝b+c，故本选项不合题意；
C．根据等式性质2，a＝b两边都除以c，即可得到a＝b，故本选项不合题意；
D．根据等式性质2，ac＝bc，需条件c≠0，才可得到a＝b，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等式的基本性质，熟记等式的基本性质是解答本题的关键．
4．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣3）2＝﹣9 B． C． D．
【分析】根据算术平方根和立方根计算即可．
解：A：（﹣3）2＝9，故原计算结果错误，不符合题意；
B：，故原计算结果错误，不符合题意；
C：，故原计算结果错误，不符合题意；
D：，故原计算结果正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根是解决此题的关键．
5．体育课上老师按照如图所示的方式测量同学的跳远成绩，这里面蕴含的数学原理是（ ）
A．垂线段最短
B．两点之间，线段最短
C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．两点确定一条直线
【分析】根据垂线段的性质解答即可，垂线段的性质：垂线段最短．
解：由图可知，体育课上老师测量同学的跳远成绩，这里面蕴含的数学原理是垂线段最短．
故选：A．
【点评】本题考查了垂线段的性质，垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
6．如图，有A，B，C三个地点，且AB⊥BC，从A地测得B地在A地的北偏东43°的方向上，那么从B地测得C地在B地的（ ）
A．北偏西47° B．南偏东47° C．北偏东43° D．南偏西43°
【分析】根据方向角的概念，和平行线的性质求解．
解：∵AF∥DE，
∴∠ABE＝∠FAB＝43°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠CBD＝47°，
∴C地在B地的北偏西47°的方向上．
故选：A．
【点评】本题主要考查了方位角，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
7．《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”题目大意是：今有人合伙购物，每人出八钱，余三钱；每人出七钱，差四钱，问：人数、物价各多少？设有x人，则可列方程为（ ）
A．8x﹣3＝7x+4 B．x+3＝7x﹣4 C． D．
【分析】利用物品的价值不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
解：根据题意得：8x﹣3＝7x+4．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8．在实数，0，，3.1415926，4.，，1.353353335…中，无理数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据无理数的定义即可判定选择项．
解：，0，，3.1415926，是有理数，
无理数有，1.353353335……共有2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
9．如图，a∥b，∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．40° B．60° C．50° D．30°
【分析】利用平行线的性质证得∠2＝∠ACD，再利用直角三角形的性质求出∠ACB，再根据∠ACD＝∠ACB+∠1求出∠2即可．
解：如图，
∵a∥b，
∴∠2＝∠ACD，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠ACB＝90°﹣60°＝30°，
∵∠1＝20°，
∴∠ACD＝∠1+∠ACB＝50°，
∴∠2＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟记性质并灵活运用，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
10．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；
③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
④面积相等的正方形和圆，正方形的周长较大；
⑤若，则a≤0．
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】利用平行线的判定方法、点到直线的距离的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项．
解：①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
③平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
④面积相等的正方形和圆，正方形的周长较大，正确，是真命题，符合题意；
⑤若，则a≤0，正确，是真命题，符合题意；
真命题有2个，
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度较小．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．4的相反数是 ﹣4 ．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
解：4的相反数是﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
12．若3xm+1y2与2x2yn+4是同类项，则（m+n）2022＝ 1 ．
【分析】首先根据同类项的定义指数相同，得出m＝1，n＝﹣2，然后代入所求式即可得解．
解：由题意得m+1＝2，n+4＝2，
∴m＝1，n＝﹣2，
∴（m+n）2022＝（1﹣2）2022＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查根据同类项求解参数，熟练掌握是解题关键．
13．若，则＝ 2 ．
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可求解．
解：根据题意得，x﹣3＝0，y﹣8＝0，
解得x＝3，y＝8，
∴＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平方数非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
14．如图，在∠AOB内部作OC⊥OB，OD平分∠AOB，若∠AOB＝130°，则∠COD＝ 25° ．
【分析】由角平分线的性质得∠BOD＝∠AOB＝65°，根据垂直定义知∠BOC＝90°，由∠COD＝90°﹣∠BOD可得答案．
解：∵∠AOB＝130°，OD平分∠AOB，
∴∠BOD＝∠AOB＝65°，
∵OC⊥OB，
∴∠BOC＝90°，
∴∠COD＝90°﹣∠BOD＝25°，
故答案为：25°．
【点评】本题主要考查垂直的定义和角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直的定义和角平分线的性质．
15．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D与点C分别落在点D'和点C'的位置上，ED'与BC的交点为G，若∠EFG＝55°，则∠1为 70 度．
【分析】根据平行线的性质，由四边形ABCD是长方形，得AD∥BC，那么∠EFG＝∠DEF＝55°，从而得到∠DEF＝∠GEF＝∠EFG＝55°，进而解决此题．
解：由题意得：∠DEF＝∠GEF．
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC．
∴∠EFG＝∠DEF＝55°．
∴∠DEF＝∠GEF＝∠EFG＝55°．
∴∠DEG＝∠DEF+∠GEF＝55°+55°＝110°．
∴∠1＝180°﹣DEG＝180°﹣110°＝70°．
故答案为：70．
【点评】本题主要考查平行线的性质、图形折叠的性质，熟练掌握平行线的性质、图形折叠的性质是解决本题的关键．
16．一副三角尺按如图1所示摆放，AC边重合，固定含45°的三角尺ABC不动，将含30°三角尺ACD绕着点C顺时针旋转α°（0＜α＜180），当α＝ 30，45，75，135，165 时，两块三角尺至少有一组边互相平行．
【分析】分五种情形，分别画出图形，利用平行线的性质求解即可．
解：如图2中，当AC∥A′D′时，∠ACA′＝∠A′＝30°，即α＝30．
如图3中，当AB∥CA′时，∠A＝∠ACA′＝45°，即α＝45．
如图4中，当AB∥A′D′时，过点C作CQ∥AB，则CQ∥A′D′，
∴∠ACQ＝∠A＝45°，∠A′CQ＝∠A′＝30，
∴∠ACA′＝75°，即α＝75．
如图5中，当AB∥CD′时，B，C，A′共线，
∴∠ACA′＝135°，即α＝135．
如图6中，当BC∥A′D′时，∠BCD′＝∠D′＝60°，
∴∠ACA′＝360°﹣45°﹣60°﹣90°＝165°，即α＝165．
综上所述，满足条件的α的值为：30，45，75，135，165．
故答案为：30，45，75，135，165．
【点评】本题考查旋转变换的性质，平行线的性质，特殊三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
解：原式＝﹣1+2﹣﹣（﹣3）+3
＝﹣1+2﹣+3+3
＝7﹣．
【点评】本题考查了实数的混合运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
18．先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣3（ab2+5a2b），其中a＝，b＝﹣．
【分析】首先根据整式的加减运算法则将原式化简，然后把给定的值代入求值．注意去括号时，如果括号前是负号，那么括号中的每一项都要变号；合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变．
解：原式＝15a2b﹣5ab2﹣3ab2﹣15a2b＝﹣8ab2，
当a＝，b＝﹣时，原式＝﹣8××＝﹣．
【点评】熟练地进行整式的加减运算，并能运用加减运算进行整式的化简求值．
19．填空并完成以下证明：
如图，BD⊥AC于点D，EF⊥AC于点F，DM∥BC，∠1＝∠2，求证：DM∥GF．
证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC（已知）
∴∠BDF＝∠EFC＝90°（ 垂直的定义 ）
∴BD∥EF（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠1＝ ∠GFE （两直线平行，同位角相等）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠2＝∠HFE（ 等量代换 ）
∴GF∥ BC （内错角相等，两直线平行）
∵ DM ∥BC（已知）
∴DM∥GF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
【分析】由平行线的性质得出∠2＝∠CBD，得出∠1＝∠CBD，证出GF∥BC，再证出MD∥GF，即可得出DM∥BC．
【解答】证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC（已知），
∴∠BDF＝∠EFC＝90°（垂直的定义），
∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠GFE（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠HFE（等量代换），
∴GF∥BC（内错角相等，两直线平行），
∵DM∥BC（已知），
∴DM∥GF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠GFE；等量代换；BC；DM．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
20．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，利用网格点和三角板画图或计算：
（1）在给定方格纸中，将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，若点B的对应点为B′，请画出平移后的△A′B′C′；
（2）图中AC与A′C′的数量关系和位置关系是 AC＝A′C′，AC∥A′C′ ；
（3）画出△A′B′C′的边B′C′上的高A'D，并求△A′B′C′的面积．
【分析】（1）利用点B和点A′的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出A、C平移后的对应点即可；
（2）根据平移的性质进行判断；
（3）直接利用三角形面积公式计算．
解：（1）如图，△A'B'C'为所作；
（2）∵△ABC平移得到△A'B'C'，
∴AC＝A′C′，AC∥A′C′；
故答案为：AC＝A′C′，AC∥A′C′；
（3）三角形A'B'C的面积＝×4×4＝8．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
21．已知一个正数的平方根是a﹣2和7﹣2a，3b+1的立方根是﹣2，c是的整数部分，d的平方根是它本身．
（1）求a，b，c，d的值；
（2）求5a+2b﹣c﹣11d的算术平方根．
【分析】（1）利用平方根，立方根的意义可求出a，b，d的值，然后再估算出的值的范围，从而求出c的值；
（2）把a，b，c，d的值代入式子中，进行计算即可解答．
解：（1）∵一个正数的平方根是a﹣2和7﹣2a，
∴a﹣2+7﹣2a＝0，
解得：a＝5，
∵3b+1的立方根是﹣2，
∴3b+1＝﹣8，
解得：b＝﹣3，
∵36＜39＜49，
∴6＜＜7，
∴的整数部分是6，
∴c＝6，
∵d的平方根是它本身，
∴d＝0，
∴a的值为5，b的值为﹣3，c的值为6，d的值为0；
（2）当a＝5，b＝﹣3，c＝6，d＝0时，
5a+2b﹣c﹣11d＝5×5+2×（﹣3）﹣6﹣11×0
＝25+（﹣6）﹣6﹣0
＝19﹣6﹣0
＝13，
∴5a+2b﹣c﹣11d的算术平方根为．
【点评】本题考查了平方根，估算无理数大小，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22．三八妇女节到来之际，我校准备购进一批贺卡送给女教师们，贺卡原价8元/张，甲、乙两家商店优惠方式如下：
甲商店：所有贺卡按原价的九折出售；
乙商店：一次性购买不超过20张不优惠，超过部分打八折．
设我校准备购买a（a＞20）张贺卡．
（1）用含a的式子分别表示到甲、乙两家商店购买贺卡的费用；
（2）当我校购买多少张贺卡时，两家商店的费用相同？
（3）已知贺卡是一张面积为144 cm2的正方形，另有一个长宽比为5：3的长方形信封，面积为165cm2，请问能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？（放入时贺卡与信封的边平行）请通过计算说明你的判断．
【分析】（1）根据优惠方案及购买的数量，依据单价×数量＝总价，即可求出代数式；
（2）根据题意列方程，解方程即可得出答案；
（3）先求出长方形信封的宽和正方形卡片的边长，然后比较即可得出答案．
解：（1）甲商店的费用为：0.9×8a＝7.2a（元），
甲商店的费用为：20×8+0.8×8（a﹣20）＝（6.4a+32）（元）；
（2）令7.2a＝6.4a+32，
解得a＝40，
答：当我校购买40张贺卡时，两家商店的费用相同；
（3）设长方形信封的长为5xcm，宽为3xcm，
则5x 3x＝165，
∴x2＝11，
解得x＝±，
∵x＞0，
∴x＝，
∵正方形卡片边长为＝12cm，
3＜＜4
∴长方形信封的宽9＜3＜12，
∴这张贺卡不折叠不能放入此信封．
【点评】本题考查列代数式，算术平方根及一元一次方程的应用，正确的列出代数式，根据题意列方程是解决问题的前提．
23．如图，已知∠BAD＝∠C，AB∥CD，E为射线CB上一点，DE平分∠ADC．
（1）如图1，当点E在线段CB上时，求证：AD∥BC；
（2）如图2，当点E在线段CB延长线上时，求证：∠DEC＝∠EDC；
（3）如图2，当点E在线段CB延长线上时，若∠DAE＝5∠BAE，∠AED＝45°，求∠DEC的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质和判定解答即可；
（2）根据平行线的判定和性质以及角平分线的定义解答即可；
（3）根据三角形的内角和定理和平行线的性质解得即可．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵∠BAD＝∠C，
∴∠C+∠ADC＝180°，
∴AD∥BC；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵∠BAD＝∠C，
∴∠C+∠ADC＝180°，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC，
∴∠DEC＝∠EDC；
（3）解：∵∠DAE＝5∠BAE，∠AED＝45°，
设∠BAE＝x，∠DAE＝5x，
∴∠DAB＝4∠BAE＝4x，
∵AB∥CD，
∴∠ADC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣x，
∴∠EDC＝∠DEC＝180°﹣4x，
∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC＝∠ADC＝90°﹣2x，
∵AD∥BC，∠AED＝45°，
∴5x+45°+90°﹣2x＝180°，
解得：x＝15°，
∴∠DEC＝90°﹣2x＝60°．
【点评】此题是四边形的综合题，考查平行线的性质、三角形的内角和定理，关键是根据三角形内角和定理得出方程解答．
24．已知一个关于x的一元一次方程ax+b＝0（a≠0，b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“阳光方程”．例如：2x+4＝0的解为x＝﹣2，而2﹣4＝﹣2，则方程2x+4＝0是“阳光方程”．
（1）下列方程是“阳光方程”的为 ①③ ；（填序号）
①3x+＝0
②
③﹣3x+1＝
（2）求关于x的方程|2x﹣1|﹣m＝3是“阳光方程”，求m的值；
（3）已知关于x的方程ax+b＝0是“阳光方程”，求关于y的方程a（b﹣a）y+5＝（b+）y的解．
【分析】（1）根据“阳光方程”的定义计算即可判断；
（2）先将方程移项得|2x﹣1|﹣m﹣3＝0，再分两种情况：①当x≥时，则方程可化简为2x﹣（4+m）＝0，根据“阳光方程”的定义运算得x＝6+m，再将其代入方程在求解即可；②当x＜时，则方程可化简为﹣2x﹣（2+m）＝0，根据“阳光方程”的定义运算得x＝m，再将其代入方程在求解即可；
（3）根据“阳光方程”的定义可得a﹣b＝，即﹣a2+ab﹣b＝0，再将所求方程化简得，将﹣a2+ab﹣b＝0整体代入，最后求解即可．
解：（1）①3x+＝0，
解得：x＝，
∵3﹣＝，
∴方程3x+＝0是“阳光方程”；
②，即，
解得：x＝，
∵，
∴方程不是“阳光方程”；
③﹣3x+1＝，即，
解得：x＝，
∵﹣3﹣＝，
∴方程﹣3x+1＝是“阳光方程”；
∴是“阳光方程”的为①③，
故答案为：①③；
（2）|2x﹣1|﹣m＝3，即|2x﹣1|﹣m﹣3＝0，
①当x≥时，则2x﹣1﹣m﹣3＝0，即2x﹣（4+m）＝0，
∵此方程为“阳光方程”，
∴x＝2﹣[﹣（4+m）]＝6+m，
将x＝6+m代入方程得：2（6+m）﹣（4+m）＝0，
解得：m＝﹣8，
此时x＝6﹣8＝﹣2，不合题意，舍去；
②当x＜时，则﹣2x+1﹣m﹣3＝0，即﹣2x﹣（2+m）＝0，
∵此方程为“阳光方程”，
∴x＝﹣2﹣[﹣（2+m）]＝m，
将x＝m代入方程得：﹣2m﹣（2+m）＝0，
解得：m＝，
此时x＝，符合题意；
综上，m＝；
（3）∵方程ax+b＝0是“阳光方程”，
∴a﹣b＝，即﹣a2+ab﹣b＝0，
a（b﹣a）y+5＝（b+）y，
移项得：，
合并同类项得：，
即，
化系数为1得：y＝10．
【点评】本题主要考查一元一次方程的解、含绝对值符号的一元一次方程，理解“阳关方程”的定义，并学会利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
25．为认真贯彻《渔业法》，做好湘江禁渔期制度，政府在浏阳河两侧（河岸两侧是平行的）安置了可旋转红外线探测仪，检测非法捕捞情况．如图：直线l与两条平行直线AB，CD分别相交于为点F、点E红外射线ED'以速度a°/秒，自ED顺时针旋转至EC便立即返回、红外线FA'以速度b°/秒，自FA顺时针旋转至FB便立即返回，两条红外线交叉探测．
已知a、b满足|2b﹣2|+＝0，且∠DEF：∠BFE＝1：2．
（1）请填空：a＝ 3 ，b＝ 1 ，∠DEF＝ 60° ；
（2）若红外线FA'先转动20秒，红外线ED'才开始转动，在红外线FA'第一次旋转到FB之前，红外线ED'转动多少秒，两条红外线互相平行？
（3）如图2，若检修时关闭红外线探测仪F，红外线ED'交直线AB于点P，射线EQ平分∠DEF，过点P作PM⊥EQ，垂足为点M，作∠EPF的角平分线PN交CD于点N，当红外线ED'从ED第一次旋转到EC的过程中，求∠MPN与∠PEF的数量关系．
【分析】（1）根据非负性得出a，b的值，进而解答即可；
（2）分两种情况，利用平行线的性质得出方程解答即可；
（3）分三种情形：①当0＜t＜10时，②当10＜t＜20时，③当20＜t＜60时，分别求解即可．
【解答】（1）解：∵|2b﹣2|≥0，≥0，
∵|2b﹣2|+＝0，
∴2b﹣2＝0，a2﹣9＝0，
∵a＞0，b＞0，
∴a＝3，b＝1，
∵∠DEF：∠BFE＝1：2，
∵AB∥CD，
∴∠DEF+∠BFE＝180°，
∴∠DEF＝60°，
故答案为：3；1；60°；
（2）解：设红外射线ED'转到t秒时，两射线平行，
①在射线ED'转到EC之前，可得：20+t＝3t，
解得：t＝10，
②在射线ED'转到EC之后，可得：20+t+3t﹣180°＝180°，
解得：t＝85，
综上所述，当t＝10或85秒时，两射线平行；
（3）解：①当0＜t＜10时，∠PEF＝∠DEF﹣∠DEP＝60°﹣3t，
∵AB∥CD，
∴∠FQE＝∠DEQ＝30°，
∴∠PQM＝∠FQE＝30°，
∴∠MPQ＝90°﹣30°＝60°，
∵PN平分∠APE，
∴∠QPN＝∠EPQ＝t．
∴∠MPN＝∠MPQ+∠NPQ＝60°+t，
∵∠PEF＝60°﹣3t，
∴2∠MPN+∠PEF＝180°；
②当10＜t＜20时，
∵∠DEP＝3t，
∴∠PEM＝3t﹣30°，
∵∠EPM＝90°﹣（3t﹣30°）＝120°﹣3t，
∵∠FEM＝∠DEM＝30°，
∴∠FEP＝∠FEM﹣∠PEM＝60°﹣3t，
∵AB∥CD，
∴∠APE＝∠DEP＝3t，
∵PN平分∠EPF，
∴∠EPN＝t，
∴2∠MPN﹣∠PEF＝180°；
③当20＜t＜60时，
由题意，∠PEN＝3t，∠PEF＝3t﹣60°，∠PEM＝3t﹣30°，
∴∠EPM＝120°﹣3t，
∵CD∥AB
∴∠EPF＝180°﹣3t，
∵PN平分∠EPF，
∴∠EPN＝90°﹣t，∠MPN＝t﹣30°，
∴∠PEF＝2∠MPN．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
